Микроэлектроника, 2023, T. 52, № 4, стр. 262-281

Влияние граничных условий на квантовый магнетотранспорт в тонкой пленке

И. А. Кузнецова^a, О. В. Савенко^a, Д. Н. Романов^a, *

^a Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова
150003 Ярославль, Россия

Поступила в редакцию 29.03.2023
После доработки 20.04.2023
Принята к публикации 22.04.2023

EDN: UYUDNQ
DOI: 10.31857/S0544126923700400

Аннотация

Получены аналитические выражения для коэффициентов Холла и магнетосопротивления тонкой полупроводниковой пленки. Рассматривается случай слабого магнитного поля и эффекты, связанные с расщеплением энергетического спектра носителей заряда на уровни Ландау, не учитываются. Изоэнергетическая поверхность материала полупроводника является эллипсоид вращения (сфероид). Выполнен переход к предельным случаям вырожденного и невырожденного электронных газов, зеркальных границ. Поведение носителей заряда описывается квантовым уравнением Лиувилля. Влияние поверхностного рассеяния носителей заряда учитывается через граничные условия Соффера. Проведен анализ зависимости коэффициентов Холла и магнетосопротивления от толщины пленки, индукции внешнего магнитного поля, шероховатости поверхности пленки.

Ключевые слова: тонкая пленка, уравнение Лиувилля, модель Соффера, коэффициент Холла, коэффициент магнетосопротивления

1. ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время активно развиваются такие области науки и техники, как микро- и наноэлектроника. Сегодня наблюдается тенденция к миниатюризации элементов интегральных схем. Современные технологии изготовления и выращивания слоистых наноструктур позволяют создавать нанослой толщиной порядка нескольких нанометров (меньше длины волны де Бройля носителей заряда). В таких нанослоях становится ярко выраженным квантовый размерный эффект, а электронный газ необходимо рассматривать как квазидвумерный газ, заключенный в потенциальную яму с бесконечно высокими стенками. При малых толщинах неровность поверхности на атомарном уровне существенно влияет на электрические и гальваномагнитные параметры нанослоя. Для теоретического описания явлений переноса носителей заряда необходимо использовать модели, которые бы учитывали квантование энергетического спектра носителей заряда и поверхностное рассеяние.

Изучение влияния магнитного поля на движение носителей заряда актуально для создания магнитной памяти. В настоящее время имеют востребованность элементы памяти с ультрабыстрым управлением намагниченностью [1]. По коэффициенту Холла можно определить механизм рассеяния [2], величину магнитного поля [3]. При уменьшении толщины пленки коэффициент Холла возрастает, что позволяет точнее определять величину магнитной индукции поля.

Известных работ, посвященных вышеназванной тематике, существует пока ограниченное количество. В последние десятилетия активно развиваются методики, позволяющие определять профиль шероховатости поверхности с высокой точностью (атомно-силовая микроскопия и т.д.). Особый интерес вызывает использование тех моделей граничных условий, в которых фигурирует параметр, характеризующий степень неровности поверхности. В рамках данного проекта предлагается использовать метод, согласно которому поверхностное рассеяние носителей заряда будет учитываться через граничные условия Соффера [4], накладываемые на уравнение Лиувилля. Выбор модели Соффера обусловлен тем, что она получена в результате решения квантовомеханической задачи о взаимодействии электронной волны с поверхностью слоя и в этой модели фигурирует параметр шероховатости поверхности, который можно померить непосредственно в экспериментальных условиях.

Для решения подобных задач необходимо использовать квантовую теорию процессов переноса, заключающуюся в нахождении элементов матрицы плотности решением уравнения Лиувилля. Авторы некоторых работ использовали различные методы решения этого уравнения. В работе [5] применен метод функций Грина для решения задачи об электропроводности тонкой металлической пленки. В работах Мейеровича и др., опубликованных в начале 2000-х годов, использовался метод непосредственного расчета вероятности переходов носителей заряда за счет потенциала рассеяния с помощью автокорреляционных функций, описывающих профиль поверхности [6]. В другом источнике [7] производился непосредственный расчет гамильтониана, обусловленного рассеянием носителей заряда. Методы решения задач, использованные авторами, приводят к громоздким математическим расчетам. Теоретические исследования явлений переноса в нанопленках продолжаются в настоящее время.

В настоящей работе для расчета гальваномагнитных параметров тонкой пленки применяется метод, рассмотренный в работах [8, 9], с использованием граничных условий Соффера.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В настоящей работе рассматривается изолированный проводящий нанослой (тонкий слой из полупроводника, расположенный между двумя изолирующими слоями или нанесенный на изолирующую подложку). Толщина слоя равна $a$. Пленка находится в скрещенных однородных электрических и магнитных полях. Введем декартовую систему координат. Вдоль оси $X$ направлен вектор напряженности электрического поля ${\mathbf{E}}$, а вдоль оси $Z$ – вектор напряженности магнитного поля ${\mathbf{H}}$. Сила, действующая на электроны (дырки), имеет вид

(1)

${\mathbf{F}} = e\left( {{\mathbf{E}} + {{{\mathbf{E}}}_{H}}} \right) + \frac{e}{c}\left[ {{\mathbf{v}} \times {\mathbf{H}}} \right],$

где $c$ – скорость света, $e$ и ${\mathbf{v}}$ – соответственно, заряд и скорость свободного электрона, ${{{\mathbf{E}}}_{H}}$ – напряженность электрического поля, обусловленная эффектом Холла.

Электрические поля меняются по гармоническому закону:

(2)

$E = {{E}_{{0x}}}{\text{exp}}\left( {i{{\omega }}t} \right),$

(3)

${{E}_{H}} = {{E}_{{0y}}}{\text{exp}}\left( {i{{\omega }}t} \right),$

где ${{E}_{{0x}}}$ – амплитуда напряженности внешнего электрического поля, ${{E}_{{0y}}}$ – амплитуда холловской напряженности электрического поля, ${{\omega }}$ – частота внешнего электрического поля.

Изоэнергетическая поверхность ряда полупроводников (кремний, германий) имеет форму эллипсоидов. Для пленки, толщина которой сравнима с длиной волны де Бройля, необходимо учитывать квантование энергии носителей заряда. Изоэнергетическая поверхность с учетом квантовых размерных эффектов будет представлять собой совокупность равностоящих эллипсах, центры которых лежат на оси ${{p}_{z}}$, а сами эллипсы расположены на эллипсоиде. В этом случае энергия носителей заряда принимает вид:

(4)

$\begin{gathered} {{\varepsilon }_{n}} = {{\varepsilon }_{\parallel }} + {{\varepsilon }_{{zn}}};\,\,\,\,{{\varepsilon }_{\parallel }} = \frac{{p_{x}^{2}}}{{2{{m}_{1}}}} + \frac{{p_{y}^{2}}}{{2{{m}_{2}}}}; \\ {{\varepsilon }_{{zn}}} = \frac{{p_{{zn}}^{2}}}{{2{{m}_{3}}}},\,\,\,\,~n = 1,~2,~3, \ldots ,N, \\ \end{gathered} $

где ${{m}_{\parallel }}$ и ${{m}_{ \bot }}$ – соответственно продольная и поперечная эффективные массы носителя заряда. Проекция импульса носителя заряда на ось ${{p}_{{zn}}}$ принимает дискретный ряд значений, а на осях ${{p}_{x}}$ и ${{p}_{y}}$ – непрерывный ряд значений.

Проводящая пленка расположена между двумя диэлектриками, поэтому для электронов (дырок) пленка в первом приближении представляет собой потенциальную яму с бесконечно высокими стенками

$U = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0,\,\,\,\,0 \leqslant z \leqslant a,\,\,\,\,\,} \\ {\infty ,\,\,\,z < 0,\,\,z > a.} \end{array}} \right.$

В этом случае проекция квазиимпульса на ось $Z$ $\left( {{{p}_{{zn}}}} \right)$ принимает следующие значения

(5)

${{p}_{{zn}}} = \frac{{hn}}{{2a}};\,\,\,\,n = 1,2,3,\,\, \ldots ,$

где $h$ – постоянная Планка.

