Известия РАН. Механика твердого тела, 2021, № 5, стр. 99-112

1. Введение. Составные космические антенны больших размеров выводятся в космос в сложенном состоянии и развертываются в условиях вакуума и невесомости.

Вопросы проектирования и расчета складных антенн зонтичного типа рассмотрены в книге [1]. Обзор современных трансформируемых конструкций антенн представлен в [2, 3]. Применение метода конечных элементов и коммерческих программных комплексов для численного моделирования статики и динамики крупногабаритных космических антенн рассмотрено в [4–8]. Нелинейные уравнения динамики развертывания плоской системы последовательно соединенных упругими шарнирами с упорами гибких нерастяжимых стержней, сложенных в начальном состоянии в упаковку, получены в [9, 10], где приведены аналитические выражения в виде формул для всех коэффициентов уравнений в обобщенных координатах.

Заданная деформированная форма антенны после развертывания и успокоения колебаний получается при проектировании конструкции как статически неопределимой системы путем определения требуемых для устойчивого равновесия этой формы внутренних усилий силовых элементов. Для этого требуется решить обратную геометрически нелинейную задачу деформирования системы с ограничениями и определить необходимые геометрические и жесткостные параметры ее некоторых регулируемых элементов. В [11] разработан алгоритм численного решения геометрически нелинейной задачи формообразования космической зонтичной антенны в виде пологой параболической поверхности вращения с циклически симметрично расположенными гибкими радиальными стержнями, соединенными по параллелям растяжимыми тросовыми элементами. В настоящей работе этот подход обобщается для антенны с непологой поверхностью вращения. В этом случае при решении задачи формообразования за счет деформирования гибких радиальных стержней рассматривается их сильный изгиб с большими перемещениями и углами поворота элементов.

2. Постановка задачи. Схема предлагаемой циклически симметричной космической антенны зонтичного типа с n радиальными стержнями 1, каждый из которых состоит из m звеньев, показана на рис. 1 в сложенном состоянии (a) и в конечном деформированном состоянии (b). Раскрытие и формообразование антенны происходит следующим образом. По сигналу устраняется удерживающая связь между корпусом демпфирующего гидроцилиндра 2 и штоком 3 и начинается медленное движение штока под действием предварительно сжатых пружин 4, за счет чего с помощью тросов 5 и рычагов 6 упаковки стержней 1 поворачиваются в радиальных плоскостях. При некотором отклонении упаковок разрываются связи 7 и многозвенные стержни с упругими шарнирными соединениями развертываются с фиксацией на упорах в прямолинейном положении. Считается, что в некотором заданном отклоненном положении (1', рис. 1, b) выпрямившихся стержней (при угле ${{\beta }_{0}}$ между осью X и осью стержня) в силу выбора начальных длин участков тросов 8, соединяющих в плоскостях параллелей соответствующие узлы k = 1, 2, …, m стержней, эти участки становятся прямолинейными (без провисаний), но еще ненатянутыми. При этом все тросы k = 1, 2, …, m будут иметь форму правильных n-угольников. Следует заметить, что после быстрого (динамического) раскрытия упаковок упруго соединенных звеньев, каждый из n стержней станет прямолинейным в отклоненном на угол ${{\tilde {\beta }}_{n}} > {{\beta }_{0}}$ положении с некоторым разбросом по времени и по углам ${{\tilde {\beta }}_{n}}$. Отклонения стержней при медленном (квазистатическом) ходе штока 3 демпфирующего гидроцилиндра будут выравниваться под действием соединяющих их тросов k = 1, 2, …, m поскольку во всех n элементах каждого из этих тросов усилия при циклической симметрии системы должны быть одинаковы.

При повороте рычагов 6 до упора тросы будут растягиваться, а стержни изгибаться в радиальных плоскостях под действием реакций тросов в узлах k = 1, 2, …, m. Конечная изогнутая форма 1 стержня с растянутыми тросами 8 показана на рис. 1, b. Полотно антенны соединяется со стержнями в отдельных точках, включая узлы; в сложенном состоянии оно находится в пространстве между упаковками стержней. При раскрытии и формообразовании составной конструкции антенны реакции полотна не учитываются.

