Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2020, № 5, стр. 61-64

1. ЛАМИНАРНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ

Расчет течения и теплообмена в сжимаемом ламинарном пограничном слое на проницаемой пластине был проведен с использованием системы уравнений неразрывности, движения, энергии и бинарной диффузии газов. В расчетах пластина обтекалась сверхзвуковым потоком ксенона с постоянной скоростью ${{u}_{e}}$ при числе Маха M = 3 и температуре торможения $T_{e}^{*}$ = 400 K.

На рис. 1 представлено изменение по длине () температуры стенки T_w, отнесенной к температуре адиабатной непроницаемой стенки ${{T}_{{aw0}}}$, для температуры вдуваемого газа (He) ${{T}_{j}} = {{T}_{{aw0}}}$, при которой достигается максимальная разность температур ${{T}_{j}} - {{T}_{w}}$. Как видно, для газовой смеси He(5%)–Xe с постоянным числом Pr = 0.18 (а) величина ∆T = $1 - {{T}_{w}}{\text{/}}{{T}_{{awo}}}$ не превосходит 4.5% при изменении на порядок интенсивности вдува $j_{w}^{0} = {{({\rho }{v})}_{w}}{\text{/}}{{({\rho }u)}_{e}}$, в то время как при вдуве He в Xe (б), когда число Прандтля газовой смеси на стенке Pr_w (в) переменно, величина ∆T достигает 12% при слабом вдуве ($j_{w}^{0}$ = 1 × 10^–5) и немного уменьшается с ростом $j_{w}^{0}$.

Рис. 1.

Изменение по длине проницаемой пластины для ламинарного пограничного слоя относительной температуры стенки ${{T}_{w}}{\text{/}}{{T}_{{aw0}}}$ при однородном вдуве газовой смеси He(5%)–Xe (а), относительной температуры стенки ${{T}_{w}}{\text{/}}{{T}_{{aw0}}}$ (б) и числа Прандтля на стенке Pr_w (в) при инородном вдуве гелия в ксенон для ряда значений интенсивности вдува: а – 1–6 – $j_{w}^{0}$, 10^–5 = 5; 10; 20; 30; 40; 50; б, в – 1–6 – $j_{w}^{0}$, 10^–5 = 1; 2; 4; 6; 8; 10; 7 – Pr(He) = = 0.6664; 8 – Pr(Xe) = 0.6756; 9 – Pr(He(5%)–Xe) = 0.184.

2. ТУРБУЛЕНТНЫЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ

Для подтверждения обнаруженного эффекта в турбулентном пограничном слое в настоящей работе были проведены также расчеты вдува гелия в сверхзвуковой поток ксенона (M = 3, $T_{e}^{*}$ = = 400 K, $j_{w}^{0}$ = 2 × 10^–4). Расчет течения и теплообмена в турбулентном пограничном слое на проницаемой пластине был проведен с использованием трехпараметрической дифференциальной модели турбулентности [7], обобщенной на течение с теплообменом [8]. Для определения турбулентных потоков тепла ${\rho }{{q}_{t}} = - {\rho }\left\langle {{v}{\text{'}}h{\text{'}}} \right\rangle $ и массы ${\rho }{{j}_{t}} = - {\rho }\left\langle {{v}{\text{'}}c{\text{'}}} \right\rangle $, входящих в уравнения энергии и диффузии, использовалась гипотеза равенства турбулентных чисел Прандтля ${{\Pr }_{t}}$ и Шмидта Sc_t (${{\Pr }_{t}}$ = = Sc_t = 0.9). Молекулярные числа Прандтля и Шмидта приняты близкими, т.е. ${\text{Pr/Sc}} \approx 1$. Граничные условия на стенке имеют вид [9]

Здесь j_w – массовая скорость вдуваемого газа, c_w – массовая концентрация вдуваемого газа на стенке, ${\eta }$ – динамическая вязкость газа, h_j – энтальпия вдуваемого газа. Граничное условие $\partial E{\text{/}}\partial y$ = 0 позволяет определить величину ${{{\omega }}_{w}}(x)$, которая заранее неизвестна.

