Известия РАН. Механика твердого тела, 2021, № 5, стр. 92-98

Введение. В статье рассматривается классическая задача нелинейного продольного изгиба тонкого упругого стержня от действия сжимающей продольной силы. Результаты имеющихся аналитических решений указанной задачи представлены в сложных эллиптических функциях Якоби (не выражающихся через элементарные функции) и определение по ним основных параметров изогнутого стержня, таких как координаты очертания стержня, изгибаемые углы по длине стержня, эпюры моментов силы и внутренней энергии изгиба, предполагает использование при проведении прикладных исследований численных методов.

Материалы и методы исследований. Строгое решение классической задачи нелинейного продольного изгиба тонкого упругого стержня длиной $L$ с жестко защемленным одним концом в центре координат $xOy$, на другой свободный конец которого действует продольная сжимающая сила P (рис. 1), рассматривалась в работах [1–4]. В частности, для данного случая на основе уравнения равновесия стержня, приведенного к виду уравнения нелинейного маятника [3–6]

получено решение для определения значения угла ${{\theta }}$ между касательной к текущей точке изогнутого стержня и осью $0x$ в виде

В формулах (1) и (2) даны следующие обозначения: E – модуль упругости материала стержня J; – момент инерции сечения стержня; $EJ$ – изгибная жесткость стержня; $l$ – текущее значение длины дуги стержня; $t = l{\text{/}}L$ – приведенная длина стержня; β = = $\sqrt {\frac{{P{{L}^{2}}}}{{EJ}}} $ – силовой коэффициент подобия [3]; ${\text{sn}}\left( {u,{{\lambda }}} \right)$ – эллиптический синус Якоби при модуле ${{\lambda }} = \sin {{\alpha }}$ (α – модулярный угол) и аргументе $u = K\left( {{\lambda }} \right) \cdot t$, где $K\left( {{\lambda }} \right)$ – полный эллиптический интеграл 1 рода при модуле λ.

При этом собственное (относительное) значение силы $\bar {P}$ [2, 4, 5] для рассматриваемой схемы будет равно

где ${{P}_{E}} = {{\left( {\frac{{{\pi }}}{2}} \right)}^{2}}\frac{{EJ}}{{{{L}^{2}}}}$ – эйлерова критическая сила.

В формуле (3) и далее обозначение модуля λ в эллиптических интегралах и функциях опущено для упрощения записей, то есть $K\left( {{\lambda }} \right) \equiv K$, $K{\kern 1pt} '\left( {{\lambda }} \right) \equiv K{\kern 1pt} '$, $E\left( {{\lambda }} \right) \equiv E$, $E({{\varphi }},{{\lambda }}) \equiv E{\text{(}}\varphi {\text{)}}$, ${\text{sn}}\left( {u,{{\lambda }}} \right) \equiv {\text{sn}}\left( u \right)$, ${\text{cn}}\left( {u,{{\lambda }}} \right) \equiv {\text{cn}}\left( u \right)$, ${\text{dn}}\left( {u,{{\lambda }}} \right) \equiv {\text{dn}}\left( u \right)$.

В результате интегрирования соотношений $dx{\text{/}}dl = {\text{cos}}\theta = 1 - 2{{{{\lambda }}}^{2}}{\text{s}}{{{\text{n}}}^{2}}(u)$ и $dy{\text{/}}dl$ = sinθ = 2λ · sn(u)dn(u), где dn(u) – эллиптическая дельта-функция Якоби, вдоль длины стержня и преобразований в [4] получены расчетные зависимости для определения координат x и y изогнутой оси стержня в зависимости от значений эллиптических интегралов и функций Якоби в виде (при L = 1):

в которых cn(u) – эллиптический косинус Якоби; $E\left[ {{\text{am}}\left( u \right)} \right]$ – неполный эллиптический интеграл 2 рода при эллиптической амплитуде Якоби [7–9] ${\text{am}}(u) = \arcsin [{\text{sn}}(u)]$, аргументе u и модуле λ.

Следует отметить, что выполнение прикладных аналитических расчетов для инженерных задач по полученным зависимостям (4) с эллиптическими функциями и интегралами (не выражающимися через элементарные функции) представляет собой значительные математические трудности, связанные с использованием специальных графиков и таблиц, необходимостью нелинейно-перекрестного (и обратного) интерполирования их данных и т.д. Результаты же численных решений, определяя дискретные значения специальных функций (интегралов) в отдельных точках, ограничены в возможностях выявления обобщенных причинно-следственных связей исходных факторов и оценке их влияния на итоговые результаты [11–14].

В связи с этим, ниже приводятся расчетные зависимости, позволяющие выразить вышеизложенные результаты в элементарных функциях, полученных на основе гидромеханических решений (с погрешностью ≪1–2%), с расширением области определяемых характеристик стержня.

При этом для прямого расчета эллиптического синуса Якоби sn(u) получена новая формула, основанная на работах [11, 12, 15], в виде:

в которых

При этом эллиптический косинус Якоби cn(u) равен [1, 7, 8] ${\text{cn}}(u) = \sqrt {1 - {\text{s}}{{{\text{n}}}^{2}}\left( u \right)} $.

Значения K и $K{\kern 1pt} '$ (полного эллиптического интеграла 1 рода при дополнительном модуле ${{\lambda }}{\kern 1pt} ' = \sqrt {1 - {{{{\lambda }}}^{2}}} $) могут быть определены по зависимостям [10–14]:

В зависимости (4) величина неполного эллиптического интеграла 2 рода $E\left[ {{\text{am}}\left( u \right)} \right]$ находится по нижеследующим усовершенствованным формулам (10) [14], подставляя в них вместо φ величину эллиптической амплитуды Якоби ${\text{am}}(u) = \arcsin \left[ {{\text{sn}}\left( u \right)} \right]$, в котором значение эллиптического синуса Якоби sn(u) рассчитывается по (5)–(9):

где ${{{{\alpha }}}_{0}} = \frac{{{\alpha }}}{{{\pi }}} \cdot {{180}^{{^{ \circ }}}}$ – модулярный угол (в градусах); E – полный эллиптический интеграл 2 рода, определяемый по [10, 12, 13]:

Результаты исследования и их обсуждение. Значения E(φ), полученные по зависимостям (10), достаточно близко (~1%) согласуются с графиками точного решения [7, 9], а для граничных участков полностью совпадают с точными формулами. В частности, при ${{{{\alpha }}}_{0}} = 0;$ π/2 и ${{\varphi }} = 0;$ π/2, соответственно, $E\left( {{{\varphi }},0} \right) = {{\varphi }}$; $E\left( {{{\varphi }},1} \right) = \sin {{\varphi }}$ и $E\left( {0,{{\lambda }}} \right) = 0$; $E\left( {{{\pi /}}2,{{\lambda }}} \right) = E$.

Таким образом, подставляя значения рекомендуемых расчетных зависимостей в элементарных функциях (5)–(11) в формулы (4), полностью рассчитываются координаты изогнутой оси стержня для заданных значений модуля λ. При этом, для свободного конца стержня (точки A: $t = 1$, $u = K$) формулы (4) получат вид:

Значения изгибающих моментов в любой точке стержня определяются по формуле [1] $M = \bar {P}\left( {{{y}_{A}} - y} \right)$, подставляя в которую величины y_A, y из (12), (4) и преобразовывая, окончательно получим

Изгибающий момент M для концевой свободной точки стержня (t = 1) и точки заделки (t = 0) имеет, соответственно, минимальное (нулевое) и максимальное значения, ${{M}_{{\min }}} = 0$ и ${{M}_{{\max }}} = 2\bar {P}{{\lambda /}}K$.

Аналогично, угол ${{\theta }}$ между касательной к текущей точке изогнутого стержня и осью $0x$ (см. рис. 1), определяемый по формуле (2), для точек t = 1 и t = 0 принимает значения, соответственно, ${{{{\theta }}}_{{\max }}} = 2\arcsin \left( {{\lambda }} \right)$ и ${{{{\theta }}}_{{\min }}} = 0$.

Приращение угла изгиба θ вдоль длины стержня определится производной

с максимальным значением ${{\theta }}_{{\max }}^{'}$ в точке заделки (t = 0), равным ${{\theta }}_{{\max }}^{'} = - 2{{\lambda }}K$.

Внутренняя энергия изгиба стержня V определится (при ${{\varphi }} = 0$) по зависимости [3]

Вышеприведенные расчетные зависимости в элементарных функциях при заданных значениях модуля λ позволяют напрямую рассчитать все необходимые характеристики продольно изогнутого стержня. Для исходной же заданной величины силовой нагрузки $\bar {P}$ значение модуля λ находится методом подбора из зависимости (3), подставляя в нее вместо K его значение из формулы (8).

В нижеследующих таблицах 1 и 2 дается сравнение значений координат изогнутого стержня, подсчитанных по рекомендуемым зависимостям (4)–(12) с результатами базового решения Сикорского Ю.С. [1, с. 74, таблицы a , b], основанного на нелинейно-перекрестном (и обратном) интерполировании табличных данных, соответственно, при силовой нагрузке $\bar {P} = 1.293$ для заданных значений амплитуды ${{\varphi }} = {\text{am}}(u)$ = = arcsin[sn(K · t)], равных 0; 30°; 60°; 90°, и для концевой точки (t = 1) стержня при различных (девяти) значениях силовой нагрузки $\bar {P}$. При этом значения t получены обратным расчетом из заданных величин амплитуды ${{\varphi }}$.