Осесимметричная поверхность антенны имеет заданную форму $Y = F(X)$, рис. 1, b. При проектировании и расчете составной циклический симметричной конструкции антенны требуется, чтобы координаты узловых точек k = 1, 2, …, m изогнутых радиальных стрежней совпадали с соответствующими координатами поверхности антенны ${{X}_{k}}$, ${{Y}_{k}} = F({{X}_{k}})$, k = 0, 1, …, m. Центральный участок C–0 после поворота рычага 6 до упора считается абсолютно жестким и профилированным по форме $Y = F(X)$; $X = Y$ = 0 в точке C и ${{X}_{0}} = {{a}_{0}}$, ${{Y}_{0}} = F({{a}_{0}})$, ${{\theta }_{0}} = {\text{arctg}}(F{\kern 1pt} '({{a}_{0}}))$ в точке 0. Упругая часть стержня состоит из $m$ звеньев примерно одинаковой длины ${{a}_{k}}$, k = 1, 2, …, m (для удобства складывания их в упаковки). При заданных значениях a_k координаты узлов изогнутого нерастяжимого стержня X_k, $k = 1,2, \ldots ,m$ вычисляются последовательно из соотношений

с использованием метода итераций. Изгибная жесткость каждого звена $E{{I}_{k}}$ в пределах его длины ${{a}_{k}}$ считается постоянной.

Для описания сильного изгиба стержня каждое его звено k = 1, 2, …, m будем рассматривать как конечный элемент (КЭ) в местной системе координат xy, который в узле k – 1 жестко связан с $(k - 1)$-м КЭ, рис. 2. Координаты и угол наклона оси стержня в узле k – 1 равны ${{X}_{{k - 1}}}$, ${{Y}_{{k - 1}}}$, ${{\theta }_{{k - 1}}}$. Относительное поперечное перемещение $\upsilon (x)$ и угол поворота $\vartheta (x)$ k-го КЭ как консольного стержня длины a_k записываются в виде [11]

где штрихом обозначена производная по координате x. Продольное перемещение ${{u}_{k}}$ конца КЭ за счет сильного изгиба при условии, что стержень является нерастяжимым ($\varepsilon = u{\kern 1pt} '\; + 0.5\upsilon {\kern 1pt} {{'}^{2}}$ = 0), с учетом (2.1) записывается в виде

Потенциальная энергия изгиба стержня

Перемещения и углы поворота в узлах стержня k = 1, 2, …, m определяются следующим образом

Вариация работы сил R_k на перемещениях $\delta {{X}_{k}}$ (рис. 2) записывается в виде

где с учетом (2.2) и (2.4) введены следующие обозначения:

Двойная и тройная суммы в (2.5) преобразуются как

Тогда получим

где ${{\delta }_{{km}}}$ – символ Кронекера (${{\delta }_{{km}}} = 0$ при $k \ne m$, ${{\delta }_{{km}}} = 1$ при k = m)

Уравнения равновесия изогнутого стержня в обобщенных координатах ${{\upsilon }_{k}}$ и ${{\vartheta }_{k}}$, k = = 1, 2, …, m, получаются на основании принципа возможных перемещений $\delta П - \delta А$ = 0 и с учетом (2.3), (2.6) записываются в виде

Приведем уравнения (2.7) к безразмерному виду. Для этого введем следующие обозначения:

С учетом (2.8) уравнения (2.7) записываются в виде

Преобразуем двойную сумму во втором уравнении:

В результате уравнения (2.7) для обобщенных координат ${{\bar {\upsilon }}_{k}}$ и ${{\vartheta }_{k}}$, k = 1, 2, …, m будут иметь вид

Уравнения (2.9) для их численного решения запишем в матричном виде в зависимости от векторов перемещений ${\mathbf{V}} = \{ {{\bar {\upsilon }}_{k}}\} $, углов поворота ${\mathbf{\Omega }} = \{ {{\vartheta }_{k}}\} $ и реакций тросов ${\mathbf{R}} = \{ {{R}_{k}}\} $:

где матрица жесткости ${\mathbf{G}}$ и нелинейные матрицы ${\mathbf{A}}$ и ${\mathbf{B}}$ порядка $m$ имеют вид:

3. Алгоритм решения задачи. Формообразование поверхности вращения (или в данном случае – изогнутого радиального стержня каркаса, на который накладывается с некоторым натяжением мягкая оболочка) согласно уравнению $Y = F(X)$ может осуществляться в пределах рассматриваемых элементов за счет выбора реакций ${{R}_{k}}$ натянутых тросов, расположенных в плоскостях параллелей, или за счет изгибных жесткостей $E{{I}_{k}}$ элементов радиальных стержней, или за счет изменения тех и других одновременно. Решение такой нелинейной задачи является неединственным и в некоторых областях изменения указанных параметров оно может не существовать.