На внешней границе пограничного слоя $y = {\delta }(x)$:

Здесь ${{u}_{e}}(x)$, ${{T}_{e}}(x)$ – функции, описывающие течение в набегающем потоке, а функции ${{E}_{e}}(x)$ и ${{{\omega }}_{e}}(x)$ описывают вырождение турбулентности в этом течении. Величина ${\delta }(x)$ выбирается из условия гладкого сопряжения решения. Теплофизические свойства для смеси газов рассчитывались, как в [9].

Расчеты проводились в той же постановке, что и для ламинарного пограничного слоя. Параметрами задачи наряду с числом Маха являются температура (энтальпия) вдуваемого газа ${{T}_{j}}({{h}_{j}})$ и число Рейнольдса по длине, отсчитываемое от начала участка с вдувом при значениях теплофизических свойств, определенных по температуре и давлению в набегающем потоке. Участок пластины длиной x₀, предшествующий вдуву, полагался непроницаемым и теплоизолированным. Далее по потоку осуществлялся вдув, интенсивность которого $j_{w}^{0} = {{({\rho }{v})}_{w}}{\text{/}}{{({\rho }u)}_{e}}$ была постоянной по длине пластины. Длина входного участка x₀ была выбрана так, что начало вдува находилось за областью перехода от ламинарного режима течения к турбулентному (Re_x0 = = ).

На рис. 2 приведено изменение температуры стенки T_w (а) по длине для ряда значений температуры вдуваемого газа T_j, которая изменялась от температуры торможения набегающего потока (${{T}_{j}} = T_{e}^{*} = 400$ K) и теплоизолированной (адиабатной) непроницаемой стенки (${{T}_{j}} = {{T}_{{aw0}}} = 362$ K) до более низких температур. В расчетах, как и в [6], получено, что температура проницаемой стенки T_w при значениях температуры вдуваемого газа T_j ниже температуры теплоизолированной (адиабатной) непроницаемой стенки (280 < ${{T}_{j}}$ < ${{T}_{{aw0}}}$) становится равной величине T_j в двух сечениях по длине пористой пластины Re_x (точки 8, 9). Это означает, что в этих сечениях выполняется условие теплоизоляции ${{({\lambda }\partial T{\text{/}}\partial y)}_{w}} = 0$, следующее из теплового граничного условия на стенке, и тепловой поток в стенку $q_{w}^{0}$ меняет знак (рис. 2б). При этом температура проницаемой стенки T_w между данными сечениями (8 и 9) становится ниже температуры вдуваемого газа T_j.

Рис. 2.

Изменение по длине температуры стенки T_w (а), безразмерного теплового потока в стенку $q_{w}^{0}$ (б) для ряда значений температуры вдуваемого газа (гелия) T_j: 1–5, 7 – T_j = 260, 280, 300, 320, 340, 400 K; 6 – T_j = T_aw0; линия и точки 8 – критический вдув, 9 – ${{T}_{w}} = {{T}_{j}}$ ($q_{w}^{0}$ = 0); 10 – критическая температура адиабатной проницаемой стенки T_wcr; (в) – изменение величины ${{T}_{w}}{\text{/}}{{T}_{{aw0}}}$ при ${{T}_{j}} = {{T}_{{aw0}}}$ для значений интенсивности вдува гелия в ксенон: 1–5 –$j_{w}^{0}$; 10^–3: 10; 15; 20; 25; 30.

Как видно из рис. 2в, при вдуве He в Xe (в), когда число Прандтля газовой смеси на стенке Pr_w переменно, величина ∆T = $1 - {{T}_{w}}{\text{/}}{{T}_{{awo}}}$ достигает 6% при слабом вдуве ($j_{w}^{0}$ = 2 × 10^–4) и уменьшается с ростом $j_{w}^{0}$. В то время как для газовой смеси He(5%)–Xe с постоянным числом Pr = 0.18 величина ∆T не превосходит 1%, что обусловлено, как и в [4, 5] при однородном вдуве воздуха в воздух (Pr = 0.7), постоянством числа Прандтля по длине участка вдува.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенное численное исследование подтвердило существенное уменьшение температуры стенки по сравнению с температурой вдуваемого газа как для ламинарного, так и в меньшей степени для турбулентного пограничного слоя при инородном вдуве гелия в ксенон с переменным по длине числом Прандтля по сравнению с однородным вдувом газа с постоянным числом Прандтля.

Исследование выполнено за счет средств гранта Российского научного фонда (проект № 19-19-00234).