Микроэлектроника, 2021, T. 50, № 3, стр. 208-218

ВВЕДЕНИЕ

За последнее десятилетие область прикладной науки, изучающая микро- и наноэлектромеханические системы, превратилась в мощную ветвь современной электроники. Вот уже несколько десятилетий среднегодовой рост мирового рынка микроэлектромеханических систем (МЭМС), в которых реализуется и используется совокупность механических и электрических взаимодействий и связей опережает рост рынка электронных компонентов. МЭМС применяются в системах мониторинга состояния человека, конденсаторных матрицах устройств сенсорного и бесконтактного ввода информации, измерительных системах, инерциальных платформах и навигационных системах, микрогироскопах, микроакселерометрах, автономных микрогенераторах электрической энергии, (энергетических харвестеров), в различного рода охранных системах и пороговых устройствах, например, сигнализирующих о превышении допустимых уровней вибраций и ускорений или механических напряжений. Внимание к таким системам обусловлено их гибкостью, надежностью, простотой реализации и малой ценой. Технологии МЭМС открывают новые возможности, способствующие повышению чувствительности, надежности и отказоустойчивости, снижению энергопотребления изделий на основе МЭМС. Области применения МЭМС продолжают неуклонно расширяться, а сами устройства улучшаться и становиться более сложными [1, 2].

Наличие в МЭМС электрических полей, движущихся механических узлов, а также заложенные принципы функционирования, определяют специфические проблемы и используемые методы их проектирования и изготовления. При этом большой интерес представляет поиск аналитических выражений, позволяющих на этапе предварительного проектирования существенно упростить поиск параметров элементов системы, а также провести расчет и оптимизацию конструкции для достижения необходимых параметров МЭМС с достаточной для практических применений точностью.

В настоящее время наиболее перспективными среди микроэлектромеханических систем считаются электростатические МЭМС, т.к. процессы их производства полностью совместимы с современной интегральной технологией. Принцип работы электростатических МЭМС основан на использовании переменных конденсаторов, чья емкость изменяется при помощи механического воздействия так, что механические силы выполняют определенную работу против электростатических сил притяжения разноименно заряженных пластин конденсатора. В результате, энергия механических колебаний преобразуется в электрическую энергию переменного конденсатора – первичного преобразователя.

Так как переменный конденсатор должен быть предварительно заряжен, требуется внешний источник заряда, такой как батарея [1–13], электрет [14–17], контактная разность потенциалов электродов [18–20] и т.п. Как правило, переменный конденсатор не может быть подключен непосредственно к оконечному устройству – потребителю, необходимо иметь некую схему сопряжения – вторичный преобразователь, представляющую собой интерфейс между потребляющим и генерирующим устройствами. Схема сопряжения должна вырабатывать необходимую выходную мощность, уровень напряжения или тока, требуемые потребляющим устройством. Кроме того, сама схема не должна потреблять много энергии, т.е. очень важно уменьшить потери энергии, вызванные элементами схемы сопряжения.

Одной из наиболее перспективных схем сопряжения в настоящее время представляется схема на основе дупликатора Беннета [7] и ее модификации [7–16]. Данная схема позволяют существенно увеличить энергию сигнала. Однако необходимость сообщения переменному конденсатору начального заряда, неконтролируемый рост напряжения, приводящий к пробою элементов схемы, а также возможность функционирования только при глубине модуляции емкости переменного конденсатора $\eta = {{{{С}_{{\max }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{С}_{{\max }}}} {{{С}_{{\min }}}}}} \right. \kern-0em} {{{С}_{{\min }}}}}$ больше 2, стимулируют поиск новых решений, лишенных данных недостатков.

В [15, 16] было показано, что схема преобразователя на основе дупликатора Беннета с источником питания в цепи основного переменного конденсатора сохраняет работоспособность и при $\eta < 2{\text{,}}$ причем в этом случае реализуется режим автостабилизации напряжений и зарядов. Таким образом, на основе схемы, предложенной в [15], появилась возможность создавать преобразователи, работающие при малых амплитудах внешних механических колебаний, когда глубина модуляции емкости переменного конденсатора $\eta < 2$ [14–16].

