Известия РАН. Механика твердого тела, 2021, № 2, стр. 17-30
ВЛИЯНИЕ ТЕПЛОВОГО РАСШИРЕНИЯ В НЕОДНОРОДНОМ СТАЦИОНАРНОМ ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ НА НЕОДНОРОДНОЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ТЕЛА ИЗ НЕСЖИМАЕМОГО ЭЛАСТОМЕРА ПРИ СТАТИЧЕСКИХ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ
a Волгоградский государственный социально-педагогический университет
Волгоград, Россия
b Волгоградский государственный технический университет
Волгоград, Россия
* E-mail: zhukov.b.a@gmail.com
Поступила в редакцию 17.10.2019
После доработки 20.10.2019
Принята к публикации 21.10.2019
Аннотация
Предложена модификация постановки задачи статики однородного изотропного несжимаемого материала при конечных деформациях, учитывающая тепловое расширение. Рассмотрено влияние теплового расширения в неоднородном стационарном температурном поле на неоднородное напряженно-деформированное состояние тела на примере цилиндрической втулки, подвергнутой конечному продольному сдвигу. Исследовано влияние неоднородного поля температур на напряженно-деформированное состояние в поперечной плоскости цилиндрической втулки, порожденное как конечным продольным сдвигом, так и тепловым расширением.
1. Введение. Будем описывать конечную деформацию с помощью тензора градиента деформации F, задаваемого выражением
Здесь ${\mathbf{r}}$ и ${\mathbf{R}}$ – векторы места точек тела в деформированной и недеформированной (отсчетной) конфигурациях соответственно. Точка означает скалярное произведение (свертку по одному тензорному индексу). В чисто механической теории нелинейной гиперупругости однородного изотропного материала выделяется класс несжимаемых материалов, для которых
а тензор напряжений Коши ${\mathbf{S}}$ определяется выражением [1, 2](1.3)
${\mathbf{S}} = 2\left( {\frac{{\partial W}}{{\partial {{I}_{1}}}}{\mathbf{B}} - \frac{{\partial W}}{{\partial {{I}_{2}}}}{{{\mathbf{B}}}^{{ - 1}}} + \gamma {\mathbf{1}}} \right)$При изменении температуры все тела, независимо от того сжимаемые они или несжимаемые изотермически, подвергаются тепловому расширению, и для несжимаемых тел уравнения (1.2) и (1.3) не имеют места. Необходимо выражения (1.2) и (1.3) модифицировать так, чтобы учесть тепловое расширение, а в случае отсутствия теплового воздействия новые выражения должны редуцироваться к старым.
Существует довольно обширный список работ, в которых эта задача решалась тем или иным способом. В первой серии работ тепловое расширение выделяется из общей деформации. В работах [3–5] предлагается мультипликативное разложение тензора градиента деформации
причем ${{\Phi }_{\theta }} = g\left( \theta \right){\mathbf{1}}$ – шаровой тензор, описывающий тепловое расширение в термически изотропных телах, а ${{\Phi }_{E}}$ – тензор, описывающий упругую составляющую деформации, и для несжимаемых тел $\det {{\Phi }_{E}} = 1.$ Здесь $g\left( \theta \right)$ некоторая монотонная функция приращения температуры $\theta = T - {{T}_{0}}$, где T – абсолютная температура деформированной конфигурации, а ${{T}_{0}}$ – однородная абсолютная температура отсчетной конфигурации и $g\left( 0 \right) = 1$. Существенным недостатком такого представления является то, что в общем случае неоднородного распределения температуры T тензор ${{\Phi }_{E}}$ не является градиентом упругой деформации. Действительно, введем материальную систему координат $({{q}^{1}},{{q}^{2}},{{q}^{3}})$ тогда основной ${{{\mathbf{R}}}_{k}}$ и сопряженный ${{{\mathbf{R}}}^{k}}$ базисы этой системы в отсчетной конфигурации вычисляется по формуламКрестик означает векторное произведение. Введем в отсчетной конфигурации оператор Гамильтона $\mathop \nabla \limits^0 = {{{\mathbf{R}}}^{k}}\partial {\text{/}}\partial {{q}^{k}}$, тогда из выражения (1.1) следует связь тензора градиента деформации с тензором градиентом вектора места ${{{\mathbf{F}}}^{T}} = \mathop \nabla \limits^0 {\mathbf{r}}$ [1] и необходимым условием интегрируемости (1.1) является выражение
В развернутом виде это уравнение выглядит так
Поскольку g(θ) монотонно возрастает и отлична от нуля, а ${{\Phi }_{E}}$ произвольный тензор с $\det {{\Phi }_{E}} = 1$, то для выполнения условия $\mathop \nabla \limits^0 \; \times \Phi _{E}^{T} = 0$ требуется чтобы $\mathop \nabla \limits^0 \theta = 0$. То есть тензор ΦE является градиентом деформации только в случае однородного температурного поля. В работе [7] предполагается аддитивное разбиение массовой плотности свободной энергии Гельмгольца $\Psi = W{\text{/}}{{\rho }_{0}}$ на слагаемое, описывающее дисторсию, слагаемое, описывающие дилатацию и слагаемое, связанное с теплоемкостью
(1.5)