Коэффициенты Холла и магнетосопротивления можно найти с помощью уравнения фон Неймана (квантового уравнения Лиувилля):

(6)

$\frac{{\partial{ \hat {\rho }}}}{{\partial t}} = \frac{1}{{i\hbar }}\left[ {\hat {H},\hat {\rho }} \right],$

где ${{\hat {\rho }}}$ – оператор матрицы плотности, $\hat {H}$ – оператор Гамильтона, $\hbar $ – постоянная Дирака, а скобки обозначают коммутатор.

Из уравнения Лиувилля (6) в работах [8, 9] было получено кинетическое уравнение:

(7)

$\frac{{\partial {{f}_{n}}}}{{\partial t}} + {\mathbf{v}}\frac{{\partial {{f}_{n}}}}{{\partial {\mathbf{r}}}} + {\mathbf{F}}\frac{{\partial {{f}_{n}}}}{{\partial {\mathbf{p}}}} = - \frac{{2\pi }}{\hbar }{{N}_{{imp}}}\sum\limits_{n{\kern 1pt} '} {{{{\left| {{{V}_{{0n{\kern 1pt} '}}}} \right|}}^{2}}} \left( {{{f}_{n}} - {{f}_{{n - n{\kern 1pt} '}}}} \right)\delta \left( {{{\varepsilon }_{n}} - {{\varepsilon }_{{n - n{\kern 1pt} '}}}} \right),$

где ${{f}_{n}}$ – это функция распределения носителей заряда на n-ом энергетическом уровне, ${\mathbf{v}}$ – это скорость электронов (дырок) в плоскости пленки, ${\mathbf{r}}$ – радиус-вектор электрона (дырки) в произвольной точке пленки, ${\mathbf{F}}$ – сила, действующая на носители заряда (1), ${{N}_{{imp}}}$ – концентрация примесей, ${{V}_{{0n{\kern 1pt} '}}}$ – матричный элемент рассеяния при переходе из $n{\kern 1pt} '$-ого уровня на $n$-ый уровень, $\delta $ – дельта-функция.

Для учета поверхностного рассеяния будем использовать модель Соффера [4]:

(8)

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f_{n}^{ + }\left( {0,{{v}_{x}},{{v}_{y}}} \right) = {{q}_{{1n}}}\left( {{{g}_{1}},{{\vartheta }_{n}}} \right)f_{n}^{ - }\left( {0,{{v}_{x}},{{v}_{y}}} \right),} \\ {f_{n}^{ - }\left( {a,{{v}_{x}},{{v}_{y}}} \right) = {{q}_{{2n}}}\left( {{{g}_{2}},{{\vartheta }_{n}}} \right)f_{n}^{ + }\left( {a,{{v}_{x}},{{v}_{y}}} \right),} \end{array}} \right.$

(9)

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{q}_{{1n}}}\left( {{{g}_{1}},{{\vartheta }_{n}}} \right) = \exp \left( { - {{{\left[ {4\pi {{g}_{1}}{\kern 1pt} \cos {\kern 1pt} {{\vartheta }_{n}}} \right]}}^{2}}} \right),} \\ {{{q}_{{2n}}}\left( {{{g}_{2}},{{\vartheta }_{n}}} \right) = \exp \left( { - {{{\left[ {4\pi {{g}_{2}}{\kern 1pt} \cos {\kern 1pt} {{\vartheta }_{n}}} \right]}}^{2}}} \right),} \end{array}} \right.$

(10)

${{g}_{1}} = \frac{{{{g}_{{s1}}}}}{{{{{{\lambda }}}_{{BV}}}}},\,\,\,\,{{g}_{2}} = \frac{{{{g}_{{s2}}}}}{{{{{{\lambda }}}_{{BV}}}}},$

где ${{g}_{1}}$ и ${{g}_{2}}$ – параметры шероховатости для нижней и вахней поверхности пленки; $f_{n}^{ + }$ и $f_{n}^{ - }$ – неравновесные функции распределения электронов (дырок) соответственно с положительной и отрицательной проекциями скорости на ось $Z$ $\left( {n = 1,2,3 \ldots } \right)$; ${{\vartheta }_{n}}$ – угол между импульсом носителя заряда и осью ${{p}_{z}}$; ${{g}_{{s1}}}$ и ${{g}_{{s2}}}$ – соответственно среднеквадратичная высота поверхностного рельефа для нижней и верхней границы пленки; ${{{{\lambda }}}_{{BV}}}$ – длина волны де Бройля электрона (дырки). В отличие от модели Фукса, в которой коэффициенты зеркальности ${{q}_{{1n}}}$ и ${{q}_{{2n}}}$ выбираются постоянными феноменологическим образом, в модели Соффера вероятность зеркального отражения зависит от угла падения носителя заряда на эту поверхности и от шероховатости этой поверхности.

Плотность тока ${\mathbf{j}}$ определяется следующим образом

(11)

${\mathbf{j}} = \frac{{2e}}{a}\sum\limits_n {\iint {{\mathbf{v}}{{f}_{n}}\frac{{d{{p}_{x}}d{{p}_{y}}}}{{{{h}^{2}}}}}} .$

Приборы могут показывать только усредненные по толщине пленки величины (9)

(12)

$\left\langle {\mathbf{j}} \right\rangle = \frac{1}{a}\int\limits_0^a {{\mathbf{j}}dz} .$

Продольная составляющая электропроводности выражается через дифференциальный закон Ома:

(13)

$\left\langle {{{j}_{{x0}}}} \right\rangle = {{\sigma }_{\parallel }}{{E}_{{0x}}},~\,\,\,\,{{\sigma }_{\parallel }} = {{\sigma }_{{xx}}} - {{{{\sigma }_{{yx}}}{{\sigma }_{{xy}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\sigma }_{{yx}}}{{\sigma }_{{xy}}}} {{{\sigma }_{{yy}}}}}} \right. \kern-0em} {{{\sigma }_{{yy}}}}}.$

Коэффициент Холла ${{R}_{H}}$ и коэффициент поперечного магнетосопротивления ${{\varkappa }_{ \bot }}$ будут иметь вид:

(14)

${{R}_{H}} = \frac{{{{E}_{{0y}}}}}{{\left\langle {{{j}_{{x0}}}} \right\rangle H}} = - \frac{{{{{{\sigma }}}_{{yx}}}}}{{\left( {{{{{\sigma }}}_{{xx}}}{{{{\sigma }}}_{{yy}}} - {{{{\sigma }}}_{{yx}}}{{{{\sigma }}}_{{xy}}}} \right)H}},\,\,\,\,{{\varkappa }_{ \bot }} = \frac{{{{{{\sigma }}}_{{0\parallel }}} - {{{{\sigma }}}_{\parallel }}}}{{{{{{\sigma }}}_{{0\parallel }}}{{H}^{2}}}},$

где ${{{{\sigma }}}_{{0\parallel }}} = {{{{\sigma }}}_{\parallel }}\left( {B = 0} \right)$.

3. РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ ХОЛЛА И МАГНЕТОСОПРОТИВЛЕНИЯ

Используя тот же метод решения, что и в работе [8, 9], запишем окончательные результаты. Для этого введем безразмерные параметры:

(15)

${{m}_{0}} = \sqrt[3]{{m_{ \bot }^{2}{{m}_{\parallel }}}},\,\,\,\,~{{k}_{{m \bot }}} = {{{{m}_{ \bot }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{ \bot }}} {{{m}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{m}_{0}}}},\,\,\,\,{{k}_{{m\parallel }}} = {{{{m}_{\parallel }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{\parallel }}} {{{m}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{m}_{0}}}},$

где ${{k}_{{m \bot }}}$ и ${{k}_{{m\parallel }}}$ – безразмерные поперечная и продольная эффективные массы носителей заряда, которые связаны соотношением $k_{{m \bot }}^{2}{{k}_{{m\parallel }}} = 1$,

(16)

$\begin{gathered} {{{{\lambda }}}_{B}} = {h \mathord{\left/ {\vphantom {h {{{p}_{{1V}}}}}} \right. \kern-0em} {{{p}_{{1V}}}}},\,\,\,\,{{p}_{{1V}}} = {{m}_{0}}{{v}_{{0V}}}, \\ {{\Lambda }} = {{v}_{0}}{{\tau }} = {{v}_{{0V}}}{{{{\tau }}}_{V}},\,\,\,\,~{{x}_{{{\lambda }}}} = {{{\Lambda }} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\Lambda }} {{{{{\lambda }}}_{B}}}}} \right. \kern-0em} {{{{{\lambda }}}_{B}}}}, \\ \end{gathered} $

