Проблемы машиностроения и надежности машин, 2020, № 5, стр. 21-28
Статистическая динамика и надежность механических систем с кинематическими, силовыми и параметрическими воздействиями
А. С. Гусев 1, Л. В. Зинченко 1, *, С. А. Стародубцева 2
1 Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана
Москва, Россия
2 Национальный исследовательский университет “МЭИ”
Москва, Россия
* E-mail: zinlar@yandex.ru
Поступила в редакцию 30.05.2019
Принята к публикации 29.05.2020
Аннотация
Рассматривается актуальный для современного машиностроения вопрос расчетного прогнозирования надежности механических систем, находящихся в эксплуатации под воздействием нерегулярных нагрузок. В задачи расчета входит определение надежности функционирования таких систем как вероятности непревышения параметрами их качества (линейными и угловыми перемещениями, ускорениями подрессоренной массы, деформациями упругого элемента и т.п.). Предложена новая методика выбора оптимальных параметров систем виброзащиты мобильных машин и методика расчета критической скорости их движения по дорогам со случайными неровностями.
Автомобильные прицепы в процессе эксплуатации подвергаются различным интенсивным нерегулярным воздействиям, которые рандомизируются и адекватное математическое описание которых возможно только методами теории вероятностей и методами теории случайных функций [1, 2].
Одна из возможных расчетных схем рассматриваемого автомобильного прицепа представлена на рис. 1.
Здесь φ(t) – угол поворота подрессоренной массы относительно точки ее крепления к автомобилю O; ${v}(t)$ – скорость буксировки прицепа; h(x) – высота неровностей дороги; h(t) – кинематическое воздействие на колесо; c, b – жесткость и коэффициент демпфирования системы подрессоривания; l, r – линейные размеры; $F$ – сила инерции; y(t), a(t) – вертикальное перемещение и ускорение подрессоренной массы; f(t) – расчетное воздействие.
Дифференциальное уравнение для определения угла φ(t) получаем в виде [3]
а для определения перемещения $y(t) = l{\varphi }$ имеем уравнение(1)
$\ddot {y} + 2n\dot {y} + {\omega }_{0}^{2}(1 - {\varepsilon }(t))y = f(t) + 2n\dot {h} + {\omega }_{0}^{2}h,$Здесь интенсивности случайного силового воздействия f(t) и кинематических воздействий h(t) и $\dot {h}(t)$ зависят от средней скорости движения $\bar {v}(t) = const$, а интенсивность параметрического воздействия ε(t) – от ее флуктуационной составляющей $\tilde {v}(t)$, и при $\tilde {v}(t) = 0$ имеем ε(t) = 0.
Из (1) следуют уравнения для определения устойчивости движения прицепа
реакций y(t) на воздействия f(t) и h(t), для определения деформации упругого элемента $u(t) = h(t) - y(t)$и для определения ускорения подрессоренной массы $a(t) = \ddot {y}(t)$Для анализа устойчивости движения прицепа с переменной случайной скоростью $v(t)$ уравнение (2) дополним внешним воздействием в виде белого шума q(t) с малой интенсивностью kq, а процесс ε(t) будем считать независимым от процесса q(t) белым шумом с заданной интенсивностью kε. Задача состоит в определении интенсивности параметрического воздействия ε(t), при котором движение прицепа будет неустойчивым.
Для решения этой задачи имеем уравнение
(6)
$\ddot {y} + 2n\dot {y} + {\omega }_{0}^{2}y = {\omega }_{0}^{2}y{\varepsilon }(t) + q(t) \equiv P(t).$Правую часть уравнения (6), обозначенную как P(t), можно считать белым шумом с интенсивностью ${{k}_{p}} = {{k}_{q}}$ + ${\omega }_{0}^{4}s_{y}^{2}{{k}_{{\varepsilon }}}$ и спектральной плотностью ${{S}_{p}}({\omega })$ = $\frac{{{{k}_{p}}}}{{2{\pi }}}$, где $s_{y}^{2}$ – дисперсия процесса y(t).