$\Psi \left( {J,{{I}_{1}},{{I}_{2}},T} \right) = \frac{\mu }{{{{\rho }_{0}}}}f\left( {{{I}_{1}},{{I}_{2}}} \right)\frac{T}{{{{T}_{0}}}} + \frac{\kappa }{{{{\rho }_{0}}}}\left( {l\left( J \right)\frac{T}{{{{T}_{0}}}} - \bar {\alpha }h\left( J \right)\left( {T - {{T}_{0}}} \right)} \right) - \int\limits_{{{T}_{0}}}^T {\left( {\frac{T}{{\bar {T}}} - 1} \right)} c\left( {\bar {T}} \right)d\bar {T}$Здесь c(T) – удельная теплоемкость, ${{\rho }_{0}}$ – плотность массы, $\mu $ – модуль сдвига, κ – изотермический объемный модуль и $\bar {\alpha }$ – коэффициент объемного теплового расширения, отнесенные к недеформированной конфигурации, f, l и h – функции отклика. Но приложение этой гипотезы рассмотрено только для однородного температурного поля. В работе [8] дилатация и дисторсия разделяются путем введения модифицированных главных кратностей удлинения
Здесь $A(I_{1}^{*},I_{2}^{*})$ – функция отклика. Кроме общих рассуждений никаких приложений в работе не приводится. Попутно следует отметить [5], что поскольку ${{I}_{1}} = {{J}^{{2/3}}}I_{1}^{*},$ I2 = = ${{J}^{{2/3}}}I_{2}^{*}$, то первое слагаемое в (1.5) не описывает чистую дисторсию. Более четкое разделение дилатации и дисторсии проведено в [5]
Здесь ce постоянная теплоемкость, а ${{\varphi }_{0}} = {{c}_{e}}{{T}_{0}}$, но как было отмечено, это выражение получено в предположении (1.4).
Во второй серии работ модификация уравнений (1.2) и (1.3) либо полностью, либо частично не проводится. Так в работах [10–13] уравнения (1.2) и (1.3) не меняются, при этом полагается, что такая модель несжимаемости является грубым, но важным приближением к точной теории термоупругости. В работах [14–17] уравнение (1.2) модифицируется в ${\text{det}}{\mathbf{F}} = g\left( \theta \right)$, а (1.3) остается неизменным. Список приведенных работ неисчерпывающий, обозначены основные направления. В нашей работе мы не делаем предположений о структуре термоупругой деформации, кроме того, что изменение объема происходит исключительно вследствие теплового расширения.
2. Основные соотношения. Термоупругую деформацию однородного и изотропного материала будем представлять с помощью тензора градиента деформации ${\mathbf{F}}$ определенного выражением (1.1). Положим, что изменение объема происходит только за счет теплового расширения (материал изотермически несжимаемый), то есть
где по [3, 4, 9, 14](2.2)
$g\left( \theta \right) = {{e}^{{3\alpha \theta }}}\quad {\text{или}}\quad g\left( \theta \right) = 1 + 3\alpha \theta $Здесь $\alpha $ – коэффициент линейного расширения. Ниже будем пользоваться первой формулой из (2.2).
Согласно [1, 2] для простого однородного материала с массовой плотностью свободной энергии $\Psi = \Psi ({\mathbf{F}},\,T,\,\mathop \nabla \limits^0 T)$ уравнения состояния принимают вид
Здесь P – тензор напряжений Пиолы [1] (по [2] это транспонированный первый тензор Пиолы – Кирхгофа), $\hat {\eta }$ – массовая плотность энтропии. Из последнего уравнения следует, что для простого однородного материала $\Psi = \Psi \left( {{\mathbf{F}},\,T} \right)$, а если он изотропен, то $\Psi = \Psi \left( {{{I}_{1}},{{I}_{2}},{{I}_{3}},T} \right)$. Здесь ${{I}_{3}} = \det {\mathbf{B}} = {{J}^{2}}$. Вспоминая, что $W = {{\rho }_{0}}\Psi $, по [1] получим
(2.3)
$\begin{gathered} {\mathbf{P}} = \frac{{\partial W}}{{\partial {{{\mathbf{F}}}^{{Tr}}}}} = 2\frac{{\partial W}}{{\partial {\mathbf{C}}}} \cdot {{{\mathbf{F}}}^{{Tr}}} = 2\left[ {\frac{{\partial W}}{{\partial {{I}_{1}}}}{{{\mathbf{F}}}^{{Tr}}} + \frac{{\partial W}}{{\partial {{I}_{2}}}}\left( {{{I}_{1}}{\mathbf{1}} - {\mathbf{C}}} \right) \cdot {{{\mathbf{F}}}^{{Tr}}} + {{I}_{3}}\frac{{\partial W}}{{\partial {{I}_{3}}}}{{{\mathbf{F}}}^{{ - 1}}}} \right] = \\ \, = 2{{{\mathbf{F}}}^{{ - 1}}} \cdot \left[ {\frac{{\partial W}}{{\partial {{I}_{1}}}}{\mathbf{B}} + \frac{{\partial W}}{{\partial {{I}_{2}}}}({{I}_{1}}{\mathbf{B}} - {{{\mathbf{B}}}^{2}}) + {{I}_{3}}\frac{{\partial W}}{{\partial {{I}_{3}}}}{\mathbf{1}}} \right] = \\ \, = 2{{{\mathbf{F}}}^{{ - 1}}} \cdot \left[ {\frac{{\partial W}}{{\partial {{I}_{1}}}}{\mathbf{B}} - {{I}_{3}}\frac{{\partial W}}{{\partial {{I}_{2}}}}{{{\mathbf{B}}}^{{ - 1}}} + \left( {{{I}_{2}}\frac{{\partial W}}{{\partial {{I}_{2}}}} + {{I}_{3}}\frac{{\partial W}}{{\partial {{I}_{3}}}}} \right){\mathbf{1}}} \right] \\ \end{gathered} $Здесь ${\mathbf{C}} = {{{\mathbf{F}}}^{{Tr}}} \cdot {\mathbf{F}}$ – правый тензор деформации Коши–Грина [2] (по [1] это мера деформации Коши). Использована формула Гамильтона–Келли ${{I}_{1}}{\mathbf{B}} - {{{\mathbf{B}}}^{2}} = {{I}_{2}}{\mathbf{1}} - {{I}_{3}}{{{\mathbf{B}}}^{{ - 1}}}$ [1].
