Проблемы машиностроения и надежности машин, 2022, № 3, стр. 18-28

Обзор состояния и актуальность проблемы. В технологии обработки давлением основой многих базовых операций являются задачи пластического течения в тонком слое материала, деформируемого валками (продольная прокатка, вальцовка) или штампами (объемная и листовая штамповка), описываемые пространственными математическими моделями с разнообразием параметров, определяющих реологию материала. На поверхностях контакта материала обработки с инструментом создаются давления, на порядок превышающие сдвиговые характеристики материала так, что в начальном приближении для описания свойств материала пластического слоя можно использовать модель гидродинамической жидкости [1–3]. Практически вдоль всей контактной поверхности наблюдается проскальзывание, при котором поверхности контакта совпадают с поверхностями скольжения, а удельные силы трения на них максимальны [4] и равны пределу текучести материала на сдвиг [5, 6]. Следует отметить другую особенность протекания указанных процессов, определяющую требования к точности конечной детали. Понятно, что большие контактные давления вызывают нормальные упругие перемещения рабочих поверхностей инструмента, соизмеримые с толщиной текущего слоя [7, 8]. А значит, пренебрежение упругими деформациями поверхностей инструмента становится неоправданным. В высокоскоростных процессах обработки давлением существенную роль играют силы вязкости и инерции [9], значительно затрудняющие физическое моделирование, где важную роль играют процессы дополнительного разогрева деформируемого металла за счет теплового эффекта деформации, с одной стороны, и охлаждения тонкого слоя, связанного с интенсивным теплообменом со штамповым инструментом, с другой стороны, не исключена и диссипация механической энергии. В некоторых случаях не оправдано пренебрежение влияния давления на реологию материала [10], грубым оказывается предположение об объемной несжимаемости [11]. Все это усугубляется тем, что в рассматриваемых процессах нет определенности в граничных условиях и сами границы заранее неизвестны.

На основе анализа решения плоской задачи Л. Прандтля об осадке полосы А.А. Ильюшин [1] сформулировал базовые гипотезы кинематического характера и относительно сил трения на контакте, с помощью которых разработал весьма эффективную, двумерную модель течения в тонком пластическом слое. А.А. Ильюшин предложил постановку краевой задачи течения в тонком пластическом слое общего вида (модель “вязкой жидкости”), и упрощенную постановку (модель “идеальной жидкости”), описываемую нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных первого порядка, в которой пренебрегают касательными напряжениями. В рамках упрощенной постановки исследована кинематика процессов течения пластического слоя и выведено эволюционное уравнение, определяющее свободную границу растекающейся области. В работе [14] получены другие формы представления эволюционного уравнения растекания, а также установлено, что полученное уравнение сводится к частному случаю нелинейного уравнения теплопроводности.

Однако не все процессы течения в тонком пластическом слое могут быть описаны в рамках упрощенной модели “идеальной жидкости”, что подтверждается экспериментальными исследованиями [12], поэтому для корректного описания задач, учитывающих наличие касательных напряжений, анизотропию в процессах течения [13], упругое деформирование инструмента [8] и другие факторы, необходимо использовать более общую модель “вязкой жидкости”. В рамках математической модели “вязкой жидкости” сформулирована краевая задача течения пластического слоя в области с подвижной границей, описываемая нелинейными дифференциальными уравнениями второго порядка в частных производных относительно трех неизвестных функций – контактного давления и двух компонент скорости течения [1, 2].

Краевая задача течения в тонком слое: математические постановки и варианты решения. Выпишем основные уравнения краевой задачи течения пластического слоя на плоскости [1, 2, 6, 12–14]

где p, u, ${v}$ – контактное давление и компоненты скорости течения; $~{{{{\sigma }}}_{s}} = \sqrt 3 {{{{\tau }}}_{s}}$ – напряжения течения пластического материала в рассматриваемой области; h = h(t) – заданный закон изменения толщины слоя; $\lambda \left( t \right) = \ln \frac{{{{h}_{0}}}}{{h\left( t \right)}}$ – степень деформации; t₀ – начальный момент времени.