В данной работе проводится детальный анализ работы преобразователя на основе модифицированной схемы дупликатора Беннета с одним переменным конденсатором.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ

Электрическая схема одноконденсаторного электростатического преобразователя колебательной энергии на основе модифицированного дупликатора Беннета [14] с источником питания в цепи переменного конденсатора ${{C}_{{\operatorname{var} }}}$ представлена на рис. 1. Схема содержит переменный конденсатор ${{C}_{{\operatorname{var} }}}{\text{,}}$ два постоянных конденсатора ${{C}_{1}}$ (накопительный конденсатор) и ${{C}_{2}}{\text{,}}$ три диода ${{D}_{1}} - {{D}_{3}}$ и источник питания ${{V}_{0}}$ в цепи переменного конденсатора ${{C}_{{\operatorname{var} }}}{\text{.}}$ Преобразование механической энергии в электрическую происходит при периодическом изменении емкости переменного конденсатора под действием внешней механической силы.

Полный цикл преобразования энергии данной схемой включает две чередующиеся фазы – фазу заряда и фазу разряда переменного конденсатора ${{C}_{{\operatorname{var} }}}$ [14]. В дальнейшем фазу заряда ${{C}_{{\operatorname{var} }}}$ будем обозначать индексами $(n - 1)$ и $(n + 1){\text{,}}$ а фазу разряда ${{C}_{{\operatorname{var} }}}$ – индексом $(n){\text{.}}$

В фазе заряда под действием внешней механической силы емкость ${{C}_{{\operatorname{var} }}}$ изменяется от ${{C}_{{\min }}}$ до ${{C}_{{\max }}}{\text{.}}$ В фазе разряда емкость ${{C}_{{\operatorname{var} }}}$ изменяется от ${{C}_{{\max }}}$ до ${{C}_{{\min }}}{\text{.}}$ После этого цикл преобразования повторяется.

Проведем анализ работы генератора, используя вместо диодов ключи, (отмечены пунктиром на рис. 1) сопротивления которых в разомкнутом состоянии равны бесконечности, а в замкнутом – нескольким десяткам Ом. Такое приближение позволит учесть основные особенности функционирования преобразователя и получить аналитические выражения, описывающие его работу. Предположим также, что постоянные времени процессов заряда и разряда конденсаторов много меньше длительности цикла преобразования.

В фазе заряда конденсатора ${{C}_{{\operatorname{var} }}}{\text{,}}$ когда его емкость увеличивается, размыкается ключ $S{{w}_{3}}$ и, когда напряжение на ${{C}_{{\operatorname{var} }}}$ становится меньше напряжений $({{V}_{{{{C}_{1}}}}} + {{V}_{0}})$ и $({{V}_{{{{C}_{2}}}}} + {{V}_{0}}){\text{,}}$ замыкаются ключи $S{{w}_{1}}$ и $S{{w}_{2}}$ (здесь ${{V}_{{{{C}_{1}}}}}$ и ${{V}_{{{{C}_{2}}}}}$ – напряжения на конденсаторах ${{C}_{1}}$ и ${{C}_{2}}$). В конце $(n - 1)$-й фазы заряда ${{C}_{{\operatorname{var} }}}$ конденсаторы ${{C}_{1}}$ и ${{C}_{2}}$ оказываются включенными параллельно, а напряжение на переменном конденсаторе ${{C}_{{\operatorname{var} }}}$ принимает значение

где $V_{{{{C}_{1}}}}^{{(n - 1)}}$ и $V_{{{{C}_{2}}}}^{{(n - 1)}}$ – напряжения на конденсаторах ${{C}_{1}}$ и ${{C}_{2}}$ в конце $(n - 1)$-й фазы заряда ${{C}_{{\operatorname{var} }}}{\text{,}}$ когда ${{C}_{{\operatorname{var} }}} = {{C}_{{\max }}}{\text{.}}$

