Известия РАН. Механика твердого тела, 2020, № 4, стр. 140-151

ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ИЗМЕНЕНИЯ ФАЗОВО-СТРУКТУРНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ В СПЛАВАХ С ПАМЯТЬЮ ФОРМЫ

А. А. Мовчан *

Институт прикладной механики РАН
Москва, Россия

* E-mail: movchan47@mail.ru

Поступила в редакцию 09.01.2020
После доработки 13.01.2020
Принята к публикации 17.01.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Предложена объединенная модель фазово-структурного деформирования сплавов с памятью формы, в рамках которой неупругая деформация этих материалов может изменяться, как за счет фазовых превращений, так и за счет структурных переходов. Модель развития деформаций за счет структурного перехода использует понятие поверхности нагружения, изотропного и трансляционного упрочнения, ассоциированного закона течения. Модель развития деформации за счет термоупругих фазовых (прямых или обратных) превращений не апеллирует к понятию поверхности нагружения, адекватно описывая развитие фазовых деформаций, которое наблюдается при постоянных и даже уменьшающихся напряжениях. В рамках модели учитывается наблюдаемое в экспериментах влияние второго механизма на первый (перекрестное упрочнение), состоящее в том, что при изменении деформаций за счет фазового превращения изменяется радиус поверхности нагружения, определяющий процесс деформирования при структурном переходе. В рамках модели наблюдается ряд необычных для теории пластического течения явлений, как то уменьшение радиуса поверхности нагружения, которое может происходить даже при увеличении неупругих деформаций, рост этого радиуса в том числе при уменьшении неупругих деформаций, изменение радиуса поверхности нагружения в ситуации, когда точка, изображающая напряженное состояние, движется, или даже покоится в упругой области.

Ключевые слова: сплавы с памятью формы, фазовый механизм деформации, структурный механизм деформации, объединенная модель

1. Введение. Для некоторых классов материалов механики деформируемого твердого тела характерна ситуация наличия двух (или более) механизмов неупругого деформирования, принципиально различающихся, в том числе, и по своим макроскопическим проявлениям, и в то же время влияющих друг на друга. Здесь речь может идти о пластических деформациях и деформациях ползучести сталей и сплавов [1], мгновенных нелинейных деформациях и линейных вязкоупругих деформациях полимеров [2, 3], фазовой и пластической деформации TRIP – сталей [4].

Ярким примером таких материалов являются сплавы с памятью формы (СПФ), изменение неупругих деформаций в которых может происходить по механизмам прямых или обратных термоупругих фазовых превращений и (или) структурных переходов. Известно [5, 6], что для процесса деформирования, связанного со структурными переходами (раздвойникованием и переориентацией мартенситной фазы), характерны все признаки явления деформационного упрочнения (наличие упругой области в пространстве девиатора напряжений и ограничивающей эту область поверхности нагружения, изменение размеров этой поверхности и смещение ее центра при изменении неупругих деформаций), что делает эти процессы сходными с процессами пластического деформирования. В то же время, экспериментально установлено [7], что для процессов деформирования СПФ, связанных с термоупругими фазовыми превращениями (прямым из аустенитной фазы в мартенситную и обратным) явление деформационного упрочнения не характерно, неупругие деформации в таких процессах меняются при постоянных и убывающих напряжениях, что напоминает процесс ползучести. В [8, 9] обнаружен эффект перекрестного упрочнения, свидетельствующий о влиянии процессов деформирования, связанных с фазовыми переходами на структурные превращения.

Необходимо отметить, что описанные выше особенности процесса неупругого деформирования СПФ в большинстве известных моделей поведения этих материалов (обзор таких моделей, опубликованных до 2015 г., приведен в [10]) не учитываются. Так, в [1113] моделируется только фазовый механизм деформирования СПФ, проявления структурного механизма не рассматриваются. В [14] наоборот, с помощью аналога теории пластичности с изотропным и трансляционным упрочнением моделируется структурный механизм деформирования СПФ, но не рассматривается фазовый. В работах [1517] понятие поверхности нагружения вообще не используется. В работах [1821] учитываются, как фазовый, так и структурный механизмы деформирования, однако не отражена упомянутая выше принципиальная разница между этими механизмами. В [22] изложена модель фазового и структурного деформирования СПФ, с учетом специфических свойств этих механизмов, а также влияния фазового механизма на структурный. Однако, в этой работе для структурного механизма деформирования учитывается только изотропное упрочнение, хотя приведенные в [23] диаграммы прямого и обратного нагружения СПФ в режиме мартенситной неупругости (кручение) явно демонстрируют наличие эффекта Баушингера.

В данной работе предлагается вариант объединенной модели фазово-структурного деформирования СПФ, лишенный этого недостатка, т.е. учитывающий не только изотропное, но и трансляционное упрочнение СПФ при деформировании этих материалов по структурному механизму.

2. Формулировка модели. Предлагаемая система определяющих соотношений для фазово-структурного деформирования СПФ имеет вид:

$d\varepsilon _{{ij}}^{{{\text{phst'}}}} = d\varepsilon _{{ij}}^{{{\text{ph'}}}} + d\varepsilon _{{ij}}^{{{\text{st}}}}$
(2.1)
$d\varepsilon _{{ij}}^{{{\text{ph'}}}} = \frac{3}{2}{{\rho }_{{D1}}}\frac{{{{S}_{{ij}}}}}{{{{S}_{i}}}}{{\varphi }_{1}}\left( {{{S}_{i}}} \right)dq,\quad dq > 0$
(2.2)
$d\varepsilon _{{ij}}^{{{\text{ph'}}}} = \frac{{\varepsilon _{{ij}}^{{{\text{phst'}}}}}}{q}dq,\quad dq < 0$
(2.3)
${{\rho }_{{D2}}}q{{\varphi }_{2}}\left( {S{\text{*}}} \right) = \int {\frac{{{{S}_{{ij}}}}}{{{{S}_{i}}}}d\varepsilon _{{ij}}^{{{\text{phst'}}}}} ,\quad {{S}_{i}} = \sqrt {\frac{3}{2}{{S}_{{ij}}}{{S}_{{ij}}}} $
(2.4)
$d\varepsilon _{{ij}}^{{{\text{st}}}} = d\lambda {{S}_{{ij}}}$ при $d\lambda > 0$ и ${{S}_{i}} = S{\text{*}}$, $d\varepsilon _{{ij}}^{{{\text{st}}}} = 0$ при $d\lambda \leqslant 0$ или ${{S}_{i}} < S{\text{*}}$
(2.5)
$\sigma _{{ij}}^{'} = {{S}_{{ij}}} + {{r}_{{ij}}},\quad qd{{r}_{{ij}}} = gd\varepsilon _{{ij}}^{{{\text{st}}}},\quad g > 0$

