Известия РАН. Механика жидкости и газа, 2022, № 1, стр. 3-13
АКУСТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ, ИНДУЦИРОВАННОЕ КОЛЕБАНИЕМ СТЕНКИ ПЛОСКОГО ПРЯМОУГОЛЬНОГО РЕЗОНАТОРА
Д. А. Губайдуллин a, *, П. П. Осипов a, **, Р. Р. Насыров a, ***
a Федеральный исследовательский центр Казанский научный центр РАН,
Институт механики и машиностроения
Казань, Россия
* E-mail: gubaidullin@imm.knc.ru
** E-mail: petro300@rambler.ru
*** E-mail: nasyrov.ravil@bk.ru
Поступила в редакцию 30.03.2021
После доработки 17.09.2021
Принята к публикации 21.09.2021
- EDN: REEDUJ
- DOI: 10.31857/S0568528122010054
Аннотация
Рассмотрено движение вязкого сжимаемого газа в закрытом прямоугольном резонаторе, индуцированное гармоническим колебанием границы на первой резонансной частоте. Методом последовательных приближений исследуется двумерное акустическое течение в резонаторе произвольной ширины. Установлено существование акустического течения в виде четырех вихрей Рэлея и четырех вихрей Шлихтинга. Показано сходство акустических течений, возникающих при горизонтальных гармонических колебаниях каверны и при колебаниях стенки резонатора, что говорит о слабом влиянии способа генерации стоячей волны на картину акустического течения. Обнаружено, что по мере уменьшения ширины канала, размеры вихрей Шлихтинга увеличиваются по сравнению с размерами вихрей Рэлея. При ширине канала меньше шести толщин акустического пограничного слоя, вихри Рэлея исчезают и остаются только вихри Шлихтинга. Установлено, что в случае колеблющейся каверны центры вихрей Рэлея и Шлихтинга лежат в одном поперечном сечении, а в случае резонатора с колеблющейся границей центры вихрей Шлихтинга смещены в сторону вертикальных стенок.
В волновых полях в вязкой жидкости при определенных условиях формируются акустические течения. Впервые задача о возникновении акустического течения, создаваемого плоской стоячей волной в двумерном канале произвольной ширины, аналитически исследована в [1]. В [2, 3] предложены различные модификации решения [1], но основное внимание уделялось течению за пределами пограничного слоя [3, 4]. В [5] показано, что внутри пограничного слоя возникают вихри Шлихтинга, направление вращения которых противоположно направлению вращения внешних вихрей Рэлея. Теоретический и численный анализ акустических течений, создаваемых стоячей волной вдоль непроницаемой стенки в полубесконечной области, проведен в [6–8].
В работе [9] получено аналитическое решение редуцированных уравнений Навье–Стокса в неинерциальной системе отсчета, связанной с прямоугольной вибрирующей каверной, и рассчитано акустическое течение, возникающее в одномерной стоячей волне давления. В [10] численно изучено акустическое течение в неподвижном двумерном прямоугольном резонаторе на основе полных уравнений Навье–Стокса для сжимаемого вязкого газа при гармоническом колебании левой границы. Показано, что в резонаторе образуется акустическое течение в виде вторичных вихрей Шлихтинга и Рэлея. Приведено сравнение и установлено хорошее согласование эпюр скорости акустического течения, полученных на основе аналитического решения редуцированных [9] и численного решения полных [10] уравнений Навье–Стокса. Несмотря на хорошее согласие результатов этих работ, отметим, что в них рассматриваются краевые задачи с различными граничными условиями и уравнениями. Поэтому целью данной работы является получение аналитического решения редуцированных уравнений Навье–Стокса для граничных условий, используемых в [10].
