Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, 2019, № 7, стр. 82-86

ВВЕДЕНИЕ

Создание мембран различного назначения является в настоящее время одной из интенсивно развивающихся отраслей современной технологии. Это порождает большое количество новых задач, которые в силу их специфичности, не были рассмотрены во все предшествовавшие годы развития академической науки. Специфика новых задач объясняется, прежде всего, тем, что речь идет о мембранах столь малой толщины (иногда толщиной всего лишь в один атом), что ранее казалось практически немыслимым. Примеров тому очень много, поэтому отметим здесь только те, которые непосредственно относятся к теме данной работы. Исследователи из университета Билефельда [1] систематически работают над технологиями преобразования ультратонких пленок в наномембраны. Создавая поры в графене, авторы работы [2] исследовали селективность получаемых таким образом мембран по отношению к прохождению различных молекулярных и атомных ионов. В [3] мембраны применяли в проблеме опреснения морской воды. К этому же направлению исследований относятся работы [4–13].

Целью работы является проверка и уточнение модели перфорирования тонких углеродных пленок при помощи многозарядных ионов. В работе применены как микроскопический подход с использованием квантовой механики, так и расчет, основанный на применении законов классической электродинамики. Второй подход является естественным продолжением первого, в котором используются уравнения квантовой механики в форме Эренфеста, усредненные по текущему квантово-механическому состоянию движущегося волнового пакета. Фактически он представляет собой первое классическое приближение более сложной квантово-механической задачи.

КВАНТОВО-МЕХАНИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ

Приводим квантово-механический расчет прохождения волнового пакета электрона через пору, диаметр которой меньше среднеквадратичной ширины пакета.

Предположим, что волновой пакет частицы массой $M,$ зарядом $Q,$ движется вдоль оси $x$ со скоростью $\nu $ (рис. 1). Волновая функция (ВФ) в начальный момент времени $t = 0$ имеет вид:

где импульс частицы $p = M\nu .$ Волновой пакет частицы проникает через круглое отверстие радиусом $a$ в полупрозрачной перегородке толщиной $b,$ потенциал в которой постоянен и равен $U({\mathbf{r}}) = {{U}_{0}}.$ Центр пакета движется по оси поры, так что задача является аксиально-симметричной.

Решая нестационарное уравнение Шредингера:

можно найти динамику волнового пакета и определить вероятности прохождения и отражения квантовой частицы от поры, а также распределение плотности вероятности обнаружения частицы в различных точках пространства. Поскольку масса частицы $M \gg 1$ (порядка 10⁵ ат. ед.), вводим “медленное” время ${\tau } = \frac{t}{M}.$ В результате получаем уравнение Шредингера для частицы с массой, равной массе электрона (1 ат. ед.) в “медленном” времени и “сильном” потенциале $MU,$

Решаем двумерное (с учетом аксиальной симметрии) нестационарное уравнение Шредингера на сетке с помощью разностной схемы второго порядка типа Кранка–Николсона и получаем эволюцию состояния во времени. Результаты расчетов для электрона ($M = 1$ ат. ед., $\left| Q \right| = 1$ ат. ед.), движущегося с $\nu = 1$ ат. ед. через круглое отверстие радиусом $a = 10$ ат. ед., приведены на рис. 2. Начальные ширины гауссова пакета частицы ${{d}_{1}} = {{d}_{2}} = 20$ ат. ед. На скриншотах по горизонтали отложена продольная координата в рабочей цилиндрической области, ограниченной бесконечно высокими стенками (нулевые граничные условия), а по вертикали – поперечная. Приведены рельефы плотности вероятности в плоскости $(x,y),$ отображенные методом градаций яркости. Верхний край рисунка – ось цилиндра, вниз отложена поперечная координата. В виде прямоугольников показана рабочая цилиндрическая область и барьер, а в виде эллипса – положение пакета (на множестве точек, где плотность вероятности равна половине максимального значения) в случае свободного движения. Вероятность прохождения волнового пакета через пору равна 0.2255. Процесс туннелирования через перегородку в нашем случае несущественен (менее 0.002), поскольку выбраны параметры потенциального барьера $b = 20$ ат. ед., ${{U}_{0}} = 1$ ат. ед. После прохождения волновой пакет частицы локализуется в окрестности оси симметрии системы.

На рис. 3а, 3б показана вероятность прохождения электрона сквозь круглую пору в зависимости от ее радиуса $R$. Сплошная кривая для $\nu = 0.5$ ат. ед., штрихи – для $\nu = 1$ ат. ед., точки – для $\nu = 2$ ат. ед. Штрихпунктирная кривая – для прохождения классических частиц, когда проходит вся фракция волнового пакета, попадающая в сечение поры. Данная вероятность не зависит от скорости, и равна $P = 1 - \exp \left\{ { - {{{({R \mathord{\left/ {\vphantom {R {{{d}_{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{d}_{2}}}})}}^{2}}} \right\}.$ На рис. 3б более подробно показана область малых $R.$ Видно, что с увеличением скорости возрастает вероятность прохождения, но незначительно, особенно в случае достаточно большой скорости. Только в области малых $R$ наблюдается значительная зависимость вероятности прохождения от скорости – при малых скоростях прохождения вообще нет. Вероятность классического прохождения заметно превышает квантовую при больших радиусах поры. Отметим, что для очень малых пор и достаточно больших скоростей квантовая вероятность заметно превышает классическую (точечная кривая идет выше штрихпунктирной вплоть до $R = 7$ ат. ед.).