Здесь $d\varepsilon _{{ij}}^{{{\text{phst'}}}}$ – приращение девиатора фазово-структурной деформации, складывающееся из приращения за счет фазового $d\varepsilon _{{ij}}^{{ph{\text{'}}}}$ и за счет структурного $d\varepsilon _{{ij}}^{{{\text{st}}}}$ переходов; $\sigma _{{ij}}^{{\text{'}}}$, ${{S}_{{ij}}}$, ${{r}_{{ij}}}$ – девиаторы напряжений, активных напряжений и микронапряжений (${{r}_{{ij}}}$ – координаты центра поверхности нагружения в пространстве девиатора напряжений). Приращение девиатора деформации за счет фазового перехода происходит при изменении объемной доли мартенситной фазы q, определяется формулами (2.1) для прямого и (2.2) для обратного превращения и не связано с понятием деформационного упрочнения. Изменение деформации за счет структурного перехода происходит лишь в случае, когда точка, изображающая напряженное состояние находится на Мизесовской поверхности нагружения, радиус которой S* определяется соотношением (2.3); (2.4) представляет собой ассоциированный закон для приращения деформаций за счет структурного перехода; (2.5) является уравнением, определяющим движение центра поверхности нагружения; здесь $g$ в простейшем случае, является постоянной (линейное трансляционное упрочнение). Согласно (2.5) центр поверхности нагружения для структурных деформаций смещается только при изменении неупругих деформаций за счет структурного перехода. Материальные функции ${{\varphi }_{1}}$ и ${{\varphi }_{2}}$ определены и непрерывны для неотрицательных значений аргумента, ${{\varphi }_{1}}(0) = {{\varphi }_{2}}(0) = 0$, монотонно возрастают и стремятся к единице при аргументе, стремящемся к бесконечности, т.е. обладают свойствами интегральных функций распределения.

В случае, когда весь рассматриваемый процесс состоит только из фазовых (прямых или обратных) переходов без структурных превращений, $d\varepsilon _{{ij}}^{{{\text{st}}}} \equiv 0$, поэтому, согласно (2.5) $d{{r}_{{ij}}} \equiv 0$, ${{S}_{{ij}}} = \sigma _{{ij}}^{'}$ и процесс прямого превращения описывается так же, как и в рамках модели, не учитывающей трансляционное упрочнение [22]: $d\varepsilon _{{ij}}^{{{\text{ph}}'}} = \frac{3}{2}{{\rho }_{{D1}}}\frac{{\sigma _{{ij}}^{'}}}{{{{\sigma }_{i}}}}{{\varphi }_{1}}\left( {{{\sigma }_{i}}} \right)dq$.

Согласно (2.3), (2.1) и (2.4) для прямого превращения, происходящего совместно со структурным переходом должно выполняться неравенство $d\lambda > 0$ и условие

(2.6)
${{\rho }_{{{\text{D}}2}}}q{{\varphi }_{2}}\left( {S_{i}^{{}}} \right) = \int {\left[ {{{\rho }_{{{\text{D}}1}}}{{\varphi }_{1}}\left( {{{S}_{i}}} \right)dq + \frac{2}{3}{{S}_{i}}d\lambda } \right]} $

Дифференцируя соотношение (2.6) получаем для $d\lambda $ выражение

(2.7)
$d\lambda = \frac{3}{2}\frac{{3Aq{{S}_{{mn}}}d\sigma _{{mn}}^{'} - {{S}_{i}}{{B}^{ + }}dq}}{{(3Ag + 2)S_{i}^{2}}},\quad {{B}^{ + }} = 2\left[ {{{\rho }_{{{\text{D}}1}}}{{\varphi }_{1}}\left( {{{S}_{i}}} \right) - {{\rho }_{{{\text{D}}2}}}{{\varphi }_{2}}\left( {{{S}_{i}}} \right)} \right],\quad A = {{\rho }_{{{\text{D}}2}}}\varphi _{2}^{'}\left( {{{S}_{i}}} \right)$

Дифференциальное условие активного нагружения $d\lambda > 0$ сводится к неравенству

(2.8)
$3Aq{{S}_{{mn}}}d\sigma _{{mn}}^{'} > {{B}^{ + }}dq$

Согласно (2.8), в случае нарушения неравенства

(2.9)
${{\rho }_{{{\text{D}}1}}}{{\varphi }_{1}}\left( {{{S}_{i}}} \right) > {{\rho }_{{{\text{D}}2}}}{{\varphi }_{2}}\left( {{{S}_{i}}} \right)$
активный процесс структурного деформирования может происходить при условии ${{S}_{{mn}}}d\sigma _{{mn}}^{'}$ < 0, когда приращение девиатора напряжений направлено внутрь, а не наружу упругой области. Чтобы исключить такую возможность, далее предполагается выполнение неравенства (2.9) для всех значений аргументов функций, отличных от нуля.

Согласно (2.2), (2.3) и (2.4) для одновременного осуществления обратного превращения и структурного перехода должно выполняться соотношение

${{\rho }_{{{\text{D}}2}}}q{{\varphi }_{2}}(S_{i}^{{}}) = \int {\left[ {\frac{{S_{{ij}}^{'}}}{{{{S}_{i}}}}\frac{{\varepsilon _{{ij}}^{{{\text{phst}}'}}}}{q}dq + \frac{2}{3}{{S}_{i}}d\lambda } \right]} $
из которого следуют зависимости, аналогичные (2.7) и (2.8) с заменой B+ на B = = $2[{{S}_{{mn}}}\varepsilon _{{mn}}^{{{\text{phst}}'}}{\text{/}}q - {{S}_{i}}{{\rho }_{{{\text{D}}2}}}{{\varphi }_{2}}\left( {{{S}_{i}}} \right)]$.

