Известия РАН. Механика твердого тела, 2021, № 6, стр. 156-164

Введение. В современной технике находят широкое применение самосмазывающиеся композиты, содержащие твердую смазку в виде мягкой фазы. При трении такого композита происходит выделение смазки и образование поверхностной твердо-смазочной пленки [1, 2]. К настоящему времени разработан ряд теоретических моделей образования такой пленки, использующих концепцию пластического выдавливания смазки из композита в результате деформирования его матрицы [3–5]. В работе [6] с использованием такой концепции выполнен расчет кинетики роста и одновременного изнашивания твердо-смазочной пленки, при этом в качестве механизма изнашивания рассматривалось пластическое оттеснение (пропахивания) материала микронеровностями контртела.

Ниже описывается теоретическая модель роста и одновременного изнашивания твердо-смазочной пленки на поверхности покрытия из самосмазывающегося композита в упорном подшипнике скольжения. Упругое поведение пленки и покрытия описывается упрощенной моделью Винклера [7, 8]. На основе феноменологических законов роста и изнашивания твердо-смазочной пленки выводятся уравнения, позволяющие рассчитывать кинетику изменения ее толщины, контактного давления, момента трения, а также оценивать ее долговечность по критерию износа.

1. Постановка задачи. Рассмотрим двухслойное покрытие 1+2, сцепленное с абсолютно жестким основанием 3 и контактирующее с пятой 4 упорного подшипника скольжения, которая вращается с постоянной угловой скоростью $\omega $ и находится под действием заданной нагрузки $P$ (рис. 1). Пользуясь осевой симметрией задачи, расположим начало O системы координат посередине кольцевой области контакта, при этом совместим координатную ось x с поверхностью покрытия вне области контакта, направив ее вдоль некоторого радиуса пяты (рис. 1). Область контакта пяты с покрытием будем считать неизменной и представлять отрезком [–a, a] оси x, причем a = = $({{r}_{2}} - {{r}_{1}}){\text{/}}2 = {{r}_{0}} - {{r}_{1}}$. Форму подошвы пяты в выбранной системе координат зададим уравнением

где $\delta $ – внедрение в покрытие точки поверхности пяты с координатой x = 0. Скорость $V$ скольжения пяты по покрытию определяется по формуле а нагрузка $P$ связана с контактным давлением p условием равновесия

Показанное на рис. 1 двухслойное покрытие состоит из композитного покрытия (КП) 1 и твердо-смазочной пленки (ТСП) 2, которая с течением времени $t$ растет за счет выделения из КП твердой смазки и одновременно изнашивается в результате контактного взаимодействия с пятой. Подобный процесс можно описать следующими равенствами:

в которых h_i – толщина КП (i = 1) или ТСП (i = 2) в недеформированном состоянии, ${{h}_{{i0}}}$ – значение h_i в начальный момент времени $t = 0$, q и $W$ – прирост толщины и линейный износ ТСП. Коэффициент $\chi > 0$ учитывает уменьшение толщины КП при выделении из него твердой смазки. По условию задачи $q(x,0) = W(x,0) = 0$.

Основываясь на полученных ранее результатах [3–5, 9], будем использовать феноменологические законы роста и изнашивания ТСП:

определяющие скорости изменения величин q и $W$ по пути трения $l$ в зависимости от контактного давления p и скорости скольжения $V$ для каждой точки контакта. Функция $D(p,V)$ параметрически зависит от структурных и физико-механических характеристик КП, а функция $F(p,V)$ определяется износостойкими свойствами ТСП. Параметр ${{q}_{m}}$ задает максимально возможный прирост толщины ТСП, обусловленный ограниченным количеством твердой смазки в КП, так что $q \in [0,{{q}_{m}})$. Множитель $(1 - q{\text{/}}{{q}_{m}})$ в первом выражении (1.5) отвечает линейной зависимости количества выделяемой твердой смазки от ее текущей концентрации в КП, что подтверждается расчетами [4, 5]. В качестве возможного варианта, функции $D(p,V)$ и $F(p,V)$ могут быть линейными по аргументу $p$ и не зависеть от скорости скольжения $V$: где ${{\alpha }_{1}}$ и ${{\alpha }_{2}}$ – некоторые параметры.

Существование максимальной величины ${{q}_{m}}$ прироста толщины ТСП, при том, что износ ТСП монотонно увеличивается, означает возможность полного изнашивания ТСП в некоторый момент ${{t}_{ * }}$ времени в некотором месте с координатой ${{x}_{ * }}$, так что

В дальнейшем величина ${{t}_{ * }}$ будет использоваться в качестве характеристики долговечности ТСП по критерию износа.