где ${{\Lambda }}$ – длина свободного пробега электронов (дырок) в объемном проводнике без учета влияния границ пленки, которая при учете квантовых размерных эффектов не меняется, ${{\tau }}$ и ${{{{\tau }}}_{V}}$ – объемное время релаксации в присутствии и отсутствии квантового размерного эффекта соответственно, ${{v}_{0}}$ и ${{v}_{{0V}}}$ – характеристическая скорость носителей заряда в присутствии и отсутствии квантового размерного эффекта соответственно [9],

(17)

где ${{x}_{0}}$ – безразмерная толщина пленки, ${{y}_{0}}$ – безразмерная частота внешнего электрического поля, ${{k}_{{\text{Б}}}}$ – постоянная Больцмана, $T$ – температура,

(18)

$\begin{gathered} {{u}_{1}} = {{{{h}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{h}^{2}}} {\left( {8{{m}_{0}}{{a}^{2}}{{k}_{{\text{Б}}}}T} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {8{{m}_{0}}{{a}^{2}}{{k}_{{\text{Б}}}}T} \right)}},\,\,\,\,{{u}_{{{\mu }}}} = {{{\mu }} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\mu }} {\left( {{{k}_{{\text{Б}}}}T} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {{{k}_{{\text{Б}}}}T} \right)}}, \\ {{u}_{0}} = {{{{m}_{0}}v_{0}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{0}}v_{0}^{2}} {\left( {2{{k}_{{\text{Б}}}}T} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {2{{k}_{{\text{Б}}}}T} \right)}}, \\ \end{gathered} $

где ${{\mu }}$ – химический потенциал,

(19)

${{u}_{{0V}}} = {{{{m}_{0}}v_{{0V}}^{2}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{m}_{0}}v_{{0V}}^{2}} {\left( {2{{k}_{{\text{Б}}}}T} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {2{{k}_{{\text{Б}}}}T} \right)}},\,\,\,\,~k = \sqrt {{{{{u}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{u}_{0}}} {{{u}_{{0V}}}}}} \right. \kern-0em} {{{u}_{{0V}}}}}} ,$

(20)

${{{{\tau }}}_{{{\beta }}}} = {\text{sin}}{{\left( {{{{\beta }} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\beta }} {{{k}_{{m \bot }}}}}} \right. \kern-0em} {{{k}_{{m \bot }}}}}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{{{\beta }} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\beta }} {{{k}_{{m \bot }}}}}} \right. \kern-0em} {{{k}_{{m \bot }}}}}} \right)} {\left( {{{{\beta }} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\beta }} {{{k}_{{m \bot }}}}}} \right. \kern-0em} {{{k}_{{m \bot }}}}}} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {{{{\beta }} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\beta }} {{{k}_{{m \bot }}}}}} \right. \kern-0em} {{{k}_{{m \bot }}}}}} \right)}},$

(21)

${{z}_{0}} = {{x}_{0}}\left( {k - i{{y}_{0}}} \right),\,\,\,\,~{{\beta }} = {{{{{{\tau }}}_{V}}eH} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{{\tau }}}_{V}}eH} {\left( {{{m}_{0}}c} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {{{m}_{0}}c} \right)}},$

где ${{\beta }}$ – безразмерная напряженность внешнего магнитного поля,

(22)

${{{{\Omega }}}_{{1n}}} = \frac{{2{{x}_{0}}{{x}_{{{\lambda }}}}{{z}_{0}}}}{{nk_{{m \bot }}^{2}}},\,\,\,\,{{{{\Omega }}}_{{2n}}} = \frac{{2{{x}_{\lambda }}x_{0}^{2}{{\beta }}}}{{nk_{{m \bot }}^{3}}},$

(23)

${{u}_{{0V}}} = \frac{5}{6}\left( {\frac{2}{{{{k}_{{m \bot }}}}} + k_{{m \bot }}^{2}} \right)\frac{{{{F}_{{3{\text{/}}2}}}\left( {{{u}_{{{\mu }}}}} \right)}}{{{{F}_{{1{\text{/}}2}}}\left( {{{u}_{{{\mu }}}}} \right)}},$

(24)

${{F}_{j}}\left( x \right) = \frac{1}{{Г\left( {j + 1} \right)}}\int\limits_0^\infty {\frac{{{{t}^{j}}dt}}{{1 + {{{\text{e}}}^{{t - x}}}}}} ,\,\,\,\,{\text{Г}}\left( {j + 1} \right) = \int\limits_0^\infty {{{t}^{j}}{{{\text{e}}}^{{ - t}}}dt} ,$

где ${{F}_{j}}\left( x \right)$ – интеграл Ферми–Дирака с индексом $j$, ${\text{Г}}\left( {j + 1} \right)$ – гамма-функция,

(25)

${{u}_{0}} = \frac{5}{{3{{P}_{1}}}}\left( {\frac{{{{P}_{3}}}}{{{{k}_{{m \bot }}}}} + k_{{m \bot }}^{2}{{P}_{2}}} \right),$

(26)

${{P}_{1}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{\text{ln}}\left( {1 + {\text{exp}}\left( {{{u}_{{{\mu }}}} - \frac{{{{u}_{{0V}}}k_{{m \bot }}^{2}{{n}^{2}}}}{{4x_{0}^{2}x_{\lambda }^{2}}}} \right)} \right)} ,$

(27)

${{P}_{2}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{u}_{{0V}}}k_{{m \bot }}^{2}{{n}^{2}}}}{{4x_{0}^{2}x_{\lambda }^{2}}}} {\text{ln}}\left( {1 + {\text{exp}}\left( {{{u}_{{{\mu }}}} - \frac{{{{u}_{{0V}}}k_{{m \bot }}^{2}{{n}^{2}}}}{{4x_{0}^{2}x_{\lambda }^{2}}}} \right)} \right),$

(28)

${{P}_{3}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{{F}_{1}}\left( {{{u}_{{{\mu }}}} - \frac{{{{u}_{{0V}}}k_{{m \bot }}^{2}{{n}^{2}}}}{{4x_{0}^{2}x_{\lambda }^{2}}}} \right)} .$

Косинус угла в коэффициентах зеркальностей ${{q}_{{1n}}}$ и ${{q}_{{2n}}}$ (5) определяется через отношение скоростей:

(29)

${\text{cos}}{{\vartheta }_{n}} = \frac{{{{v}_{{zn}}}}}{v} = \frac{{\frac{{n{{k}_{{m \bot }}}\sqrt {{{u}_{{0V}}}} }}{{2{{x}_{0}}{{x}_{\lambda }}}}}}{{\sqrt {\frac{{{{u}_{ \bot }}}}{{k_{{m \bot }}^{3}}} + {{{\left( {\frac{{n{{k}_{{m \bot }}}\sqrt {{{u}_{{0V}}}} }}{{2{{x}_{0}}{{x}_{\lambda }}}}} \right)}}^{2}}} }},$

где ${{u}_{ \bot }} = {{{{\varepsilon }_{ \bot }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\varepsilon }_{ \bot }}} {\left( {{{k}_{{\text{Б}}}}T} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {{{k}_{{\text{Б}}}}T} \right)}}.$

Выражения для удельной электропроводности ${{{{\sigma }}}_{\parallel }}$, коэффициентов Холла ${{R}_{H}}$ и магнетосопротивления ${{\varkappa }_{ \bot }}$ (14) выглядят следующим образом:

(30)

${{{{\sigma }}}_{\parallel }} = {{{{\sigma }}}_{0}}{{\Sigma }}\left( {{{x}_{0}},{{y}_{0}},{{x}_{{{\lambda }}}},{{k}_{{m \bot }}},{{\beta }},{{g}_{1}},{{g}_{2}}} \right),\,\,\,\,{{{{\sigma }}}_{0}} = {{{{n}_{{cV}}}{{e}^{2}}{{{{\tau }}}_{V}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{n}_{{cV}}}{{e}^{2}}{{{{\tau }}}_{V}}} {{{m}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{m}_{0}}}},$

(31)