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим закрытый прямоугольный резонатор длины $L = 2{{x}_{0}}$, занимающий в пространстве область $ - {{x}_{0}} \leqslant x \leqslant {{x}_{0}}$, $ - {{y}_{0}} \leqslant y \leqslant {{y}_{0}}$ (рис. 1). Акустическое течение в резонаторе возбуждается колебаниями левой границы. Уравнение неразрывности и редуцированные уравнения Навье–Стокса можно записать, следуя работе [9]
(1.1)
$\begin{gathered} \frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} + \frac{{\partial \rho u}}{{\partial x}} + \frac{{\partial \rho {v}}}{{\partial y}} = 0 \\ \rho \left( {\frac{{\partial u}}{{\partial t}} + u\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + {v}\frac{{\partial u}}{{\partial y}}} \right) = - \frac{{\partial p}}{{\partial x}} + \mu \frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{y}^{2}}}} \\ \frac{{\partial p}}{{\partial y}} = 0 \\ \end{gathered} $Эта система из трех уравнений связывает четыре величины $\rho $, $p$, $u$, ${v}$. Для ее замыкания используется адиабата Пуассона $\rho {\text{/}}{{\rho }_{0}} = {{\left( {p{\text{/}}{{p}_{0}}} \right)}^{{1/\gamma }}}$.
Заметим, что вместо уравнения импульса поперек канала используется условие равенства нулю поперечного градиента давления. При этом поперечная компонента скорости определяется из уравнения неразрывности. Подробное обоснование этого подхода дано в [11], где введен параметр порядка малости $\eta = {{y}_{0}}{\text{/}}L$, и получены оценки
Далее рассмотрим периодическое решение (1.1) при граничных условиях
2. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
Задача (1.1)–(1.2) может быть решена методом последовательных приближений в виде суммы возмущений первого и второго порядка малости [12]
Для политропного газа с точностью до малых третьего порядка можно записать разложение
откуда ${{p}_{1}} = c_{0}^{2}{{\rho }_{1}}$, ${{p}_{2}} = \frac{{{\text{(}}\gamma - 1{\text{)}}c_{0}^{2}}}{{2{{\rho }_{0}}}}\rho _{1}^{2} + {{\rho }_{2}}c_{0}^{2} = \frac{{\gamma - 1}}{{2{{\rho }_{0}}c_{0}^{2}}}p_{1}^{2} + {{\rho }_{2}}c_{0}^{2}$Система (1.1) с точностью до малых третьего порядка примет вид
(2.1)
$\begin{gathered} {\text{(}}{{\rho }_{0}} + {{\rho }_{1}} + {{\rho }_{2}}{\text{)}}\left( {\frac{{\partial {\text{(}}{{u}_{1}} + {{u}_{2}}{\text{)}}}}{{\partial t}} + {\text{(}}{{u}_{1}} + {{u}_{2}}{\text{)}}\frac{{\partial {\text{(}}{{u}_{1}} + {{u}_{2}}{\text{)}}}}{{\partial x}} + {\text{(}}{{{v}}_{1}} + {{{v}}_{2}}{\text{)}}\frac{{\partial {\text{(}}{{u}_{1}} + {{u}_{2}}{\text{)}}}}{{\partial y}}} \right) = \\ = \; - \frac{{\partial {\text{(}}{{p}_{1}} + {{p}_{2}}{\text{)}}}}{{\partial x}} + \mu \frac{{{{\partial }^{2}}{\text{(}}{{u}_{1}} + {{u}_{2}}{\text{)}}}}{{\partial {{y}^{2}}}} \\ \end{gathered} $2.1. Первое приближение
Для возмущения первого порядка малости из (2.1) можно записать систему