В случае структурного перехода при отсутствии фазовых превращений, в приведенных выше формулах следует положить dq = 0; соотношения для неупругих деформаций и условие (2.8) упрощаются:

$d\lambda = \frac{3}{2}\frac{{Aq{{S}_{{mn}}}d\sigma _{{mn}}^{'}}}{{\left( {Ag + 2{\text{/}}3} \right)S_{i}^{2}}},\quad d\varepsilon _{{ij}}^{{{\text{st}}}} = \frac{{3Aq}}{{3Ag + 2}}\frac{3}{2}\frac{{{{S}_{{ij}}}}}{{{{S}_{i}}}}\frac{{{{S}_{{mn}}}}}{{{{S}_{i}}}}d\sigma _{{mn}}^{'},\quad {{S}_{{ij}}}d\sigma _{{ij}}^{'} > 0$

3. Случай пропорционального нагружения. Рассмотрим случай, вообще говоря, немонотонного пропорционального изменения девиатора напряжений $\sigma _{{ij}}^{'}$:

(3.1)
$\sigma _{{ij}}^{'} = \sigma \cdot \sigma _{{ij}}^{0},$$\sigma _{{ij}}^{0} = {\text{const,}}$$\sigma _{{kk}}^{0} = 0,$$\frac{3}{2}\sigma _{{ij}}^{0}\sigma _{{ij}}^{0} = 1,$${{\sigma }_{i}} = \left| \sigma \right|$

Для определенности предполагается, что для первого нагружения девиатор $\sigma _{{ij}}^{0}$ выбран так, чтобы было σ > 0, $\sigma = {{\sigma }_{i}}$. Легко видеть, что при таком нагружении в общем случае, девиатор фазово-структурной деформации также будет изменяться пропорционально:

(3.2)
$\varepsilon _{{ij}}^{{{\text{phst}}'}} = \varepsilon \cdot \varepsilon _{{ij}}^{0},$$\varepsilon _{{ij}}^{0} = {\text{const,}}$$\varepsilon _{{kk}}^{0} = 0,$$\frac{2}{3}\varepsilon _{{ij}}^{0}\varepsilon _{{ij}}^{0} = 1,$$\left| \varepsilon \right| = {{\varepsilon }_{i}},$$\varepsilon _{{ij}}^{0} = \frac{3}{2}\sigma _{{ij}}^{0}$
$d\varepsilon _{{ij}}^{{{\text{st}}}} = d{{\varepsilon }^{{{\text{st}}}}} \cdot \varepsilon _{{ij}}^{0},$$d\varepsilon _{{ij}}^{{{\text{ph}}'}} = d{{\varepsilon }^{{{\text{ph}}}}}\varepsilon _{{ij}}^{0},$$d\varepsilon = d{{\varepsilon }^{{{\text{ph}}}}} + d{{\varepsilon }^{{{\text{st}}}}}$

Подстановка (3.1), (3.2) в уравнения модели приводят к соотношениям

(3.3)
${{r}_{{ij}}} = r\sigma _{{ij}}^{0},$$dr = \frac{3}{2}gd{{\varepsilon }^{{{\text{st}}}}},$${{S}_{{ij}}} = S\sigma _{{ij}}^{0},$$S = \sigma - r,$${{S}_{i}} = \left| S \right|,$$d{{\varepsilon }^{{{\text{st}}}}} = \frac{2}{3}Sd\lambda $

Для прямого ($dq > 0$) или обратного ($dq < 0$) фазовых превращений соответственно выполняется

(3.4)
$d{{\varepsilon }^{{{\text{ph}}}}} = {\text{sign}}\left( S \right){{\rho }_{{{\text{D}}1}}}{{\varphi }_{1}}\left( {\left| S \right|} \right)dq,$$d{{\varepsilon }^{{{\text{ph}}}}} = \frac{\varepsilon }{q}dq$

Согласно (3.3), (3.4) приращение параметра деформации за счет прямого фазового перехода ($dq > 0$) или за счет структурного превращения ($d\lambda > 0$) всегда имеет тот же знак, что и величина $S$, а за счет обратного превращения ($dq < 0$) знак, противоположный знаку ε.

Уравнение для определения радиуса поверхности нагружения S* (2.3) в общем случае пропорционального нагружения принимает вид

(3.5)
${{\rho }_{{{\text{D}}2}}}q{{\varphi }_{2}}\left( {S{\text{*}}} \right) = \int {d\chi ,\quad d\chi = {\text{sign}}\left( S \right)d\varepsilon } $

На участке процесса, где знак S не меняется, $\Delta \chi = {\text{sign}}\left( S \right)\Delta \varepsilon $. Если во всем рассматриваемом процессе знак S не меняется, то соотношение (3.5) можно представить в форме

(3.6)
${{\rho }_{{{\text{D}}2}}}q{{\varphi }_{2}}\left( {S{\text{*}}} \right) = {\text{sign}}\left( S \right)\varepsilon $

Пусть рассматриваемый процесс на содержит этапов обратного превращения. Тогда знаки $S$ и $d\varepsilon $ совпадают и (3.5) переходит в соотношение

(3.7)
${{\rho }_{{{\text{D}}2}}}q{{\varphi }_{2}}\left( {S{\text{*}}} \right) = L,\quad L = \int {\left| {d\varepsilon } \right|} $
то есть правая часть условия структурного деформирования представляет собой длину дуги неупругого деформирования L и поэтому не убывает. Во всех точках такого процесса, в которых происходит структурный переход, выполняется $\left| S \right| = S{\text{*}}$ и справедливо соотношение

(3.8)
$\left| S \right| = \varphi _{2}^{{ - 1}}\left( {\frac{L}{{{{\rho }_{{{\text{D}}2}}}q}}} \right)$

Здесь $\varphi _{2}^{{ - 1}}$ – функция, обратная ${{\varphi }_{2}}$, однозначная и непрерывная в силу монотонности и непрерывности ${{\varphi }_{2}}$ и напряжение постоянно. На тех участках рассматриваемого процесса, на которых не будет структурного перехода, выполняется $S = {\text{const}}$. Для процесса, не включающего в себя обратного превращения, справедливы, кроме того, следующие дифференциальные соотношения

(3.9)
$d{{\varepsilon }^{{{\text{ph}}}}} = {{\rho }_{{{\text{D}}1}}}{{\varphi }_{1}}(S)dq$
$d{{\varepsilon }^{{{\text{st}}}}} = 2\frac{{{\text{sign}}\left( S \right)\left[ {{{\rho }_{{{\text{D}}2}}}{{\varphi }_{2}}\left( {\left| S \right|} \right) - {{\rho }_{{{\text{D}}1}}}{{\varphi }_{1}}\left( {\left| S \right|} \right)} \right]dq + Aqd\sigma }}{{3Ag + 2}}$
$d\varepsilon = 2\frac{{{\text{sign}}\left( S \right)\left[ {{{\rho }_{{{\text{D}}2}}}{{\varphi }_{2}}\left( {\left| S \right|} \right) + Ag{{\rho }_{{{\text{D}}1}}}{{\varphi }_{1}}\left( {\left| S \right|} \right)} \right]dq + Aqd\sigma }}{{3Ag + 2}}$

Дифференциальное условие активного нагружения, дополняющее зависимость (3.8) имеет в рассматриваемом случае вид

(3.10)
$Aq{\text{sign}}\left( S \right)d\sigma > \left[ {{{\rho }_{{{\text{D}}1}}}{{\varphi }_{1}}\left( {\left| S \right|} \right) - {{\rho }_{{{\text{D}}2}}}{{\varphi }_{2}}\left( {\left| S \right|} \right)} \right]dq$

