Известия РАН. Механика твердого тела, 2019, № 3, стр. 147-154
АВТОКОЛЕБАНИЯ ПРИ ЗАПАЗДЫВАНИИ И ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ ИСТОЧНИКА ЭНЕРГИИ
А. А. Алифов *
Институт машиноведения им. А.А. Благонравова РАН
Москва, Россия
* E-mail: a.alifov@yandex.ru
Поступила в редакцию 05.04.2018
После доработки 05.04.2018
Принята к публикации 19.11.2018
Аннотация
Рассматриваются смешанные автоколебания, вынужденные и параметрические колебания при нелинейной силе трения с запаздывающим аргументом и источнике энергии ограниченной мощности. Методом усреднения выведены уравнения нестационарных и стационарных движений. С использованием критериев Рауса–Гурвица получены условия устойчивости стационарных движений. Выполнены расчеты для получения информации об амплитудно-частотно-скоростной зависимости и устойчивости колебаний при действии запаздывания и наличии ограниченной мощности источника энергии.
1. Введение. Системы с запаздыванием широко распространены в радиотехнике, устройствах автоматического управления, электронике и др. Обусловленные запаздыванием колебательные явления возникают в вибрационных машинах, регуляторах, транспортных системах (ленточные транспортеры и др.), электро- и пневмосистемах, прокатных станах, следящих системах и т.д. Эти колебания могут быть как вредными, так и полезными. В последнем случае запаздывание вводится специально, например, в системе ультразвукового станка.
Для математического описания систем с запаздыванием используются, чаще всего, нелинейные дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. Так как решение таких уравнений сопряжено большими трудностями, то при этом выделяется класс квазилинейных систем, изучение которых проводится с помощью приближенных методов. Среди них широко используется математически хорошо обоснованный асимптотический метод теории нелинейных колебаний [1, 2].
Изучению колебательных систем с запаздыванием и идеальным источником энергии посвящено достаточно много работ, чего нельзя сказать о случае систем с неидеальным источником или ограниченным возбуждением. Систематическая теория систем с неидеальными источниками энергии изложена впервые в работе В.О. Кононенко [3]. Дальнейшее развитие эта теория получила в целом ряде работ, отраженных, в частности, в [4, 5]. Системы с запаздыванием и неидеальным источником энергии рассматривались в небольшом числе работ [4–10] и др. В одних работах из приведенного списка запаздывание присутствует в силе упругости, а в других – зависящей от скорости силе трения. Действие вызывающей автоколебания силы трения на динамику систем рассмотрены в достаточно большом числе работ, в том числе в [3–18]. Изученная в [3–5, 10–15] модель фрикционной автоколебательной системы, взаимодействующей с источником энергии ограниченной мощности, положена в основу работ [7–9], в которых запаздывание присутствует в силе трения, вызывающей автоколебания. В этих работах, в случае запаздывающей силы трения и ограниченной мощности источника энергии рассмотрены, помимо автоколебаний, по отмеченной в [4, 5] классификации типов и смешанных колебаний взаимодействие “вынужденных колебаний и автоколебаний”, “параметрических колебаний и автоколебаний”. В продолжение [7–9] ниже рассмотрим более сложный случай, т.е. смешанные вынужденные, параметрические и автоколебания.
2. Модель системы. Примем, что возбуждающая автоколебания сила трения зависит от запаздывания постоянной величины. А также автоколебания возможны в случае отсутствия последнего. Динамическая модель такой автоколебательной системы с ограниченным возбуждением от двигателя с суммарной (включающей движущий момент и момент сил сопротивления) моментной характеристикой $M({\dot {\varphi }})$, представлена на фиг. 1, где ${\dot {\varphi }}$ – скорость вращения ротора двигателя.