Для несжимаемого материала (${{I}_{3}} = {{J}^{2}} = {{e}^{{6\alpha \theta }}}$) вводится множитель Лагранжа h1, зависящий от координат точек и температуры, так что удельная энергия деформации представляется выражением $W = W\left( {{{I}_{1}},{{I}_{2}},T} \right) + {{h}_{1}}({{I}_{3}} - {{e}^{{6\alpha \theta }}})$. Используя последнее выражение в (2.3) получим
Введем обозначение $h = {{I}_{2}}\partial W{\text{/}}\partial {{I}_{2}} + {{e}^{{6\alpha \theta }}}{{h}_{1}}$, тогда
(2.4)
${\mathbf{P}} = {{{\mathbf{F}}}^{{ - 1}}} \cdot 2\left[ {\frac{{\partial W}}{{\partial {{I}_{1}}}}{\mathbf{B}} - {{e}^{{6\alpha \theta }}}\frac{{\partial W}}{{\partial {{I}_{2}}}}{{{\mathbf{B}}}^{{ - 1}}} + h{\mathbf{1}}} \right] = 2\left[ {\frac{{\partial W}}{{\partial {{I}_{1}}}}{{{\mathbf{F}}}^{{Tr}}} - {{e}^{{6\alpha \theta }}}\frac{{\partial W}}{{\partial {{I}_{2}}}}{{{\mathbf{F}}}^{{ - 1}}} \cdot {{{\mathbf{B}}}^{{ - 1}}} + h{{{\mathbf{F}}}^{{ - 1}}}} \right]$Вспоминая связь тензора напряжений Коши с тензором Пиолы ${\mathbf{P}} = J\,{{{\mathbf{F}}}^{{ - 1}}} \cdot {\mathbf{S}}$ [1] из (2.4) будем иметь
(2.5)
${\mathbf{S}} = 2\left[ {\frac{{\partial W}}{{\partial {{I}_{1}}}}{\mathbf{B}}{{e}^{{ - 3\alpha \theta }}} - {{e}^{{3\alpha \theta }}}\frac{{\partial W}}{{\partial {{I}_{2}}}}{{{\mathbf{B}}}^{{ - 1}}} + \gamma {\mathbf{1}}} \right]$Выражения (2.1), (2.5) и есть предлагаемая модификация выражений (1.2) и (1.3).
Среди простых, однородных и изотропных материалов будем рассматривать материалы, подчиняющиеся закону Фурье
(2.6)
${\mathbf{q}} = - \lambda \mathop \nabla \limits^0 T = - \lambda \mathop \nabla \limits^0 \theta $Здесь q – удельный тепловой поток, рассчитанный на единицу площади поверхности в отсчетной конфигурации, λ – коэффициент теплопроводности, тоже отнесенный к отсчетной конфигурации.