На заранее неизвестной свободной границе $~{{\Gamma }_{{{\sigma }}}}:F\left( {x,y,t} \right) = 0$ задаются следующие краевые условия:

два скалярных динамических (4)

и одно кинематическое (5)

из которого определяется сама граница ${{\Gamma }_{{{\sigma }}}}$. На поверхности контакта с инструментом ${{\Gamma }_{c}}:G\left( {x,y,t} \right)$ = 0, как правило, известной, задаются следующие два условия: одно динамическое относительно касательного напряжения (6) и одно кинематическое в виде условия непроницаемости (7) где $\vec {\tau }$ и $\vec {n}$ – единичные векторы касательной и нормали к границе ${{\Gamma }_{c}}$.

В частности, на неподвижной границе нормальная скорость равна нулю.

Пусть ${{\sigma }_{s}}$, ${{p}_{0}}$, ${{L}_{0}}$, ${{h}_{0}}$, $\frac{{dh({{t}_{0}})}}{{dt}}$ – характерные значения предела текучести материала, контактного давления, линейного размера и толщины слоя, а также скорости сближения деформирующих инструментов. Относительную толщину пластического слоя $~{{\varepsilon }} = \frac{{{{h}_{0}}}}{{{{L}_{0}}}} \ll 1$ примем за малый параметр. При оценке порядка слагаемых в уравнении несжимаемости (3) получаем, что $~{{t}_{0}} = \frac{{{{L}_{0}}}}{{{{{v}}_{0}}}}$; ${{{v}}_{0}} = - \frac{{dh\left( {{{t}_{0}}} \right)}}{{dt}}\frac{1}{\varepsilon }$, а из квазистатических уравнений равновесия (1) и (2), что $~{{p}_{0}} = \frac{{{{\sigma }_{s}}}}{{{\varepsilon }}}$. Поэтому приходим к очевидным выводам, что характерная величина скорости течения вдоль слоя намного больше скорости сближения инструментов и что характерная величина контактного давления намного превышает предел текучести материала слоя. Полагая, что толщина слоя h, в отличие от других линейных размеров (координат), при делении на h(t₀) становится безразмерной, перепишем в безразмерном виде систему уравнений (8)–(10)

где безразмерные величины отмечены чертой сверху (заметим, что в уравнениях равновесия при слагаемых со старшими производными-лаплассианами появился малый параметр $~{{\varepsilon }}$).

Обезразмерим условия на свободной границе ${{\Gamma }_{{{\sigma }}}}:F\left( {x,y,t} \right)$ = 0

и на границе контакта с инструментом Γ_с

Полученная система дифференциальных уравнений в частных производных (8)–(10) вместе с граничными условиями (11)–(15) составляют общую краевую задачу растекания слоя в модели “вязкой жидкости”.

В главном приближении $\left( {{{\varepsilon }} = 0} \right)$ исходные уравнения упрощаются с понижением порядка системы (15)

Понятно, что количество граничных условий для упрощенной задачи в рамках “идеальной жидкости” уменьшается.

Краевая задача течения пластического слоя в новой постановке. Введем функцию тока $~{{\psi }} = {{\psi }}\left( {x,y} \right)$, такую чтобы выполнялось условие несжимаемости (3)

Компоненты скоростей (16) подставим в квазистатические уравнения равновесия и в результате получим систему из двух дифференциальных уравнений (17) и (18) относительно p и ${{\psi }}$

В качестве примера рассмотрим в натуральных величинах задачу течения пластического слоя, имеющего в начальный момент деформирования форму прямоугольника в плане (рис. 1).

Используя симметрию пластической области, ограничимся рассмотрением элемента слоя, расположенного в первом квадранте выбранной системы координат. У неподвижной стенки инструмента при ($G\left( {x,y} \right)$ : $y - {{b}_{0}} = 0$)

Краевые условия

На неизвестной свободной границе F(x, y, t) = 0, в начальный момент имеющей параметры $x = {{l}_{0}}$ $({{n}_{x}} = 1$, ${{n}_{y}} = 0)$, краевые условия определяются как

Во избежание влияния краевых эффектов найдем аналитическое решение задачи вдали от оси x = 0 и свободной границы $x = 0.5{{l}_{0}}$, поскольку протяженность области течения в направлении x позволяет это сделать. Для рассматриваемого участка области течения ${v}$(x, y) = 0. После интегрирования уравнения несжимаемости (3) получаем

где функцию $g\left( y \right)$ можно определить из других уравнений системы: (2) дает p = p(x) и тогда из (1) следует (24) где в левой части стоит функция аргумента x, а в правой – функция y и параметра h(t), другими словами, имеем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. В итоге получаем систему с произвольной постоянной (функцией времени) k

Интегрирование первого из уравнений (25) с учетом граничных условий (19), (20) дает

где с – постоянная интегрирования.

