Микроэлектроника, 2023, T. 52, № 4, стр. 249-255

1. ВВЕДЕНИЕ

Детекторы фотонов, которые могут различать число фотонов, широко используются во многих областях, где требуется обнаружение сверхслабого пучка света, включая квантовую оптику [1], метрологию [2] и формирование изображений [3]. Обычно используются фотоумножители (ФЭУ) [4], лавинные фотодиоды (ЛФД) [5], сверхпроводящие нанополосковые фотонные детекторы (СНПФД) [6] и др.

Существует два принципиально различных подхода к характеризации детектора: первый подход заключается в тщательном изучении влияния всех существенных эффектов на процесс детектирования, возникающих из-за технологических особенностей различных компонентов детектора и их взаимодействия. Такой подход сводится к разработке подробной модели процесса детектирования. Однако рассматриваемый подход может легко стать непрактичным для сложных детекторных систем. Второй подход – это квантовая томография детектора, целью которой является реконструкция операторов измерений на основе данных, полученных от самого детектора [7, 8].

Квантовая томография детектора как стандартный метод описания неизвестного процесса измерения имеет основополагающее значение для таких задач, как томография квантового состояния [9–12], идентификация квантового гамильтониана, томография квантовых процессов [13, 14] и квантовый контроль [15]. Квантовая томография описывает детектор положительной операторно-значной мерой (Positive Operator-Valued Measure-POVM), полностью характеризующей устройство. POVM можно реконструировать, анализируя результаты процесса детектирования, полученные для томографически полного набора входных состояний.

Когда операторы, описывающие детектор, оказываются диагональными в фоковском базисе, они являются фазово-нечувствительными (в противном случае фазово-чувствительными) детекторами и могут быть прямо определены с помощью статистического восстановления соответствующих аналитических функций [16] или выпуклой оптимизации [8, 17, 18]. POVM-элементы для фазово-чувствительных детекторов, как правило, нельзя привести к диагональному виду, поэтому их реконструкция является более сложной. Существующие методы включают оценку максимального правдоподобия [19], линейную регрессию [20], выпукло-квадратичную оптимизацию [21] и аналитическое двухэтапное решение [22]. Если полная характеризация детектора не является основным интересом, существуют другие альтернативы квантовой томографии детектора, такие как самотестирование [23] и самокалибровка [24].

Целью квантовой томографии детекторов является реконструкция функции ${{P}_{0}}\left( {n,j} \right),$ задающей вероятность зарегистрировать в многоканальной системе детекторов$j$ щелчков (кликов) при условии попадания в нее $n$ фотонов. Такая функция могла бы быть измерена непосредственно, если бы были легко доступны источники фоковских $n$-фотонных состояний для различных $n$ в широком диапазоне значений. Такие источники, однако, все еще трудно доступны, поэтому для томографии детекторов приходится использовать лазерные когерентные состояния, характеризующиеся пуассоновской статистикой.

Пусть ${{P}_{{Poiss}}}\left( {\lambda ,n} \right)$ – вероятность иметь состояние с $n$ фотонами для когерентного состояния с амплитудой $\alpha $, характеризующегося средним числом фотонов, равным $\lambda = {{\left| \alpha \right|}^{2}}.$ Именно такие состояния подаются в эксперименте на вход многоканального детектора. На выходе же детектора приближенно измеряется функция ${{P}_{{\exp }}}\left( {\lambda ,j} \right),$ характеризующая вероятность регистрации в системе $j$ щелчков (кликов) при условии облучения когерентным состоянием с параметром $\lambda = {{\left| \alpha \right|}^{2}}.$

Введенные функции связаны между собой следующим соотношением:

где ${{P}_{{Poiss}}}\left( {\lambda ,n} \right)$ = $\frac{{{{\lambda }^{n}}}}{{n!}}\exp \left( { - \lambda } \right)$ – распределение Пуассона.