В отсутствие массовых сил и внутренних источников теплоты уравнения равновесия и теплового баланса имеют вид [1]
(2.7)
$\mathop \nabla \limits^0 \; \cdot {\mathbf{P}} = 0,\quad \mathop \nabla \limits^0 \; \cdot {\mathbf{q}} = 0$Из второго уравнения (2.7) и выражения (2.6) следует стационарное уравнение теплопроводности
Первое уравнение в (2.7) можно переписать в виде [1]
Здесь $\nabla = {{{\mathbf{r}}}^{k}}\partial {\text{/}}\partial {{q}^{k}}$ – оператор Гамильтона в деформированной конфигурации, rk – базис взаимный с базисом rk, то есть
Согласно (2.5) из (2.9) получим
(2.10)
$\nabla \gamma = - \nabla \cdot \left[ {{{e}^{{ - 3\alpha \theta }}}\frac{{\partial W}}{{\partial {{I}_{1}}}}{\mathbf{B}} - {{e}^{{3\alpha \theta }}}\frac{{\partial W}}{{\partial {{I}_{2}}}}{{{\mathbf{B}}}^{{ - 1}}}} \right]$Исключая в (2.10) функцию γ, будем иметь
(2.11)
$\nabla \times \nabla \cdot \left[ {{{e}^{{ - 3\alpha \theta }}}\frac{{\partial W}}{{\partial {{I}_{1}}}}{\mathbf{B}} - {{e}^{{3\alpha \theta }}}\frac{{\partial W}}{{\partial {{I}_{2}}}}{{{\mathbf{B}}}^{{ - 1}}}} \right] = 0$Уравнение (2.11) совместно с уравнением (2.1) служат для нахождения деформированного состояния, а уравнение (2.10) совместно с выражением (2.5) или (2.4) используются для нахождения напряженного состояния. Эти уравнения дополняются силовыми и кинематическими граничными условиями. Для нахождения температурного поля используется уравнение (2.8) так же дополненное граничными условиями.
3. Приложение предложенной модели к случаю неоднородного температурного поля и неоднородного напряженно-деформированного состояния. Рассматривается свободное тепловое расширение цилиндрической эластомерной втулки, подвергнутой на внутренней и внешней боковых поверхностях действию уравновешенной системы продольных сдвигающих сил с модулем $Q$. На внутренней боковой поверхности поддерживается температура ${{T}_{1}}$, а на внешней ${{T}_{2}}$. Через ${{R}_{1}}$ и ${{R}_{2}}$ обозначаются внутренний и внешний радиусы втулки, а через $H$ ее длина. В чисто механической постановке в рамках геометрической нелинейности эта задача решалась в [18], а в нелинейной постановке с потенциалом Муни–Ривлина в [20].
3.1. Постановка задачи в рамках полуобратного метода. Материальная система координат выбрана совпадающей в отсчетной конфигурации с цилиндрической системой $\left( {R,\Phi ,Z} \right)$, причем ось $OZ$ совпадает с осью симметрии втулки. Втулка считается достаточно длинной, чтобы пренебречь торцевыми эффектами и считать напряженно-деформированное состояние независящим от $Z$. В этих условиях можно использовать кинематическую гипотезу коаксиальных сечений, то есть сечения цилиндрические и коаксиальные до деформации остаются таковыми и после деформации (ось единая для всех таких сечений совпадает с осью симметрии втулки). В цилиндрической системе координат в силу осевой симметрии вектор места в деформированной конфигурации задается соотношением
(3.1)
${\mathbf{r}} = f\left( R \right){{{\mathbf{e}}}_{R}} + \left[ {Z + w\left( R \right)} \right]\,{\mathbf{k}}$Здесь $w\left( R \right)$ и $f\left( R \right)$ подлежащие определению функции, $\left\{ {{{{\mathbf{e}}}_{R}},{{{\mathbf{e}}}_{\Phi }},{\mathbf{k}}} \right\}$ – единичный базис цилиндрической системы координат. Температурное поле так же полагается осесимметричным $\theta = \theta \left( R \right)$. Оператор Гамильтона материальной системы координат в отсчетной конфигурации записывается в форме
(3.2)
$\mathop \nabla \limits^0 = {{{\mathbf{e}}}_{R}}\frac{\partial }{{\partial R}} + \frac{{{{{\mathbf{e}}}_{\Phi }}\,}}{R}\frac{\partial }{{\partial \Phi }} + {\mathbf{k}}\frac{\partial }{{\partial Z}}$Тензор градиента вектора места по (3.1) и (3.2) получается в виде
(3.3)
$\mathop \nabla \limits^0 {\mathbf{r}} = {{{\mathbf{F}}}^{{Tr}}} = \frac{{df\left( R \right)}}{{dR}}{{{\mathbf{e}}}_{R}}{{{\mathbf{e}}}_{R}} + \frac{{f\left( R \right)}}{R}{{{\mathbf{e}}}_{\Phi }}{{{\mathbf{e}}}_{\Phi }} + \frac{{dw\left( R \right)}}{{dR}}{{{\mathbf{e}}}_{R}}{\mathbf{k}} + {\mathbf{kk}}$Так, что условие несжимаемости $(J = \det \mathop \nabla \limits^0 {\mathbf{r}} = {{e}^{{3\alpha \theta \left( R \right)}}})$ принимает форму дифференциального уравнения
Штрих означает производную по R.
Решение краевой задачи с уравнением (2.8) в цилиндрической системе координат
Используя это решение, получим
Подставим это выражение в (3.4) и решим его. Выбирая из двух решений положительное, получим
(3.5)
$f\left( R \right) = {{R}_{1}}\sqrt {\eta + \frac{{2a{{{\left( {\frac{R}{{{{R}_{1}}}}} \right)}}^{{2 + b}}}}}{{2 + b}}} = {{R}_{1}}\sqrt {\eta + \frac{{2{{{\left( {\frac{R}{{{{R}_{1}}}}} \right)}}^{2}}A\left( R \right)}}{{2 + b}}} $Здесь η – безразмерная константа интегрирования, в дальнейшем играющая роль параметра.