Квадрат модуля передаточной функции уравнения (6) будет определяться как
(7)
${{\left| {H(i{\omega })} \right|}^{2}} = \frac{1}{{{{{({\omega }_{0}^{2} - {{{\omega }}^{2}})}}^{2}} + 4{{n}^{2}}{{{\omega }}^{2}}}},$(8)
$s_{y}^{2} = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{{S}_{y}}({\omega })d{\omega }} = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{{{\left| {H(i{\omega })} \right|}}^{2}}} {{S}_{p}}({\omega })d{\omega } = \frac{{{{k}_{p}}}}{{4n{\omega }_{0}^{2}}} = \frac{{{{k}_{q}} + {\omega }_{0}^{4}s_{y}^{2}{{k}_{{\varepsilon }}}}}{{4n{\omega }_{0}^{2}}}.$Отсюда получаем
При ${{k}_{{\varepsilon }}} \to \frac{{4n}}{{{\omega }_{0}^{2}}}$ имеем $s_{y}^{2} \to \infty $.
Заключаем, что движение прицепа будет устойчивым при выполнении условия
Здесь величина ${{k}_{{\varepsilon }}} \equiv {{k}_{{\varepsilon }}}\left( {\tilde {v}} \right)$ зависит от флуктуационной составляющей скорости движения $\tilde {v}$. Так что из (9) имеем возможность определить критическую скорость буксировки ${{v}_{{{\text{кр}}}}}$.
Если параметрическое воздействие ε(t) не является белым шумом и имеет некоторую спектральную плотность ${{S}_{{\varepsilon }}}({\omega }) \ne {\text{const}}$, то его (в соответствии с понятием о главном параметрическом резонансе) [4] можно приближенно заменить на белый шум интенсивностью ${{k}_{{\varepsilon }}} = 2{\pi }{{S}_{{\varepsilon }}}(2{{{\omega }}_{0}})$. В этом случае условие устойчивости движения прицепа (9) принимает вид
Здесь также величина Sε(2ω0) зависит от скорости $\tilde {v}$.
Реакцию системы y(t) на воздействие в виде белого шума f(t) с интенсивностью kf определяем из решения уравнения (3). В соответствии с (7) и (8) дисперсия процесса y(t) в этом случае будет определяться как
Если процесс f(t) не является белым шумом и имеет спектральную плотность Sf (ω) ≠ const, то ориентировочно (в соответствии с фильтрующими свойствами системы реагировать в основном на воздействия по частоте близкие к частоте собственных колебаний ω0) его можно заменить на белый шум с интенсивностью ${{k}_{f}} = 2{\pi }{{S}_{f}}({{{\omega }}_{0}})$ и после этого искомую дисперсию определять по формуле (11) [5].
Реакцию системы y(t) на кинематическое воздействие h(t) определим из решения уравнения (4), квадрат модуля передаточной функции которого от h(t) к y(t) будет определяться по формуле
(12)
${{\left| {{{H}_{{hy}}}(i{\omega })} \right|}^{2}} = \frac{{{\omega }_{0}^{4} + 4{{n}^{2}}{{{\omega }}^{2}}}}{{{{{({\omega }_{0}^{2} - {{{\omega }}^{2}})}}^{2}} + 4{{n}^{2}}{{{\omega }}^{2}}}}.$Полагая процесс h(t) белым шумом с интенсивностью kh и спектральной плотностью ${{S}_{h}}({\omega }) = \frac{1}{{2{\pi }}}{{k}_{h}}$, получаем для определения дисперсии процесса y(t) выражение
(13)
$s_{y}^{2} = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{{{\left| {{{H}_{{hy}}}(i{\omega })} \right|}}^{2}}} {{S}_{h}}({\omega })d{\omega } = \frac{{{{k}_{h}}}}{{4n}}({\omega }_{0}^{2} + 4{{n}^{2}}).$Из соотношений (11) и (13) следует, что требования к системе виброзащиты противоречивы: для уменьшения перемещения y(t) от воздействия f(t) требуется увеличивать ее жесткость, а для уменьшения этого перемещения от h(t) ее требуется уменьшать. Оптимальное значение квадрата частоты собственных колебаний ${\tilde {\omega }}_{0}^{2}$ определяем из условия минимума суммарного от этих воздействий перемещения. Имеем
При kf = 0 имеем ${\tilde {\omega }}_{0}^{2} = 0$, а при kh = 0 ${\tilde {\omega }}_{0}^{2} \to \infty $.