Уравнения движения системы с учетом внешних воздействий (вынуждающего λsinνt и параметрического $(c + b\cos pt)x$) имеют вид
(2.1)
$\begin{gathered} m\ddot {x} + (c + b{\text{cos}}pt)x = \lambda \sin \nu t + T({{U}_{\tau }}) - k\dot {x} - f(x), \\ I\ddot {\varphi } = M(\dot {\varphi }) - rT({{U}_{\tau }}) \\ \end{gathered} $Здесь m, c, b, p, λ, ${\nu }$, V, k , I, r – постоянные величины, а сила трения T(Uτ) зависит от относительной скорости ${{U}_{{\tau }}} = V - {{\dot {x}}_{{\tau }}}$, ${{\dot {x}}_{{\tau }}} = \dot {x}(t - {\tau })$, где τ – постоянный временной фактор запаздывания, $V = r{\dot {\varphi }}$, $f(x)$ – нелинейная часть силы упругости.
Выражение силы трения имеет вид
Здесь q, α1, α3 – положительные постоянные, $sgn{{U}_{{\tau }}} = 1$ при $V > {{\dot {x}}_{{\tau }}}$ и $sgn{{U}_{{\tau }}} = - 1$ при $V < {{\dot {x}}_{{\tau }}}$. Следует отметить, что представление силы трения в таком виде отражает наиболее распространенную падающую характеристику коэффициента трения от скорости скольжения, которая наблюдалась также при рассмотрении проблемы измерения сил трения в условиях космического эксперимента на орбите [18].
Прежде чем перейти к построению решений (2.1) отметим следующее. Как показано в [4, 5], в случае, когда система находится под внешним и параметрическим воздействием, в ней могут возникнуть много сложных процессов. Для отражения резонансных (захватываемых) колебаний, обусловленных одновременным выполнением определенных соотношений между частотой автоколебаний и частотами обоих воздействий, в [4, 5] обоснованно введено “условие синхронности резонансных частот внешнего и параметрического воздействий” или кратко “условие синхронности”. В соответствии с этим условием ${\nu } = jp$, где $j = {{{{s}_{1}}{{n}_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{s}_{1}}{{n}_{2}}} {{{s}_{2}}{{n}_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{s}_{2}}{{n}_{1}}}}$, s1, s2, n1, n2 – взаимно простые, целые (небольшие) числа. Поскольку на практике главный интерес представляют основные резонансы (${\omega } \approx {p \mathord{\left/ {\vphantom {p 2}} \right. \kern-0em} 2}$, ${\omega } \approx {\nu }$) от влияния обоих воздействий, то примем условие синхронности j = 1/2.
3. Решения уравнений. Для построения решений (2.1) используем метод усреднения нелинейной механики [2]. С этой целью примем следующие предположения: силы в правой части (2.1) и запаздывание малы; скорость двигателя изменяется мало за период колебаний. На этой основе вводим в уравнения (2.1) малый параметр ε, который впоследствии примем равным единице, и имеем
(3.1)
$\ddot {x} + {{{\omega }}^{2}}x = {\varepsilon }{{F}_{1}}(pt,x,\dot {x},{{\dot {x}}_{{\tau }}},{\dot {\varphi }}),\quad {\ddot {\varphi }} = {\varepsilon }{{F}_{2}}({\dot {\varphi }},{{\dot {x}}_{{\tau }}}),$Искомые решения (3.1) представим в виде