Используя (3.4) из (3.3) будем иметь
(3.6)
$\begin{gathered} {\mathbf{F}} = \frac{{RA\left( R \right)}}{{f\left( R \right)}}{{{\mathbf{e}}}_{R}}{{{\mathbf{e}}}_{R}} + \frac{{f\left( R \right)}}{R}{{{\mathbf{e}}}_{\Phi }}{{{\mathbf{e}}}_{\Phi }} + w{\kern 1pt} '\left( R \right){\mathbf{k}}{{{\mathbf{e}}}_{R}} + {\mathbf{kk}} \\ {{({{{\mathbf{F}}}^{{Tr}}})}^{{ - 1}}} = \frac{{f\left( R \right)}}{{RA\left( R \right)}}{{{\mathbf{e}}}_{R}}{{{\mathbf{e}}}_{R}} + \frac{R}{{f\left( R \right)}}{{{\mathbf{e}}}_{\Phi }}{{{\mathbf{e}}}_{\Phi }} - w{\kern 1pt} '\left( R \right)\frac{{f\left( R \right)}}{{RA\left( R \right)}}{{{\mathbf{e}}}_{R}}{\mathbf{k}} + {\mathbf{kk}} \\ \end{gathered} $По этим выражениям вычисляются
(3.7)
${\mathbf{B}} = \frac{{{{R}^{2}}{{A}^{2}}\left( R \right)}}{{{{f}^{2}}\left( R \right)}}{{{\mathbf{e}}}_{R}}{{{\mathbf{e}}}_{R}} + \frac{{{{f}^{2}}\left( R \right)}}{{{{R}^{2}}}}{{{\mathbf{e}}}_{\Phi }}{{{\mathbf{e}}}_{\Phi }} + w{\kern 1pt} '\left( R \right)\frac{{RA\left( R \right)}}{{f\left( R \right)}}\left( {{{{\mathbf{e}}}_{R}}{\mathbf{k}} + {\mathbf{k}}{{{\mathbf{e}}}_{R}}} \right) + (1 + w{\kern 1pt} {{'}^{2}}\left( R \right)){\mathbf{kk}}$(3.8)
${{{\mathbf{B}}}^{{ - 1}}} = \frac{{{{f}^{2}}\left( R \right)(1 + w{\kern 1pt} {{'}^{2}}\left( R \right))}}{{{{R}^{2}}{{A}^{2}}\left( R \right)}}{{{\mathbf{e}}}_{R}}{{{\mathbf{e}}}_{R}} + \frac{{{{R}^{2}}}}{{{{f}^{2}}\left( R \right)}}{{{\mathbf{e}}}_{\Phi }}{{{\mathbf{e}}}_{\Phi }} - w{\kern 1pt} '\left( R \right)\frac{{f\left( R \right)}}{{RA\left( R \right)}}\left( {{{{\mathbf{e}}}_{R}}{\mathbf{k}} + {\mathbf{k}}{{{\mathbf{e}}}_{R}}} \right) + {\mathbf{kk}}$Дальнейшее продвижение требует некоторых соглашений насчет удельной энергии деформации $W$. Имея ввиду учет влияния теплового расширения, будем считать в первом приближении, что удельная энергия деформации зависит от температуры неявно, только через главные инварианты тензора деформации B. В литературе описано множество конститутивных моделей (выражений для удельной энергии деформации) несжимаемого материала, зависящих как от одного, так и от двух главных инвариантов. В [19–21] показано, что более простые, конститутивные модели, не включающие зависимость от второго инварианта, не в состоянии охватить некоторые физические эффекты. Поэтому будем использовать модель, зависящую от двух инвариантов. Простейшей конститутивной моделью, зависящей от двух главных инвариантов, является модель Муни–Ривлина
(3.9)
$W = \frac{\mu }{4}\left[ {\left( {1 + \beta } \right)\left( {{{I}_{1}} - 3} \right) + \left( {1 - \beta } \right)\left( {{{I}_{2}} - 3} \right)} \right]$Здесь $\mu $ – модуль сдвига линейной теории, отнесенный к отсчетной конфигурации, $\beta \in [ - 1,1]$ безразмерный коэффициент. Полагаем, что $p = 4\gamma {\text{/}}\mu $ является осесимметричным p = p(R). Используя (2.5), (3.7), (3.8) и (3.9) получим
(3.10)
$\begin{gathered} + \left[ {\left( {1 + \beta } \right)\frac{{{{f}^{2}}\left( R \right)}}{{{{R}^{2}}A\left( R \right)}} - \left( {1 - \beta } \right)\frac{{{{R}^{2}}A\left( R \right)}}{{{{f}^{2}}\left( R \right)}} + p\left( R \right)} \right]{{{\mathbf{e}}}_{\Phi }}{{{\mathbf{e}}}_{\Phi }} + \\ \, + \left[ {\left( {1 + \beta } \right)\frac{R}{{f\left( R \right)}} + \left( {1 - \beta } \right)\frac{{f\left( R \right)}}{R}} \right]w{\kern 1pt} '\left( R \right)\left( {{{{\mathbf{e}}}_{R}}{\mathbf{k}} + {\mathbf{k}}{{{\mathbf{e}}}_{R}}} \right) + \\ \end{gathered} $Поскольку ${{{\mathbf{r}}}_{k}} = {\mathbf{F}} \cdot {{{\mathbf{R}}}_{k}}$, то используя (3.6), получим
Вычисляя сопряженный базис
(3.11)