${{{{\sigma }}}_{{0\parallel }}} = {{{{\sigma }}}_{0}}{{{{\Sigma }}}_{0}}\left( {{{x}_{0}},{{y}_{0}},{{x}_{{{\lambda }}}},{{k}_{{m \bot }}},{{g}_{1}},{{g}_{2}}} \right),\,\,\,\,{{{{\sigma }}}_{0}} = {{{{n}_{{cV}}}{{e}^{2}}{{{{\tau }}}_{V}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{n}_{{cV}}}{{e}^{2}}{{{{\tau }}}_{V}}} {{{m}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{m}_{0}}}},$

(32)

${{R}_{H}} = {{R}_{{H0}}}{{A}_{H}}\left( {{{x}_{0}},{{y}_{0}},{{x}_{{{\lambda }}}},{{k}_{{m \bot }}},{{\beta }},{{g}_{1}},{{g}_{2}}} \right),\,\,\,\,{{R}_{{H0}}} = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\left( {{{n}_{{cV}}}ec} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {{{n}_{{cV}}}ec} \right)}},$

(33)

${{\varkappa }_{ \bot }} = {{\varkappa }_{{ \bot 0}}}{{D}_{ \bot }}\left( {{{x}_{0}},{{y}_{0}},{{x}_{{{\lambda }}}},{{k}_{{m \bot }}},{{\beta }},{{g}_{1}},{{g}_{2}}} \right),\,\,\,\,{{\varkappa }_{{ \bot 0}}} = {{\left( {{{{{\sigma }}}_{0}}{{R}_{{H0}}}} \right)}^{2}},$

(34)

$\begin{gathered} {{\Sigma }} = \frac{{{{P}_{1}}\sqrt {{{u}_{{0V}}}} {{{{\tau }}}_{{{\beta }}}}}}{{{{F}_{{1/2}}}\left( {{{u}_{{{\mu }}}}} \right){{x}_{\lambda }}\sqrt \pi }} \times \\ \times \,\,\frac{{{{{\left( {{{z}_{0}} - \frac{{{{a}_{q}}}}{{4{{P}_{1}}{{x}_{0}}{{x}_{\lambda }}}}} \right)}}^{2}} + {{{\left( {\frac{{{{x}_{0}}{{\beta }}}}{{{{k}_{{m \bot }}}}} - \frac{{{{b}_{q}}}}{{2{{P}_{1}}{{x}_{0}}{{x}_{\lambda }}}}} \right)}}^{2}}}}{{{{z}_{0}}\left( {z_{0}^{2} + \frac{{x_{0}^{2}{{{{\beta }}}^{2}}}}{{k_{{m \bot }}^{2}}}} \right) + \frac{1}{{4{{P}_{1}}{{x}_{0}}{{x}_{\lambda }}}}\left( {{{a}_{q}}\left( {\frac{{x_{0}^{2}{{{{\beta }}}^{2}}}}{{k_{{m \bot }}^{2}}} - z_{0}^{2}} \right) - 4{{z}_{0}}{{b}_{q}}\frac{{{{x}_{0}}{{\beta }}}}{{{{k}_{{m \bot }}}}}} \right)}}, \\ \end{gathered} $

(35)

${{{{\Sigma }}}_{0}} = \frac{{{{P}_{1}}\sqrt {{{u}_{{0V}}}} }}{{{{F}_{{1{\text{/}}2}}}\left( {{{u}_{{{\mu }}}}} \right){{x}_{\lambda }}\sqrt {{\pi }} {{z}_{0}}}}\left( {1 - \frac{{{{a}_{{0q}}}}}{{4{{P}_{1}}{{x}_{0}}{{x}_{\lambda }}{{z}_{0}}}}} \right),$

(36)

$\begin{gathered} {{A}_{H}} = \frac{{{{F}_{{1/2}}}\left( {{{u}_{{{\mu }}}}} \right){{x}_{\lambda }}\sqrt \pi }}{{{{\beta }}{{P}_{1}}\sqrt {{{u}_{{0V}}}} {{{{\tau }}}_{{{\beta }}}}}} \times \\ \times \,\,\frac{{\frac{{{{x}_{0}}{{\beta }}}}{{{{k}_{{m \bot }}}}}\left( {z_{0}^{2} + \frac{{x_{0}^{2}{{{{\beta }}}^{2}}}}{{k_{{m \bot }}^{2}}}} \right) + \frac{{{{k}_{{m \bot }}}}}{{2{{P}_{1}}{{x}_{0}}{{x}_{\lambda }}}}\left( {{{b}_{q}}\left( {z_{0}^{2} - \frac{{x_{0}^{2}{{{{\beta }}}^{2}}}}{{k_{{m \bot }}^{2}}}} \right) - {{z}_{0}}{{a}_{q}}\frac{{{{x}_{0}}{{\beta }}}}{{{{k}_{{m \bot }}}}}} \right)}}{{{{{\left( {{{z}_{0}} - \frac{{{{a}_{q}}}}{{4{{P}_{1}}{{x}_{0}}{{x}_{\lambda }}}}} \right)}}^{2}} + {{{\left( {\frac{{{{x}_{0}}{{\beta }}}}{{{{k}_{{m \bot }}}}} - \frac{{{{b}_{q}}}}{{2{{P}_{1}}{{x}_{0}}{{x}_{\lambda }}}}} \right)}}^{2}}}}, \\ \end{gathered} $

(37)

${{D}_{ \bot }} = \frac{{{{{{\Sigma }}}_{0}} - {{\Sigma }}}}{{{{{{\Sigma }}}_{0}}{{{{\beta }}}^{2}}}},$

(38)

${{a}_{q}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty n \int\limits_0^\infty {\left( { - \frac{{\partial {{f}_{0}}}}{{\partial {{u}_{ \bot }}}}} \right)} \,{{u}_{ \bot }}{{A}_{1}}\left( {{{{{\Omega }}}_{{1n}}},{{{{\Omega }}}_{{2n}}}} \right)d{{u}_{ \bot }},$

(39)

${{a}_{{0q}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty n \int\limits_0^\infty {\left( { - \frac{{\partial {{f}_{0}}}}{{\partial {{u}_{ \bot }}}}} \right)} \,{{u}_{ \bot }}{{A}_{0}}\left( {{{{{\Omega }}}_{{1n0}}}} \right)d{{u}_{ \bot }},$

(40)

${{b}_{q}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty n \int\limits_0^\infty {\left( { - \frac{{\partial {{f}_{0}}}}{{\partial {{u}_{ \bot }}}}} \right)} \,{{u}_{ \bot }}{{A}_{2}}\left( {{{{{\Omega }}}_{{1n}}},{{{{\Omega }}}_{{2n}}}} \right)d{{u}_{ \bot }},$

(41)

$\begin{gathered} {{A}_{0}}\left( {{{{{\Omega }}}_{{1n0}}}} \right) = \\ = \frac{{\left( {1 - {\text{exp}}\left( { - {{{{\Omega }}}_{{1n0}}}} \right)} \right)\left( {2 - {{q}_{1}} - {{q}_{2}} + \left( {{{q}_{1}} + {{q}_{2}} - 2{{q}_{1}}{{q}_{2}}} \right){\text{exp}}\left( { - {{{{\Omega }}}_{{1n0}}}} \right)} \right)}}{{1 - {{q}_{1}}{{q}_{2}}{\text{exp}}\left( { - 2{{{{\Omega }}}_{{1n0}}}} \right)}}, \\ \end{gathered} $

(42)