Здесь рассматривается случай, когда уравнение заданной формы $Y = F(X)$ удовлетворяется в точках k = 1, 2, …, m за счет регулируемых реакций тросов ${{R}_{k}}$ только по координатам ${{X}_{k}}$ и ${{Y}_{k}} = F({{X}_{k}})$, а углы наклона ${{\theta }_{k}}$ в этих точках остаются свободными, т.е. не требуется выполнение условия ${{\theta }_{k}} = {\text{arctg}}(F'({{X}_{k}}))$. Жесткости $E{{I}_{k}}$ элементов изгибаемого стержня считаются заданными.

Эквивалентное перемещение ${{\upsilon }_{k}}$ изогнутого стержня, точно соответствующее заданной форме по координатам X_k, ${{Y}_{k}} = F({{X}_{k}})$ определяется из кинематических соотношений:

где ${{\theta }_{k}} = {{\vartheta }_{0}} + \sum\limits_{i = 1}^k {{{\vartheta }_{i}}} $, ${{\vartheta }_{0}} = {\text{arctg}}(F{\kern 1pt} '({{X}_{0}}))$; углы ${{\vartheta }_{i}}$ при i = 1, 2, …, m считаются неизвестными наряду с реакциями ${{R}_{k}}$ при k = 1, 2, …, m.

В результате безразмерные перемещения ${{\bar {u}}_{k}}$, ${{\bar {\upsilon }}_{k}}$ и параметры (2.8), входящие в уравнения (2.9) и, соответственно, в нелинейные матрицы A, B (2.11), зависят от неизвестных углов ${{\vartheta }_{i}}$, i = 1, 2, …, m. Таким образом, при выполнении кинематических соотношений (3.1) основными неизвестными будут ${{\vartheta }_{k}}$ и ${{R}_{k}}$, k = 1, 2, …, m, т.е. – векторы ${\mathbf{\Omega }} = \{ {{\vartheta }_{k}}\} $ и ${\mathbf{R}} = \{ {{R}_{k}}\} $, для определения которых имеем уравнения (2.10). Для удобства решения систему двух матричных уравнений (2.10) путем исключения вектора R приведем к одному уравнению, содержащему только неизвестные параметры ${{\vartheta }_{1}}$, ${{\vartheta }_{2}}$, …, ${{\vartheta }_{m}}$:

Это уравнение с учетом системы соотношений (3.1) решается методом последовательных приближений по схеме ${\mathbf{G}}{{{\mathbf{\Omega }}}^{{(r + 1)}}} = {{{\mathbf{P}}}^{{(r)}}}$, где r = 0, 1, … – номер приближения по набору неизвестных параметров ${{\vartheta }_{1}}$, ${{\vartheta }_{2}}$, …, ${{\vartheta }_{m}}$; ${{{\mathbf{P}}}^{{(r)}}}$ – вектор (правая часть уравнения (3.2)), зависящий от $\vartheta _{1}^{{(r)}}$, $\vartheta _{2}^{{(r)}}$, …, $\vartheta _{m}^{{(r)}}$. В начальном (нулевом) приближении при r = 0 для углов ${{\vartheta }_{k}}$ будем использовать точные значения $\vartheta _{k}^{{(0)}} = \vartheta _{k}^{0}$, соответствующие заданной форме изогнутого стержня $Y = F(X)$ в точках k, которые определяются как $\vartheta _{k}^{0} = \theta _{k}^{0} - {{\vartheta }_{0}} - \sum\limits_{i = 1}^{k - 1} {\vartheta _{i}^{0}} $ при $\theta _{k}^{0} = {\text{arctg}}(F'({{X}_{k}}))$, $k = 1,2, \ldots ,m$.