Дисперсия процессов u(t) и a(t) определяется из решения уравнений (4) и (5). Получаем
Зависимости дисперсий процессов u(t) и a(t) от частоты собственных колебаний системы ω0 имеют вид, показанный на рис. 2.
Требования к системе виброзащиты по жесткости противоречивы (рис. 2): при ее увеличении ускорение объекта виброзащиты возрастает, а деформация упругого элемента уменьшается; при ее уменьшении – ускорение уменьшается, а деформация возрастает.
Определение оптимальной жесткости усложняется тем, что требования к системе виброзащиты формулируются в различных единицах измерения: по перемещениям u(t) – в единицах длины, а по ускорениям a(t) – в единицах ускорения.
Определив оптимальную частоту ${\tilde {\omega }}_{0}^{*}$ из условия ограничения дисперсии ускорения $s_{a}^{2} \leqslant s_{{{{a}_{*}}}}^{2}$, получаем вполне определенную дисперсию перемещения $s_{{{{u}_{*}}}}^{2}$. Определив оптимальную частоту ${\tilde {\omega }}_{0}^{{{\text{**}}}}$ из условия ограничения дисперсии деформации упругого элемента $s_{u}^{2} \leqslant s_{{{{u}_{*}}}}^{2}$, получаем вполне определенное значение для дисперсии ускорения $s_{{{{u}_{*}}}}^{2}$.
За оптимальное значение частоты собственных колебаний ${\tilde {\omega }}_{0}^{{}}$ можно принять ее промежуточное значение, определенное, например, как
Надежность функционирования рассматриваемой механической системы [6, 7] можно оценить следующими вероятностями:
1) вероятностью того, что перемещение y(t) подрессоренной массы за время t ни разу не превысит допустимого значения ${{y}_{*}}$ (т.е., например, вероятностью непробоя за это время амортизатора)
2) вероятностью того, что деформация u(t) упругого элемента за время $t$ ни разу не превысит допустимого значения ${{u}_{*}}$ (т.е., например, при ${{u}_{*}} = mg{\text{/}}c$ – вероятностью того, что за это время не произойдет отрыва колеса от дороги)
3) вероятностью того, что дифферент φ(t) прицепа за время t ни разу не превысит допустимого значения ${{\varphi }_{*}}$
4) вероятностью того, что ускорение a(t) подрессоренной массы за время t ни разу не превысит допустимого значения ${{a}_{*}}$ (т.е., например, вероятностью того, что сила инерции при $m\ddot {y}$, действующая на ограничитель хода, не превысит допустимого значения $m{{a}_{*}}$)
5) вероятностью того, что “резкость” движения, определяемая как, $k(t) = \dddot y(t)$ за время t ни разу не превысит допустимого значения ${{k}_{*}}$
Соотношения (14)–(18) можно обобщить и записать в виде одной формулы для расчета надежности как вероятности того, что параметр качества x(t) функционирования системы за время t ни разу не превысит допустимого значения ${{x}_{*}}$, определяемого как
(19)
$P(t) = P\{ x({\tau }) \leqslant {{x}_{*}},{\tau } \in (0,t)\} = \exp \left( { - n(t)\exp \left( { - \frac{{x_{*}^{2}}}{{2s_{x}^{2}}}} \right)} \right),$Из соотношения (19) следует, что наиболее вероятное за время t наибольшее значение $x{\kern 1pt} *$ процесса x(t) ориентировочно можно вычислить по формуле
а надежность системы оценить коэффициентом запаса надежности за время t какИз соотношения (20) следует, что обычно принимаемое в технике правило “трех стандартов” требует уточнения. При n = 100 имеем x* ≈ 3Sx, а при n = 10 000 x* ≈ 4.29Sx.
В заключение отметим, что практическая реализация предложенной методики расчета надежности механических систем при случайных внешних воздействиях связана с определенными трудностями:
1. Определение вероятностных характеристик кинематических воздействий h(t) по вероятностным характеристикам пути h(x) и скорости движения машины v обусловлена возможностью вычисления производных от h(t), тогда как эти процессы описываются обычно формально недифференциальными случайными функциями. Это требует предварительного статистического сглаживания этих траекторий, например, так как это сделано в работе [2].