$\begin{gathered} {{A}_{1}}\left( {{{{{\Omega }}}_{{1n}}},{{{{\Omega }}}_{{2n}}}} \right) = \left\{ {\left( {2 - {{q}_{1}} - {{q}_{2}}} \right) + {{q}_{1}}{{q}_{2}}\left( {{{q}_{1}} + {{q}_{2}} - 2{{q}_{1}}{{q}_{2}}} \right)} \right.{\text{exp}}\left( { - 4{{{{\Omega }}}_{{1n}}}} \right) - \\ - \,\,2\left( {1 - {{q}_{1}}} \right)\left( {1 - {{q}_{2}}} \right){\text{exp}}\left( { - {{{{\Omega }}}_{{1n}}}} \right)\left( {1 - {{q}_{1}}{{q}_{2}}{\text{exp}}\left( { - 2{{{{\Omega }}}_{{1n}}}} \right)} \right){\text{cos}}{{{{\Omega }}}_{{2n}}} - \\ - \,\,\left[ {{{q}_{1}} + {{q}_{2}} - {{q}_{1}}{{q}_{2}}\left( {{{q}_{1}} + {{q}_{2}}} \right)} \right]{\text{exp}}\left( { - 2{{{{\Omega }}}_{{1n}}}} \right){{\left. {{\text{cos}}\left( {2{{{{\Omega }}}_{{2n}}}} \right)} \right\}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left. {{\text{cos}}\left( {2{{{{\Omega }}}_{{2n}}}} \right)} \right\}} {\left( {1 + q_{1}^{2}q_{2}^{2}{\text{exp}}\left( { - 4{{{{\Omega }}}_{{1n}}}} \right) - } \right.}}} \right. \kern-0em} {\left( {1 + q_{1}^{2}q_{2}^{2}{\text{exp}}\left( { - 4{{{{\Omega }}}_{{1n}}}} \right) - } \right.}} \\ - \,\,2{{q}_{1}}{{q}_{2}}{\text{exp}}\left( { - 2{{{{\Omega }}}_{{1n}}}} \right){\text{cos}}\left( {2{{{{\Omega }}}_{{2n}}}} \right), \\ \end{gathered} $

(43)

$\begin{gathered} {{A}_{2}}\left( {{{{{\Omega }}}_{{1n}}},{{{{\Omega }}}_{{2n}}}} \right) = \left\{ {\left( {1 - {{q}_{1}}} \right)\left( {1 - {{q}_{2}}} \right){\text{exp}}\left( { - {{{{\Omega }}}_{{1n}}}} \right)} \right.\left( {1 + {{q}_{1}}{{q}_{2}}{\text{exp}}\left( { - 2{{{{\Omega }}}_{{1n}}}} \right)} \right) + \\ + \,\,\left[ {{{q}_{1}} + {{q}_{2}} + {{q}_{1}}{{q}_{2}}\left( {{{q}_{1}} + {{q}_{2}} - 4} \right)} \right]{\text{exp}}\left( { - 2{{{{\Omega }}}_{{1n}}}} \right)\left. {{\text{cos}}\left( {{{{{\Omega }}}_{{2n}}}} \right)} \right\}{{{\text{sin}}\left( {{{{{\Omega }}}_{{2n}}}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text{sin}}\left( {{{{{\Omega }}}_{{2n}}}} \right)} {\left( {1 + } \right.}}} \right. \kern-0em} {\left( {1 + } \right.}} \\ + \,\,q_{1}^{2}q_{2}^{2}{\text{exp}}\left( { - 4{{{{\Omega }}}_{{1n}}}} \right) - 2{{q}_{1}}{{q}_{2}}{\text{exp}}\left( { - 2{{{{\Omega }}}_{{1n}}}} \right){\text{cos}}\left( {2{{{{\Omega }}}_{{2n}}}} \right). \\ \end{gathered} $

Здесь ${{{{\sigma }}}_{0}}$ – статическая электропроводность, ${{\Sigma }}$ и ${{{{\Sigma }}}_{0}}$ – безразмерная удельная электропроводность в присутствии и отсутствии магнитного поля соответственно, ${{R}_{{H0}}}$ – коэффициент Холла в случае толстой пленки $\left( {a \gg {{\Lambda }},\,\,\,\,a \gg {{{{\lambda }}}_{{BV}}}} \right)$, ${{A}_{H}}$ – безразмерный коэффициент Холла, ${{D}_{ \bot }}$ – безразмерный коэффициент магнетосопротивления.

4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ СЛУЧАИ

1. Случай вырожденного электронного газа $\left( {{\text{exp}}\left( {{{u}_{{{\mu }}}}} \right) \gg 1} \right)$.

Данный случай соответствует высокой концентрации, малой эффективной массе и низкой температуре газа свободных носителей заряда (электронов, дырок). Функция распределения Ферми–Дирака примет ступенчатый вид.

(44)

${{k}_{0}} = \frac{1}{3}\left( {\frac{2}{{{{k}_{{m \bot }}}}} + k_{{m \bot }}^{2}} \right),\,\,\,\,{{N}_{0}} = \frac{{2{{x}_{0}}{{x}_{\lambda }}}}{{{{k}_{{m \bot }}}\sqrt {{{k}_{0}}} }},$

(45)

${{P}_{{11}}} = \sum\limits_{n = 1}^{{\text{int}}\left( {{{N}_{0}}} \right)} {\left( {1 - \frac{{{{n}^{2}}}}{{N_{0}^{2}}}} \right)} ,\,\,\,\,{{P}_{{21}}} = \sum\limits_{n = 1}^{{\text{int}}\left( {{{N}_{0}}} \right)} {\frac{{{{n}^{2}}}}{{N_{0}^{2}}}\left( {1 - \frac{{{{n}^{2}}}}{{N_{0}^{2}}}} \right)} ,$

(46)

${{P}_{{31}}} = \frac{1}{2}\sum\limits_{n = 1}^{{\text{int}}\left( {{{N}_{0}}} \right)} {{{{\left( {1 - \frac{{{{n}^{2}}}}{{N_{0}^{2}}}} \right)}}^{2}}} ,$

(47)

$\begin{gathered} {{\Sigma }} = \frac{{3{{P}_{{11}}}{{{{\tau }}}_{{{\beta }}}}\sqrt {{{k}_{0}}} }}{{4{{x}_{\lambda }}}} \times \\ \times \,\,\frac{{{{{\left( {{{z}_{0}} - \frac{{{{a}_{{q1}}}}}{{4{{P}_{{11}}}{{x}_{0}}{{x}_{\lambda }}}}} \right)}}^{2}} + {{{\left( {\frac{{{{x}_{0}}{{\beta }}}}{{{{k}_{{m \bot }}}}} - \frac{{{{b}_{{q1}}}}}{{2{{P}_{{11}}}{{x}_{0}}{{x}_{\lambda }}}}} \right)}}^{2}}}}{{{{z}_{0}}\left( {z_{0}^{2} + \frac{{x_{0}^{2}{{{{\beta }}}^{2}}}}{{k_{{m \bot }}^{2}}}} \right) + \frac{1}{{4{{P}_{{11}}}{{x}_{0}}{{x}_{\lambda }}}}\left( {{{a}_{{q1}}}\left( {\frac{{x_{0}^{2}{{{{\beta }}}^{2}}}}{{k_{{m \bot }}^{2}}} - z_{0}^{2}} \right) - 4{{z}_{0}}{{b}_{{q1}}}\frac{{{{x}_{0}}{{\beta }}}}{{{{k}_{{m \bot }}}}}} \right)}}, \\ \end{gathered} $

(48)

${{{{\Sigma }}}_{0}} = \frac{{3{{P}_{{11}}}\sqrt {{{k}_{0}}} }}{{4{{x}_{\lambda }}{{z}_{0}}}}\left( {1 - \frac{{{{a}_{{0q1}}}}}{{4{{P}_{{11}}}{{x}_{0}}{{x}_{\lambda }}{{z}_{0}}}}} \right),$

(49)

$\begin{gathered} {{A}_{H}} = \frac{{4{{x}_{\lambda }}}}{{3{{\beta }}{{P}_{{11}}}{{{{\tau }}}_{{{\beta }}}}\sqrt {{{k}_{0}}} }} \times \\ \times \,\,\frac{{\frac{{{{x}_{0}}{{\beta }}}}{{{{k}_{{m \bot }}}}}\left( {z_{0}^{2} + \frac{{x_{0}^{2}{{{{\beta }}}^{2}}}}{{k_{{m \bot }}^{2}}}} \right) + \frac{{{{k}_{{m \bot }}}}}{{2{{P}_{{11}}}{{x}_{0}}{{x}_{\lambda }}}}\left( {{{b}_{{q1}}}\left( {z_{0}^{2} - \frac{{x_{0}^{2}{{{{\beta }}}^{2}}}}{{k_{{m \bot }}^{2}}}} \right) - {{z}_{0}}{{a}_{{q1}}}\frac{{{{x}_{0}}{{\beta }}}}{{{{k}_{{m \bot }}}}}} \right)}}{{{{{\left( {{{z}_{0}} - \frac{{{{a}_{{q1}}}}}{{4{{P}_{{11}}}{{x}_{0}}{{x}_{\lambda }}}}} \right)}}^{2}} + {{{\left( {\frac{{{{x}_{0}}{{\beta }}}}{{{{k}_{{m \bot }}}}} - \frac{{{{b}_{{q1}}}}}{{2{{P}_{{11}}}{{x}_{0}}{{x}_{\lambda }}}}} \right)}}^{2}}}}, \\ \end{gathered} $