В фазе разряда конденсатора ${{C}_{{\operatorname{var} }}}{\text{,}}$ когда его емкость уменьшается, ключи $S{{w}_{1}}$ и $S{{w}_{2}}$ размыкаются, и, когда напряжение на ${{C}_{{\operatorname{var} }}}$ становится больше напряжения $({{V}_{{{{C}_{1}}}}} + {{V}_{{{{C}_{2}}}}} + {{V}_{0}}){\text{,}}$ замыкается ключ $S{{w}_{3}}{\text{.}}$ В конце $(n)$-й фазы разряда ${{C}_{{\operatorname{var} }}}$ конденсаторы ${{C}_{1}}$ и ${{C}_{2}}$ оказываются включенными последовательно, а напряжение на переменном конденсаторе ${{C}_{{\operatorname{var} }}}$ достигает значения

здесь $V_{{{{C}_{1}}}}^{{(n)}}$ и $V_{{{{C}_{2}}}}^{{(n)}}$ – напряжения на конденсаторах ${{C}_{1}}$ и ${{C}_{2}}$ в конце $(n)$-й фазы разряда ${{C}_{{\operatorname{var} }}}{\text{,}}$ когда ${{C}_{{\operatorname{var} }}} = {{C}_{{\min }}}{\text{.}}$

Анализ показывает [14], что в конце $(n)$-й фазы разряда ${{C}_{{\operatorname{var} }}}$ изменения зарядов на конденсаторах ${{C}_{{\operatorname{var} }}}{\text{,}}$ ${{C}_{1}}$ и ${{C}_{2}}$ за $(n)$-ю фазу будут равны между собой $\left| {\Delta q_{{{{C}_{{\operatorname{var} }}}}}^{{(n)}}} \right| = \left| {\Delta q_{{{{C}_{1}}}}^{{(n)}}} \right| = \left| {\Delta q_{{{{C}_{2}}}}^{{(n)}}} \right| = \Delta {{q}^{{(n)}}}$ и равны:

где ${{q}^{{(n - 1)}}}{\text{,}}$ $q_{{{{C}_{1}}}}^{{(n - 1)}}$ и $q_{{{{C}_{2}}}}^{{(n - 1)}}$ – заряды на конденсаторах ${{C}_{{\operatorname{var} }}}{\text{,}}$ ${{C}_{1}}$ и ${{C}_{2}}$ в конце $(n - 1)$-й фазы заряда ${{C}_{{\operatorname{var} }}}{\text{.}}$

Из (1)–(3) следует, что при подключении к схеме первичного источника напряжения ${{V}_{0}}$ за счет работы внешней механической силы заряды и напряжения на конденсаторах начинают возрастать. Однако рост зарядов и напряжений может происходить по-разному.

В первом случае приращения зарядов на конденсаторах ${{C}_{{\operatorname{var} }}}{\text{,}}$ ${{C}_{1}}$ и ${{C}_{2}}$ в каждом последующем цикле преобразования постепенно уменьшаются – происходит автостабилизация зарядов в схеме [14]. На рис. 2 (прямая 1) показана зависимость величины относительного приращения заряда на накопительном конденсаторе ${{C}_{1}}{\text{,}}$ нормированная на приращение заряда в первом цикле, от номера цикла, рассчитанная с использованием (3) при ${{C}_{0}} = 101$ пФ, ${{C}_{{\max }}} = 151$ пФ, ${{C}_{{\min }}} = 76.1$ пФ, ${{C}_{1}} = 0.5$ нФ, $\eta = 1.98$ и ${{V}_{0}} = 10$ В. Здесь ${{C}_{0}}$ – емкость конденсатора ${{C}_{{\operatorname{var} }}}$ в отсутствии механической силы, а $\eta = {{{{С}_{{\max }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{С}_{{\max }}}} {{{С}_{{\min }}}}}} \right. \kern-0em} {{{С}_{{\min }}}}}$ – глубина модуляции емкости ${{C}_{{\operatorname{var} }}}{\text{.}}$ Первый цикл включает первую фазу разряда и вторую фазу заряда ${{C}_{{\operatorname{var} }}}{\text{,}}$ а нулевому циклу соответствует первая фаза заряда ${{C}_{{\operatorname{var} }}}$ после подключения ${{V}_{0}}{\text{.}}$