Заметим, что первое слагаемое в правой части уравнения (27) соответствует скорости течения в модели “идеальной жидкости”, в рамках которой касательное напряжение на неподвижной границе, равно как и на других границах, отсутствует. Положим, что сечение $x = {{x}_{f}}$ представляет собой условную свободную границу (${{x}_{f}}h = {{x}_{0}}{{h}_{0}}$). Тогда из интегрального условия сохранения объема несжимаемого материала

определяем входящую в решение произвольную постоянную $c = \frac{{\sqrt 3 }}{6}{{\mu }}{{b}_{0}}$, что дает возможность получить окончательную формулу для скорости течения

Сопоставлением найденной скорости (28) и граничного условия (22) при значении x = 0 убеждаемся, что оно выполняется в интегральном виде

Интегрирование второго уравнения системы (25) дает (29)

с постоянной интегрирования ${{p}_{0}}$, не зависящей от координаты y. Полагая, что на свободной границе нормальное напряжение равно нулю ${{{{\sigma }}}_{{xx}}}$ = $ - p + \frac{{4{{{{\sigma }}}_{s}}}}{3}$ = 0, находим ${{p}_{0}}\left( t \right)$ = $\frac{{2{{\sigma }_{s}}{{x}_{f}}}}{{\sqrt 3 h}}$ + $\left( {\frac{{{{x}_{f}}}}{{\sqrt 3 {{b}_{0}}}} + \frac{4}{3}} \right){{\sigma }_{s}}$. При достаточно большом $~{{x}_{f}}$, третьим слагаемым в правой части можно пренебречь, тогда ${{p}_{0}}\left( t \right)$ = $\frac{{{{{{\sigma }}}_{s}}{{x}_{f}}}}{{\sqrt 3 }}\left( {\frac{2}{h} + \frac{{{\mu }}}{{{{b}_{0}}}}} \right)$, и искомое давление будет иметь более простой вид (30)

В завершение выпишем функцию тока

Таким образом, в рамках общей модели “вязкой жидкости” получено приближенное аналитическое решение. На границе x = 0, а также на свободной границе $x = {{x}_{f}}\left( t \right)$ оно удовлетворяет краевым условиям в интегральной форме. Следовательно, согласно принципу Сен-Венана, решение справедливо в центральной части области течения. Характер течения в слое не является одномерным, поэтому прямые линии (x = const) с течением временем искривляются, причем наблюдается заметное отставание продольного перемещения частиц вблизи неподвижной границы. Этот факт подтверждается результатами проведенных экспериментов [13]. Полученные закономерности невозможно описать с помощью модели “идеальной жидкости”, в которой не учитываются касательные напряжения.

Различные обобщения задачи Л. Прандтля и их решения. Тонкая полоса, занимающая область $S(x,y)\{ (x,y){\text{|}}{{l}_{1}}(t) < x < {{l}_{2}}(t)$; $0 \leqslant y \leqslant h(t)\} $ свободно растекается под действием деформирующего инструмента, при этом дифференциальные уравнения квазистатического равновесия имеют вид [1]

где h = h(t) – известный закон изменения толщины осаживаемой пластической полосы; $\lambda \left( t \right)$ = $\ln \frac{{{{h}_{0}}}}{{h\left( t \right)}} \geqslant 0$ – степень деформации по А.А. Ильюшину (аналог меры накопленной в частице деформации); u = u(x, t); p = p(x, t) – соответственно скорость течения вдоль слоя и контактное давление в полосе.

Краевые условия на свободных границах

Существует неизвестная линия ветвления течения $x = {{x}_{0}} \in \left( {{{l}_{1}},{{l}_{2}}} \right)$, на которой $u\left( {{{x}_{0}},t} \right) = 0$. Интегрируя первое уравнение (31) с учетом краевых условий (32), определяем контактное давление в полосе (рис. 2)

Интегрируя уравнение несжимаемости из (31) с учетом условия на линии ветвления, находим

при этом линия ветвления течения $x = {{x}_{0}}\left( t \right)$ определяется из условия непрерывности контактного давления. Удельная сила для осуществления пластической осадки полосы равна площади эпюры (рис. 2)

Остановимся отдельно на различных обобщениях задачи о свободном растекании полосы.