(50)

${{a}_{{q1}}} = \sum\limits_{n = 1}^{{\text{int}}\left( {{{N}_{0}}} \right)} {n\left( {1 - \frac{{{{n}^{2}}}}{{N_{0}^{2}}}} \right)} {{A}_{1}}\left( {{{{{\Omega }}}_{{1n}}},{{{{\Omega }}}_{{2n}}}} \right),$

(51)

${{a}_{{0q1}}} = \sum\limits_{n = 1}^{{\text{int}}\left( {{{N}_{0}}} \right)} {n\left( {1 - \frac{{{{n}^{2}}}}{{N_{0}^{2}}}} \right)} {{A}_{0}}\left( {{{{{\Omega }}}_{{1n0}}}} \right),$

(52)

${{b}_{{q1}}} = \sum\limits_{n = 1}^{{\text{int}}\left( {{{N}_{0}}} \right)} {n\left( {1 - \frac{{{{n}^{2}}}}{{N_{0}^{2}}}} \right)} {{A}_{2}}\left( {{{{{\Omega }}}_{{1n}}},{{{{\Omega }}}_{{2n}}}} \right).$

2. Случай невырожденного электронного газа $\left( {{\text{exp}}\left( { - {{u}_{{{\mu }}}}} \right) \gg 1} \right)$.

Данный случай соответствует низкой концентрации, высокой эффективной массе и высокой температуре газа свободных носителей заряда (электронов, дырок). Функция распределения Ферми–Дирака примет вид классического распределения Максвелла–Больцмана.

(53)

${{u}_{{0V}}} = \frac{5}{6}\left( {\frac{2}{{{{k}_{{m \bot }}}}} + k_{{m \bot }}^{2}} \right),\,\,\,\,{{P}_{{12}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{\text{exp}}\left( { - \frac{{{{u}_{{0V}}}k_{{m \bot }}^{2}{{n}^{2}}}}{{4x_{0}^{2}x_{\lambda }^{2}}}} \right)} $

(54)

${{P}_{{22}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{u}_{{0V}}}k_{{m \bot }}^{2}{{n}^{2}}}}{{4x_{0}^{2}x_{\lambda }^{2}}}} {\text{exp}}{{\left( { - \frac{{{{u}_{{0V}}}k_{{m \bot }}^{2}{{n}^{2}}}}{{4x_{0}^{2}x_{\lambda }^{2}}}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( { - \frac{{{{u}_{{0V}}}k_{{m \bot }}^{2}{{n}^{2}}}}{{4x_{0}^{2}x_{\lambda }^{2}}}} \right)} {{{P}_{{12}}}}}} \right. \kern-0em} {{{P}_{{12}}}}},$

(55)

$\begin{gathered} {{\Sigma }} = \frac{{{{P}_{{12}}}{{{{\tau }}}_{{{\beta }}}}\sqrt {{{u}_{{0V}}}} }}{{{{x}_{\lambda }}\sqrt {{\pi }} }} \times \\ \times \,\,\frac{{{{{\left( {{{z}_{0}} - \frac{{{{a}_{{q2}}}}}{{4{{P}_{{12}}}{{x}_{0}}{{x}_{\lambda }}}}} \right)}}^{2}} + {{{\left( {\frac{{{{x}_{0}}{{\beta }}}}{{{{k}_{{m \bot }}}}} - \frac{{{{b}_{{q2}}}}}{{2{{P}_{{12}}}{{x}_{0}}{{x}_{\lambda }}}}} \right)}}^{2}}}}{{{{z}_{0}}\left( {z_{0}^{2} + \frac{{x_{0}^{2}{{{{\beta }}}^{2}}}}{{k_{{m \bot }}^{2}}}} \right) + \frac{1}{{4{{P}_{{12}}}{{x}_{0}}{{x}_{\lambda }}}}\left( {{{a}_{{q2}}}\left( {\frac{{x_{0}^{2}{{{{\beta }}}^{2}}}}{{k_{{m \bot }}^{2}}} - z_{H}^{2}} \right) - 4{{z}_{0}}{{b}_{{q2}}}\frac{{{{x}_{0}}{{\beta }}}}{{{{k}_{{m \bot }}}}}} \right)}}, \\ \end{gathered} $

(56)

${{{{\Sigma }}}_{0}} = \frac{{{{P}_{{12}}}\sqrt {{{u}_{{0V}}}} }}{{{{x}_{\lambda }}\sqrt {{\pi }} {{z}_{0}}}}\left( {1 - \frac{{{{a}_{{0q2}}}}}{{4{{P}_{{12}}}{{x}_{0}}{{x}_{\lambda }}{{z}_{0}}}}} \right),$

(57)

$\begin{gathered} {{A}_{H}} = \frac{{{{x}_{\lambda }}\sqrt {{\pi }} }}{{{{\beta }}{{P}_{{12}}}{{{{\tau }}}_{{{\beta }}}}\sqrt {{{u}_{{0V}}}} }} \times \\ \times \,\,\frac{{\frac{{{{x}_{0}}{{\beta }}}}{{{{k}_{{m \bot }}}}}\left( {z_{0}^{2} + \frac{{x_{0}^{2}{{{{\beta }}}^{2}}}}{{k_{{m \bot }}^{2}}}} \right) + \frac{{{{k}_{{m \bot }}}}}{{2{{P}_{{12}}}{{x}_{0}}{{x}_{\lambda }}}}\left( {{{b}_{{q2}}}\left( {z_{0}^{2} - \frac{{x_{0}^{2}{{{{\beta }}}^{2}}}}{{k_{{m \bot }}^{2}}}} \right) - {{z}_{H}}{{a}_{{q2}}}\frac{{{{x}_{0}}{{\beta }}}}{{{{k}_{{m \bot }}}}}} \right)}}{{{{{\left( {{{z}_{0}} - \frac{{{{a}_{{q2}}}}}{{4{{P}_{{12}}}{{x}_{0}}{{x}_{\lambda }}}}} \right)}}^{2}} + {{{\left( {\frac{{{{x}_{0}}{{\beta }}}}{{{{k}_{{m \bot }}}}} - \frac{{{{b}_{{q2}}}}}{{2{{P}_{{12}}}{{x}_{0}}{{x}_{\lambda }}}}} \right)}}^{2}}}}, \\ \end{gathered} $

(58)

${{a}_{{q2}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {n{\text{exp}}\left( { - \frac{{{{u}_{{0V}}}k_{{m \bot }}^{2}{{n}^{2}}}}{{4x_{0}^{2}x_{\lambda }^{2}}}} \right)} \int\limits_0^\infty {{{u}_{ \bot }}{{e}^{{ - {{u}_{ \bot }}}}}} {{A}_{1}}\left( {{{{{\Omega }}}_{{1n}}},{{{{\Omega }}}_{{2n}}}} \right)d{{u}_{ \bot }},$

(59)

${{a}_{{0q2}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {n{\text{exp}}\left( { - \frac{{{{u}_{{0V}}}k_{{m \bot }}^{2}{{n}^{2}}}}{{4x_{0}^{2}x_{\lambda }^{2}}}} \right)} \int\limits_0^\infty {{{u}_{ \bot }}{{e}^{{ - {{u}_{ \bot }}}}}} {{A}_{0}}\left( {{{{{\Omega }}}_{{1n0}}}} \right)d{{u}_{ \bot }},$

(60)

${{b}_{{q2}}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {n{\text{exp}}\left( { - \frac{{{{u}_{{0V}}}k_{{m \bot }}^{2}{{n}^{2}}}}{{4x_{0}^{2}x_{\lambda }^{2}}}} \right)} \int\limits_0^\infty {{{u}_{ \bot }}{{e}^{{ - {{u}_{ \bot }}}}}{{A}_{2}}} \left( {{{{{\Omega }}}_{{1n}}},{{{{\Omega }}}_{{2n}}}} \right)d{{u}_{ \bot }}.$

3. Случай зеркальных границ пленки $\left( {{{g}_{1}} = {{g}_{2}} = 0} \right)$.