В установившемся режиме автостабилизации изменения зарядов и протекание токов в схеме прекращаются, но напряжение на конденсаторе ${{C}_{{\operatorname{var} }}}$ продолжает изменяться в соответствии с изменениями его емкости. В результате при увеличении количества циклов преобразования площади, охватываемые Q–V диаграммами для ${{C}_{{\operatorname{var} }}}{\text{,}}$ уменьшаются и, в конце концов, эти Q–V диаграммы стягиваются в прямые, параллельные оси напряжений [14]. При этом в установившемся режиме изменения и зарядов и напряжений на постоянных конденсаторах ${{C}_{1}}$ и ${{C}_{2}}$ прекращаются, а соответствующие Q–V линии, в конце концов, стягиваются в точки.

Во втором случае с каждым последующим циклом преобразования заряды и напряжения на конденсаторах все время монотонно растут – реализуется режим неограниченного роста напряжений и зарядов на конденсаторах. На рис. 2, (прямая 2) показана зависимость величины относительного приращения заряда на накопительном конденсаторе, нормированная на приращение заряда в первом цикле, от номера цикла, рассчитанная для второго случая при ${{C}_{0}} = 101$ пФ, ${{C}_{{\max }}} = 152.6$ пФ, ${{C}_{{\min }}} = 75.6$ пФ, ${{C}_{1}} = 0.5$ нФ, $\eta = 2.02$ и ${{V}_{0}} = 10$ В.

В режиме неограниченного роста напряжения и заряда на конденсаторах площади, охватываемые Q–V диаграммами для ${{C}_{{\operatorname{var} }}}{\text{,}}$ при увеличении количества циклов преобразования все время монотонно увеличиваются, а соответствующие Q–V линии для ${{C}_{1}}$ и ${{C}_{2}}$ монотонно удлиняются [14].

Реализация того или иного режима зависит от конкретных параметров элементов схемы.

Анализ (1)–(3) и рис. 2 показывает, что изменение величины приращения заряда на накопительном конденсаторе ${{C}_{1}}$ происходит по геометрической прогрессии. При этом

где $m \geqslant 1$ – номер цикла, $\Delta {{q}_{{{{C}_{1}},1}}}$ и $\Delta {{q}_{{{{C}_{1}},m}}}$ – приращения зарядов на накопительном конденсаторе ${{C}_{1}}$ за время первого и m-го циклов соответственно, а $g$ – знаменатель прогрессии. Режиму автостабилизации соответствует убывающая геометрическая прогрессия с $g < 1.$ Режиму неограниченного роста напряжений и зарядов соответствует возрастающая геометрическая прогрессия с $g \geqslant 1.$ Для данной схемы а $\lambda = {{{{C}_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{C}_{1}}} {{{C}_{{\min }}}}}} \right. \kern-0em} {{{C}_{{\min }}}}}{\text{,}}$ $\sigma = {{{{C}_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{C}_{2}}} {{{C}_{{\min }}}}}} \right. \kern-0em} {{{C}_{{\min }}}}}$ и $\mu = {{{{C}_{{\max }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{C}_{{\max }}}} {({{C}_{2}} + {{C}_{1}})}}} \right. \kern-0em} {({{C}_{2}} + {{C}_{1}})}}{\text{.}}$

С учетом (4)–(7) заряд, накопленный на ${{C}_{1}}$ к концу m-го цикла ($m \geqslant 0$), составит

При этом напряжение на накопительном конденсаторе ${{C}_{1}}$ к концу m-го цикла будет равно

В установившемся режиме автостабилизации заряд, накопленный на ${{C}_{1}}{\text{,}}$ достигнет максимума и составит

Согласно (7) режим автостабилизации реализуется, если $\eta < 2.$ В противном случае реализуется режим неограниченного роста напряжений и зарядов. Критическому режиму перехода от режима автостабилизации к режиму неограниченного роста напряжений и зарядов соответствуют $g = 1$ и ${{\eta }_{{{\text{cr}}}}} = 2.$

Анализ (9) показывает, что в режиме автостабилизации выражение для оценки величины напряжения на накопительном конденсаторе ${{C}_{1}}$ может быть представлено в виде