Выражение (1) задает обратную задачу, связанную с нахождением неизвестной функции ${{P}_{0}}\left( {n,j} \right)$ по приближенно измеренной в эксперименте функции ${{P}_{{\exp }}}\left( {\lambda ,j} \right).$ Хорошо известно, что в общем случае такие задачи являются некорректно поставленными и требуют регуляризации [25]. В простейшем идеальном случае ${{P}_{0}}\left( {n,j} \right)$ представляет собой биномиальное распределение, определяющее вероятность получить $j$ успехов в серии из $n$ независимых испытаний при условии, что вероятность успеха определяется эффективностью детектора $\eta $. В реальных задачах, однако, биномиальное распределение малопригодно по двум основным причинам. Во-первых, временное окно ограниченно некоторой конечной длительностью $T$ и, таким образом, может быть зарегистрировано конечное (обычно небольшое) число фотонов. Во-вторых, обычно используемый лавинный детектор в силу своих конструктивных особенностей обладает некоторым конечным ненулевым “мертвым временем” $\tau $. При регистрации фотона возникает электронная лавина, которая “ослепляет” детектор на время $\tau $ в течение которого детектор не способен регистрировать другие возможные фотоны.

2. СТАТИСТИКА ФОТООТСЧЕТОВ С УЧЕТОМ МЕРТВОГО ВРЕМЕНИ. ЗАДАННОЕ ЧИСЛО $N$ ФОТОНОВ НА ВХОДЕ

Чтобы явно выделить эффекты “мертвого” времени, предположим вначале, что квантовая эффективность детектора $\eta $ равна 100%, т.е. $\eta = 1$. Полное время экспозиции примем за единицу: $T = 1$. В дальнейшем результаты будут обобщены на случай произвольных $\eta $ и $T$_.

Пусть $k$ – число зарегистрированных фотонов, а $\tau $ – “мертвое” время детектора.

Для простоты в аналитических расчетах мы рассматриваем асимптотическое приближение, когда число фотонов велико (формально $N \to \infty $), мертвое время мало (формально $\tau \to 0$), а их произведение стремится к конечному числу ($N\tau \to {{n}_{0}} = {\text{const}}$). В численном моделировании указанные величины могут быть произвольными.

В рассматриваемой задаче $k\tau $ – суммарное “мертвое” время, а $1 - k\tau $ – суммарное “живое” время. Понятно, что $1 - k\tau $ характеризует долю зарегистрированных фотонов, а $k\tau $ – долю потерянных фотонов.

Если $N$ – заданное (фиксированное) число фотонов на входе, то $N\left( {1 - k\tau } \right)$ есть ожидаемое число зарегистрированных фотонов. Наблюдаемое число отсчетов $k$ отличается от ожидаемого числа отсчетов $N\left( {1 - k\tau } \right)$ на величину флуктуации, которая определяется дисперсией $N\left( {1 - k\tau } \right)k\tau $. В асимптотическом гауссовом приближении соответствующая флуктуация есть $\xi \sqrt {N\left( {1 - k\tau } \right)k\tau } $, где $\xi \sim N\left( {0,1} \right)$ – гауссова случайная величина с нулевым средним и единичной дисперсией. Таким образом:

Пусть $M\left( k \right) = {{k}_{0}}$ – ожидаемое число отсчетов. Тогда, усредняя представленное равенство и учитывая, что $M\left( \xi \right) = 0$, получим: ${{k}_{0}} = N\left( {1 - {{k}_{0}}\tau } \right)$, откуда получим:

Формула (2) определяет деградацию числа отсчетов из-за мертвого времени. Из (3) имеем непосредственно

Формула (4) может служить для оценки неизвестного числа $N$ фотонов на входе по измеренному среднему числу ${{k}_{0}}$ зарегистрированных фотонов.

Учтем теперь влияние флуктуации в формуле (2). Перенося первое слагаемое из правой части в левую, получим: $k\left( {1 + N\tau } \right) - N$ = $\xi \sqrt {N\left( {1 - k\tau } \right)k\tau } .$ Пусть $k = {{k}_{0}} + \xi \sigma $, где $\sigma $ – искомое стандартное отклонение (корень из дисперсии). Тогда $\xi \sigma \left( {1 + N\tau } \right)$ = $\xi \sqrt {N\left( {1 - k\tau } \right)k\tau } .$ Будем использовать в правой части приближение $k \approx {{k}_{0}}$. Тогда получим:

Пусть ${{n}_{0}} = N\tau $ – среднее число фотонов, попадающих во временной интервал, равный мертвому времени $\tau $. Перепишем полученную формулу для дисперсии зарегистрированного числа отсчетов в виде:

Мы видим, что дисперсия асимптотически неограниченно растет линейно, если $N \to \infty $, а ${{n}_{0}} = {\text{const}}{\text{.}}$

Таким образом, в случае фоковских состояний с заданным числом фотонов $N$, формула (3) задает искомое выражение для среднего числа отсчетов, (5) и (6) – искомые формулы для дисперсии числа отсчетов.