Для гладкой поверхности некоторые вспомогательные величины ${{A}_{0}}$, ${{A}_{1}}$, ${{A}_{2}}$ обращаются в нуль в независимости от толщины пленки. В итоге выражения (34)–(43) преобразуются следующим образом:

(61)

${{\Sigma }} = \frac{{{{P}_{1}}\sqrt {{{u}_{{0V}}}} {{{{\tau }}}_{{{\beta }}}}}}{{{{F}_{{1{\text{/}}2}}}\left( {{{u}_{{{\mu }}}}} \right){{x}_{\lambda }}{{z}_{0}}\sqrt {{\pi }} }},\,\,\,\,{{A}_{H}} = \frac{{{{F}_{{1{\text{/}}2}}}\left( {{{u}_{{{\mu }}}}} \right){{x}_{\lambda }}{{x}_{0}}\sqrt {{\pi }} }}{{{{P}_{1}}\sqrt {{{u}_{{0V}}}} {{k}_{{m \bot }}}}},$

(62)

${{A}_{H}} = \frac{{{{F}_{{1{\text{/}}2}}}\left( {{{u}_{{{\mu }}}}} \right){{x}_{\lambda }}{{x}_{0}}\sqrt {{\pi }} }}{{{{P}_{1}}\sqrt {{{u}_{{0V}}}} {{k}_{{m \bot }}}}},\,\,\,\,{{D}_{ \bot }} = \frac{{1 - {{{{\tau }}}_{{{\beta }}}}}}{{{{{{\beta }}}^{2}}}} \approx \frac{1}{{6k_{{m \bot }}^{2}}}.$

В этом предельном случае коэффициенты Холла и магнетосопротивления не зависят от толщины пленки и от величины магнитного поля.

5. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ

Везде в расчетах будем использовать безразмерную поперечную эффективную массу для кремния ${\text{Si}}$, равную ${{k}_{{m \bot }}} = 0.59$.

На рис. 1–4 изображены зависимости модуля и аргумента безразмерных коэффициентов магнетосопротивления ${{D}_{ \bot }}$ и Холла ${{A}_{H}}$ от безразмерной толщины пленки ${{x}_{0}}$. С увеличением толщины пленки данные коэффициенты уменьшаются как по модулю, так и по аргументу, что связано не только с уменьшением вклада поверхностного рассеяния по сравнению с объемным рассеянием, но и с ростом числа разрешенных энергетических состояний носителей заряда. На графиках присутствуют осцилляции для случая вырожденного электронного газа. Период этих осцилляций равен:

$\frac{{{{x}_{B}}}}{{{{N}_{0}}}} = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{{{{k}_{{m \bot }}}\left( {2 + k_{{m \bot }}^{3}} \right)}}{3}} .$

Рис. 1.

Зависимость $\left| {{{D}_{ \bot }}} \right|$ в вырожденном случае (сплошные линии) и в невырожденном случае (пунктирные линии) от безразмерной толщины пленки ${{x}_{0}}$ при ${{k}_{{m1}}} = 0.59$, ${{y}_{0}} = 0.1$, ${{\beta }} = 0.1$. Кривые 1, 2, 3 построены при ${{g}_{1}} = {{g}_{2}} = 0;$ ${{g}_{1}} = 0.01,$ ${{g}_{2}} = 0.02;$ ${{g}_{1}} = 0.03,$ ${{g}_{2}} = 0.04$ соответственно.

Рис. 2.

Зависимость ${\text{arg}}\left( {{{D}_{ \bot }}} \right)$ в вырожденном случае (сплошные линии) и в невырожденном случае (пунктирные линии) от безразмерной толщины пленки ${{x}_{0}}$ при ${{k}_{{m1}}} = 0.59$, ${{y}_{0}} = 0.1$, ${{\beta }} = 0.1$. Кривые 1, 2, 3 построены при ${{g}_{1}} = {{g}_{2}} = 0;$ ${{g}_{1}} = 0.01,$ ${{g}_{2}} = 0.02;$ ${{g}_{1}} = 0.03,$ ${{g}_{2}} = 0.04$ соответственно.

Рис. 3.

Зависимость $\left| {{{A}_{H}}} \right|$ в вырожденном случае (сплошные линии) и в невырожденном случае (пунктирные линии) от безразмерной толщины пленки ${{x}_{0}}$ при ${{k}_{{m1}}} = 0.59$, ${{y}_{0}} = 0.1$, ${{\beta }} = 0.1$. Кривые 1, 2, 3 построены при ${{g}_{1}} = {{g}_{2}} = 0;$ ${{g}_{1}} = 0.01,$ ${{g}_{2}} = 0.02;$ ${{g}_{1}} = 0.03,$ ${{g}_{2}} = 0.04$ соответственно.

Рис. 4.

Зависимость ${\text{arg}}\left( {{{A}_{H}}} \right)$ в вырожденном случае (сплошные линии) и в невырожденном случае (пунктирные линии) от безразмерной толщины пленки ${{x}_{0}}$ при ${{k}_{{m1}}} = 0.59$, ${{y}_{0}} = 0.1$, ${{\beta }} = 0.1$. Кривые 1, 2, 3 построены при ${{g}_{1}} = {{g}_{2}} = 0;$ ${{g}_{1}} = 0.01,$ ${{g}_{2}} = 0.02;$ ${{g}_{1}} = 0.03,$ ${{g}_{2}} = 0.04$ соответственно.

В случае невырожденного электронного газа осцилляции пропадают из разброса по тепловым скоростям. С уменьшением шероховатости поверхностей пленки относительное расхождение между случаями вырожденным и невырожденным электронным газом снижается. При зеркальном рассеянии коэффициенты не зависят от степени вырождения газа свободных носителей заряда (51), (52).

На рис. 5 и 6 построены зависимости модуля и аргумента безразмерного коэффициента магнетосопротивления ${{D}_{ \bot }}$ от безразмерной индукции магнитного поля ${{\beta }}$. В скрещенном электрическом и магнитном поле траектория электронов в общем случае является трохоида. В случае сильного магнитного поля траектория носителей заряда вырождается в прямую, то есть случай сильного магнитного поля аналогичен случаю отсутствия данного магнитного поля, следовательно, с ростом магнитного поля магнетосопротивление уменьшается как по модулю, так и по аргументу.

Рис. 5.

Зависимость $\left| {{{D}_{ \bot }}} \right|$ в вырожденном случае (сплошные линии) и в невырожденном случае (пунктирные линии) от безразмерной индукции магнитного поля ${{\beta }}$ при ${{k}_{{m1}}} = 0.59$, ${{y}_{0}} = 0.1$, ${{x}_{0}} = 0.1$. Кривые 1, 2, 3 построены при ${{g}_{1}} = {{g}_{2}} = 0;$ ${{g}_{1}} = 0.01,$ ${{g}_{2}} = 0.02;$ ${{g}_{1}} = 0.03,$ ${{g}_{2}} = 0.04$ соответственно.

Рис. 6.

Зависимость ${\text{arg}}\left( {{{D}_{ \bot }}} \right)$ в вырожденном случае (сплошные линии) и в невырожденном случае (пунктирные линии) от безразмерной индукции магнитного поля ${{\beta }}$ при ${{k}_{{m1}}} = 0.59$, ${{y}_{0}} = 0.1$, ${{x}_{0}} = 0.1$. Кривые 1, 2, 3 построены при ${{g}_{1}} = {{g}_{2}} = 0;$ ${{g}_{1}} = 0.01,$ ${{g}_{2}} = 0.02;$ ${{g}_{1}} = 0.03,$ ${{g}_{2}} = 0.04$ соответственно.

На рис. 7 и 8 представлены зависимости модуля и аргумента безразмерного коэффициента Холла ${{A}_{H}}$ от безразмерной индукции магнитного поля ${{\beta }}$. С ростом магнитного поля модуль коэффициента Холла возрастает, так как растет напряжение Холла, а аргумент (разность фаз между напряженностью Холла и плотности тока) снижается.

Рис. 7.

Зависимость $\left| {{{A}_{H}}} \right|$ в вырожденном случае (сплошные линии) и в невырожденном случае (пунктирные линии) от безразмерной индукции магнитного поля ${{\beta }}$ при ${{k}_{{m1}}} = 0.59$, ${{y}_{0}} = 0.1$, ${{x}_{0}} = 0.1$. Кривые 1, 2, 3 построены при ${{g}_{1}} = {{g}_{2}} = 0;$ ${{g}_{1}} = 0.01,$ ${{g}_{2}} = 0.02;$ ${{g}_{1}} = 0.03,$ ${{g}_{2}} = 0.04$ соответственно.