т.е. напряжение ${{V}_{{{{C}_{1}},{\text{stab}}}}}$ на накопительном конденсаторе ${{C}_{1}}$ в режиме автостабилизации определяется источником питания V₀ и глубиной модуляции емкости конденсатора ${{C}_{{\operatorname{var} }}}$ и не зависит от величин емкостей конденсаторов. Согласно (10) ${{V}_{{{{C}_{1}}{\text{,stab}}}}}$ будет больше V₀ при ${{\eta }_{{{\text{cr}}}}} > 1.5.$ Чтобы при заданном V₀ получить как можно большую величину напряжения ${{V}_{{{{C}_{1}},{\text{stab}}}}}$ необходимо выбирать значения $\eta $ как можно ближе к критическому значению ${{\eta }_{{{\text{cr}}}}} = 2.$

Согласно (10) глубина модуляции емкости η связана с напряжением стабилизации ${{V}_{{{{C}_{1}}{\text{,stab}}}}}$ соотношением

что позволяет использовать ${{V}_{{{{C}_{1}}{\text{,stab}}}}}$ для экспериментального определения глубины модуляции емкости переменных конденсаторов в динамическом режиме.

Отметим, что механизм насыщения напряжения в данном случае не связан с электромеханическими взаимодействиями, как в случае, описанном в [8, 9].

Одними из важнейших характеристик преобразователей являются: количество электрической энергии ${{W}_{{{{C}_{1}}}}}{\text{,}}$ запасенной в накопительном конденсаторе, количество электрической энергии ${{W}_{{{{V}_{0}}}}}{\text{,}}$ взятой из источника питания ${{V}_{0}}{\text{,}}$ и скорость накопления электрической энергии (мощность) в конденсаторе ${{C}_{1}}{\text{.}}$ Анализ показывает, что количество электрической энергии ${{W}_{{{{C}_{1}}}}}{\text{,}}$ запасенной в накопительном конденсаторе ${{C}_{1}}$ к концу m-го цикла, составит

где а количество электрической энергии ${{W}_{{{{V}_{0}}}}}{\text{,}}$ взятой из источника питания ${{V}_{0}}{\text{,}}$ к концу m-го цикла

На рис. 3 приведены зависимости ${{W}_{{{{C}_{1}}}}}$ и ${{W}_{{{{V}_{0}}}}}{\text{,}}$ а на рис. 4 отношения ${{W}_{{{{C}_{1}}}}}$ к ${{W}_{{{{V}_{0}}}}}$ от номера цикла преобразования, рассчитанные с использованием (11)–(13) и (8). В расчетах принимали, что ${{V}_{0}} = 10$ В, ${{С}_{{\max }}} = 121$ пФ, ${{С}_{1}} = 470$ пФ и $\eta = 1.984.$

Видно, что данная схема позволяет накопить в конденсаторе ${{C}_{1}}$ значительно больше энергии, чем взято из источника питания, что делает ее перспективной для использования в преобразователях механической энергии в электрическую. Причем это различие возрастает с увеличением количества циклов.

В насыщении отношение ${{W}_{{{{C}_{1}}}}}$ к ${{W}_{{{{V}_{0}}}}}$ достигает максимума и равно

т.е. определяется глубиной модуляции $\eta $ и пропорционально отношению ${{C}_{1}}$ к ${{C}_{{\max }}}{\text{.}}$ Чтобы при заданном отношении ${{C}_{1}}$ к ${{C}_{{\max }}}$ получить как можно большую величину $\kappa $ необходимо выбирать значение $\eta $ как можно ближе к критическому значению. При этом, как и в случае с ${{V}_{{{{C}_{1}},{\text{stab}}}}}{\text{,}}$ глубина модуляции емкости конденсатора ${{C}_{{\operatorname{var} }}}$ должна оставаться меньше критической.