$\begin{gathered} \nabla = \frac{{f\left( R \right)}}{{RA\left( R \right)}}{{{\mathbf{e}}}_{R}}\frac{\partial }{{\partial R}} + \frac{1}{{f\left( R \right)}}{{{\mathbf{e}}}_{\Phi }}\frac{\partial }{{\partial \Phi }} + \left[ { - \frac{{f\left( R \right)w{\kern 1pt} '\left( R \right)}}{{RA\left( R \right)}}{{{\mathbf{e}}}_{R}} + {\mathbf{k}}} \right]\frac{\partial }{{\partial Z}} = \\ \, = {{{\mathbf{e}}}_{R}}\frac{\partial }{{\partial r}} + \frac{1}{r}{{{\mathbf{e}}}_{\Phi }}\frac{\partial }{{\partial \varphi }} + {\mathbf{k}}\frac{\partial }{{\partial z}} \\ \end{gathered} $Здесь $r = f\left( R \right),$ $\varphi = \Phi ,$ $z = Z + w{\kern 1pt} '\left( R \right)$ координаты точек в деформированной конфигурации в цилиндрической системе координат. Теперь вычислим уравнение равновесия (2.10). Используя обозначения ${\mathbf{S}} = {{S}_{{RR}}}{{{\mathbf{e}}}_{R}}{{{\mathbf{e}}}_{R}}$ + ${{S}_{{\Phi \Phi }}}{{{\mathbf{e}}}_{\Phi }}{{{\mathbf{e}}}_{\Phi }} + {{S}_{{RZ}}}({{{\mathbf{e}}}_{R}}{\mathbf{k}} + {\mathbf{k}}{{{\mathbf{e}}}_{R}})$ + SZZkk, в компонентой форме будем иметь
(3.12)
$\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r{{S}_{{RZ}}}} \right) = \frac{\partial }{{\partial r}}\left\{ {r\left[ {\left( {1 + \beta } \right)\frac{R}{{f\left( R \right)}} + \left( {1 - \beta } \right)\frac{{f\left( R \right)}}{R}} \right]w{\kern 1pt} '\left( R \right)} \right\} = 0$(3.13)
$\begin{gathered} \, = r\frac{\partial }{{\partial r}}\left[ {\left( {1 + \beta } \right)\frac{{{{R}^{2}}A\left( R \right)}}{{{{f}^{2}}\left( R \right)}} - \left( {1 - \beta } \right)\frac{{{{f}^{2}}\left( R \right)(1 + w{\kern 1pt} {{'}^{2}}\left( R \right))}}{{{{R}^{2}}A\left( R \right)}} + p\left( R \right)} \right] + \\ \, + \left[ {\left( {1 + \beta } \right)\frac{{{{R}^{2}}A\left( R \right)}}{{{{f}^{2}}\left( R \right)}} - \left( {1 - \beta } \right)\frac{{{{f}^{2}}\left( R \right)(1 + w{\kern 1pt} {{'}^{2}}\left( R \right))}}{{{{R}^{2}}A\left( R \right)}}} \right] - \\ \end{gathered} $Уравнение (2.11) приводится к виду
Первый интеграл уравнения (3.12) записывается в форме
(3.14)
$\left[ {\left( {1 + \beta } \right)\frac{R}{{f\left( R \right)}} + \left( {1 - \beta } \right)\frac{{f\left( R \right)}}{R}} \right]w{\kern 1pt} '\left( R \right) = \frac{c}{{f\left( R \right)}}$Константа интегрирования c находится из силовых граничных условий на боковой поверхности. Вектор единичной нормали к боковой поверхности не меняется в процессе деформации и совпадает с ${{{\mathbf{e}}}_{R}}$. Главный вектор на боковой поверхности получим, используя (3.10) и (3.14), в виде
То есть $c = Q{\text{/}}(\pi \mu H)$. Теперь имеем выражение для касательных напряжений
и уравнение для нахождения продольного смещения(3.16)
$w{\kern 1pt} '\left( R \right) = \frac{Q}{{\pi \mu H}}\frac{1}{{f\left( R \right)\left[ {\left( {1 + \beta } \right)\frac{R}{{f\left( R \right)}} + \left( {1 - \beta } \right)\frac{{f\left( R \right)}}{R}} \right]}}$Для предотвращения жесткого смещения втулки вдоль оси $OZ$ положим, что внутренняя боковая поверхность продольно не смещается, а смещается внешняя боковая поверхность. Тогда
(3.17)
$w\left( R \right) = \frac{Q}{{\pi \mu H}}\int\limits_{{{R}_{1}}_{`}}^R {\frac{{dt}}{{f\left( t \right)\left[ {\left( {1 + \beta } \right)\frac{t}{{f\left( t \right)}} + \left( {1 - \beta } \right)\frac{{f\left( t \right)}}{t}} \right]}}} $В выражения (3.15)–(3.17) входит параметр $\eta $. Для его определения обратимся к плоской части напряженного состояния. Из (3.11) следует выражение
Из этого уравнения, получаем выражение для p
(3.18)
$\begin{gathered} p\left( R \right) = \int\limits_{{{R}_{1}}}^R {\left( {1 - \beta } \right)\frac{{w{\kern 1pt} {{'}^{2}}\left( t \right)}}{t} + 2\left( {\frac{1}{t} - \frac{{{{t}^{3}}{{A}^{2}}\left( t \right)}}{{{{f}^{4}}\left( t \right)}}} \right)dt} - \\ \, - \left[ {\left( {1 + \beta } \right)\frac{{{{R}^{2}}A\left( R \right)}}{{{{f}^{2}}\left( R \right)}} - \left( {1 - \beta } \right)\frac{{{{f}^{2}}\left( R \right)(1 + w{\kern 1pt} {{'}^{2}}\left( R \right))}}{{{{R}^{2}}A\left( R \right)}}} \right] + {{p}_{0}} \\ \end{gathered} $Здесь ${{p}_{0}}$ – константа интегрирования. Для нахождения η и ${{p}_{0}}$ служат уравнения, полученные из силовых граничных условий на боковой поверхности
Перейдем к безразмерным величинам, переменным и параметрам.
