Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, 2019, № 5, стр. 108-112

ВВЕДЕНИЕ

Исследования отражения заряженных частиц от поверхности твердого тела играют важную роль при конструировании термоядерных реакторов и при анализе поверхностных слоев вещества [1]. Теоретическое рассмотрение проблемы затруднено в связи с тем, что при движении в мишени энергия ионов уменьшается, и сечение рассеяния иона на атоме мишени меняется с каждым новым столкновением. Основным методом исследования в настоящее время является компьютерное моделирование процесса отражения. Большинство известных компьютерных программ [2–5] используют сложные атомные потенциалы, содержащие большое число подгоночных параметров, зависящих от порядковых номеров и масс ионов и атомов мишени. Значения параметров определяют путем сравнения результатов моделирования и эксперимента.

В настоящей работе создана программа компьютерного моделирования PAOLA, использующая усеченный кулоновский потенциал. В этом случае все упругие столкновения ионов и атомов мишени описываются аналитическими формулами, численное интегрирование не требуется, время расчета уменьшается, и число пробных ионов может быть увеличено. Число подгоночных параметров уменьшено до трех. Алгоритм расчета аналогичен алгоритму, примененному в [6] для вычисления распределения отраженных ионов по пробегам в мишени.

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Решим следующую задачу. Ионы с энергией Е₀ падают на поверхность полубесконечной мишени, в которой они испытывают упругие столкновения с атомами, а также теряют энергию за счет неупругих процессов. В результате столкновений часть ионов возвращается к поверхности с некоторой энергией Е. Если энергия Е превышает высоту потенциального барьера Е_min, ион выходит из мишени и вносит вклад в коэффициент отражения. Если же энергия иона меньше Е_min либо у поверхности, либо в любой другой точке мишени, то этот ион выбывает из рассмотрения.

В случае усеченного кулоновского потенциала энергия взаимодействия двух зарядов ${{Z}_{1}}$ и ${{Z}_{2}}$ на расстоянии $r$ друг от друга равна:

$U\left( r \right) = 0\quad\,\,{\text{п р и }}\,\,r \geqslant {{r}_{0}},$

где $\quad{{r}_{0}}\quad$ – радиус отсечки, $e\quad$ – заряд электрона, ${{{\varepsilon }}_{0}}$ – электрическая постоянная. Удобно ввести приведенную энергию:

где ${{Z}_{1}},{{Z}_{2}},{{M}_{1}},{{M}_{2}}$ – атомные номера и атомные массы ионов и атомов мишени соответственно.

Алгоритм расчета основан на следующих уравнениях. Программа генерирует три случайных числа $\quad{{R}_{1}},{{R}_{{2\quad}}},{{R}_{{3\quad}}}$ в интервале от нуля до единицы. Эти числа определяют длину свободного пробега

полярный угол рассеяния ${\omega }$ в системе центра масс и азимутальный угол рассеяния где ${{{\lambda }}_{{0{\;}}}}$ – средняя длина свободного пробега, $\quad{\eta } = {{\left[ {4{\varepsilon }\left( {1 + {\varepsilon }} \right)} \right]}^{{ - 1}}}$ – параметр экранирования. Угол рассеяния в лабораторной системе координат $\quad{\Omega \;}$ связан с углом ${\omega }$ соотношением: $A = {{{{M}_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{M}_{1}}} {{{M}_{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{M}_{2}}}}$ – отношение массы иона к массе атома мишени. Если полярный угол ${{{\theta }}_{n}}$ определяет направление скорости иона до столкновения, а угол ${{{\theta }}_{{n + 1}}}$ – после столкновения, то из формул сферической геометрии получаем: Из законов сохранения находим отношение энергии иона после столкновения ${{E}_{{n\, + \,1\quad}}}$ к его энергии ${{E}_{n}}$ до столкновения [8]:

Уравнения (3)–(8) носят универсальный характер и справедливы как для легких ($A \leqslant 1$), так и для тяжелых ионов ($A > 1$). Следует подчеркнуть, что для атомного потенциала (1) угол рассеяния в уравнении (4) выражается в аналитическом виде. В случае сложных атомных потенциалов, используемых в программах MARLOWE, TRIM, OKSANA и других [2–5], угол рассеяния определяется путем численного интегрирования, что влияет на точность результатов и увеличивает время расчета.