3. СТАТИСТИКА ФОТООТСЧЕТОВ С УЧЕТОМ МЕРТВОГО ВРЕМЕНИ. ПУАССОНОВСКИЙ ПОТОК ФОТОНОВ НА ВХОДЕ

Пусть имеется пуассоновский поток на входе и $\lambda $ – среднее число фотонов, поступающих за время $T = 1$. Из-за мертвого времени вероятность выживания фотона есть $p = \left( {1 - k\tau } \right)$. При этом выживает только поток, равный $\lambda \left( {1 - k\tau } \right)$, но само распределение остается пуассоновским. Пуассоновская флуктуация есть $\xi \sqrt {\lambda \left( {1 - k\tau } \right)} $ и вместо (2) получаем:

Вместо (3) для среднего числа регистрируемых фотонов ${{k}_{0}}$ получим:

Учет флуктуации приводит к равенству $\xi \sigma \left( {1 + \lambda \tau } \right)$ = $\xi \sqrt {\lambda \left( {1 - k\tau } \right)} ,$ откуда имеем выражение для дисперсии:

Таким образом, в случае пуассоновского потока фотонов на входе, формула (8) – искомое выражение для среднего числа отсчетов, (9) – искомая формула для дисперсии числа отсчетов.

Рассматривая конечную эффективность детектора $\eta $ и вводя размерное временное окно $T$, перепишем формулу (8) в виде:

Здесь $\lambda $ – пуассоновский параметр, задающий среднее число фотонов на входе, поступивших за время $T$; $\eta \lambda $ – среднее число входящих за время $T$ фотонов, скорректированное с учетом конечной эффективности детектора $\eta $; ${{k}_{0}}$ – среднее число зарегистрированных за время $T$ фотонов.

Из формулы (10) находим:

Полученная формула может служить для оценки входного потока фотонов $\lambda $ по среднему числу зарегистрированных фотонов ${{k}_{0}}$.

4. РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТА И ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

В эксперименте измерялось число отсчетов детектора за фиксированное время накопления $T = 128$ нс при засветке сильно ослабленным лазерным излучением (рис. 1). В качестве источника использовался непрерывный одномодовый волоконный лазер с брэгговской решеткой на длине волны 810 нм. Детектирование осуществлялось однофотонным модулем счета фотонов на основе кремниевого лавинного фотодиода Laser Components Count-50C. По данным производителя, частота темновых отсчетов равна 36 Гц, квантовая эффективность на рабочей длине волны 66%, мертвое время 42 нс.

Было проведено 6 серий измерений статистики фотоотсчетов, в каждой из которых интенсивность источника излучения была фиксирована. От серии к серии параметр $R\tau $ менялась в диапазоне от 0.2 до 2.31, где R – среднее число регистрируемых фотоотсчетов за 1 с, $\tau $ – мертвое время детектора. В терминах формул (10) и (11) указанный параметр есть $R\tau = \frac{{{{k}_{0}}\tau }}{T}$.

В каждой серии измерений фиксировалась интенсивность источника и измерялась статистика числа фотоотсчетов во временных бинах длины T в зависимости от задержки после прихода триггерного импульса с генератора. Длительность задержки изменялась от ноля до T_max = 240T, частота следования импульсов генератора составляла 1/(4T_max). Поскольку $2~\tau < T < 3\tau $, измеренные числа фотоотсчетов за каждый временной бин T могли принимать только значения от 0 до 3 с разной вероятностью в зависимости от интенсивности входного излучения.

Интенсивность входного излучения регулировалась поглощающими нейтральными фильтрами Att фирмы Thorlabs серии NENIR, оптимизированными под инфракрасный диапазон длин волн 1000–2600 нм. В связи с тем, что длина волны используемого лазера не входит в указанный диапазон, ослабление не соответствовало заявленному производителем. Коэффициент пропускания фильтров был измерен дополнительно.