Допустим, что под действием контактного давления $p$ КП и ТСП деформируются упруго, при этом упругие свойства КП описываются усредненными значениями модуля Юнга ${{E}_{{{\kern 1pt} 1}}}$ и коэффициента Пуассона ${{\nu }_{1}}$ [4]. Кроме того, примем концепцию асимптотически тонкого слоя, согласно которой напряженно-деформированное состояние слоя толщины $h$ в продольном направлении на расстояниях ∼$h$ изменяется незначительно [7]. Все это позволяет воспользоваться упрощенной моделью Винклера для определения упругой осадки $\hat {w}$ поверхности ТСП, связанного с КП [8]:

Здесь $A(x,t) = {{B}_{1}}(x,t){{h}_{1}}(x,t) + {{B}_{2}}(x,t){{h}_{2}}(x,t)$ – коэффициент податливости двухслойного покрытия КП+ТСП, причем слагаемые ${{B}_{i}}{{h}_{i}}$ определяют податливость отдельно КП (i = 1) и ТСП (i = 2), ${{B}_{i}} = (1 - 2{{\nu }_{i}})(1 + {{\nu }_{i}}){{[(1 - {{\nu }_{i}}){{E}_{i}}]}^{{ - 1}}}$. Учитывая, что в процессе контактного взаимодействия с пятой состав КП изменяется, следует положить B₁(x, t) = = ${{\beta }_{1}}(q(x,t))$, где ${{\beta }_{1}}(q)$ – функция, определяющая изменение податливости КП при выделении из него твердой смазки. Допуская однородность материала ТСП, коэффициент ${{B}_{2}}$ будем считать постоянным. С учетом равенств (1.4) вышесказанное позволяет записать следующее выражение для коэффициента податливости:

Имеет место условие контакта:

в котором $h = {{h}_{1}} + {{h}_{2}}$ – текущая толщина двухслойного покрытия КП+ТСП, h₀ = ${{h}_{{10}}} + {{h}_{{20}}}$.

Ставится задача: основываясь на записанных выше соотношениях, по заданной нагрузке $P(t)$ рассчитать кинетику изменения во времени толщин ${{h}_{1}}(x,t)$ КП и ${{h}_{2}}(x,t)$ ТСП, а также контактного давления $p(x,t)$.

2. Система определяющих уравнений. Прежде всего, выразим контактное давление $p(x,t)$ через функции $q(x,t)$, $W(x,t)$ и $\delta (t)$. Для этого подставим в равенство (1.10) выражения (1.4) и (1.8) для толщин ${{h}_{1}}$, ${{h}_{2}}$ и упругой осадки $\hat {w}$ при учете формулы (1.9) для коэффициента $A(x,t)$. В результате можно прийти к искомому выражению

Согласно полученному выражению, начальное распределение ${{p}_{0}}(x) = p(x,0)$ контактного давления определяется по формуле

где ${{\delta }_{0}} = \delta (0)$, ${{A}_{0}} = {{B}_{{10}}}{{h}_{{10}}} + {{B}_{2}}{{h}_{{20}}}$, ${{B}_{{10}}} = {{\beta }_{1}}(0)$. Если положить в условии равновесия (1.3) $t = 0$ и подставить в него правую часть равенства (2.2), то можно получить следующее выражение начального внедрения ${{\delta }_{0}}$ через известную нагрузку ${{P}_{0}} = P(0)$:

Перейдем теперь в законах (1.5) роста и изнашивания ТСП от производной по пути $l$ трения к производной по времени $t$, используя соотношение $dl = Vdt$. Тогда при учете выражения (2.1) для контактного давления p можно получить следующие уравнения относительно функций $q(x,t)$ и $W(x,t)$:

причем

Уравнения (2.4) кроме функций $q(x,t)$ и $W(x,t)$ содержат еще одну неизвестную функцию $\delta (t)$, дополнительное уравнение для которой может быть построено на основе условия равновесия (1.3). А именно, следуя известной процедуре [10], продифференцируем по $t$ это условие с внесением операции дифференцирования под знак интеграла. Полученную таким образом производную $\dot {p}(x,t)$ заменим правой частью выражения (2.1), предварительно продифференцированной по $t$ с заменой производных $\dot {q}(x,t)$ и $\dot {W}(x,t)$ правыми частями уравнений (2.4). Выделяя из полученного равенства производную $\dot {\delta }(t)$, придем к искомому уравнению

в котором ${{{\rm E}}_{1}}$ и ${{{\rm E}}_{2}}$ – функционалы, определяемые по формулам При записи двух последних выражений аргументы x, t у функций $q(x,t)$, $W(x,t)$ и $\delta (t)$ для краткости опускаются, а также используется функция

Равенства (2.4) и (2.5) образуют систему уравнений, определяющих функции $q(x,t)$, $W(x,t)$ и $\delta (t)$. Эта система решается при начальных условиях

причем ${{\delta }_{0}}$ определяется по формуле (2.3). Найденные функции $q(x,t)$, $W(x,t)$ и $\delta (t)$ позволяют по формулам (1.4) и (2.1) рассчитать кинетику изменения во времени толщин ${{h}_{1}}$ КП и ${{h}_{2}}$ ТСП, а также контактного давления $p$ и, тем самым, решить поставленную выше задачу.

Замечание. Система уравнений (2.4), (2.5) является нелинейной и ее решение возможно только численно, даже в случае (1.6) линейных законов роста и изнашивания ТСП. Однако в этом случае можно установить аналитическую связь функций $q(x,t)$ и $W(x,t)$ между собой. Для этого следует исключить из правых частей уравнений (2.4) комплекс $V(x)\Pi \left( {x,q(x,t),W(x,t),\delta (t)} \right)$ и для каждого $x$ получить дифференциальное уравнение относительно $q$ с независимой переменной W. Это уравнение имеет аналитическое решение, которое определяет искомую связь

Укажем ряд ограничений, которым должны удовлетворять используемые величины. Прежде всего, отметим, что толщина ${{h}_{1}}$ КП принимает только положительные значения, поэтому, в силу первого равенства (1.4), величина $q$ ограничена неравенством: $q(x,t) < {{h}_{{10}}}{\text{/}}\chi $. Это неравенство выполняется, если ${{q}_{m}} \leqslant {{h}_{{10}}}{\text{/}}\chi $, так как согласно данному выше определению параметра ${{q}_{m}}$: $q(x,t) \in [0,{{q}_{m}})$.

Положительные значения также принимает контактное давление $p$, а осадка ${{\hat {w}}_{i}}$ = = B_ih_ip каждого слоя двухслойного покрытия КП+ТСП по физическому смыслу должна быть меньше толщины ${{h}_{{{\kern 1pt} i}}}$ соответствующего слоя. Подобные ограничения представляются следующими неравенствами

В случае, когда ТСП изначально отсутствует (${{h}_{{20}}} = 0$) и появляется в результате взаимодействия пяты с КП, необходимо наложить ограничение $0 < {{\dot {h}}_{2}}(x,0)$. В силу соотношений (1.4), (2.1) и (2.4), это ограничение эквивалентно неравенству

которое имеет простой физический смысл – в начальный момент ТСП растет быстрее, чем изнашивается.

3. Численный анализ взаимодействия пяты с двухслойным покрытием КП+ТСП выполнялся на основе решения системы дифференциальных уравнений (2.4) и (2.5) относительно функции $q(x,t)$, $W(x,t)$ и $\delta (t)$ с использованием численного метода Рунге–Кутты четвертого порядка точности. Целью расчетов было выявление характерных особенностей процесса роста ТСП при его одновременном изнашивании. Рассматривался случай постоянной во времени нагрузки $P(t)$ и использовались линейные законы (1.6) роста и изнашивания ТСП. Упругие свойства КП считались неизменными во времени, поэтому функция ${{\beta }_{1}}(q)$ принималась постоянной и равной ${{B}_{1}}$. При расчетах контролировалось выполнение неравенств (2.6).

Расчеты проводились при следующих значениях параметров задачи: ${{r}_{1}} = $ 2 мм, ${{r}_{2}} = $ = 22 мм, $a = $ 10 мм, ${{h}_{{10}}} = $ 1 мм, ${{h}_{{20}}} = 0$, $\omega = $ 100 с^–1, ${{q}_{m}} = 0.2{{h}_{{10}}}$, $\chi = 0.1$, ${{E}_{{{\kern 1pt} 1}}} = 100$ МПа, ${{E}_{{{\kern 1pt} 2}}} = 25$ МПа, ${{\nu }_{{{\kern 1pt} 1}}} = {{\nu }_{{{\kern 1pt} 2}}} = 0.25$, ${{\alpha }_{1}} = 4 \times {{10}^{{ - 16}}}$ Па^–1, ${{\alpha }_{2}} = {{10}^{{ - 16}}}$ Па^–1. Форма пяты описывалась линейной функцией

где $k$ – коэффициент, характеризующий угол наклона профиля пяты, причем значение k = 0 отвечает случаю плоской пяты, а значения $k \ne 0$ – случаю конической пяты. Значения коэффициента k, а также нагрузки $P$ указываются ниже отдельно для каждого численного примера.