В случае обратного превращения, сопровождаемого структурным переходом справедливы соотношения

(3.11)
$d{{\varepsilon }^{{{\text{st}}}}} = 2\frac{{\left[ {{{\rho }_{{{\text{D}}2}}}q{{\varphi }_{2}}\left( {\left| S \right|} \right){\text{sign}}\left( S \right) - \varepsilon } \right]dq{\text{/}}q + Aqd\sigma }}{{3Ag + 2}}$
$d\varepsilon = \frac{{\left[ {2{{\rho }_{{{\text{D}}2}}}q{{\varphi }_{2}}\left( {\left| S \right|} \right){\text{sign}}\left( S \right) + 3Ag\varepsilon } \right]dq{\text{/}}q + 2Aqd\sigma }}{{3Ag + 2}}$
а дифференциальное условие активного нагружения имеет вид

(3.12)
$\left[ {{{\rho }_{{{\text{D}}2}}}q{{\varphi }_{2}}\left( {\left| S \right|} \right) - {\text{sign}}\left( S \right)\varepsilon } \right]\frac{{dq}}{q} + Aq{\text{sign}}\left( S \right)d\sigma > 0$

Если в рассматриваемом процессе знак S не меняется, то для этапа этого процесса, на котором происходят обратное превращение и структурный переход, должно выполняться соотношение (3.6), в котором S* заменено на S. Сопоставление (3.11) и (3.6) позволяет в этом случае существенно упростить выражение для $d{{\varepsilon }^{{{\text{st}}}}}$ и $d\varepsilon $, и дифференциальное условие активного нагружения (3.12):

(3.13)
$d{{\varepsilon }^{{{\text{st}}}}} = \frac{{2Aqd\sigma }}{{3Ag + 2}},$$d\varepsilon = \frac{{2Aqd\sigma }}{{3Ag + 2}} + \frac{\varepsilon }{q}dq,$$Sd\sigma > 0$

В случае, если происходит структурный переход без фазового, справедливы соотношения (3.13) при dq = 0.

4. Прямое и обратное превращение под действием постоянного напряжения.

Пусть происходит прямое и обратное термоупругое фазовое превращение под действием напряжения с постоянным девиатором: $\sigma _{{ij}}^{'} = {\text{const}}$, $d\sigma _{{ij}}^{'} = 0$. Такой процесс можно считать частным случаем пропорционального нагружения.

На этапе прямого превращения дифференциальное условие активного нагружения (3.10) при $d\sigma = 0$ с учетом выполнения неравенства (2.9) не выполняется, т.е. структурный переход происходить не может. Тогда $d{{\varepsilon }^{{{\text{st}}}}} = 0$, dr = 0, в аустенитном состоянии r = 0, следовательно r = 0 для всего этапа прямого превращения, то есть центр поверхности нагружения находится в начале координат. Поэтому для первого этапа процесса $S = \sigma > 0$, $d\varepsilon = d{{\varepsilon }^{{{\text{ph}}}}}$ и решение уравнения для неупругой деформации (3.9) имеет вид

(4.1)
$\varepsilon = {{\rho }_{{{\text{D}}1}}}{{\varphi }_{1}}\left( \sigma \right)q$

Поскольку знак S > 0 на этапе прямого превращения не изменялся, то для радиуса поверхности нагружения справедливо, согласно (3.6), (4.1) выражение

(4.2)
$S* = \varphi _{2}^{{ - 1}}\left[ {\frac{{{{\rho }_{{{\text{D}}1}}}}}{{{{\rho }_{{{\text{D}}2}}}}}{{\varphi }_{1}}\left( \sigma \right)} \right]$

Согласно (4.2), радиус поверхности нагружения при прямом превращении, происходящем под действием постоянного напряжения сохраняет постоянное значение (не зависит от $q$), несмотря на то, что с ростом $q$ растет неупругая деформация (за счет прямого превращения). В силу неравенства (2.9) и свойств функций ${{\varphi }_{1}}$ и ${{\varphi }_{2}}$ в процессе прямого превращения выполняется неравенство

(4.3)
$S* > \sigma $
то есть точка, изображающая напряженное состояние находится в упругой области.

Сравнение полученного экспериментально графика зависимости неупругой деформации при полном прямом превращении под действием постоянного напряжения от величины этого напряжения с зависимостью (4.1) при q = 1 позволяет найти параметр материала ${{\rho }_{{D1}}}$ как асимптотическое значение, к которому стремится интенсивность накопленной деформации при интенсивности напряжений, стремящейся к бесконечности, и материальную функцию ${{\varphi }_{1}}\left( \sigma \right)$, соответствующую графику зависимости $\varepsilon {\text{/}}{{\rho }_{{{\text{D}}1}}}$ от σ.

Рис. 1

На рис. 1 приведены экспериментальные данные по полному прямому превращению под действием постоянного одноосного растягивающего напряжения (точки) и сжимающего напряжения (квадраты) образцов из равноатомного никелида титана, отожженного при температуре 800°C в течение 1 часа с последующей закалкой в воду комнатной температуры. По оси абсцисс отложены значения напряжений (модуля напряжений при сжатии), под действием которых производился соответствующий эксперимент в МПа, по оси ординат – неупругие деформации, полученные при полном прямом превращении под действием соответствующего напряжения. Линия 1 соответствует аппроксимации экспериментальных данных для случая растяжения с помощью функции распределения Вейбулла $\varepsilon = {{\rho }_{{{\text{D}}1}}}[1 - \exp ( - {{(\sigma {\text{/}}{{\sigma }_{{01}}})}^{\alpha }})]$. Методом наименьших квадратов получены следующие значения параметров ${{\rho }_{{{\text{D}}1}}} = 0.095$, ${{\sigma }_{{01}}} = 147$ МПа, $\alpha = 2.5$. Линия 2 соответствует аппроксимации экспериментальных данных для сжатия с помощью функции γ – распределения: $\varepsilon = {{\rho }_{{{\text{D}}1}}}{{\varphi }_{1}}\left( {\sigma {\text{/}}{{\sigma }_{{01}}}} \right)$, φ1(x) = $\frac{1}{{\Gamma (\alpha )}}\int_0^x {{{t}^{{\alpha - 1}}}\exp ( - t)dt} $. Методом наименьших квадратов получаются следующие значения параметров ${{\rho }_{{{\text{D}}1}}} = 0.076$, ${{\sigma }_{{01}}} = 204.3$, $\alpha = 0.955$.