где a, ξ и Ω – медленно изменяющиеся амплитуда, фаза и скорость.Введя переменную $u = r\Omega $, рассмотрим два принципиально различных случая: $u \geqslant a{\omega }$ и $u < a{\omega }$. С учетом того, что в области резонанса ${\omega } \approx 0.5p$ (расстройка частот мала) получим из (3.1) на основе (3.2) усредненные уравнения нестационарных движений:
а) $u \geqslant a{\omega }$
(3.3)
$\frac{{du}}{{dt}} = \frac{r}{I}\left[ {M\left( {\frac{u}{r}} \right) - rT(u) - \frac{3}{2}r{{{\alpha }}_{3}}qu{{{\omega }}^{2}}{{a}^{2}}} \right]$б) $u < a{\omega }$
(3.4)
$\frac{{du}}{{dt}} = \frac{r}{I}\left[ {M\left( {\frac{u}{r}} \right) - rT(u) - \frac{3}{2}r{{{\alpha }}_{3}}qu{{{\omega }}^{2}}{{a}^{2}} - \frac{{rq}}{{\pi }}(3{\pi } - 2{{{\psi }}_{ * }})} \right]$В ряде практических случаев часто представляет интерес смещение центра колебаний x0, с учетом которого имеем $x = {{x}_{0}} + a\cos {\psi }$. Это смещение определяется из выражения
Из выражений ${\beta }(a)$ и ${{G}_{0}}(a)$ видно влияние силы упругости f(x) на них: при четной функции $f(x)$ имеем ${\beta }(a) \equiv 0$, ${{G}_{0}}(a) \ne 0$, а нечетной – ${\beta }(a) \ne 0$, ${{G}_{0}}(a) \equiv 0$. Если, например, $f(x) = {{{\gamma }}_{3}}{{x}^{3}} + {{{\gamma }}_{5}}{{x}^{5}}$, то ${\beta }(a) = \frac{{{{a}^{3}}}}{8}\left( {3{{{\gamma }}_{3}} + \frac{{5{{{\gamma }}_{5}}{{a}^{2}}}}{2}} \right)$, ${{G}_{0}}(a) \equiv 0$.
Из уравнений (3.3) и (3.4) при условиях $\dot {a} = 0$, ${\dot {\xi }} = 0$, $\dot {u} = 0$ получим уравнения стационарных движений. Решения этих уравнений позволяют найти для стационарных движений амплитуду a и скорость u, которые являются наиболее важными на практике (фаза колебаний в большинстве случаев не представляет интереса).
При $u \geqslant a{\omega }$ для определения амплитуды и фазы имеем выражения
где ${{B}_{1}} = {{B}_{1}}(a,u,{\tau }) = \frac{a}{{2m}}[G(a,u){cos\omega \tau } + k]$, ${{B}_{2}} = {{B}_{2}}(p) = \frac{{2{\lambda }}}{{m(p + 2{\omega })}}$, ${{B}_{3}} = {{B}_{3}}(p) = \frac{b}{{2mp}}$, B4 = ${{B}_{4}}(p,a,u,{\tau }) = {\omega } - \frac{p}{2} + \frac{{{\beta }(a)}}{{{\omega }ma}} + \frac{1}{{2m}}G(a,u)sin{\omega \tau }$, $R = \frac{{{{B}_{2}} \pm \sqrt {B_{2}^{2} + 8{{a}^{2}}{{B}_{3}}({{B}_{3}} + {{B}_{4}})} }}{{4a{{B}_{3}}}}$.В случае $u < a{\omega }$ амплитуда стационарных колебаний практически не зависит от частоты и определяется приближенным выражением aω ≈ u. Зависимость амплитуды колебаний от скорости источника энергии и частоты внешних воздействий представляет собою поверхность. Сечения этой поверхности $a(u,p)$ показаны, в частности, ниже в п. 5.
Из условия $\dot {u} = 0$ имеем для $u \geqslant a{\omega }$ и $u < a{\omega }$ уравнение общего вида
в которома) $u \geqslant a{\omega }$, ${{S}_{ + }}(u,{{p}_{{\text{ф }}}}) = rT(u) + \frac{3}{2}r{{{\alpha }}_{3}}qu{{{\omega }}^{2}}{{a}^{2}}$;
б) $u < a{\omega }$, ${{S}_{ - }}(u,{{p}_{{\text{ф }}}}) = rT(u) + \frac{3}{2}r{{{\alpha }}_{3}}qu{{{\omega }}^{2}}{{a}^{2}} + \frac{{rq}}{{\pi }}(3{\pi } - 2{{{\psi }}_{ * }})$.