Согласно (11)–(14) количество электрической энергии ${{W}_{{{{C}_{1}}}}}{\text{,}}$ запасенной в накопительном конденсаторе ${{C}_{1}}{\text{,}}$ будет превышать количество электрической энергии ${{W}_{{{{V}_{0}}}}}{\text{,}}$ взятой из источника питания ${{V}_{0}}{\text{,}}$ если параметр $\rho = {{{{C}_{{\max }}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{C}_{{\max }}}} {{{C}_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{C}_{1}}}}{\text{,}}$ характеризующий величину κ, будет меньше критического значения

При этом накопленная в ${{C}_{1}}$ энергия ${{W}_{{{{C}_{1}}}}}$ начинает превышать ${{W}_{{{{V}_{0}}}}}$ не сразу, а лишь после нескольких начальных циклов. Превышение начнется после ${{m}_{0}} = \left[ z \right] + 1$ цикла, где $\left[ z \right]$ – целая часть z

Согласно (15) ${{W}_{{{{C}_{1}}}}}$ будет превышать ${{W}_{{{{V}_{0}}}}}{\text{,}}$ если z вещественное положительное число. Для рис. 3 и 4 ${{\rho }_{{{\text{cr}}}}} = 29.5{\text{,}}$ а $\rho = 0.257{\text{,}}$ т.е. $\rho < {{\rho }_{{{\text{cr}}}}}{\text{.}}$ При этом, $z = 22.96$ и, согласно (15), энергия ${{W}_{{{{C}_{1}}}}}{\text{,}}$ запасенная в накопительном конденсаторе ${{C}_{1}}{\text{,}}$ может превышать количество электрической энергии ${{W}_{{{{V}_{0}}}}}{\text{,}}$ взятой из источника питания ${{V}_{0}}$, что и показывают рис. 3 и 4. Если же, при сохранении значений остальных параметров, выбрать ${{С}_{1}} = 4$ пФ, то $\rho $ станет равняться 30.25 и, согласно (15), энергия ${{W}_{{{{C}_{1}}}}}{\text{,}}$ запасенная в накопительном конденсаторе ${{C}_{1}}{\text{,}}$ не может превышать количество электрической энергии ${{W}_{{{{V}_{0}}}}}{\text{,}}$ взятой из источника питания ${{V}_{0}}{\text{,}}$ что и показывает рис. 5.

Полученные выражения позволяют рассчитать и зависимость скорости накопления электрической энергии (мощности) в конденсаторе ${{C}_{1}}$ от номера цикла. С учетом (4)–(8) средняя скорость накопления электрической энергии (мощность) в конденсаторе ${{C}_{1}}$ за m-й цикл преобразования равна

где $f$ – частота изменения внешней силы.

Соответствующая зависимость ${{P}_{{{{C}_{1}}{\text{,m}}}}}$ от номера цикла преобразования, рассчитанная при ${{V}_{0}} = 10$ В, ${{С}_{{\max }}} = 121$ пФ, ${{С}_{1}} = 470$ пФ и $\eta = 1.984$ приведена на рис. 6 (кривая 1). На этом же рисунке приведена зависимость скорости отдачи электрической энергии источником питания ${{V}_{0}}$ от номера цикла преобразования (кривая 2).

Из рис. 6 видно, что скорость накопления электрической энергии (мощность) в конденсаторе ${{C}_{1}}$ достигает максимума не сразу, а по истечению нескольких циклов. В тоже время скорость отдачи электрической энергии источником питания ${{V}_{0}}$ монотонно уменьшается при увеличении числа циклов преобразования. Таким образом оптимизация параметров элементов схемы может существенно изменять эффективность преобразования энергии.

Анализ показывает, что максимальная скорость нарастания энергии (максимальная мощность) достигается в цикле с номером

Из общих соображений ясно, что для получения максимальной скорости нарастания энергии нужно использовать конденсатор ${{C}_{{\operatorname{var} }}}$ с глубиной модуляции емкости лишь немного меньшей критического значения.

Достоинство данной схемы, по сравнению с базовой схемой дупликатора Беннета [7], состоит в том, что она позволяет преобразователю работать при действии механической силы, вызывающей глубину модуляцию емкости конденсаторов менее 2. В результате появляется возможность расширить номенклатуру используемых переменных конденсаторов и создавать электромеханические преобразователи, активные датчики вибраций и ускорений, а также пороговые устройства, работающие в широком диапазоне механических колебаний.