На рис. 4 показана вероятность прохождения волнового пакета электрона через круглую пору в зависимости от времени движения. Сплошная кривая для квантового случая, штрихи для прохождения классических частиц, когда проходит вся фракция волнового пакета, попадающего в сечение поры. На рис. 4а – для радиуса поры $R = 10$ ат. ед. и скорости движения электрона $\nu = 1$ ат. ед. На рис. 4б – для радиуса поры $R = 5$ ат. ед. и $\nu = 0.5$ ат. ед. соответственно. Видно, что в случае малых скоростей и малых радиусов поры наблюдается заметное отставание прохождения квантового пакета от соответствующего классического пакета.

МОДЕЛИРОВАНИЕ УГЛЕРОДНОЙ ПЛЕНКИ

Расчет величины силы для разрыва углеродной пленки нанометровой толщины (CarbonNanoMembrane – CNM) путем приложения напряжения сдвига производился при помощи молекулярно-динамического моделирования. Для расчета был использован код LAMMPS [15]. Структура пленки была определена на основе экспериментальных данных из работ [17, 18], и, как указано, представляла собой “сшитые” электронным пучком молекулы бифенил-4-тиола. Для конструирования молекулярной структуры был создан массив ориентированных молекул бифенил-4-тиола, затем молекулы были объединены с соседями в своем слое и с другими слоями случайными ковалентными связями с соблюдением валентности, что имитировало облучение электронным пучком пленки, полученной методом Ленгмюра–Блоджетт (рис. 5). Для расчета равновесной структуры с минимумом энергии в данной конфигурации было применено силовое поле CHARMM [19]. Полученные после минимизации структуры подготавливались к расчету в пакете LAMMPS при помощи процедуры минимизации энергии в силовом поле ReaxFF [20] с применением процедуры уравновешивания заряда [21]. После минимизации энергии пленка приводилась в равновесное состояние при помощи термостата в Berendsen [22], а затем Nose-Hoover [23] для достижения статистического равновесия с каноническим ансамблем NVT в течение 10 пс (времени моделирования). После установления равновесной температуры термостат отключался и для расчета применялся микроканонический ансамбль NVE. Для оценки значения силы сдвига при разрыве пленки проводился расчет с использованием различных сил. По полученным данным была определена минимальная сила, необходимая для разрыва пленки при поперечном сдвиге, которая составила 0.38 × 10^–4 ат. ед.

Приведенная модель была использована для оценок возможности образования поры при пролете многозарядного иона ${\text{X}}{{{\text{e}}}^{{{\text{ + 35}}}}}$ через углеродную наномембрану в эксперименте [16].

На рис. 6 представлены зависимости электрической силы, отнесенной к единице длины окружности поры, образующейся в углеродной наномембране, при воздействии на нее гауссового пакета ${\text{X}}{{{\text{e}}}^{{{\text{ + 35}}}}},$ центр которого располагается на расстоянии ${{z}_{0}}$ от поверхности мембраны. Сила стремится “вытянуть” часть пленки навстречу движущемуся заряду. Данные показаны для трех значений радиуса поры. Гауссова ширина пакета равна 20 ат. ед. Прямая с надписью “порог” определяет пороговое абсолютное значение силы для мембраны, полученной нами посредством численного моделирования. При превышении силой ее порогового значения в пленке образуется пора.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрено прохождение классических и квантовых заряженных частиц через пористые пленки. Было показано, что в области больших длин волн квантовых частиц наблюдается превышение вероятности прохождения волны по отношению к прохождению потока классических частиц. В области коротких волн имеет место пониженная вероятность прохождения квантовых частиц по сравнению с классическими. Расчеты показали наличие временной задержки при прохождении квантовой частицы по отношению к потоку классических частиц.

Проведено математическое моделирование углеродной пленки. Данный подход является важным дополнением к стандартным теоретическим методам исследования, незаменимым в случае трудностей проведения непосредственных измерений. Математическое моделирование позволило обнаружить существенное отличие пленок, использованных в экспериментах [16], от значительно более упорядоченных, таких, как графен. Показано, что электрическое поляризационное поле, производимое движущимся волновым пакетом многозарядного иона, способно создавать поры в ультратонкой углеродной пленке. Тем самым показана принципиальная возможность измерения параметров волновых пакетов частиц посредством пропускания их через специальным способом приготовленные твердотельные пленки.