Рис. 8.

Зависимость ${\text{arg}}\left( {{{A}_{H}}} \right)$ в вырожденном случае (сплошные линии) и в невырожденном случае (пунктирные линии) от безразмерной индукции магнитного поля ${{\beta }}$ при ${{k}_{{m1}}} = 0.59$, ${{y}_{0}} = 0.1$, ${{x}_{0}} = 0.1$. Кривые 1, 2, 3 построены при ${{g}_{1}} = {{g}_{2}} = 0;$ ${{g}_{1}} = 0.01,$ ${{g}_{2}} = 0.02;$ ${{g}_{1}} = 0.03,$ ${{g}_{2}} = 0.04$ соответственно.

На рис. 9–12 построены зависимости модуля и аргумента безразмерных коэффициентов магнетосопротивления ${{D}_{ \bot }}$ и Холла ${{A}_{H}}$ от параметров шероховатости поверхностей ${{g}_{{1,2}}} = {{g}_{1}} = {{g}_{2}}$ для модели Соффера и от коэффициентов зеркальностей поверхностей ${{q}_{{1,2}}} = {{q}_{1}} = {{q}_{2}}$ и для модели Фукса. Максимум у всех зависимостей объясняется траекторией носителей заряда: электрон рассеивается, когда его продольная скорость максимальна. При полном зеркальном отражении $\left( {{{g}_{1}} = {{g}_{2}} = 0,\,\,\,\,{{q}_{1}} = {{q}_{2}} = 1} \right)$ значения совпадают. Наибольшее различие между расчетами наблюдается в диапазоне значений параметров шероховатости $g = 0.2{\kern 1pt} --{\kern 1pt} 0.4$ $\left( {q = 0.6{\kern 1pt} --{\kern 1pt} 0.8} \right)$.

Рис. 9.

Зависимость $\left| {{{D}_{ \bot }}} \right|$ в вырожденном случае (сплошные линии) и в невырожденном случае (пунктирные линии) от параметров шероховатости поверхностей. ${{g}_{{1,2}}} = {{g}_{1}} = {{g}_{2}}$ (кривые 1–3) и от коэффициентов зеркальностей поверхностей ${{q}_{{1,2}}} = {{q}_{1}} = {{q}_{2}}$ (кривые 4–6) при ${{k}_{{m1}}} = 0.59$, ${{y}_{0}} = 0.1$, ${{x}_{0}} = 0.1$, ${{\beta }} = 0.1$. Кривые 1 и 4, 2 и 5, 3 и 6 построены при ${{x}_{0}} = 0.1;0.2;0.3$ соответственно.

Рис. 10.

Зависимость ${\text{arg}}\left( {{{D}_{ \bot }}} \right)$ в вырожденном случае (сплошные линии) и в невырожденном случае (пунктирные линии) от параметров шероховатости поверхностей ${{g}_{{1,2}}} = {{g}_{1}} = {{g}_{2}}$ (кривые 1–3) и от коэффициентов зеркальностей поверхностей ${{q}_{{1,2}}} = {{q}_{1}} = {{q}_{2}}$ (кривые 4–6) при ${{k}_{{m1}}} = 0.59$, ${{y}_{0}} = 0.1$, ${{x}_{0}} = 0.1$, ${{\beta }} = 0.1$. Кривые 1 и 4, 2 и 5, 3 и 6 построены при ${{x}_{0}} = 0.1;0.2;0.3$ соответственно.

Рис. 11.

Зависимость $\left| {{{A}_{H}}} \right|$ в вырожденном случае (сплошные линии) и в невырожденном случае (пунктирные линии) от параметров шероховатости поверхностей ${{g}_{{1,2}}} = {{g}_{1}} = {{g}_{2}}$ (кривые 1–3) и от коэффициентов зеркальностей поверхностей ${{q}_{{1,2}}} = {{q}_{1}} = {{q}_{2}}$ (кривые 4–6) при ${{k}_{{m1}}} = 0.59$, ${{y}_{0}} = 0.1$, ${{x}_{0}} = 0.1$, ${{\beta }} = 0.1$. Кривые 1 и 4, 2 и 5, 3 и 6 построены при ${{x}_{0}} = 0.1;0.2;0.3$ соответственно.

Рис. 12.

Зависимость ${\text{arg}}\left( {{{A}_{H}}} \right)$ в вырожденном случае (сплошные линии) и в невырожденном случае (пунктирные линии) от параметров шероховатости поверхностей ${{g}_{{1,2}}} = {{g}_{1}} = {{g}_{2}}$ (кривые 1–3) и от коэффициентов зеркальностей поверхностей ${{q}_{{1,2}}} = {{q}_{1}} = {{q}_{2}}$ (кривые 4–6) при ${{k}_{{m1}}} = 0.59$, ${{y}_{0}} = 0.1$, ${{x}_{0}} = 0.1$, ${{\beta }} = 0.1$. Кривые 1 и 4, 2 и 5, 3 и 6 построены при ${{x}_{0}} = 0.1;0.2;0.3$ соответственно.

На рис. 13 построены зависимости теоретических и экспериментальных данных для пленки висмута [10]. Висмут чистоты 99.999% осаждали методом электронно-лучевого испарения в вакууме ${{10}^{{ - 6}}}~\,\,{\text{Пa}}{\text{.}}$ Образец помещен во магнитное поле величиной $1~T$. Метод определения проводимости пленки Bi был показан в статье [9]. Небольшое расхождение экспериментальных и теоретических результатов возможно связано с поликристаллической структурой пленки.

Рис. 13.

Зависимость коэффициента Холла тонкой пленки висмута от толщины. Точками обозначены экспериментальные данные [10], а сплошной кривой – теоретический расчет. Расчет выполнен при следующих параметрах: ${{\lambda }} = 400\,\,{\text{нм}}$, ${{{{\lambda }}}_{B}} = 27\,\,{\text{нм}}$, ${{k}_{{m \bot }}} = 0.17$, ${{g}_{{s1}}} = {{g}_{{s2}}} = 1.6\,\,{\text{нм}}{\text{.}}$

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе рассчитаны коэффициенты Холла и магнетосопротивления нанослоя в поперечном магнитном поле с учетом модели Соффера и квантования энергии носителей заряда. Обнаружены осцилляции в зависимости коэффициентов Холла и магнетосопротивления от толщины пленки в случае вырожденного электронного газа. По периоду этих осцилляций можно определить толщину пленки, эффективную массу. В случае зеркальных границ отсутствует зависимость гальваномагнитных коэффициентов от магнитного поля, так как не учитывалась зависимость времени релаксации от энергии. Для модели Соффера получаются большие значения коэффициентов Холла и магнетосопротивления, чем для модели Фукса.

Список литературы

Звездин А.К., Давыдова М.Д., Звездин К.А. // УФН. 2018. Т. 188. С. 1238.
Блинов М.И., Черненко В.А., Прудников В.Н., Асегуинолаза И.Р., Барандиаран Ж.М., Ладеранта Э., Ховайло В.В., Грановский А.Б. // ЖЭТФ. 2021. Т. 159. С. 546.
Семенчинский С.Г. Измерительная техника. 2021. Т. 1. С. 9.
Soffer S.B. // J. Appl. Phys. 1967. V. 38. P. 1710.
Ünal B. // AIP Advances. 2012. V. 2. P. 042145.
Chatterjee S., Meyerovich A.E. // Physical review. 2010. V. 81. P. 245409.
Bihun R.I., Stasyuk Z.V., Balitskii O.A. // Physica B: Condens. Matter. 2016. V. 487. P. 73.
Kuznetsova I.A., Savenko O.V., Romanov D.N. // JPCS. 2021. V. 2056. P. 012018.
Kuznetsova I.A., Savenko O.V., Romanov D.N. // Phys. Lett. A. 2022. V. 427. P. 127933.
Демидов Е.В., Грабов В.М., Комаров В.А., Крушельницкий А.Н., Суслов А.В., Суслов М.В. // ФТП. 2019. Т. 63. С. 736.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Микроэлектроника

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал