Известия РАН. Механика твердого тела, 2022, № 2, стр. 124-134

При выяснении природы света Декарт и Ньютон рассматривали отражение света от зеркальной поверхности и его преломление при пересечении границы раздела прозрачных сред. Похожее поведение демонстрирует упругий шар при соударении с твердой преградой или когда он на скорости пересекает границу раздела двух деформируемых сред. При пересечении лучом света или шаром не по нормали к границе раздела сред происходит преломление траектории. Но при переходе луча света из воздуха в воду угол между ним и нормалью к поверхности уменьшается, а у шара увеличивается. Для света Снелл определил закон преломления при переходе его через границу раздела прозрачных сред в виде

Затем Ферма установил принцип, которому следует свет при своем движении, принцип наименьшего времени, из которого следует и закон Снелла. Принцип реализуется потому, что луч света в однородных средах распространяется прямолинейно с постоянной скоростью, но отличающейся в зависимости от их свойств. К тому же при переходе через плоскую границу двух сред скорость меняется скачком. В результате коэффициент преломления К, определяемый законом Снелла приобретает форму

где $\theta $ – угол между нормалью к поверхности раздела и вектором скорости. Нижние индексы обозначают: i – начальную скорость подхода и угол подхода, r – их значения по пересечении границы. То есть коэффициент преломления зависит от отношения скоростей в контактирующих средах.

В отличие от света движение шара в среде происходит с потерей скорости. При косом входе шара из воздуха в воду сохраняется прямолинейность траектории после удаления от границы. Но шар имеет различимые нами размеры, и поэтому от начала погружения и до удаления от границы раздела на расстояние 1.3 диаметра можно наблюдать искривление траектории [1, 2]. Силы сопротивления среды на этом участке изменяют направление движения шара. В этой зоне формируется то, что произойдет дальше: преломление траектории и прямолинейное погружение шара вглубь среды (рис. 1), или рикошет шара (рис. 2). Эксперименты по косому входу в воду стального и дюралевого шара и теоретические расчеты с учетом всех этих факторов [2, 3] привели к следующему значению критического угла между вектором скорости и поверхностью воды ${{\beta }_{с}}$, разделяющего их значения, при которых происходит либо рикошет либо вход в воду. Угол в радианах.

где $\eta $ – отношение плотностей материала сферы и жидкости, $F = {v}_{0}^{2}{\text{/(}}rg)$ – число Фруда, ${{{v}}_{0}}$ – скорость соударения, $r$ – радиус сферы, $g$ – ускорение свободного падения. Однако, влияние числа Фруда для стального шара диаметром 1 см становится очень малым уже при скорости 50 м/с, и ${{\theta }_{c}}$ практически не зависит от скорости вплоть до 900 м/с. Скоростная киносъемка входа сферы в воду показала, что при достаточной начальной скорости можно с хорошей точностью определить положение прямолинейного участка траектории относительно свободной поверхности среды. Оказалось, что так же, как и у света, для воды коэффициент преломления определяется отношением синуса угла, образованного вектором скорости и нормалью к поверхности воды, к синусу угла по пересечении границы раздела

Он не зависит от скорости и угла входа пока $\sin {{\theta }_{r}} \leqslant 1$. При равенстве единице

Здесь К зависит от отношения плотностей шара и воды. Плотность воздуха, из которого шар входит в воду, сравнительно мала и роли не играет. Но когда плотности контактирующих сред сравнимы, это должно отразиться на значении коэффициента преломления, как проявляется в случае света, когда К зависит от отношения скоростей в средах.

Опыты по косому входу шара в пластилин, который отличается от воды удельной плотностью и наличием прочности, позволили также определить существование прямолинейного участка траектории после прохождения границы раздела воздух-пластилин (рис. 3), и предельную глубину погружения при рикошете (рис. 4). На рис. 4 видна траектория движения шара при критическом угле входа в пластилин. Влияние отношения удельных плотностей на критический угол приведено выше, а возможность определить коэффициент преломления показала, что он не зависит от угла входа при постоянной скорости, но при постоянном угле меняется с изменением начальной скорости. С ростом начальной скорости соударения коэффициент приближается к его значению для жидкости, имеющей плотность пластилина (рис. 5). Рис. 5 показывает зависимость критического угла рикошета ${{\theta }_{с}}$ от начальной скорости входа ${{{v}}_{0}}$ м/с, где $ \bullet $ – вода, $\bigcirc $ – песок, “+” – пластилин, штриховая прямая – вычисление по Биркгофу для воды, штрих-пунктир – вычисление по Биркгофу для жидкости с плотностью пластилина. При больших скоростях коэффициент преломления в механике зависит от отношения плотностей шара и среды, при входе из воздуха. В оптике, как отмечалось, от отношения в них скоростей света. Но в первом случае, при переходе из менее плотной среды в более плотную он меньше единицы, а во втором больше единицы. Это противоречие, в какой-то мере, решается в электродинамике.