Как следует из таблиц 1 и 2, результаты подсчетов координат изогнутого стержня, в том числе и концевой точки стержня, при различных значениях силовой нагрузки $\bar {P}$ и амплитуд ${{\varphi }}$, подсчитанные по предлагаемым зависимостям на основе элементарных функций (4)–(12), достаточно близко (в целом ~ до 2–3%) согласуются с результатами базового решения Сикорского Ю.С. [1], основанным на нелинейно-перекрестном (и обратном) интерполировании табличных данных (Примечание: Отдельные отклонения в таблицах по координате x могут быть обусловлены, в частности, погрешностями интерполяции в базовом решении [1]).

Кроме этого, расчет по формулам (4)–(12) абсциссы концевой точки изогнутого стержня для заданной силовой нагрузки $\bar {P} = 2.160$ показал близкое совпадение (x  = 0.011) с нулевым значением точного решения Попова Ю.С. [3, рис. 5.4 , с. 114].

На рисунке приведена схема изогнутого стержня от действия продольной силовой нагрузки $\bar {P}$ с рассчитанными по рекомендуемым формулам (4)–(12) значениями:

– для заданных величин λ², равных $\sqrt {0.2} $ (${{\alpha }} = 0.1476{{\pi }}$), $\sqrt {0.5} $ (${{\alpha }} = 0.25{{\pi }}$), $\sqrt {0.85} $ (α = $0.3734{{\pi }}$), $\sqrt {0.99999} $ (${{\alpha }} = 0.4990{{\pi }}$) (кривые 1–4), близко совпадающих с очертаниями указанных кривых по численному расчету [4, рис. 3 , с. 129];

– для эпюр изгибающих моментов силы $M\left( x \right)$ по длине стержня при значении λ² = $\sqrt {0.2} $ с учетом нелинейности (кривая 5) и линейной задачи (прямая 6);

– для графиков углов изгиба ${{{{\theta }}}_{0}}\left( x \right) = \frac{{{\theta }}}{{{\pi }}} \cdot {{180}^{{^{ \circ }}}}$ (между касательной к текущей точке и осью 0x – в градусах) при ${{{{\lambda }}}^{2}} = \sqrt {0.2} $ (кривая 7) и внутренней энергии изгиба стержня $V({{{{\alpha }}}_{0}})$ в зависимости от значений модулярного угла ${{{{\alpha }}}_{0}}$ (кривая 8);

– для точек на кривой внутренней энергии изгиба $V\left( {{{{{\alpha }}}_{0}}} \right)$, соответствующих стержням с значениями λ², равными $\sqrt {0.2} $; $\sqrt {0.5} $; $\sqrt {0.85} $; $\sqrt {0.99999} $ (точки 9).

Как следует из рисунка, максимальные значения изгибающих моментов $M\left( x \right)$ и внутренней энергии изгиба $V\left( {{{{{\alpha }}}_{0}}} \right)$ сосредоточены в начальной точке задела стержня О, в которой угол ${{{{\theta }}}_{0}}\left( x \right)$ сопряжения с осью $0x$ имеет нулевое значение. При этом сравнительная оценка эпюр изгибающих моментов по длине стержня для нелинейной (кривая 5) и линейной (прямая 6) задач показывает значительное занижение значений последней. В частности, занижение значений для рассмотренного случая изгибаемого стержня при ${{{{\lambda }}}^{2}} = \sqrt {0.2} $ достигает до 30% и более, что указывает на неприемлемость применения “чисто линейного” метода при решении прикладных задач на практике.

Заключение. В работе рассматривается классическая задача нелинейного продольного изгиба стержня от действия сжимающей продольной силы. При этом получены расчетные зависимости в элементарных функциях для прямого аналитического определения основных параметров изогнутого стержня, таких как координаты очертания стержня, изгибаемые углы по длине стержня, эпюры моментов силы и внутренней энергии изгиба. Сравнение полученных расчетных значений с результатами известных (базовых) решений (Сикорского Ю.С., Попова Е.П., Захарова Ю.В. – Охоткина К.Г.) дало в целом достаточно близкую сходимость результатов (~1–2%), приведены примеры расчета, в том числе сj сравнением с данными линейного расчета. Полученные результаты могут быть использованы как для теоретических исследований, так и для инженерных расчетов на практике, в том числе и при определении (обратным методом) жесткости стержней произвольного поперечного сечения, либо модуля упругости различных материалов (композитных) при известных сечениях стержня, в том числе при конструировании защитных сооружений от опасных склоновых геофизических процессов и др.