При прямом превращении под действием монотонно убывающего без изменения знака напряжения, $d\sigma < 0$, $dq > 0$, условие (2.8) не выполнено и структурный переход также не возможен. В этом случае неупругая деформация возрастает за счет фазового перехода, точка, описывающая напряженное состояние перемещается в упругой области, а радиус поверхности нагружения уменьшается [22]. Тем самым, в рамках феноменологической теории описывается микроструктурный эффект неоднородного упрочнения мартенситной части представительного объема СПФ [24]. При прямом превращении под действием возрастающего напряжения радиус поверхности нагружения на некоторых участках процесса не меняется, несмотря на возрастание неупругих деформаций, а на некоторых участках возрастает [22].

Пусть прямое превращение под действием постоянного напряжения происходит до значения параметра q, равного $0 < {{q}_{0}} \leqslant 1$, после чего под действием того же напряжения $\sigma = {\text{const}}$ происходит обратное превращение. В начальной точке обратного превращения $S* > \sigma = S > 0$. В процессе обратного превращения dσ = dS + dr = = $dS + 3gd{{\varepsilon }^{{{\text{st}}}}}$ = 0, то есть величина $S$ может меняться только в случае структурного перехода, однако структурный переход может иметь место только при выполнении равенства $S = S{\text{*}}$. В процессе обратного фазового перехода при отсутствии структурного, величина S* также меняться не может. Действительно, в начальной точке обратного превращения неупругая деформация, согласно (4.1) будет равна ${{\varepsilon }_{0}} = {{\rho }_{{{\text{D}}1}}}\varphi \left( \sigma \right){{q}_{0}}$. Решая второе уравнение (3.4) при начальном условии $\varepsilon ({{q}_{0}}) = {{\varepsilon }_{0}}$, получаем $\varepsilon = {{\rho }_{{{\text{D}}1}}}{{\varphi }_{1}}\left( \sigma \right)q$. Поскольку на рассматриваемом участке S сохраняет положительный знак, то уравнение (3.6) для определения S* имеет вид ${{\rho }_{{{\text{D}}2}}}q{{\varphi }_{2}}\left( {S{\text{*}}} \right) = {{\rho }_{{{\text{D}}1}}}q{{\varphi }_{1}}\left( \sigma \right)$ и величина S* определяется уравнением (4.2), т.е., не меняется, если не начался структурный переход. Следовательно, разница $S{\text{*}} - S$ до тех пор, пока не начался структурный переход, сохраняет постоянное значение, а начаться структурный переход может лишь в случае $S = S{\text{*}}$. В то же время, при обратном фазовом превращении под действием возрастающего напряжения радиус поверхности нагружения может расти при уменьшающейся неупругой деформации [22].

Таким образом, установлено, что для прямого превращения из полностью аустенитного состояния и последующего обратного превращения, происходящих под действием одного и того же постоянного напряжения структурный переход не имеет места, r = 0, $S = \sigma $, радиус поверхности нагружения $S* = {\text{const}}$, $S* > \sigma $ и определяется из уравнения (4.2).

5. Пропорциональное нагружение в режиме мартенситной неупругости. Пусть материал переводится из аустенитного в мартенситное состояние в отсутствии напряжений (первый этап), после чего происходит пропорциональное нагружение в режиме мартенситной неупругости (второй этап). В конце первого этапа, в силу того, что ${{\varphi }_{1}}(0) = {{\varphi }_{2}}(0) = 0$ получается $\sigma = S = r = S* = \varepsilon = 0$. На этапе мартенситной неупругости q = 1, $dq = 0$ и дифференциальное условие активного нагружения $d\lambda > 0$ сводится к неравенству $Sd\sigma > 0$. На этапе монотонного нагружения $\sigma > 0$, $d\sigma > 0$, $S > 0$, $d{{\varepsilon }^{{{\text{st}}}}}$ > 0, $r > 0$.

В отсутствии фазового превращения при q = 1 уравнение поверхности нагружения (3.7) сводится к соотношению $S* = \varphi _{2}^{{ - 1}}\left( {L{\text{/}}{{\rho }_{{{\text{D}}2}}}} \right)$. В каждой точке монотонного пропорционального нагружения в режиме мартенситной неупругости будут выполняться оба условия активного нагружения, $S = S{\text{*}}$, $L = {{\varepsilon }^{{{\text{st}}}}} = \varepsilon $, ${{\varepsilon }^{{{\text{st}}}}} = {{\rho }_{{{\text{D}}2}}}{{\varphi }_{2}}\left( S \right)$, и, согласно (3.3) уравнение диаграммы мартенситной неупругости при монотонном наружении есть

(5.1)
$\sigma = \frac{3}{2}g{{\varepsilon }^{{{\text{st}}}}} + \varphi _{2}^{{ - 1}}({{\varepsilon }^{{{\text{st}}}}}{\text{/}}{{\rho }_{{{\text{D}}2}}})$

Здесь учтено, что при постоянном $q$ соотношение (2.5) интегрируется, в результате чего для пропорционального нагружения при нулевых начальных условиях получается $r = 3g{{\varepsilon }^{{{\text{st}}}}}{\text{/}}2$.

Соотношение (5.1) можно использовать для идентификации модели – определения функции ${{\varphi }_{2}}$ и параметров $g$ и ${{\rho }_{{{\text{D}}2}}}$ по известной диаграмме мартенситной неупругости СПФ в координатах ${{\varepsilon }^{{{\text{st}}}}}$, $\sigma $. В случае, если $g$ не считается константой, а предполагается функцией $\sigma $, то (5.1) представляет собой не явное выражение для $\sigma $, а уравнение для этой величины.

Пусть нагружение происходит до значения ${{\varepsilon }^{{{\text{st}}}}} = {{\varepsilon }_{{\max }}}$, после чего осуществляется разгрузка и нагружение в обратную сторону. Радиус поверхности нагружения в момент начала разгрузки и до момента начала неупругого деформирования в обратную сторону сохраняет постоянное значение, равное $S* = \varphi _{2}^{{ - 1}}\left( {{{\varepsilon }_{{\max }}}{\text{/}}{{\rho }_{{{\text{D}}2}}}} \right)$, неупругое деформирование в обратную сторону начинается при $\sigma _{1}^{ - } = 3g{{\varepsilon }_{{\max }}} - \varphi _{2}^{{ - 1}}\left( {{{\varepsilon }_{{\max }}}{\text{/}}{{\rho }_{{{\text{D}}2}}}} \right)$ и уравнение диаграммы обратного неупругого деформирования в режиме мартенситной неупругости имеет вид

(5.2)
${{\sigma }^{ - }} = - \varphi _{2}^{{ - 1}}\left( {\frac{{2{{\varepsilon }_{{\max }}} - {{\varepsilon }^{{{\text{st}}}}}}}{{{{\rho }_{{{\text{D}}2}}}}}} \right) + \frac{3}{2}g{{\varepsilon }^{{{\text{st}}}}},\quad {{\sigma }^{ - }} < \sigma _{1}^{ - },\quad {{\varepsilon }^{{{\text{st}}}}} < {{\varepsilon }_{{\max }}}$