В случае $u < a\omega $, с учетом приближенного равенства aω ≈ u для стационарной амплитуды, выражение $S(u,{{p}_{{\text{ф }}}})$ принимает простую, зависящую только от u, форму
Функция $S(u,{{p}_{{\text{ф }}}})$ представляет нагрузку на источник энергии и пересечение ее кривой с кривой $M({u \mathord{\left/ {\vphantom {u r}} \right. \kern-0em} r})$ определяет стационарные значения скорости u. График кривой $S(u,{{p}_{{\text{ф }}}})$ строится на основе вычисленных стационарных значений амплитуды. Необходимо теперь определить условия устойчивости стационарных движений.
4. Устойчивость стационарных решений. Для определения устойчивости стационарных движений составляем уравнения в вариациях и пользуемся критериями Рауса–Гурвица. Полученные таким путем критерии устойчивости имеют вид:
Коэффициенты ${{b}_{{is}}}$ (i, s = 1, 2, 3) определяются при $u \geqslant a{\omega }$ выражениями
Если, например, $f(x) = {{{\gamma }}_{3}}{{x}^{3}} + {{{\gamma }}_{5}}{{x}^{5}}$, то ${\beta '}(a) = \frac{{{{a}^{2}}}}{8}\left( {9{{{\gamma }}_{3}} + \frac{{25}}{2}{{{\gamma }}_{5}}{{a}^{2}}} \right)$.
В случае $u < a{\omega }$ изменяются лишь коэффициенты
С учетом того, что в области резонанса разность $p - 2{\omega }\sim {\varepsilon }$, можно принять приближенно $p + 2{\omega } \approx 4{\omega }$, вследствие чего уравнения и выражения коэффициентов ${{b}_{{is}}}$ упрощаются.
Как показано в [3–5], критерию ${{D}_{3}} > 0$ можно придать эквивалентную наглядную форму
(4.2)
$({{b}_{{22}}}{{b}_{{33}}} - {{b}_{{23}}}{{b}_{{32}}})\frac{d}{{du}}\left[ {M\left( {\frac{u}{r}} \right) - S(u,{{p}_{{\text{ф }}}})} \right] < 0$5. Результаты расчетов. Приведенные выражения достаточно сложные и не позволяют без численных расчетов получить информацию о влиянии запаздывания в силе трения на динамику системы. Чтобы получить информацию о влиянии запаздывания на амплитудно-частотно-скоростную зависимость $a(u,p)$ и устойчивость стационарных режимов были выполнены расчеты при следующих параметрах: ${\omega } = 1{{c}^{{ - 1}}}$, $m = 1$ кгс ⋅ с2 ⋅ см–1, $b = 0.07$ кгс ⋅ см–1, ${\lambda } = 0.02$ кгс, $k = 0.02$ кгс ⋅ с ⋅ см–1, $q = 0.5$ кгс, ${{{\alpha }}_{1}} = 0.84$ c · см–1, ${{{\alpha }}_{3}} = 0.18$ с3 ⋅ см–3, r = 1 см, I = 1 кгс ⋅ с ⋅ см2. Показанные на фиг. 2 и фиг. 3 зависимости получены при $f(x) \equiv 0$. На фиг. 2,а представлены зависимости амплитуды колебаний от частоты при u = 1.26 и различных значениях запаздывания: кривая 1 (τ = 0), кривая 2 (τ = π/2), кривая 3 (τ = π), кривая 4 (τ = 3π /2). Графики представлены в виде кусочно-линейных из-за небольшого числа расчетных точек, обусловленных большой трудоемкостью расчета выражений, хотя должны быть на самом деле гладкими. Показанный на фиг. 2,b график имеет место для u = 1.14, τ = 0, а фиг. 2,с отражает зависимость амплитуды от скорости u при p = 2, τ = 0. Фиг. 2,b показывает интересный, многозначный в узкой области частот вид амплитудной кривой. Устойчивость колебаний с какой-либо амплитудой в указанных на графиках диапазонах частот зависит от крутизны характеристики источника энергии, выраженной величиной N. Колебания устойчивы в пределах заштрихованных секторов для N (точка А относится к кривой 1), хотя эти секторы должны быть указаны на самом деле на кривой нагрузки $S(u,{{p}_{{\text{ф }}}})$. Поскольку нагрузка $S(u,{{p}_{{\text{ф }}}})$ зависит от амплитуды колебаний, то ее форма зависит от формы амплитудной кривой. Представленная на фиг. 3 кривая $S(u,{{p}_{{\text{ф }}}})$ соответствует амплитудной кривой, показанной на фиг. 2,с. При изменении скорости (увеличении, уменьшении) источника энергии u посредством перемещения характеристики $M({u \mathord{\left/ {\vphantom {u r}} \right. \kern-0em} r})$ в системе проявляются различного характера переходы из одного состояния в другое, показанные стрелками. Такого рода переходы при отсутствии запаздывания в силе трения подробно описаны в [4, 5] и имеют место также при его наличии. Поэтому их описание здесь не приводится во избежание повторения.