Для графического представления результатов расчетов используются безразмерные величины, $\tilde {x} = x{\text{/}}a$, $\tilde {t} = t{\text{/}}{{t}_{c}}$, $\tilde {p} = p{\text{/}}{{p}_{a}}$, ${{\tilde {h}}_{2}} = {{h}_{2}}{\text{/}}{{h}_{{10}}}$, $\tilde {P} = P{\text{/}}{{P}_{a}}$, где ${{t}_{c}} = {{10}^{5}}$ с, ${{p}_{a}} = P{\text{/}}S$, ${{P}_{a}} = ({{E}_{1}} + {{E}_{2}})S{\text{/}}2$, $S = \pi (r_{2}^{2} - r_{1}^{2})$ – площадь контакта.

Отметим, что выбранные коэффициенты ${{\alpha }_{1}}$, ${{\alpha }_{2}}$ удовлетворяют неравенству ${{\alpha }_{2}} < {{\alpha }_{1}}$, которое эквивалентно неравенству (2.7) в рассматриваемом случае (1.6) линейных законов роста и изнашивания ТСП. Как указывалось выше, выполнение неравенства (2.7) необходимо при выбранном нулевом значении начальной толщины ${{h}_{{20}}}$ ТСП.

Кинетика изменения толщины ${{h}_{2}}(x,t)$ ТСП и контактного давления $p(x,t)$ показана на рис. 2 и 3, соответственно, при k = 0 (случай плоской пяты) и $k = 6.25 \times {{10}^{{ - 3}}}$ (случай конической пяты). Представленные на этих рисунках кривые отвечают следующим моментам времени: $\tilde {t} = $ 0 (1); 0.0345 (2); 0.1799 (3); 0.3616 (4); 0.8158 (5); 1.0884 (6); 1.4517 (7). Значение нагрузки в обоих случаях составляет $\tilde {P} = 0.144$ ($P = 13.57$ кН).

Представленные графики свидетельствуют о существенном влиянии формы пяты на кинетику роста/изнашивания ТСП. В частности, видно, что коническая пята обеспечивает большую долговечность ${{t}_{ * }}$ ТСП. Кроме того, расчеты свидетельствуют о том, что коническая пята обеспечивает режим трения с более низким и стабильным моментом трения M, рассчитанным по формуле

где $\mu $ – коэффициент трения скольжения. Например, при $\mu = 0.2$ значения ${{M}_{{\min }}}\, = \,\mathop {\min }\limits_{t \in [0,{{t}_{ * }}]} M(t)$ и ${{M}_{{\max }}} = \mathop {\max }\limits_{t \in [0,{{t}_{ * }}]} M(t)$ для плоской пяты составляют 37.08 и 41.44 Н ⋅ м, соответственно, тогда как для конической пяты: 34.07 и 35.74 Н ⋅ м.

При пониженных нагрузках $P$ возможно протекание процесса, когда на его начальной стадии наблюдается значительная неоднородность по $x$ роста толщины ${{h}_{2}}(x,t)$ ТСП, т.е. проявляется эффект выпячивания ТСП. Это может приводить к локальному нарушению контакта пяты и ТСП. Подобное протекание процесса роста/изнашивания ТСП в случае k = 0 (плоская пята) и $\tilde {P} = 0.048$ ($P = 4.524$ кН) иллюстрирует рис. 4, на котором кривые отвечают следующим моментам времени: $\tilde {t} = $ 0 (1); 0.0540 (2); 0.1085 (3); 0.2175 (4); 0.3265 (5). Представленные графики демонстрируют интенсивный рост толщины ТСП на периферии области контакта (окрестность $x = a$), что приводит к снижению контактного давления до нуля и нарушению контакта пяты и ТСП на внутренней границе $x = - a$ области контакта.

На рис. 5 показаны зависимости долговечности ${{t}_{ * }}$ ТСП, определяемой условием (1.7), от нагрузки $P$ при k = 0 (плоская пята) (a) и $k = 6.25 \times {{10}^{{ - 3}}}$ (коническая пята) (b). Как и следовало ожидать, долговечность ТСП снижается с ростом нагрузки, причем коническая пята обеспечивает большую долговечность.

4. Выводы. 1. Предложена математическая модель процесса одновременного роста и изнашивания ТСП в упорном подшипнике скольжения в предположении, что ТСП образуется на поверхности КП за счет выделения из него твердой смазки.

2. Расчетным путем выявлены характерные особенности рассматриваемого процесса. Показано, что кинетика изменения толщины ТСП и контактного давления существенно зависит от формы пяты. В частности, использование конической пяты приводит к повышению долговечности ТСП по критерию износа и обеспечивает режим трения с более низким и стабильным моментом трения.

3. Выявлен эффект выпячивания ТСП при пониженных нагрузках, приводящий к локальному нарушению контакта пяты и ТСП.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (20-58-00007).