Решение этой системы ищется в комплексном виде
(2.2)
${{u}_{1}} = \operatorname{Im} [{{\tilde {u}}_{1}}{{e}^{{i\omega t}}}],\quad {{{v}}_{1}} = \operatorname{Im} [{{{\tilde {v}}}_{1}}{{e}^{{i\omega t}}}],\quad {{p}_{1}} = \operatorname{Im} [{{\tilde {p}}_{1}}{{e}^{{i\omega t}}}]$Вводя комплексные амплитуды, решение в первом приближении примет вид
2.2. Второе приближение и акустическое течение
Выделение возмущения второго порядка малости из (2.1) дает систему
(2.3)
${{\rho }_{0}}\frac{{\partial {{u}_{2}}}}{{\partial t}} - \mu \frac{{{{\partial }^{2}}{{u}_{2}}}}{{\partial {{y}^{2}}}} + \frac{{\partial {{p}_{2}}}}{{\partial x}} = - \frac{{\partial {{\rho }_{1}}{{u}_{1}}}}{{\partial t}} - {{\rho }_{0}}\left( {\frac{{\partial u_{1}^{2}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {{u}_{1}}{{{v}}_{1}}}}{{\partial y}}} \right)$Осреднение системы (2.3) по периоду приводит к системе
(2.4)
$\mu \frac{{{{\partial }^{2}}{{{\bar {u}}}_{2}}}}{{\partial {{y}^{2}}}} - \frac{{\partial {{{\bar {p}}}_{2}}}}{{\partial x}} = {{\rho }_{0}}\left( {\frac{{\partial \overline {u_{1}^{2}} }}{{\partial x}} + \frac{{\partial \overline {{{u}_{1}}{{{v}}_{1}}} }}{{\partial y}}} \right)$Второе уравнение может быть представлено в виде
(2.5)
$\mu \frac{{{{\partial }^{2}}{{{\bar {u}}}_{2}}}}{{\partial {{y}^{2}}}} = \frac{{d{{{\bar {p}}}_{2}}}}{{dx}} - F{\text{(}}x,y{\text{)}}$(2.6)
${\text{где}}\quad F{\text{(}}x,y{\text{)}} = - {{\rho }_{0}}\left( {\frac{{\partial \overline {u_{1}^{2}} }}{{\partial x}} + \frac{{\partial \overline {{{u}_{1}}{{{v}}_{1}}} }}{{\partial y}}} \right)$Используя в (2.6) связь среднего по периоду произведения двух гармоник с их комплексными амплитудами $\overline {{{u}_{1}}{{{v}}_{1}}} = 0.5{\text{Re[}}{{\tilde {u}}_{1}}{\tilde {v}}_{1}^{*}{\text{]}}$, $\overline {u_{1}^{2}} = 0.5{\text{Re[}}{{\tilde {u}}_{1}}\tilde {u}_{1}^{*}{\text{]}}$, можно записать
(2.7)
$\frac{{F{\text{(}}x,y{\text{)}}}}{\mu } = - \frac{{{{\rho }_{0}}}}{{2\mu }}{\text{Re}}\left[ {\frac{{\partial {\text{(}}{{{\tilde {u}}}_{1}}\tilde {u}_{1}^{*}{\text{)}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {\text{(}}{{{\tilde {u}}}_{1}}{\tilde {v}}_{1}^{*}{\text{)}}}}{{\partial y}}} \right] = - {{V}_{0}}{\text{Re}}\left[ {G{\text{(}}x{\text{)}}\left( {\frac{{{{Y}_{x}}Y_{x}^{*}}}{{{{\delta }^{2}}}} - \frac{{{{y}_{0}}f{\text{*}}}}{{2{{\delta }^{2}}}}\frac{{d{\text{(}}{{Y}_{x}}Y_{y}^{*}{\text{)}}}}{{dy}}} \right)} \right]$В силу симметрии задачи ${{\bar {u}}_{2}}$ является четной функцией от $y$, откуда ${{C}_{1}}(x) = 0$ и окончательно
Двойной интеграл от (2.7) записан в виде
(2.8)
$\frac{1}{\mu }\int {\int {F{\text{(}}x,y{\text{)}}dy} dy} = - {{V}_{0}}{\text{Re}}\left[ {G{\text{(}}x{\text{)}}\left( {{{H}_{1}} + i{{H}_{2}}} \right)} \right]$Используя соотношения
Для средней скорости
Это соотношение необходимо для определения давления ${{\bar {p}}_{2}}$.