В заключение отметим, что здесь представлены не все результаты проведенных расчетов и анализа. Они показывают многообразие явлений, которые могут быть обусловлены взаимодействием сил в источнике энергии и сил трения с запаздыванием.
Список литературы
Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М.: Наука, 1969. 288 с.
Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. 504 с.
Кононенко В.О. Колебательные системы с ограниченным возбуждением. М.: Наука, 1964. 236 с.
Алифов А.А., Фролов К.В. Взаимодействие нелинейных колебательных систем с источниками энергии. М.: Наука, 1985. 328 с.
Alifov A.A., Frolov K.V. Interaction of Nonlinear Oscillatory Systems with Energy Sources. New York, Washington, Philadelphia, London: Hemisphere Publishing Corporation. Taylor & Francis Group. 1990. 327 p.
Рубаник В.П., Старик Л.К. Об устойчивости автоколебаний резца в случае неидеального источника энергии // Научные труды вузов Лит. ССР. Вибротехника. 1971. № 2 (11). С. 205–212.
Абдиев Ф.К. Автоколебания системы с запаздыванием и с неидеальным источником энергии // Изв. АН АзССР. Серия физико-технических и математических наук. 1983. № 4. С. 134–139.
Алифов А.А., Абдиев Ф.К. Взаимодействие вынужденных колебаний и автоколебаний при силе трения с запаздывающим аргументом // ВИНИТИ, № 358-85 деп. 1985. 11 с.
Алифов А.А., Абдиев Ф.К. Взаимодействие параметрических колебаний и автоколебаний при силе трения с запаздыванием // ВИНИТИ, № 357-85 деп. 1985. 10 с.
Алифов А.А. Об автоколебательной системе, взаимодействующей с источником энергии // Изв. АН СССР. МТТ. 1977. № 1. С. 36–42.
Алифов А.А., Фролов К.В. Автопараметрические колебания в системе с сухим трением и с ограниченным возбуждением // Изв. АН СССР. МТТ. 1977. № 4. С. 68–78.
Алифов А.А., Фролов К.В. Исследование автоколебаний при трении в условиях параметрического возбуждения и ограниченной мощности источника энергии // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. № 4. С. 29–39.
Алифов А.А. Автоколебательная система с источником энергии при параметрическом и периодическом возмущениях // Изв. АН СССР. МТТ. 1982. № 4. С. 45–63.
Алифов А.А., Фролов К.В. О воздействии параметрического возмущения на автоколебательную систему с источником энергии // Прикладная механика. 1981. Т. 17. № 1. С. 106–113.
Алифов А.А. Об автоколебаниях в системе с ограниченным возбуждением // Машиноведение. 1979. № 1. С. 8–14.
Климов Д.М. Об одном виде автоколебаний в системе с сухим трением // Изв. РАН. МТТ. 2003. № 3. С. 6–12.
Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988. 328 с.
Броновец М.А., Журавлев В.Ф. Об автоколебаниях в системах измерения сил трения // Изв. РАН. МТТ. 2012. № 3. С. 3–11.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Известия РАН. Механика твердого тела