Вычитание (5.2) из (5.1) позволяет исключить трансляционную часть упрочнения и получить соотношение для определения материальной функции $\varphi _{2}^{{ - 1}}$ по экспериментальным данным на прямое и обратное пропорциональное нагружение в режиме мартенситной неупругости:

(5.3)
$\sigma - {{\sigma }^{ - }} = \varphi _{2}^{{ - 1}}\left( {\frac{{{{\varepsilon }^{{{\text{st}}}}}}}{{{{\rho }_{{{\text{D}}2}}}}}} \right) + \varphi _{2}^{{ - 1}}\left( {\frac{{2{{\varepsilon }_{{\max }}} - {{\varepsilon }^{{{\text{st}}}}}}}{{{{\rho }_{{{\text{D}}2}}}}}} \right),$ $0 \leqslant {{\varepsilon }^{{{\text{st}}}}} \leqslant {{\varepsilon }_{{\max }}}$

6. Обратное превращение после нагружения в режиме мартенситной неупругости. Пусть после того, как параметр структурной деформации в процессе монотонного нагружения достиг некоторого значения $\varepsilon _{{\max }}^{{{\text{st}}}} > 0$ и параметры $\sigma $, S, $r$ при монотонном нагружении достигли максимальных значений ${{S}_{{\max }}} = \varphi _{2}^{{ - 1}}(\varepsilon _{{\max }}^{{st}}{\text{/}}{{\rho }_{{D2}}}) > 0$, rmax  = = $3g\varepsilon _{{\max }}^{{{\text{st}}}}{\text{/}}2$, ${{\sigma }_{{\max }}} = {{S}_{{\max }}} + {{r}_{{\max }}} = \varphi _{2}^{{ - 1}}(\varepsilon _{{\max }}^{{{\text{st}}}}{\text{/}}{{\rho }_{{D2}}}) + 3{{g}_{0}}\varepsilon _{{\max }}^{{{\text{st}}}}{\text{/}}2$, причем радиус поверхности нагружения равен ${{S}_{{\max }}}$, начинается нагрев и соответствующее обратное превращение при постоянном напряжении $\sigma = {{\sigma }_{{\max }}}$. До тех пор, пока знак $S$ не изменится, будет справедливо соотношение (3.6) и, следовательно, дифференциальное условие активного нагружения (3.12) сведется к неравенству $d\sigma > 0$ и выполняться не будет, так как $d\sigma $ = 0. Таким образом, структурного перехода не будет, пока знак S не изменится. Изменения S при $\sigma = {\text{const}}$ не возможны без структурного перехода, поскольку в отсутствии структурного перехода $r$ согласно (2.5) не меняется, следовательно, не меняется и $S = \sigma - r$. Таким образом, при обратном превращении структурный переход места не имеет, решение второго уравнения (3.4) при начальном условии $\varepsilon (1) = {{\varepsilon }_{{\max }}}$ имеет вид $\varepsilon = q{{\varepsilon }_{{\max }}}$, т.е. деформации линейно убывают до нуля при $q$, убывающем до нуля. То же самое решение будет справедливо и в случае, если перед началом нагрева действующее напряжение было уменьшено до любого значения ${{\sigma }_{0}} > {{r}_{{\max }}}$ с тем, чтобы при этом не изменился положительный знак $S = \sigma - r$, и после этого нагрев происходил при постоянном уменьшенном напряжении. Дело в том, что при неизменном знаке S будет по-прежнему справедливо дифференциальное условие активного нагружения (последняя формула (3.13)), которое не может выполняться при постоянном напряжении. Более того, при еще более глубокой разгрузке до значения ${{r}_{{\max }}} > {{\sigma }_{0}} > {{r}_{{\max }}}$Smax, что гарантирует нахождение точки, изображающей напряженное состояние после разгрузки внутри поверхности нагружения, структурный переход опять не будет наблюдаться, поскольку в этом случае первое слагаемое правой части дифференциального условия активного нагружения (3.12) будет отрицательно (так как в данном случае $S < 0$ и для обратного превращения $dq < 0$), а второе слагаемое будет равно нулю. В рассмотренном в данном пункте процессе обратного превращения радиус поверхности нагружения будет сохранять постоянное значение $S* = {{S}_{{\max }}}$.

7. Доориентация мартенсита после полного прямого превращения. Процесс состоит из трех этапов. Этап № 1 – полное прямое превращение под действием постоянного напряжения ${{\sigma }_{1}}$. В конечной точке этого этапа $q = 1$, $\varepsilon = {{\varepsilon }_{1}} = {{\rho }_{{{\text{D}}1}}}{{\varphi }_{2}}\left( {{{\sigma }_{1}}} \right)$, $\sigma = {{\sigma }_{1}}$, $r = 0$, $S{\text{*}}$ определяется по формуле (4.2). Этап № 2 – упругое догружение – рост напряжения от ${{\sigma }_{1}}$ до $S{\text{*}}$ в процессе которого будет изменяться лишь упругая составляющая деформации. В конце второго этапа $\varepsilon = {{\varepsilon }_{1}}$, $\sigma = S{\text{*}}$, $r = 0$. Этап № 3 – догружение в режиме мартенситной неупругости. Точка, изображающая напряженное состояние находится на поверхности нагружения, $S > 0$, $d\sigma > 0$, выполняются все условия активного нагружения в режиме мартенситной неупругости, фазового перехода нет, $dq = 0$, неупругая деформация, согласно (3.13) при q = 1 подчиняется дифференциальному уравнению

(7.1)
$d{{\varepsilon }^{{{\text{st}}}}} = \frac{{2{{\rho }_{{{\text{D}}2}}}\varphi _{2}^{'}\left( S \right)d\sigma }}{{3{{\rho }_{{{\text{D}}2}}}\varphi _{2}^{'}\left( S \right)g + 2}}$

Подставляя в (7.1) $d\sigma = dS + dr = dS + \frac{3}{2}gd{{\varepsilon }^{{{\text{st}}}}}$, получаем уравнение dεst = $d[{{\rho }_{{D2}}}{{\varphi }_{2}}(S)]$, решение которого, удовлетворяющее начальному условию ${{\varepsilon }^{{{\text{st}}}}}\left( {S{\text{*}}} \right) = {{\varepsilon }_{1}}$ имеет вид

(7.2)
${{\varepsilon }^{{{\text{st}}}}} = {{\rho }_{{{\text{D}}2}}}{{\varphi }_{2}}\left( S \right)$