На рис. 2 представлено сравнение теоретической кривой (10) с результатами выполненных нами измерений. Метод наименьших квадратов дал для теоретической кривой значение $\tau $ = 47.447 нс. Модельная кривая и экспериментальные результаты хорошо согласуются между собой. Коэффициент детерминации ${{R}^{2}}$ составил 0.9986. Заметим, что полученное значение мертвого времени оказалось несколько выше величины, указанной в спецификации производителя (42 нс).

Теоретическое рассмотрение процесса детектирования фотонов осуществлялось методами численного моделирования. Рассматривались потоки фотонов, имеющие различные распределения по числу фотонов, в том числе пуассоновское, фоковское и тепловое. Случайное число фотонов в рассматриваемых распределениях разыгрывалось методом Монте-Карло. Моменты прилета фотонов представлялись случайными величинами, равномерно распределенными во времени. При регистрации в момент времени $t$ некоторого фотона, счетчик фотонов выключался на время $\tau $ вплоть до момента $t + \tau $. Таким образом, все фотоны, попадающие в “мертвый” интервал времени (если таковые были), игнорировались счетчиком регистрации фотонов. Близкое соответствие результатов численного моделирования и реальных данных говорит об адекватности разработанных алгоритмов.

На рис. 3 представлено распределение числа отсчетов детектора в зависимости от среднего числа фотонов $\lambda $ в пуассоновском распределении на входе.

Мы видим хорошее согласие между теоретическими кривыми, полученными в численных расчетах, и результатами выполненных нами экспериментов (точки). Степень согласия (Fidelity) между экспериментальными и модельными распределениями составила 0.995–0.998.

Для расчета POVM-элементов необходимо перейти от пуассоновских распределений по числу фотонов на входе к фоковским распределениям с заданным числом фотонов. Результаты численных расчетов представлены на рис. 4.

В рассматриваемой системе определены 4 POVM-элемента, отвечающих регистрации соответственно $j$ фотонов, где $j = 0,1,2,3$. При этом $j$-ый POVM-элемент определяется соответственно вероятностями $P\left( {j\left| n \right.} \right)$ зарегистрировать $j$ фотонов при условии, что на входе имеется ровно $n$ фотонов.

Полученные POVM-элементы задают функцию ${{P}_{0}}\left( {n,j} \right)$ и позволяют рассчитать отклик рассматриваемого детектора по отношению к любому распределению по числу фотонов на входе. Это можно сделать, если в формуле (1) заменить пуассоновское распределение ${{P}_{{Poiss}}}\left( {\lambda ,n} \right)$ другим интересующим нас распределением. Пример такого расчета в приложении к тепловому распределению представлен на рис. 5. Здесь на горизонтальной оси представлено среднее число фотонов $\mu $ в тепловом состоянии.

Заметим, что тепловые состояния могут быть использованы вместо когерентных состояний для томографии детекторов. Сама функция ${{P}_{0}}\left( {n,j} \right)$, определяющая POVM-элементы, не зависит от распределения фотонов на входе и является характеристикой только самого детектора.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем кратко основные результаты выполненного исследования.

Методами численного моделирования с учетом эффекта мертвого времени разработаны алгоритмы расчета отклика детектора фотонов. Рассмотрены потоки фотонов, имеющие различные распределения по числу фотонов, в том числе пуассоновское, фоковское и тепловое.

С использованием набора различных когерентных состояний выполнены экспериментальные исследования модуля счета фотонов на основе кремниевого лавинного фотодиода. Сравнение полученных экспериментальных данных с результатами теоретических расчетов показали их хорошее согласие.

Разработан алгоритм расчета элементов положительной операторно-значной меры (POVM). Реконструированы элементы POVM для исследуемого модуля счета фотонов. Полученные POVM-элементы позволяют рассчитать отклик рассматриваемого модуля счета фотонов по отношению к любому распределению по числу фотонов на входе. Продемонстрировано применение полученных POVM-элементов для расчета отклика детектора при подаче на вход тепловых состояний.

Полученные результаты имеют существенное значение для развития квантовых оптических информационных технологий с использованием детекторов, разрешающих число фотонов.