Здесь $\Delta $ – продольное смещение внешней боковой поверхности втулки относительно внутренней. Используя эти соотношения и выражения (3.17), (3.18), получим
(3.20)
$\begin{gathered} p\left( \rho \right) = \int\limits_1^\rho {\left( {1 - \beta } \right)\frac{{{{{\dot {\omega }}}^{2}}\left( t \right)}}{t} + 2\left( {\frac{1}{t} - \frac{{{{t}^{3}}{{A}^{2}}\left( t \right)}}{{{{\upsilon }^{4}}\left( t \right)}}} \right)dt} - \\ \, - \left[ {\left( {1 + \beta } \right)\frac{{{{\rho }^{2}}A\left( \rho \right)}}{{{{\upsilon }^{2}}\left( \rho \right)}} - \left( {1 - \beta } \right)\frac{{{{\upsilon }^{2}}\left( \rho \right)(1 + {{{\dot {\omega }}}^{2}}\left( \rho \right))}}{{{{\rho }^{2}}A\left( \rho \right)}}} \right] + {{p}_{0}} \\ \end{gathered} $Из (3.20) имеем
Уравнения (3.19) для определения ${{p}_{0}}$ и $\eta $ получаются в форме
Таким образом, напряженно-деформированное состояние полностью определено. Относительные продольное и радиальное смещения, а так же зависимость продольного смещения внешней обоймы от приложенной нагрузки (жесткостная характеристика) имеют вид
Относительные касательное, радиальное и тангенциальное напряжения записываются в форме
3.2. Вычисления. В качестве значения коэффициента линейного расширения для эластомеров примем $\alpha = 2 \times {{10}^{{ - 4}}}$°C [22]. Недеформированной конфигурации соответствует однородная температура ${{T}_{0}} = 293$ К. Значение разностной температуры на внутренней поверхности ${{\theta }_{1}} = {{T}_{1}} - {{T}_{0}}$ возьмем равным нулю. Значение разностной температуры на внешней поверхности ${{\theta }_{2}} = {{T}_{2}} - {{T}_{0}}$ возьмем равным 60°С. Отсутствию дополнительного температурного поля соответствует разностная температура на внешней поверхности ${{\theta }_{2}} = 0$°С.
Следует отметить влияние параметра $\beta $. При $\beta = 1$ потенциал энергии деформации Муни–Ривлина переходит в потенциал Трелоара $W = 0.5\,\mu \left( {{{I}_{1}} - 3} \right)$, зависящий только от первого инварианта. Для такой модели материала при θ = 0 поля напряжений и перемещений в поперечной плоскости не выявляются, и напряженно-деформированное состояние является антиплоским. С ростом $\theta $ проявляются поля напряжений и перемещений в поперечной плоскости, связанные с тепловым расширением, и напряженно-деформированное состояние является цилиндрическим (то есть комплексом из плоской и антиплоской деформации [21]). С уменьшением $\beta $ от 1 до –1 появляется зависимость от ${{I}_{2}}$ и при $\beta = - 1$ потенциал энергии деформации зависит только от ${{I}_{2}}$. Поля напряжений и перемещений в поперечной плоскости проявляются даже при θ = 0, то есть поле в поперечной плоскости порождается продольным сдвигом, и плоская и антиплоская составляющие цилиндрической деформации связаны. Рост температуры усиливает этот эффект.