К (7.2) добавляется соотношение $dS = d\sigma - dr$, приводящее после исключения $r$ к дифференциальному уравнению $d\sigma = d\left[ {S + \frac{3}{2}g{{\rho }_{{{\text{D}}2}}}{{\varphi }_{2}}\left( S \right)} \right]$, решение которого при начальном условии $\sigma \left( {S{\text{*}}} \right) = S{\text{*}}$ дает

(7.3)
$\sigma = S + \frac{3}{2}g\left[ {{{\rho }_{{{\text{D}}2}}}{{\varphi }_{2}}\left( S \right) - {{\varepsilon }_{1}}} \right]$

Исключая из (7.3) величину S с помощью (7.2) получаем диаграмму доориентации

(7.4)
$\sigma = \varphi _{2}^{{ - 1}}\left( {\frac{{{{\varepsilon }^{{{\text{st}}}}}}}{{{{\rho }_{{{\text{D}}2}}}}}} \right) + \frac{3}{2}g({{\varepsilon }^{{{\text{st}}}}} - {{\varepsilon }_{1}}),\quad {{\varepsilon }^{{{\text{st}}}}} \geqslant {{\varepsilon }_{1}}$

Сравнение уравнения диаграммы доориентации (7.4) с исходной диаграммой мартенситной неупругости (5.1) показывает, что диаграмма доориентации (7.4) для одних и тех же значений ${{\varepsilon }^{{{\text{st}}}}}$ должна отличаться от исходной диаграммы мартенситной неупругости на постоянную для $g = {\text{const}}$ величину $\Delta \sigma = 3{{g}_{0}}{{\varepsilon }_{1}}{\text{/}}2$, т.е. эти диаграммы должны быть эквидистантны. Этот вывод вполне естественен, так как при описании опыта в рамках применяемой модели слагаемое r величины $\sigma $ равно нулю для $\varepsilon \in \left[ {0,{{\varepsilon }_{1}}} \right]$ и начинает расти линейно с ростом $\varepsilon $ лишь после достижения этой величиной значения ${{\varepsilon }_{1}}$, тогда как для исходной диаграммы мартенситной неупругости величина r растет с ростом $\varepsilon $ начиная с $\varepsilon = 0$.

8. Обратное нагружение в режиме мартенситной неупругости после прямого превращения под действием постоянного напряжения. Пусть на первом этапе процесса происходит полное прямое превращение под действием постоянного напряжения ${{\sigma }_{1}}$, накапливается неупругая деформация, равная, согласно (4.1) величине ${{\varepsilon }_{{\max }}} = {{\rho }_{{{\text{D}}1}}}{{\varphi }_{1}}\left( {{{\sigma }_{1}}} \right)$. Радиус поверхности нагружения в момент окончания процесса прямого превращения, согласно (4.2) равен $S* = \varphi _{2}^{{ - 1}}\left( {{{\rho }_{{{\text{D}}1}}}{{\varphi }_{1}}\left( {{{\sigma }_{1}}} \right){\text{/}}{{\rho }_{{{\text{D}}2}}}} \right)$. Поскольку структурного превращения не происходило, то центр поверхности нагружения находится в начале координат, ${{r}_{1}} = 0$. На втором этапе происходит разгрузка до $\sigma = 0$ и дальнейший рост $\sigma $ в отрицательную сторону. До тех пор, пока напряжение не достигнет значения ${{\sigma }_{2}} = - S{\text{*}}$ будет происходить упругий процесс. При $\sigma = - S{\text{*}}$ точка, изображающая напряженное состояние выходит на поверхность нагружения. Кроме того, в этой точке $S < 0$, $d\sigma < 0$, то есть выполнится дифференциальное условие активного нагружения, которое в отсутствии фазовых переходов имеет вид $Sd\sigma > 0$, т.е. начнется процесс структурного деформирования.

Так как обратное превращение при этом отсутствует, то справедливо соотношение (3.8), т.е. $S = - \varphi _{2}^{{ - 1}}((2{{\varepsilon }_{{\max }}} - {{\varepsilon }^{{{\text{st}}}}}){\text{/}}{{\rho }_{{{\text{D}}2}}})$, а дифференциальное уравнение для определения r (3.3) при начальном условии $r\left( {{{\varepsilon }_{{\max }}}} \right) = 0$ имеет решение $r = - 3g({{\varepsilon }_{{\max }}} - {{\varepsilon }^{{{\text{st}}}}})$. В результате для параметра напряжения $\sigma = S + r$ получается уравнение диаграммы обратного нагружения в режиме мартенситной неупругости после прямого превращения в виде

(8.1)
$\sigma = - \varphi _{2}^{{ - 1}}\left( {\frac{{2{{\varepsilon }_{{\max }}} - {{\varepsilon }^{{st}}}}}{{{{\rho }_{{{\text{D}}2}}}}}} \right) - \frac{3}{2}g({{\varepsilon }_{{\max }}} - {{\varepsilon }^{{{\text{st}}}}})$

Сравнивая соотношение (8.1) с уравнением диаграммы обратного нагружения в режиме мартенситной неупругости после прямого нагружения в том же режиме мартенситной неупругости (5.2) получаем

(8.2)
$\sigma - {{\sigma }^{ - }} = - \frac{3}{2}g{{\varepsilon }_{{\max }}}$
т.е. диаграмма обратного нагружения в режиме мартенситной после прямого превращения располагается эквидистантно и ниже по оси напряжений диаграммы обратного нагружения после прямого нагружения в режиме мартенситной неупругости до того же значения деформации εmax. Различие диаграмм (8.1) и (5.2) является еще одним, ранее не известным проявлением эффекта перекрестного упрочнения [9]. Имея обе такие диаграммы и составив разность (8.2) можно определить параметр материала g.

Рис. 2

На рис. 2 представлены графики зависимостей (5.1), (5.2) и (8.1). Кривые построены в безразмерных координатах $e = {{\varepsilon }^{{{\text{st}}}}}{\text{/}}{{\rho }_{{{\text{D}}2}}}$, $s = \sigma {\text{/}}{{\sigma }_{{02}}}$ для следующих значений безразмерных переменных $G = g{{\rho }_{{{\text{D}}2}}}{\text{/}}{{\sigma }_{{20}}} = 0.75$, ${{\gamma }_{1}} = {{\sigma }_{{20}}}{\text{/}}{{\sigma }_{{10}}} = 2.04$, ${{\gamma }_{2}} = {{\rho }_{{{\text{D}}1}}}{\text{/}}{{\rho }_{{{\text{D}}2}}} = 1.27$ ${{\alpha }_{1}} = 2.5$, ${{\alpha }_{2}} = 5.6$ (данные соответствуют никелиду титана). Линия $AB$ представляет собой диаграмму монотонного нагружения в режиме мартенситной неупругости (5.1), линия BC соответствует разгрузке и обратному нагружению в пределах упругой области, линия $CD$ – диаграмма последующего обратного наружения в режиме мартенситной неупругости (5.2).