При пересечении лучом света границы раздела прозрачных сред при определенных углах могут возникнуть либо полное внутреннее отражение, либо разделение его на отраженный и преломленный, либо преломление. При наклонном входе одного шара происходит отражение (рикошет) или преломление. Экспериментальные исследования по наклонному входу группы тел в упругопластическую среду [4] показали возможность возникновения такой же ситуации, как в оптике. На рис. 6 приведен результат внедрения движущихся в воздухе гуськом двух шаров, а на рис. 7 – трех шаров, под различными углами. При скорости входа 250 м/с критический угол входа в пластилин стального шарика, отсчитываемый от горизонта, составляет 12°. Если при тех же условиях в пластилин входят гуськом два шарика, то рикошетирует только первый шар. Это же происходит при угле входа $\beta $ в пределах 9° < $\beta $ $ \leqslant $ 13°. Нет рикошета у обоих при $\beta $ $ \geqslant $14°, оба рикошетируют при $\beta $ < 9°. В случае трех шариков рикошет может происходить одного, двух и трех шариков. Один рикошетирует при 9° $ \leqslant $ $\beta $ $ \leqslant $ 14°, два – при 7° < < $\beta $ < 9°, все три – при $\beta $ $ \leqslant 7^\circ $. При $\beta $ >15° все проникают в среду. При косом входе четырех шариков один рикошетирует при 9° $ \leqslant \beta \leqslant $ 15°, два – при 7° $ < \beta \leqslant $ 9°, все – при $\beta \leqslant $ 7°, нет рикошета при $\beta $ > 16°. Рикошет трех шариков получить не удалось. Очевидно, на рикошет первого шарика главным образом влияет второй. На рикошет двух шариков третий оказывает гораздо меньшее влияние, а четвертый в развитии рикошета роли фактически не играет. Т.е. и у шаров могут происходить полное внутреннее отражение, преломление с отражением и только преломление.

Для количественной оценки таких же событий, происходящих при наклонном входе света в прозрачную среду, вводят понятие интенсивностей отраженной R и преломленной T волны. Для них в электродинамике дается следующее соотношение

Здесь R – отношение интенсивности отраженной и падающей волны – коэффициент отражения, i – угол падения, r – угол преломления. Величина коэффициента Т определяется из равенства R + T = 1 при отсутствии потерь. В опытах с шарами задается угол падения, а коэффициент отражения оценивается по относительному количеству рикошетировавших шаров. Как ясно видно из рис. 6 и рис. 7, угол преломления определить невозможно. Но тенденция выясняется, если на полученных фотографиях указать угол падения. Становится ясно, что $i \leqslant r$. А это должно следовать из того, что коэффициент преломления в нашем случае меньше единицы. Из приведенного соотношения можно вычислить r, задавшись i и R, которое определяем как отношение вылетевших из пластилина шаров к общему числу. Из двух решений уравнения (1) есть одно, которое удовлетворяет условию $i \leqslant r$. При этом r ≤ π/2, если угол падения меньше угла, при котором все шары данной группы рикошетируют. Если угол падения равен углу, при котором происходит полный рикошет (полное отражение R = 1), то $r = \pi {\text{/}}2$. Такие ответы дает решение уравнения (1). Они не противоречат результатам в области механики.

В случае послойного расположения шариков разница между углами, при которых происходит внедрение всех шариков, и углом, при котором все они рикошетируют, значительно увеличивается. При этих экспериментах шарики для выстрела укладывались плотно в тонкий деревянный стаканчик послойно по 7 штук в слое, один в центре. Внутренний диаметр стаканчика был равен трем диаметрам шариков.

Например, при 28 стальных шариках, уложенных в деревянный стакан в 4 слоя, все внедряются при угле между вектором скорости и поверхностью пластилина больше 45°, а рикошетируют все при угле меньше 5°. Скорость входа 250 м/с, температура пластилина 20° + 0.5°С. В промежутке между этими углами количество рикошетирующих шариков убывает по мере возрастания угла входа. Экспериментальные данные для этого типа тел представлены на рис. 8. По оси ординат показана доля внедрившихся шариков п, по оси абсцисс – величина ${{\theta }_{r}} = (\beta - {{\beta }_{1}}){\text{/}}({{\beta }_{2}} - {{\beta }_{1}})$, где $\beta $ – угол наклона к поверхности пластилина вектора скорости входа, ${{\beta }_{1}}$ – угол входа, при котором все шарики рикошетируют, ${{\beta }_{2}}$ – угол входа, при котором все шарики внедряются. Темными точками отмечены результаты для тела, состоящего из 28 шариков, светлыми – из 21 (три слоя), крестиками – из 14 (два слоя). В отмеченных координатах результаты для всех трех тел мало отличаются.