Для верификации моделей, использованных для анализа поведения схемы электростатического преобразователя на основе одноконденсаторного дупликатора Беннета с источником питания в ветви переменного конденсатора, были проведены соответствующие экспериментальные исследования.

ЭКСПЕРИМЕНТ

Для проведения экспериментальных исследований была создана установка, соответствующая схеме с ключами, показанной на рис. 1. Емкость переменного конденсатора ${{C}_{{\operatorname{var} }}}$ могла изменяться в пределах от 50 до 500 пФ.

В процессе исследования измерялись зависимости напряжения на накопительном конденсаторе ${{C}_{1}}$ от количества циклов преобразования при различной глубине модуляции емкости конденсатора ${{C}_{{\operatorname{var} }}}$. Модуляция емкости осуществлялась с периодом в несколько секунд. Напряжение первичного источника питания ${{V}_{0}}$ составляло ${{V}_{0}} = 1.26$ В. Для измерения напряжения на накопительном конденсаторе применялся повторитель напряжения на операционном усилителе AD549KHZ с ультранизким входным током (0.1 пА).

В отличие от модели, использованной в расчетах цикл преобразования в эксперименте включал не две, а четыре фазы преобразования; две фазы разряда и две фазы заряда конденсатора ${{C}_{{\operatorname{var} }}}{\text{.}}$ После нескольких начальных циклов преобразования работа схемы проходила следующим образом: после того, как емкость конденсатора ${{C}_{{\operatorname{var} }}}$ достигала минимального значения ${{C}_{{\min }}}$ замыкались ключи $S{{w}_{1}}$ и $S{{w}_{2}}$, а ключ $S{{w}_{3}}$ размыкался (рис. 7а), происходил первый разряд ${{C}_{{\operatorname{var} }}}$ – фаза 1. Затем, не меняя состояния ключей, емкость ${{C}_{{\operatorname{var} }}}$ увеличивали до ${{C}_{{\max }}}$ (рис. 7б) и происходил первый заряд ${{C}_{{\operatorname{var} }}}$ – фаза 2. После этого, не меняя емкостей конденсаторов, изменяли состояния ключей: ключи $S{{w}_{1}}$ и $S{{w}_{2}}$ размыкались, а ключ $S{{w}_{3}}$ замыкался (рис. 7в). При этом происходил второй заряд ${{C}_{{\operatorname{var} }}}$ – фаза 3. И, наконец, в четвертой фазе, не меняя состояния ключей, емкость ${{C}_{{\operatorname{var} }}}$ уменьшали до ${{C}_{{\min }}}$ (рис. 7г) и происходил второй разряд ${{C}_{{\operatorname{var} }}}{\text{.}}$ Затем цикл преобразования повторялся.

В результате на зависимостях ${{V}_{{{{C}_{1}}}}}$ и ${{V}_{{{{C}_{{\operatorname{var} }}}}}}$ от числа тактов преобразования n (и от времени) появлялись четыре полочки (рис. 8), соответствующие окончаниям четырех фаз преобразования, отмеченные буквами a – фаза 1, b – фаза 2, c – фаза 3 и d – фаза 4.

На рис. 9 представлены зависимости напряжения на накопительном конденсаторе от времени, измеренные при двух значениях глубины модуляции емкости конденсатора ${{C}_{{\operatorname{var} }}}{\text{,}}$ ${{C}_{1}} = 1193$ пФ и ${{C}_{2}} = 1230$ пФ. В первом случае (кривая 1) при ${{C}_{{\max }}} = 274$ пФ и ${{C}_{{\min }}} = 196$ пФ ($\eta = 1.39$) был реализован режим автостабилизации, во втором (кривая 2) – при ${{C}_{{\max }}} = 401$ и ${{C}_{{\min }}} = 73.5$ пФ ($\eta = 5.46$) был реализован режим неограниченного роста зарядов и напряжений.

Видно, что основные особенности теоретических результатов – четыре полочки (рис. 9б), тенденции к насыщению и неограниченному росту (рис. 9а) наблюдаются и в эксперименте.

