Известия РАН. Механика твердого тела, 2021, № 3, стр. 3-6

В 1891 году в докладе лондонскому королевскому обществу профессор университета в Бангоре (Уэльс) Джордж Х. Брайан продемонстрировал эффект прецессии стоячей волны в упругой осесимметрической оболочке, вращающейся вокруг оси симметрии. Для объяснения эффекта Брайан обратился к математическому описанию упругих колебаний тонкого кругового кольца. В результате он получил формулу, связывающую постоянную угловую скорость $\omega $ вращения кольца в своей плоскости со скоростью прецессии относительно него стоячей волны упругих колебаний ${{\omega }_{в}}$ [1]. В дальнейшем эта формула была использована для объяснения эффекта поворотa стоячей волны в полусферическом резонаторе при повороте самого резонатора вокруг его оси симметрии [2, 3]. При этом в отличие от [1] угловая скорость поворота уже не предполагалась постоянной, и соотношение Брайана между скоростями молчаливо распространялось на соотношение между углами поворота. Фактически это означало открытие эффекта инертности упругих волн, что и было доказано в [4, 5].

В настоящем исследовании рассматривается уже полный сферический резонатор, и плоский поворот резонатора заменяется пространственным. Пространственным оказывается и обобщённый эффект Брайана.

Уравнения колебаний упругого сферически симметричного тела. Рассмотрим упругое сферически симметричное твердое тело со свободной границей, на которое действуют массовые силы плотности f. Главный вектор сил, действующих на тело $\int_V {{\mathbf{f}}dm} $, без ограничения общности будем полагать равным нулю. Под действием главного момента $\int_V {{\mathbf{r}} \cdot {\mathbf{f}}dm} $ тело меняет свою ориентацию в пространстве (r – радиус-вектор произвольной точки тела, $dm$ – элемент массы, V – область, занятая телом).

Для описания упругих деформаций введем систему координат ${{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}$, связанную с телом так, чтобы выполнялись условия

где ${\mathbf{x}} = ({{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}})$ – упругое смещение точки, в недеформированном состоянии занимавшей положение r. Условия (1) характеризуют координатный трехгранник, относительно которого тело в среднем (по всем частицам) не перемещается и не поворачивается.

Ставится следующая задача: зная абсолютную угловую скорость трехгранника ${{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}$ в проекциях на его же оси – ${\mathbf{\omega }}(t)$, определить, как ведут себя волны упругих деформаций.

Запишем принцип Даламбера–Лагранжа для рассматриваемого тела

Здесь $\rho $ – плотность, зависящая лишь от $\left| {\mathbf{r}} \right|$, $\nabla \Pi $ – градиент квадратичного функционала линейной теории упругости.

Координаты, определяющие угловое положение тела как целого, не варьируются, предполагается, что угловая скорость ${\mathbf{\omega }}(t)$ – известная функция времени.

Для выбора обобщенных координат рассмотрим случай ${\mathbf{\omega }} = 0$. В [6] показано, что спектр собственных колебаний свободного твердого тела при условиях (1) дискретен. Это означает, что возрастающая последовательность частот собственных колебаний ${{\nu }_{1}} \leqslant {{\nu }_{2}} \leqslant $ ... неограниченна, а собственные элементы ${{{\mathbf{h}}}_{1}}{\mathbf{(r)}}$, ${{{\mathbf{h}}}_{2}}{\mathbf{(r)}}$, … соответствующие этим частотам, образуют ортонормированную систему функций, полную в конфигурационном пространстве задачи:

Это позволяет ввести независимые лагранжевы координаты, описывающие все степени свободы при деформировании тела, в общем случае ${\mathbf{\omega }}(t) \ne 0$ следующим образом:

Задача о собственных колебаниях сферически симметричного свободного тела допускает группу SO(3), поэтому спектр собственных частот вырожден и состоит из последовательности, по крайней мере, трехкратных частот: ${{\nu }_{1}} = {{\nu }_{2}} = {{\nu }_{3}} \leqslant {{\nu }_{4}}$ = = ${{\nu }_{5}} = {{\nu }_{6}} \leqslant \ldots $ конфигурационное пространство при этом представляет собой прямое произведение трёхмерных собственных подпространств: $\left\{ {{{{\mathbf{h}}}_{1}}{\mathbf{,}}{{{\mathbf{h}}}_{2}}{\mathbf{,}}{{{\mathbf{h}}}_{3}}} \right\} \cdot \left\{ {{{{\mathbf{h}}}_{4}}{\mathbf{,}}{{{\mathbf{h}}}_{5}}{\mathbf{,}}{{{\mathbf{h}}}_{6}}} \right\} \cdot \; \ldots $ Фиксируем номер m произвольного собственного подпространства и введем обозначения для соответствующих обобщённых координат: ${{q}_{{3m - 1}}} = u$, ${{q}_{{3m - 2}}} = {v}$, ${{q}_{{3m - 1}}} = w$ (m = 1, 2, …). Подставляя (4), а также ${\mathbf{\delta x}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\delta {{q}_{n}}{{{\mathbf{h}}}_{n}}{\mathbf{(r)}}} $ в (2) и приравнивая нулю коэффициенты при независимых вариациях $\delta {{q}_{n}}$, получаем бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно ${{q}_{n}}$:

где L₁, L₂, L₃ представляют собой линейные функции обобщённых координат, соответствующих другим собственным подпространствам, а скалярные коэффициенты имеют вид

Присутствие L₁, L₂, L₃ характеризует тот факт, что системы типа (5) для различных подпространств не являются независимыми друг от друга.

При получении уравнений (5) было предположено для простоты, что массовые силы ортогональны всем собственным функциям:$\int_V {{\mathbf{f}} \cdot {{{\mathbf{h}}}_{n}}(r)dm} = 0$. Это означает, что в f присутствует лишь постоянная составляющая $\left( {\int_V {{\mathbf{r}} \cdot {\mathbf{f}}} dm \ne 0} \right)$, обеспечивающая вращение тела со скоростью ${\mathbf{\omega }}(t)$.

Векторные коэффициенты имеют вид

В силу сферической симметрии выбор собственных векторов (${{{\mathbf{h}}}_{{3m - 2}}}$, ${{{\mathbf{h}}}_{{3m - 1}}}$, ${{{\mathbf{h}}}_{{3m}}}$) можно осуществить так, чтобы

Используя неравенство Коши–Буняковского для (6), получим $0 \leqslant \kappa \leqslant 1$.

Если ввести обозначения

то уравнения (5) можно переписать в векторной форме где A – симметрическая матрица позиционных сил, состоящая из коэффициентов упругих сил ${{F}_{1}}$, ${{F}_{2}}$, ${{F}_{3}}$ и коэффициентов $a$, $b$, $c$, $d$, $e$,  f.

Исследование выполнено за счёт гранта Российского научного фонда (проект № АААА-А20-120011).