После получения сходящегося с заданной точностью решения для вектора ${\mathbf{\Omega }} = \{ {{\vartheta }_{k}}\} $ вычисляется вектор реакций тросов ${\mathbf{R}}$ из уравнения, которое получается из системы (2.10) путем исключения вектора ${\mathbf{G\Omega }}$:

В исходном состоянии после раскрытия системы радиальный стержень 1' является прямолинейным и отклоненным по отношению к оси X на некоторый угол β₀, рис. 1, b. Координаты точки $k{\kern 1pt} ' = 1{\kern 1pt} ',2{\kern 1pt} ', \ldots ,m{\kern 1pt} '$ стержня в исходном состоянии равны ${{X}_{{k{\kern 1pt} '}}}\, = \,{{L}_{{k{\kern 1pt} '}}}{\text{cos}}{{\beta }_{0}}$, где ${{L}_{{k'}}} = ({{a}_{0}} - {{\delta }_{0}}) + \sum\limits_{i = 1}^k {{{a}_{i}}} $ – расстояние между шарниром, соединяющим гидроцилиндр 2 с поворотным кронштейном 6 (рис. 1, a), и точкой $k{\kern 1pt} '$. Длина k-го троса в виде правильного n-угольника, соединяющего по параллели k-е точки всех n радиальных стержней, выбирается так, что в исходном состоянии он является нерастянутым и не имеет провисаний. После поворота кронштейна 6 до упора (угол наклона стержня в корневой точке 0 станет равным ${{\vartheta }_{0}}$) k-й трос натянется с усилием ${{T}_{k}} = {{F}_{k}}\sigma ({{\varepsilon }_{k}})$, где ${{F}_{k}}$ – площадь поперечного сечения, $\sigma ({{\varepsilon }_{k}})$ – растягивающее напряжение в $k$-м тросе. Относительное удлинение k-го троса в конечном натянутом состоянии будет

где ${{X}_{k}}$ – известная координата узла k в конечном деформированном состоянии (т.е. координата заданной формы), а ${{X}_{{k'}}} = {{L}_{{k'}}}\cos {{\beta }_{0}}$ – координата узла $k'$ в исходном недеформированном положении стержня.

Реакция k-го троса в k-м узле стержня определяется из уравнения равновесия узла

При линейно-упругом деформировании тросов $\sigma ({{\varepsilon }_{k}}) = {{E}_{T}}{{\varepsilon }_{k}}$ при ${{\varepsilon }_{k}} > 0$ и $\sigma ({{\varepsilon }_{k}}) = 0$ при ${{\varepsilon }_{k}} \leqslant 0$, где ${{E}_{T}}$ – модуль упругости материала троса. По найденным значениям ${{R}_{k}}$ можно определить необходимые площади ${{F}_{k}}$ или жесткости на растяжение ${{E}_{T}}{{F}_{k}}$ тросов для получения формы ${{Y}_{k}} = F({{X}_{k}})$ изогнутых радиальных стержней.

4. Сильный изгиб консольного стержня. Для верификации разработанной КЭ-модели сильного изгиба стержня, описываемой уравнениями (2.9), рассмотрим стержень длиной l с постоянной изгибной жесткостью EI, который неподвижно закреплен на конце s = 0 и нагружен на конце s = l продольной сжимающей силой ${{R}_{l}}$, превышающей критическую силу потери устойчивости (эластика Эйлера). Дифференциальные уравнения изгиба нерастяжимого стержня (рис. 3) записываются в виде

где

Начальные условия при s = 0: $X = 0$, $Y = 0$, $\theta = 0$.

Выполнены сравнения решений дифференциальных уравнений (4.1) с решениями системы алгебраических уравнений (2.9) для КЭ-модели при трех различных значениях параметра $\nu = {{R}_{l}}{{l}^{2}}{\text{/}}EI$: 2.5, 3.0, 3.5. Использовались следующие значения начальных (нулевых) приближений ${{\bar {Y}}_{l}} = {{Y}_{l}}{\text{/}}l < 1$ для “пристрелки” при численных решениях уравнений (4.1) методом последовательных приближений в комбинации с методом Адамса: ${{\bar {Y}}_{l}} = 0.25$ и ${{\bar {Y}}_{l}} = 0.40$ при $\nu = 2.5$; ${{\bar {Y}}_{l}} = 0.50$ и ${{\bar {Y}}_{l}} = 0.75$ при $\nu = 3.0$; ${{\bar {Y}}_{l}} = 0.65$ и ${{\bar {Y}}_{l}} = 0.90$ при $\nu = 3.5$ (два начальных значения ${{\bar {Y}}_{l}}$ для одного $\nu $ приводят к одному и тому же результату). Результаты сходящихся с точностью до 10^–9 решений для углов поворота $\theta ({s \mathord{\left/ {\vphantom {s l}} \right. \kern-0em} l})$ в точках ${s \mathord{\left/ {\vphantom {s l}} \right. \kern-0em} l} = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 4}} \right. \kern-0em} 4},\;{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2},\;{3 \mathord{\left/ {\vphantom {3 4}} \right. \kern-0em} 4},\;1.0$ приведены в табл. 1 в строках I.