Анализ показал, что зависимость напряжения на накопительном конденсаторе ${{C}_{1}}{\text{,}}$ соответствующего окончанию второй фазы (рис. 9б), от времени (и от числа циклов) хорошо описывается выражением ${{V}_{{{{C}_{1}}{\text{,}}m}}} = {{{{q}_{{{{C}_{1}},m}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{q}_{{{{C}_{1}},m}}}} {{{C}_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{C}_{1}}}}{\text{,}}$ где ${{q}_{{{{C}_{1}},m}}}$ определяется с использованием (8).

На рис. 10 показаны зависимости величины относительного приращения заряда на накопительном конденсаторе ${{C}_{1}}{\text{,}}$ нормированные на приращение заряда в первом цикле, от номера цикла, построенные с использованием экспериментальных данных для этих же двух случаев: в режиме автостабилизации (прямая 1) и неограниченного роста зарядов и напряжений (прямая 2).

Расчеты показывают, что значения знаменателя прогрессии $g{\text{,}}$ определенные теоретически и на основании экспериментальных данных, различаются не более, чем на 3%. Причем теоретические значения превышают, полученные на основе эксперимента. На наш взгляд это может быть следствием не учета в теоретических расчетах собственных емкостей ключей в разомкнутом состоянии. Измерения показали, что эти емкости могут составлять порядка 4–6 пФ.

В тоже время анализ показывает, что в целом результаты расчета и эксперимента достаточно хорошо согласуются между собой и без учета паразитных емкостей, а получаемые теоретические оценки напряжений нужно рассматривать как предельно достижимые.

Кроме того следует отметить, что экспериментальные зависимости напряжения на накопительном конденсаторе ${{C}_{1}}$ от времени (или от числа циклов), полученные в результате четырехфазного эксперимента, в отличие от двухфазной модели в режиме автостабилизации не выходят на насыщение. Наблюдается лишь стабилизация напряжений. Предсказываемое же (10) значение напряжения насыщения ${{V}_{{{{C}_{1}}{\text{,stab}}}}}$ соответствует напряжению в конце второй фазы четырехфазного эксперимента.

Отметим, что при использовании четырехфазного цикла на соответствующих Q–V диаграммах при увеличении количества циклов наблюдается смена направления движения отображающей точки. На рис. 11 показаны Q–V диаграммы для разных циклов четырехфазного цикла. На рис. 11а для трех циклов, такты с 7 по 18, на рис. 11б – для семи циклов, такты с 20 по 50, на рис. 11в – для одного цикла, такты с 418 по 422. Стрелки на рис. указывают направление движения отображающей точки при изменении фазы преобразования. Видно, что на рис. 11а и рис. 11в направления движения отображающей точки противоположные. Согласно рис. 11б смена направления движения отображающей точки происходит между 30-м и 48-м тактами. Изменение направления движения отображающей точки связано с изменением полярности напряжений на конденсаторах ${{C}_{1}}$ и ${{C}_{2}}$ при увеличении количества циклов преобразования (см. рис. 8). При этом отрицательные напряжения на конденсаторах ${{C}_{1}}$ и ${{C}_{2}}$ в начальных циклах приводили к заряду ${{C}_{{\operatorname{var} }}}$ в первой и второй фазах преобразования и разряду ${{C}_{{\operatorname{var} }}}$ в третьей и четвертой фазах.

Отметим также, что при дальнейшем увеличении количества циклов после цикла, соответствующего тактам с 418 по 422 (рис. 11в), Q–V диаграммы для разных циклов будут накладываться друг на друга, т.е. данные Q–V диаграммы в установившемся режиме автостабилизации не стягиваются в прямую параллельную оси напряжений (как при двухфазной модели), а наблюдается лишь стабилизация напряжений и зарядов на конденсаторах в соответствующих фазах. При этом в установившемся режиме изменения зарядов и напряжений на постоянных конденсаторах ${{C}_{1}}$ и ${{C}_{2}}$ также не прекращаются, а соответствующие Q–V линии, в конце концов, не стягиваются в точку, а только стабилизируются.

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки РФ (проект FSUN-2020-0004).