Если вектор скорости на входе образует с нормалью к поверхности i = 50°, то внедряются n = 87.5% шариков. Значит коэффициент отражения R = 0.125. В этом случае из уравнения (1) для угла преломления получаем значение в пределах i < r  = 71.6° < 90°, что соответствует характеристикам контактирующих сред. Когда i = 60°, n = 63.5%, R = = 0.375, угол преломления r = 87 < 90°. При i = 80°, n = 0.25, R = 0.75, угол преломления r = 88 < 90°. В случае i = 85° все шарики рикошетируют (полное внутреннее отражение) R = 1, вычисление дает r = 90°. Все шарики погружаются при i = 45°. В этом случае R = 0, а сумма углов r + i = 90°. В оптике угол падения, при котором r + i = 90° и R = 0, называется углом Брюстера. Можно ли говорить о влиянии на рикошет и преломление, например, способа укладки шариков? В нашем случае, плоскость, на которой находятся шарики в слое, перпендикулярны вектору скорости и расположены на расстоянии одного диаметра друг от друга. Это похоже на определение плоской монохроматической волны. Возможно такое расположение шариков привело к совместному выполнению условий Брюстара.

В этих экспериментах угол преломления невозможно определить. Он складывается, как показали эксперименты с одним шаром, при погружении его на глубину 1.3d, а дальше шар движется прямолинейно. При послойном расположении шаров, они при погружении расходятся под различными углами к поверхности. Вычисленные с помощью (1) значения r дают его оценку, не противоречащую теории.

При погружении по нормали к поверхности и послойном начальном расположении шариков периферийные шарики при погружении удаляются от траектории движения центральных шариков. На рис. 9 показана в разрезе каверна от внедрения в пластилин 21 шарика, уложенного в три слоя. Эти эксперименты приводятся для сравнения с результатами опытов Френеля по дифракции света на малом круглом отверстии в экране. Три центральных шарика идут по прямой до остановки. Два по бокам – это два из шести шариков первого слоя, остановившихся на той же глубине, и равномерно расположенных по окружности концентричной оси каверны центральных шариков. На рис. 10 показано положение шариков в среде после остановки каждого слоя. Представлены результаты проникания тел с различным числом слоев шаров, но с одинаковыми начальными скоростями. Косые кресты – один слой, светлые точки – два, темные точки – три, прямые кресты – четыре, треугольники – пять. По оси ординат – глубина проникания $H{\kern 1pt} *$, по оси абсцисс – расстояние до оси симметрии каверны х. Обе величины отнесены к диаметру шарика. В случае одного слоя центральный шарик проникает на меньшую глубину, чем одиночный (рис. 11 ). На рис. 11 видна каверна в пластилине при ударе семью шарами, плотно лежащими в одной плоскости (один в центре, шесть вокруг). С увеличением числа слоев расстояние шариков первого слоя относительно оси каверны и между ними по окружности растет. Расположение одинакового числа шариков в слое по окружности разных диаметров напоминает дифракционные кольца, образующиеся на плоском экране при падении на него света, прошедшего через круглое отверстие. В центре наибольшая плотность шаров, по удалении от него плотность убывает. Такое распределение плотностей колец Френеля получается при выполнении условия d² ~ 2Ll, где d – диаметр препятствия, L – расстояние до препятствия, l – длина волны. Это условие выполняется, если в нашем случае принять d – диаметр слоя шариков, L – глубина проникания, l – диаметр шарика.

В нашем случае, при соударении со средой переднего слоя, возникает не только сила сопротивления среды, но и давление шариков друг на друга. Для центральных шариков сопротивление среды осесимметрично, контакт с боковыми шариками сразу прекращается, как только они входят в соприкосновение со средой. Это вызвано тем, что перед ними возникает движение среды поперек направления погружения, приводящее к образованию каверны и поля напряжений, также уводящее их от линии движения центральных шариков [5].

В приведенных сравнениях фигурировали с одной стороны результаты, полученные в экспериментах с твердыми телами при их внедрении и движении по инерции в деформируемой среде, а с другой стороны – известные проявления свойств света как волнового процесса. В первом случае для описания используются законы динамики твердого тела и сплошной среды (законы Ньютона). Во втором – привлекаются и законы электродинамики. В представленных примерах (отражение, преломление, дифракция, интерференция) имеются как общие черты, так и различия. Такие факты часто бывают весьма плодотворны.

Работа выполнена по теме госзадания ИПМех РАН (номер госрегистрации АААА-А20-120011690132-4).