При использовании КЭ-модели стержень делился на m = 4 и m = 8 одинаковых “консольных” КЭ (${{a}_{k}} = {l \mathord{\left/ {\vphantom {l m}} \right. \kern-0em} m}$, $E{{I}_{k}} = EI$, ${{R}_{k}} = 0$ при $k = 1,2, \ldots ,m - 1$). В качестве нулевого приближения при решении уравнений (2.9) методом последовательных приближений в этом случае использовались результаты решения уравнений (4.1) для $\theta ({s \mathord{\left/ {\vphantom {s l}} \right. \kern-0em} l})$. Полученные решения для рассмотренных случаев (ν, m) приведены в табл. 1 (строки II и III для m = 4 и m = 8, соответственно).

На рис. 4, a, b, c показаны формы изгиба стержня в безразмерных координатах $\bar {X} = {X \mathord{\left/ {\vphantom {X l}} \right. \kern-0em} l}$, $\bar {Y} = {Y \mathord{\left/ {\vphantom {Y l}} \right. \kern-0em} l}$ для значений $\nu = {{R}_{l}}{{l}^{2}}{\text{/}}EI$, равных 2.5, 3.0, 3.5, соответственно.

Сравнения результатов решения уравнений (4.1) и (2.9) показывают, что КЭ-модель сильного изгиба стержня имеет достаточно высокую точность.

5. Примеры расчета. Рассмотрим параболическую антенну с формой $Y = \lambda {{X}^{2}}$ при трех значениях параметра $\lambda $: 1/15, 1/10, 1/5; число радиальных стержней n = 24. Углы наклона стержней в начальном прямолинейном положении (рис. 1, b), в котором участки тросов, соединяющих k-е узлы стержней, также являются прямолинейными и ненатянутыми, приняты равными ${{\beta }_{0}} = {{60}^{0}}$ при $\lambda = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {15}}} \right. \kern-0em} {15}}$ и $\lambda = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {10}}} \right. \kern-0em} {10}}$, ${{\beta }_{0}}$ = 70° при λ = 1/5. Длина центрального недеформируемого участка равна ${{a}_{0}} = 0.25$ м (${{\delta }_{0}} = 0$). Максимальный диаметр антенны составляет около 20 м.

Выполнены расчеты сильного изгиба радиальных стержней антенны под действием реакций растянутых тросов в конечном деформированном состоянии циклически симметричной системы. Результаты получены путем решения нелинейных алгебраических уравнений (3.2), (3.3) по методу последовательных приближений с точностью до 10^–9 относительно неизвестных ${{\theta }_{k}}$, ${{R}_{k}}$ с учетом условий связи (3.1), обеспечивающих точное выполнение заданной формы антенны в узлах по координатам ${{X}_{k}}$, ${{Y}_{k}}$, k = = 1, 2, …, m. При этом в качестве начальных приближений для ${{\theta }_{k}}$ использовались значения $\theta _{k}^{0}$ заданной формы, т.е. $\theta _{k}^{{(0)}} = \theta _{k}^{0}$.

Рассмотрены два расчетных случая для каждой из 3-х антенн, отличающихся значением $\lambda $:

1) Радиальный стержень антенны делится на 4 упругих звена ($m = 4$, k = 1, 2, 3, 4) длиной ${{a}_{k}} = 3$ м; заданные изгибные жесткости этих звеньев $E{{I}_{k}}$, Па · м⁴ и проектные углы наклона в узлах заданной формы $\theta _{k}^{0} = {\text{arctg(2}}\lambda {{X}_{k}}{\text{)}}$ представлены в табл. 2. Формы радиального стержня в начальном недеформированном состоянии (пунктирная линия) и в требуемом конечном деформируемом состоянии (сплошная линия) для $m = 4$ при $\lambda = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {15}}} \right. \kern-0em} {15}},\;{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {10}}} \right. \kern-0em} {10}},\;{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 5}} \right. \kern-0em} 5}$ представлены на рис. 5, a, b, c, соответственно, в координатах $X$, $Y$, м.