1. Материал полосы свободно растекается в обе стороны так, что область контакта инструмента с пластической полосой, расширяясь в обе стороны, образует отрезок $\left[ {{{l}_{1}}\left( t \right),{{l}_{2}}\left( t \right)} \right]$ с подвижными концами (рис. 3).

В этом случае положения свободно перемещающихся концов полосы находятся из решения задачи Коши, описанной системой линейных однородных дифференциальных уравнений

Ниже выписано решение задачи (36)

Осаживаемая пластическая полоса, занимает область контакта с неподвижным левым концом так, что она может свободно перемещаться в противоположную от зафиксированного конца (правую) сторону, и представляется отрезком $\left[ {{{l}_{{10}}},{{l}_{2}}\left( t \right)} \right]$ с одним подвижным концом (рис. 4). При этом допускаем, что пластический материал течет по всей области контакта.

В этом случае выписанное выше решение остается в силе, а изменяется лишь дифференциальное уравнение для определения ${{l}_{2}}\left( t \right)$

решение которого, имеет вид

2. Левый неподвижный конец области контакта защемлен так, что пластическое течение в области $\left[ {{{l}_{{10}}},{{l}_{2}}\left( t \right)} \right]$ происходит в одном направлении, причем ${{x}_{0}} \equiv {{l}_{{10}}}$. В этом случае решение краевой задачи

при граничных условиях $x = {{l}_{{10}}}$; $u\left( {{{l}_{{10}}},t} \right) = 0$; $x = {{l}_{2}}\left( t \right)$; $p = {{\sigma }}$ имеет вид

Величина удельной силы для осуществления пластической осадки в этом случае, безусловно, зависит от условия на левом конце (рис. 5), и в данном случае принимает вид

3. К левому неподвижному концу области контакта приложено растягивающее напряжение: $x = {{l}_{{10}}}$; ${{\sigma }_{{xx}}} = - {{q}_{0}} > 0$, такое, что $ - {{\sigma }_{s}} < {{q}_{0}} < 0$. Согласно условию полной пластичности [1], для контактного давления на левом конце $p = {{q}_{0}} + {{{{\sigma }}}_{s}}$ справедливо условие 0 < p < $~{{{{\sigma }}}_{s}}$.

Выделим отдельно предельный случай ${{q}_{0}} = - {{{{\sigma }}}_{s}}$, который моделирует процесс пластического растяжения тонкой полосы с одновременной пластической осадкой “зажатых” концевых ее частей. Решение краевой задачи в этом случае определяется системой (42)

где ${{x}_{0}} = \frac{{{{l}_{{10}}} + {{l}_{2}}}}{2} - \frac{{{{q}_{0}}}}{{4{{{{\tau }}}_{s}}}}h$ ≥ $\frac{{{{l}_{{10}}} + {{l}_{2}}}}{2}$.

Величина удельной силы для осуществления пластической осадки в этом случае равна площади заштрихованной эпюры, изображенной на рис. 6.

При этом давление определяется уравнением (43)

где ${{p}_{1}}\left( t \right) = {{{{\sigma }}}_{s}}\left( {{{l}_{2}} - {{l}_{{10}}}} \right) + \frac{{2{{{{\tau }}}_{s}}}}{h}\frac{{{{{\left( {{{l}_{2}} - {{l}_{{10}}}} \right)}}^{2}}}}{4}$ – удельная сила для осуществления пластической осадки полосы со свободными концами.

Заключение и выводы. В рамках общей математической модели “вязкой жидкости” получено приближенное аналитическое решение. Приведенные в статье различные обобщения классической задачи Л. Прандтля представляют интерес не только для анализа сжатия тонкого слоя, но и при исследовании задач о правке плоских заготовок с наложением одноосного растяжения за пределом упругости, выравнивание которых другими способами не дает удовлетворительных результатов, а также при решении плоских задач гибки с растяжением, крупногабаритных облицовочных деталей.

Отметим, что решения универсальны, подтверждены результатами экспериментов, и их можно распространить на пространственные контактные задачи течения в тонком пластическом слое между сближающимися поверхностями инструмента.

Дальнейшие исследования будут направлены на учет упругой деформации инструмента; объемной сжимаемости обрабатываемого материала; использование многослойных материалов с разными пластическими характеристиками слоев; использование штамповых инструментов с рельефными поверхностями контакта; моделирование сложного нагружения и эффекта сверхпластичности, используемых в технологических процессах.