2. Определение вероятностных характеристик процесса F(t), а, следовательно, и вероятностных характеристик процесса ε(t), требует решения задачи о переезде случайных неровностей пути, приводящее к флуктуации скорости движения машины и появлению соответствующих сил инерции [8]. Эта задача может быть решена с использованием энергетического соотношения
и методов статистической линеаризации нелинейных функций.При линеаризации соотношения (21) по методу равенства дисперсий дисперсия пульсационной составляющей скорости движения будет определяться по формуле
где g = 9.8 м с–2; sh – стандарт высоты неровностей.Спектральные плотности $v(t)$ и $\dot {v}(t)$ определяются известными методами теории случайных функций [9].
3. Возможность использования в работе метода сведения случайных процессов с переменными спектрами по частоте к белым шумам с постоянными спектрами обусловлена фильтрующими свойствами динамических систем реагировать в основном на воздействия по частоте близкие к частоте собственных колебаний системы. При большом демпфировании это может приводить к определенным неточностям.
4. Возможность практического использования в расчетах устойчивости приближенного соотношения (10) требует его экспериментальной проверки. Здесь это было сделано путем вычислительного эксперимента – численного решения стохастического аналога уравнения Матье–Хилла вида
При спектральной плотности процесса ε(τ) вида
(22)
${{S}_{{\varepsilon }}}({\omega }) = \frac{2}{{\pi }}\frac{{s_{{\varepsilon }}^{2}}}{{1 + {{{\omega }}^{2}}}},\quad {\omega } \geqslant 0,$Условие устойчивости (10) получаем в виде
где число 5 соответствует некоторой скорости $\tilde {v}$.Из (23) следует, что при увеличении демпфирования система становится более устойчивой. При n = 0 система всегда устойчива.
Траектория процесса ε(τ) моделируется по формуле Шинозуки
Одна из полученных траекторий процесса y(τ) для устойчивой системы при n = = 0.05, y(0) = 4, $s_{{\varepsilon }}^{2}$ = 0.2 показана на рис. 3.
По результатам численных экспериментов был сделан вывод о возможности использования соотношения (10) для практических расчетов.
Заключение. В статье рассмотрен комплекс вопросов, возникающих при создании новой техники, предназначенной функционировать в условиях одновременного воздействия на нее интенсивных случайных силовых, кинематических и параметрических воздействий. Получены формулы для расчета надежности рассмотренной механической системы как вероятности непревышения параметрами качества ее функционирования (перемещениями, ускорениями и т.п.) допустимых для них значений.
Разработана методика выбора оптимальных параметров систем виброзащиты мобильных машин и методика расчета критической скорости их движения по дорогам со случайными неровностями.
Полученное приближенное условие устойчивости движения экспериментально проверено численно на моделях со случайными параметрическими воздействиями.
Список литературы
Болотин В.В. Вибрации в технике: Справочник. Колебания линейных систем. М.: Машиностроение, 1999. Т. 1. 504 с.
Гусев А.С. Вероятностные методы в механике машин и конструкций. М.: МГТУ им. НЭ. Баумана. 2009. 223 с.
Чирков В.П., Окопный Ю.А., Радин В.П. Колебания линейных систем. М.: Спектр. 2014. 432 с.
Махутов Н.А. и др. Прочность, ресурс, живучесть и безопасность машин. М.: Книжный дом ЛИБРОКОМ. 2019. 576 с.
Гусев А.С., Светлицкий В.А. Расчет конструкций при случайных воздействиях. М.: Машиностроение. 1984. 240 с.
Махутов Н.А. Критериальная база прочности, ресурса, надежности, живучести машин и человеко-машинных комплексов // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2013. № 5. С. 25.
Махутов Н.А., Лепихин А.М., Чернякова Н.А. Расчетно-экспериментальная оценка прочности, надежности и безопасности технических систем в экстремальных условиях эксплуатации. Cборник: Безопасность и мониторинг техногенных и природных систем материалы и доклады. 2018. С. 214.
Ротенберг Р.В. Подвеска автомобиля. М.: Машиностроение. 2004. 270 с.
Whitney C.A. Random processes in physical systems. New York: John Willey, 1990.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Проблемы машиностроения и надежности машин