Линия $EF$ соответствует накоплению деформаций прямого превращения под действием постоянного напряжения, величина которого подобрана таким образом, чтобы в конце этого этапа процесса была достигнута величина фазовой деформации, равная структурной деформации в точке B окончания этапа прямого нагружения в режиме мартенситной неупругости. Линия $FG$ соответствует разгрузке после окончания прямого превращения и нагружению в противоположную сторону в упругой области. Линия $GH$ представляет собой диаграмму обратного нагружения (8.1) в режиме мартенситной неупругости, осуществляемого после прямого превращения и разгрузки.

Выводы. Сформулирована система определяющих соотношений для описания фазово-структурного деформирования СПФ, учитывающая принципиальные различия процессов деформирования этих материалов за счет фазовых и структурных переходов и влияние первого процесса на второй. В отличие от известного аналога [22] модель учитывает не только изотропное, но и экспериментально наблюдаемое трансляционное упрочнение мартенситной части представительного объема СПФ.

Модель качественно правильно описывает характерные для СПФ явления: накопление деформаций прямого превращения при постоянном, убывающем или возрастающем напряжении, памяти формы, мартенситной неупругости при монотонном и реверсивном нагружении, эффект перекрестного упрочнения, эффект неоднородного упрочнения мартенситной части представительного объема материала.

Работа выполнена в рамках госбюджетной темы, государственная регистрация № АААА-А19-119012290118-3 при частичной финансовой поддержке РФФИ грант № 20-01-00240.

Список литературы

  1. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. 752 с.

  2. Суворова Ю.Н. О нелинейно-наследственном уравнении Ю.Н. Работнова и его приложениях // Изв. РАН. МТТ. 2004. № 1. С. 174–181.

  3. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977. 384 с.

  4. Cherkaoni M., Berveiller M., Lemoine X. Coplings betyween plasticity amd martensitic phase transformation: overal behavior of polycrystalline TRIP steels // International Journal of Plasticity. 2000. V. 16. P. 1215–1241.

  5. Thamburaja P. Constitutive equations for martensitic reorientation and detwinning in shape-memory alloys // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2005. V. 53. P. 825–856.

  6. Liu Y., Xie Z. Detwinning in shape memory alloy // In: Progress in Smart Materials and Structures. Editor: Peter L. Reece, 2007. Chapter 3. P. 29–65. Nova Science Publishers.

  7. Мовчан А.А., Казарина С.А. Материалы с памятью формы как объект механики деформируемого твердого тела: экспериментальные исследования, определяющие соотношения, решение краевых задач // Физическая мезомеханика. 2012. Т. 15. № 1. С. 105–116.

  8. Казарина С.А., Мовчан А.А., Сильченко А.Л. Экспериментальное исследование взаимодействия фазовых и структурных деформаций в сплавах с памятью формы // Механика композиционных материалов и конструкций. 2016. Т. 22. № 1. С. 85–98.

  9. Мовчан А.А., Сильченко А.Л., Казарина С.А. Экспериментальное исследование и теоретическое моделирование эффекта перекрестного упрочнения сплавов с памятью формы // Деформация и разрушение материалов. 2017. № 3. С. 20–27.

  10. Cisse C., Zaki W., Zineb T.B. A review of constitutive models and modeling techniques for shape memory alloys // International Journal of Plasticity 2015. https://doi.org/10.1016/j.ijplas.2015.08.006

  11. Sadjadpour A., Bhattacharya K. A micromechanics inspired constitutive model for shape-memory alloys: the one-dimensional case // Smart Mater. Struct. 2007. V. 16. P. 51–62.

  12. Xiao H., Bruhns O.T., Meyers A. Finite elasto-plastic ${{J}_{2}}$-flow models with strain recovery effects . Acta Mech. 2010. V. 210. P. 13–25. .https://doi.org/10.1007/s00707-009-0192-1

  13. Olsen J.S., Zhang Z.L., Hals J.K., Lu H. Effect of notches on the behavior of superelastic round-bar NiTi specimens // Smart Mater. Struct. 2011. V. 20. 025014 (12 p.).

  14. Мишустин И.В., Мовчан А.А. Аналог теории пластического течения для описания деформации мартенситной неупругости в сплавах с памятью формы // Изв. РАН. МТТ. 2015. № 2. С. 78–95.

  15. Du X.W., Sun G., Sun S.S. Piecewise linear constitutive relation for pseudo-elasticity of shape memory alloys (SMA) // Mater. Sci. and Eng. A. 2005. V. 393. № 1–2 . P. 332–337.

  16. Wang R., Cho C., Kim C., Pan Q. A proposed phenomenological model for shape memory alloys // Smart Mater. Struct. 2006. V. 15. P. 393–400.

  17. Sadjadpour A., Bhattacharya K. A micromechanics inspired constitutive model for shape-memory alloys: the one-dimensional case // Smart Mater. Struct. 2007. V. 16. P. 51–62.

  18. Arghavani J., Auricchio F., Naghdabadi R., Reali A., Sohrabpour S. A 3-D phenomenological constitutive model for shape memory alloys under multiaxial loadings // Int. J. of Plasticity. 2010. V. 26. P. 976–991.

  19. Lexcellent Ch., Boubakar M.L., Bouvet Ch., Calloch S. About modeling the shape memory alloy behaviour based on the phase transformation surface identification under proportional loading and anisothermal conditions // Int. J. Solids and Struct. 2006. V. 43. № 3–4. P. 613–626.

  20. Auricchio F., Bonetti E., Scalet G., Uberitini F. Theoretical and numerical modeling of shape memory alloys accounting for multiple phase transformations and martensite reorientation // Int. J. of Plasticity. 2014. V. 59. P. 30–54.

  21. Xiaojun Gu, Weihong Zhang, Wael Zaki and Ziad Moumni. An extended thermomechanically coupled 3D rate-dependent model for pseudoelastic SMAs under cyclic loading // Smart Mater. Struct. 2017. V. 26. 095047 (16 p.).

  22. Мовчан А.А. Модель влияния фазового механизма деформирования на структурный в сплавах с памятью формы // Деформация и разрушение материалов. 2019. № 7. С. 14–23.

  23. Каменцева З.П., Кузьмин С.Л., Лихачев В.А. Исследование деформационного упрочнения никелида титана // Проблемы прочности. 1980. № 9. С. 87–91.

  24. Мишустин И.В., Мовчан А.А. Моделирование фазовых и структурных превращений в сплавах с памятью формы, происходящих под действием немонотонно меняющихся напряжений // Изв. РАН. МТТ. 2014. № 1. С. 37–53.

Дополнительные материалы отсутствуют.