Для $[q = 1,\kappa = 2]$ на рис. 1 представлено удельное радиальное смещение $u = \upsilon \left( \rho \right) - \rho $ для $\beta = 1$ (а) и $\beta = - 0.95$ (b). Кривая 1 соответствует θ = 60°C, а кривая 2 – θ = 0°C. Для $[q = 1,\beta = 1,\kappa = 2]$ на рис. 2 представлены распределения относительных радиальных (а) и тангенциальных (b) напряжений. Кривая 1 соответствует θ = 60°C, а кривая 2 – θ = 0°C Для $[q = 1,\beta = - 0.95,\kappa = 2]$ на рис. 3 представлены распределения относительных радиальных (а) и тангенциальных (b) напряжений. Кривая 1 соответствует θ = 60°С, а кривая 2 – θ = 0°С. На рис. 4 представлены распределения касательного напряжения сдвига для $[q = 1,\beta = - 0.95,\kappa = 2]$ (а) и кривые жесткости для $[\beta = - 0.95$, κ = 2] (b). Кривая 1 соответствует θ = 60°С, а кривая 2 – θ = 0°С.
4. Заключение. Предложена модификация постановки задачи статики однородного изотропного несжимаемого материала при конечных деформациях, учитывающая тепловое расширение. Рассмотрено влияние теплового расширения в неоднородном стационарном температурном поле на неоднородное напряженно-деформированное состояние тела на примере цилиндрической втулки, подвергнутой конечному продольному сдвигу. Исследовано влияние неоднородного поля температур на напряженно-деформированное состояние в поперечной плоскости, порожденное как конечным продольным сдвигом, так и тепловым расширением.
Список литературы
Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.
Truesdell C., Noll W. The Non-linear Field Theories of Mechanics. N.Y.: Springer, 2003. 602 p.
Macon J.D. Thermal and mechanical behavior of rubber systems. (1997). Doctoral Dissertations 1896 – February 2014. 95. 956 p. http: // scholarworks.umass.edu/dissertations_1/956.
Dippel B., Johlitz M., Lion A. Thermo-mechanical couplings in elastomers – experiments and modelling // ZAMM Z. Angew. Math. Mech. 2015. V. 95. No. 11. P. 1117–1128. DOI: 10.1002 /zamm. 201400110.
Nicholson D.W., Lin B. Theory of the termohyperelasticity for near-incompressible elastomers // Acta Mechanica. 1996. V. 116. Issue 1–4. P. 15–28. https://doi.org/10.1007/BF01171417
Жуков Б.А. Влияние однородного стационарного температурного поля на напряженно-деформированное состояние эластомеров при статических конечных деформациях // Изв. РАН. МТТ. 2019. № 6. С. 136–147.
Chadwick P. Thermo-mechanics of rubberlike materials // Phll. Trans. Soc. Lond. A. 1974. V. 276. P. 371–403. https://doi.org/10.1098/rsta.1974.0026
Ogden R.W. On the thermoelastic modeling of rubberlike solids // Journal of Thermal Stresses. 1992. V. 15. P. 533–557. DOI: 10.1080 /01495739208946155.
Пальмов В.А. Определяющие уравнения термоупругих, термовязких и термопластических материалов: учеб. пособие / В.А. Пальмов. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2009. 138 с.
Chen D.D., Petroski H.J. Controllable states of elastic heat conductors obeying a Fourier law // Int. J. Eng. Sci. 1975. V. 13. P. 799–814.
Muller W.C. Universal solutions for thermodynamic Fourier material // Quarterly of applied mathematics. 1975. October. P. 281–290.
Saccomandi G. On inhomogeneous deformations in finite thermoelasticity // IMA Journal of Applied Mathematics. 1999. V. 63. P. 131–148.
Petroski H.J. On the finite deformation and heating of thermoelastic spherical sectors // Int. J. Non-Linear Mechanics. 1975. V. 10. P. 327–332.
Horgan C., Saccomandi G. Finite thermoelasticity with limiting chain extensibility // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2003. V. 51. P. 1127–1146.
Gurtin M.E., Guidugli P.P. Thermodynamics of Constrained Materials // Arch. Rat. Mech. Anal. 1973. V. 51. 192–208.
Erbe H.H. Thermoelastic effects in incompressible elastic solids // Mech. Res. Commun. 1974. V. 1. P. 137–142.
Trapp J.A. Reinforced materials with thermo-mechanical constraints // Int. J. Eng. Sci. 1971. V. 9. P. 757–773.
Григолюк Э.И., Носатенко П.Я. Плоское геометрически нелинейное напряженно-деформированное состояние цилиндра при сдвиге // Изв. вузов. Машиностроение. 1986. № 2. С. 28–31.
Horgan C. The importance of the second strain invariant in the constitutive modeling of elastomers and soft biomaterials // Mechanics of Materials. 2012. V. 51. P. 43–52. DOI: 10.1016 /j. mechmat.2012.03
Жуков Б.А. Плоское напряженно-деформированное состояние круговой цилиндрической втулки, порожденное конечным антиплоским сдвигом // Изв. РАН. МТТ. 2017. № 1. С. 136–144.
Жуков Б.А. Нелинейное взаимодействие конечного продольного сдвига и конечного кручения втулки из резиноподобного материала // Изв. РАН. МТТ. 2015. № 3. С. 127–135.
Бухина М.Ф. Техническая физика эластомеров. М.: Химия, 1984. 224 с.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Известия РАН. Механика твердого тела