2.3. Средняя массовая скорость
Эту величину определяют как
Первое соотношение (2.4) показывает, что средняя массовая скорость соленоидальна, т.е. ${\text{div}}{\mathbf{\bar {u}}}_{2}^{M}$ = 0. Она связана с комплексными амплитудами ${\mathbf{\bar {u}}}_{2}^{M} = {{{\mathbf{\bar {u}}}}_{2}} + \frac{{\operatorname{Re} [{{{\tilde {p}}}_{1}}{\mathbf{\tilde {u}}}_{1}^{*}]}}{{2{{\rho }_{0}}c_{0}^{2}}}$, откуда в проекции на ось $x$ получаем
(2.9)
$\begin{gathered} \bar {u}_{2}^{M} = {{{\bar {u}}}_{2}}(x,y) + \frac{{\operatorname{Re} \text{[}{{{\tilde {p}}}_{1}}\tilde {u}_{1}^{*}]}}{{2{{\rho }_{0}}c_{0}^{2}}} = {{{\bar {u}}}_{2}}(x,y) + \frac{1}{{2{{\rho }_{0}}c_{0}^{2}}}\operatorname{Re} \left[ { - {\text{(}}1 - f{\text{)}}\frac{{{{\rho }_{0}}c_{0}^{2}}}{{i\omega }}\frac{{d{{{\tilde {u}}}_{0}}{\text{(}}x{\text{)}}}}{{dx}}\tilde {u}_{0}^{*}{\text{(}}x{\text{)}}Y_{x}^{*}{\text{(}}y{\text{)}}} \right] = \\ = \;{{{\bar {u}}}_{2}}(x,y) + {{V}_{0}}\operatorname{Re} \left[ {\frac{1}{4}i{\text{(}}1 - f{\text{)}}G{\text{*}}(x)Y_{x}^{*}{\text{(}}y{\text{)}}} \right] \\ \end{gathered} $В силу соленоидальности поля массовой скорости введена функция тока $\psi $ так, что
(2.10)
$\bar {u}_{2}^{M} = \partial \psi {\text{/}}\partial y,\quad {\bar {v}}_{2}^{M} = - \partial \psi {\text{/}}\partial x$Проинтегрировав уравнение (2.9) по y, получится функция тока в виде
(2.11)
$\psi {\text{(}}G,y{\text{)}} = \theta {\text{(}}G,y{\text{)}} + {{A}_{3}}{\text{(}}G{\text{)}}\frac{{{{y}^{3}}}}{{y_{0}^{3}}} + {{A}_{1}}{\text{(}}G{\text{)}}\frac{y}{{{{y}_{0}}}}$Коэффициенты четных степеней y приняты равными нулю, потому что $\psi $ должна быть нечетной функцией от y. Из соотношений (2.9), (2.11) получено
Из (2.9), (2.10) выражена средняя продольная массовая скорость
Так как $Y_{x}^{*}{\text{(}}{{y}_{0}}{\text{)}} = {{Y}_{x}}{\text{(}}{{y}_{0}}{\text{)}} = 0$, то неизвестные функции ${{A}_{1}}{\text{(}}G{\text{)}}$ и ${{A}_{3}}{\text{(}}G{\text{)}}$ определяются условиями прилипания и не протекания, соответственно
Поперечная компонента средней массовой скорости находится дифференцированием (2.11). В силу линейной зависимости величин $\theta $, ${{A}_{3}}$, ${{A}_{1}}$ от $G$ получено
3. РЕЗУЛЬТАТЫ
На рис. 2 представлены продольная и поперечная составляющие безразмерной скорости первого приближения (2.2) на левой границе резонатора. Ввиду симметричности компоненты скорости u и антисимметричности компоненты ${v}$ представлены эпюры только для верхней полуплоскости резонатора. Графики соответствуют различным фазам периода T с шагом T/8. Ввиду условия прилипания скорость на вертикальной границе равна нулю. Видно, что продольная компонента скорости на левой границе почти всюду постоянна (не зависит от y), но сильно меняется в вязком пограничном слое, стремясь к нулю на верхней и нижней стенках. В отличие от продольной компоненты скорости, поперечная составляющая изменяется линейно по y почти всюду кроме вязкого пограничного слоя. Заметим, что эти эпюры соответствуют предположению об одномерном характере поля давления, т.е. $\partial p{\text{/}}\partial y = 0$.