Программа PAOLA использует три параметра. Первым параметром является высота потенциального барьера ${{E}_{{{\text{min}}}}}.$ Второй параметр – отношение радиуса отсечки к боровскому радиусу, Третьим параметром является число отвечающее за неупругие потери энергии. Предположим, что неупругие потери локальны и пропорциональны энергии. Это означает, что если после некоторого столкновения энергия иона приобретает значение Е, то за счет неупругих процессов она немедленно уменьшается на дополнительную величину ${\Delta }E = DE.$

На рис. 1 и 2 результаты моделирования сопоставляются с экспериментальными данными [7]. Рис. 1 показывает энергетическую зависимость коэффициента отражения частиц ${{R}_{N}}\quad$ для ионов дейтерия и гелия, бомбардирующих мишень из нержавеющей стали. Значения параметров оказались равными: $C = 0.70,D = 0.40$, для дейтерия и для гелия. В обоих случаях высота потенциального барьера составляла Е_min = 3 эВ. На рис. 2 изображена зависимость коэффициента отражения энергии ${{R}_{E}}\quad$ от угла падения ионов гелия с энергией 5 кэВ на мишени из золота и титана. Моделирование хорошо согласуется с экспериментом и позволяет экстраполировать экспериментальные данные на более широкий диапазон значений энергии и углов.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Закон рассеяния (4) не может быть использован для построения теории отражения, так как угол рассеяния зависит от энергии и меняется при движении иона в мишени. По этой причине обычно используют сечение рассеяния, зависящее от переданной энергии по степенному закону: вероятность образования атома отдачи с энергией от $T$ до $T + dT$ для иона с энергией $E$ равна:

Если допустить, что показатель степени $n$ зависит от начальной энергии $\quad{{E}_{0}},$ но не зависит от текущей энергии Е, то формулу (9) можно использовать для построения теории. При $n = 1\quad$ уравнение (9) описывает рассеяние в поле потенциала твердых сфер, а при $n \ll 1\quad$ – в кулоновском поле.

Функция распределения ионов в мишени зависит от глубины х, выраженной в единицах длины свободного пробега, косинуса μ $\quad$угла между скоростью иона и внутренней нормалью к поверхности и относительной энергии иона $u = {E \mathord{\left/ {\vphantom {E {{{E}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{E}_{0}}}}.$ Уравнение переноса, усредненное по азимутальному углу, имеет вид [9]:

где ${\sigma }\left( {{cos\Omega }} \right)$ – дифференциальное сечение рассеяния (9), пересчитанное на угол рассеяния в лабораторной системе координат.

Первое слагаемое в уравнении (10) описывает изменение потока ионов при их движении между столкновениями. Второе и третье слагаемые представляют собой интеграл столкновений – число частиц, покидающих состояние и число частиц, приходящих в состояние из состояния Угол рассеяния $\quad{\Omega }$ определяется уравнением:

${\varphi \;}$ и ${\varphi '}$ – азимутальные углы, $\quad{\Delta \;}\quad$ обозначает отношение энергии иона после столкновения к его энергии до столкновения:

В результате преобразования Меллина по энергетической переменной

уравнение (10) принимает вид: где угловая функция представляет собой сечение рассеяния, взятое с весом ${{{\Delta }}^{s}}$ и усредненное по азимутальному углу. Уравнение (14) решается при граничном условии, описывающем падение ионов на поверхность мишени под углом ${{{\theta }}_{0}}{\text{:}}$где ${{{\mu }}_{0}} = \cos {{{\theta }}_{0}},$ δ – дельта-функция.

Чандрасекар показал [10], что решение транспортной задачи в виде уравнения (14) и граничного условия (16) равносильно решению системы интегральных уравнений для функции отражения

Уравнения (17) и (18) описывают источники частиц, движущихся в отрицательном и положительном направлениях. Уравнение (19) выражает принцип инвариантности.

Была решена система уравнений (17)–(19) методом последовательных приближений [11], выполнено обратное преобразование Меллина, и получено энергетическое распределение отраженных ионов. Интегрирование в пределах от ${{E}_{{{\text{min}}}}}\quad$ до ${{E}_{0}}$ дало коэффициент отражения $\quad{{R}_{N}},$ зависящий только от отношения $\quad{{{{E}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{E}_{0}}} {{{E}_{{{\text{min}}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{E}_{{{\text{min}}}}}}}.$ В табл. 1 результаты теории сравниваются с результатами моделирования для различных значений энергии и масс ионов в частном случае $n = 1.$ При изменении энергии в 10⁶ раз максимальное расхождение не превысило 0.4%. Аналогичное совпадение наблюдалось и для других показателей степени $n.\quad$

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Создана программа компьютерного моделирования для расчета зависимости коэффициента отражения от энергии и угла падения ионов на поверхность твердого тела. Программа использует три параметра: энергию отсечки, параметр упругих столкновений и параметр неупругих потерь энергии. Результаты моделирования хорошо согласуются с экспериментальными данными для зависимостей коэффициента отражения частиц $\quad{{R}_{N}}$ от энергии и коэффициента отражения энергии $\quad{{R}_{E}}$ от угла падения ионов.

Для проверки корректности алгоритма построена теория отражения для сечения рассеяния, зависящего от переданной энергии по степенному закону. Теория основана на уравнении переноса, преобразованном в систему интегральных уравнений Чандрасекара. Расхождение между моделированием и теорией оказалось очень незначительным и вряд ли может быть уменьшено в рамках методики Монте-Карло. Результаты теории имеют самостоятельное значение, подтверждают правильность алгоритма, а также могут использоваться для тестирования других программ.