2) Радиальный стержень делится на 6 упругих звеньев ($m = 6$, k = 1, 2, …, 6) длиной ${{a}_{k}} = 2$ м; для этого случая значения $E{{I}_{k}}$, Па · м⁴ и углы $\theta _{k}^{0}$ представлены в табл. 3. Формы радиального стержня в начальном и требуемом конечном состояниях при $\lambda = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {15}}} \right. \kern-0em} {15}}$, 1/10, 1/5 представлены в координатах $X$, $Y$, м на рис. 6, a, b, c, соответственно.

Полученные значения ${{\theta }_{k}}$, ${{R}_{k}}$, Н, а также относительные деформации растяжения тросов ${{\varepsilon }_{k}}$ и требуемые для получения заданной формы антенны жесткости тросов на растяжение ${{E}_{T}}{{F}_{k}}$ (Па · м²), которые определяются по формуле ${{R}_{k}} = 2{{E}_{T}}{{F}_{k}}{{\varepsilon }_{k}}\sin ({\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi n}} \right. \kern-0em} n})$, приведены в табл. 2 и табл. 3 соответственно для случаев m = 4 и $m = 6$, $k = 1,2, \ldots ,m$.

В табл. 4 и табл. 5 для случаев m = 4 и $m = 6$, соответственно, приведено сравнение точности решения путем сравнения изгибающих моментов ${{M}_{k}}$, Н · м, $k = 1,2$, ..., m – 1, в узлах стержня в конечном деформированном состоянии: I – вычисленные из уравнения равновесия отсеченной части при найденных реакциях ${{R}_{k}}$: M_k = $\sum\limits_{i = k + 1}^m {{{R}_{k}}({{Y}_{i}} - {{Y}_{k}})} $; II – найденные при решении нелинейной задачи в перемещениях по методу конечных элементов средние значения в узле: ${{M}_{k}} = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}({{M}_{k}}({{a}_{k}}) + {{M}_{{k + 1}}}(0))$, где M_k(a_k) = ${{2E{{I}_{k}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2E{{I}_{k}}} {{{a}_{k}}}}} \right. \kern-0em} {{{a}_{k}}}}( - 3{{\bar {\upsilon }}_{k}}$ + + 2ϑ_k), ${{M}_{{k + 1}}}(0) = {{2E{{I}_{{k + 1}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2E{{I}_{{k + 1}}}} {{{a}_{{k + 1}}}}}} \right. \kern-0em} {{{a}_{{k + 1}}}}}(3{{\bar {\upsilon }}_{{k + 1}}} - 2{{\vartheta }_{{k + 1}}})$. Результаты сравнения показывают высокую точность, полученную при решении нелинейных алгебраических уравнений КЭ-модели методом последовательных приближений.

6. Заключение. Предложена конструктивная схема и разработана математическая модель для расчета формообразования циклически симметричной космической зонтичной антенны, образованной системой гибких многозвенных радиальных стержней, связанных по параллелям в определенных узловых точках растяжимыми тросами. Изгиб стержней в радиальной плоскости с учетом реакций тросов создается путем поворота корневых частей стержней силой медленно перемещающегося штока демпфирующего гидроцилиндра под действием предварительно сжатых пружин. Модель сильного изгиба нерастяжимого стержня антенны построена с использованием “консольных” конечных элементов (звеньев), допускающих большие перемещения и повороты как твердых тел и относительные упругие перемещения с двухчленной аппроксимацией по длине элемента с учетом его усадки за счет изгиба в квадратичном приближении. Полученные нелинейные уравнения решаются методом последовательных приближений относительно неизвестных реакций тросов при заданных значениях изгибных жесткостей элементов стержня и заданных радиальных и осевых координат узлов, точно соответствующих форме моделируемой антенны. По найденным значениям реакций тросов с учетом известных их перемещений в узлах определяются необходимые для обеспечения заданной формы антенны жесткости тросов на растяжение.

Выполнена оценка точности разработанной модели путем сравнения с численным решением задачи сильного изгиба консольного стержня под действием продольной сжимающей силы, превышающей критическую силу потери устойчивости стержня.

В качестве примера выполнены расчеты для параболической антенны с n = 24 радиальными стержнями и с m = 4 и m = 8 составляющих их звеньями (соответственно – тросов).

Работа выполнена в рамках государственного задания ИПРИМ РАН (номер госрегистрации темы АААА-А19-119012290118-3).