На рис. 3 представлены продольная и поперечная составляющие средней массовой скорости течения для параметров, представленных в статье [10]. В качестве масштаба скоростей использована скорость Рэлея ${{u}_{R}} = \frac{3}{{16}}\frac{{U_{m}^{2}}}{{{{c}_{0}}}}$ – характерная скорость акустического течения, где Um – максимальная скорость акустического течения. Здесь сплошной линией изображены эпюры средней скорости, рассчитанные в [10] для резонатора с колеблющейся левой границей. Точками изображены результаты, рассчитанные в [9] для каверны, совершающей продольные колебания. Пунктирной линией изображены эпюры скоростей, рассчитанные для резонатора с колеблющейся левой стенкой. Видно, что они хорошо согласуются с результатами для колеблющейся каверны.
На рис. 4 представлены линии тока акустического течения в виде четырех вихрей Рэлея и четырех вихрей Шлихтинга. Видно сходство акустических течений, возникающих при горизонтальных колебаниях каверны (a) и при колебаниях левой стенки резонатора (б). Однако, в отличие от случая колеблющейся каверны, акустическое течение, индуцированное колебанием левой стенки, имеет перетоки вблизи подвижной стенки. В случае колеблющейся каверны центры вихрей Рэлея и Шлихтинга лежат в одном поперечном сечении, а в случае резонатора с колеблющейся стенкой эти центры не лежат на одной прямой, причем центры вихрей Шлихтинга смещены в сторону боковых границ.
Хотя частота возбуждения $\omega $ в полученном решении является произвольной, принято рассматривать возбуждение на самой низкой резонансной частоте системы, которую обозначим ${{\omega }_{1}}$. Метод определения ${{\omega }_{1}}$ как функции ${{y}_{0}}{\text{/}}\delta $ состоит в том, чтобы найти значение $\omega $, при котором продольная компонента скорости акустического течения является наибольшей в центре резонатора. Для оценки комплексной амплитуды продольной компоненты скорости в центре резонатора $\left| {{{{\tilde {u}}}_{x}}(0,0)} \right|$ использовано выражение комплексной амплитуды продольной компоненты скорости в первом приближении $\tilde {u}(x,y)$ = $\frac{{0.5{{U}_{0}}}}{{1 - f}}\left( {\frac{{{\text{ch}}\alpha x}}{{{\text{ch}}\alpha {{x}_{0}}}} - \frac{{{\text{sh}}\alpha x}}{{{\text{sh}}\alpha {{x}_{0}}}}} \right)\left( {1 - \frac{{{\text{ch}}\beta y}}{{{\text{ch}}\beta {{y}_{0}}}}} \right)$. Пусть ${{\omega }_{0}} = \pi {{c}_{0}}{\text{/}}L$ – фундаментальная резонансная частота. Значения ${{\omega }_{1}}{\text{/}}{{\omega }_{0}}$, полученные таким образом, показаны на рис. 5. При ${{\omega }_{1}} = {{\omega }_{0}}$ решение можно построить как функции от $x{\text{/}}{{x}_{0}}$ и $y{\text{/}}{{y}_{0}}$ в зависимости от единственного параметра ${{y}_{0}}{\text{/}}\delta $.
На рис. 6a и б первые столбцы представляют линии тока; вторые столбцы – распределения продольной компоненты скорости в сечении $x{\text{/}}{{x}_{0}} = 0.5$ (на рис. 6б сплошная линия – средняя массовая скорость, пунктирная линия – средняя скорость); третьи столбцы – распределения поперечной составляющей средней массовой скорости в сечении $x{\text{/}}{{x}_{0}} = 0$. Видно сходство акустических течений, возникающих при горизонтальных колебаниях каверны (рис. 6a) и при колебаниях левой стенки резонатора (рис. 6б), а также хорошее согласование средних массовых скоростей. На рис. 6б в столбце 2 представлен график продольной массовой и средней скорости. Они хорошо согласуются при толщине резонатора более десяти толщин акустического пограничного слоя ${{y}_{0}} \geqslant 10\delta $. В случае, когда ширина резонатора менее шести толщин вязкого пограничного слоя ${{y}_{0}} < 6\delta $, акустическое течение представлено только вихрями Шлихтинга, вихри Рэлея не образуются.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Полученное приближенное решение задачи об акустическом течении в прямоугольном резонаторе, возбужденном колебанием левой границы на резонансной частоте, отличается от решения [9]. Однако сравнение решений показывает хорошее согласие между ними за исключением области вблизи колеблющейся стенки, в частности в каверне и в резонаторе образуются вихри Рэлея и Шлихтинга. Условием применимости полученного решения является малость толщины пограничного слоя по сравнению с длиной акустической волны, а мгновенная скорость частиц газа пренебрежимо мала по сравнению со скоростью звука. Используемая модель не учитывает конвективное ускорение частиц газа и образование периодической ударной волны при больших амплитудах колебаний. Установлено сходство акустических течений, возникающих при горизонтальных гармонических колебаниях каверны и при колебаниях левой стенки резонатора, что говорит о малом влиянии способа генерации стоячей волны на паттерны акустических течений. В случае колеблющейся каверны центры вихрей Рэлея и Шлихтинга лежат в одном поперечном сечении, а в случае резонатора с колеблющейся границей центры вихрей Шлихтинга смещены в сторону боковых стенок. Обнаружено существование перетоков вблизи колеблющейся стенки резонатора, которое обусловлено постановкой граничных условий.
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 20-11-20070).
Список литературы
Lord Rayleigh (Srutt J.W.) On the circulation of air observed in Kundt’s tubes, and on some allied acoustical problems // Philos. Trans. R. Soc. London. 1884. V. 175. Sec. 3. P. 1–21. https://doi.org/10.1098/rstl.1884.0002
Westervelt P.J. The theory of steady rotational flow generated by a sound field // J. Acoust. Soc. Am. 1953. V. 25. P. 60–67. https://doi.org/10.1121/1.1907009
Nyborg W.L. Acoustic streaming // Physical Acoustics. 1965. V. 2. Part B. Chap. 11. P. 290–295. https://doi.org/10.1016/B978-0-12-395662-0.50015-1
Nyborg W.L. Acoustic streaming // Nonlinear Acoustics. 1998. Chap. 7. Sec. 3.3.
Schlichting H., Gersten K. Boundary-Layer Theory. New York: Springer Inc. 2017. 814 p. https://doi.org/10.1007/978-3-662-52919-5
Zarembo L.K. Acoustic streaming // High-Intensity Ultrasonic Fields. 1971. Part III. P. 135–199. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-5408-7_3
Rudenko O.V., Soluyan S.I. Theoretical Foundations of Nonlinear Acoustics. New York: Plenum. 1977. P. 206–210. https://doi.org/10.1002/jcu.1870060222
Gubaidullin D.A., Osipov P.P., Nasyrov R.R. Numerical simulation of Schlichting streaming induced by standing wave in rectangular enclosure // Journal of Physics: Conf. ser. 2014. V. 567. № 12017. 8 p. https://doi.org/10.1088/1742-6596/567/1/012017
Hamilton M.F., Ilinskii Y.A., Zabolotskaya E.A. Acoustic streaming generated by standing waves in two-dimensional channels of arbitrary width // J. Acoust. Soc. Am. 2003. V. 113. P. 153–160. https://doi.org/10.1121/1.1528928
Aktas M.K., Farouk B. Numerical simulation of acoustic streaming generated by finite-amplitude resonant oscillations in an enclosure // J. Acoust. Soc. Am. 2004. V. 116. № 5. P. 2822–2831. https://doi.org/10.1121/1.1795332
Hamilton M.F., Ilinskii Y.A., Zabolotskaya E.A. Nonlinear two-dimensional model for thermoacoustic engines // J. Acoust. Soc. Am. 2002. V. 111. P. 2076–2086. https://doi.org/10.1121/1.1467675
Зарембо Л.К., Красильников В.А. Введение в нелинейную акустику. М.: Наука, 1966. 520 с.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Известия РАН. Механика жидкости и газа