Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, 2019, № 8, стр. 56-63

ВВЕДЕНИЕ

Двухпотоковая модель многократного рассеяния заряженных частиц была предложена в работах [1, 2] с целью учесть влияние распределения атомных электронов исследуемого образца на транспорт направленного потока заряженных частиц в конденсированном веществе. Полученные в рамках этой модели результаты позволяют проводить расчеты спектров энергетических потерь частиц, распределений их по пробегам и по углу в пленочных и массивных мишенях. Проведенные расчеты при этом находятся в хорошем согласии с экспериментальными результатами [3–5].

В тоже время для ряда важных практических приложений, помимо наиболее вероятных значений параметров, характеризующих движущийся поток частиц в объеме исследуемого образца, необходима информация и об их средних значениях. Например, о средних потерях энергии частицами, при расчете пробегов пучка заряженных частиц в материале образца или для расчета матричной поправки на тормозную способность вещества при проведении количественного рентгеноспектрального микроанализа.

В данной работе представлены результаты использования двухпотоковой модели для описания средних потерь энергии пучка моноэнергетических электронов, прошедших пленочную мишень известного состава и заданной толщины. Получена универсальная формула для расчета пробегов электронов R_e для широкого диапазона энергий электронного пучка: от 0.1 кэВ до 1.0 МэВ. Приводятся результаты проверки полученных формул путем сравнения модельных расчетов с данными известных экспериментальных измерений значений средних потерь электронов в пленочных мишенях. Представлены результаты расчетов пробегов электронов для широкого диапазона материалов: от бериллия (₄Be) до золота (₇₉Au). Проведены сравнения рассчитываемых значений R_e с расчетами, проводимыми по существующим и широко используемым формулам диффузионной модели Канайи−Окаямы [6] и степенной аппроксимации экспериментальных измерений Фиттинга [7], а также с многочисленными результатами экспериментальных измерений величины R_e [8]. Показаны очевидные преимущества нового подхода при описании средних значений и хорошее соответствие, достигаемое между расчетами и экспериментально измеренными данными R_e.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МОДЕЛИ

Основные положения используемой двухпотоковой модели о процессах транспорта направленного потока быстрых электронов в веществе и диссипации ими энергии в результате неупругого рассеяния сводятся к следующему:

1. Электроны пучка при движении в веществе испытывают упругое и неупругое рассеяние. Для описания усредненного воздействия этих процессов на пространственное распределение первичных электронов в данной модели используется универсальный параметр – транспортная длина L_tr пучка электронов. Она характеризует пробег первичных электронов, после которого для пучка частиц наступает полная потеря направленного движения в образце, т.е. все направления для них становятся равновероятными. Величина транспортной длины L_tr пучка электронов с энергией Е₀ в веществе с плотностью атомов n₀ определяется через величину транспортного сечения σ_tr электронов по формуле:

где транспортное сечение ${{\sigma }_{{{\text{tr}}}}} = \int {\left( {1 - \cos {\theta }} \right)d\sigma } $ представляет собой усредненное по всем возможным угловым θ отклонениям сечение рассеяния первичных электронов в веществе.

С учетом влияния на процесс взаимодействия электронов с веществом упругого и неупругого каналов рассеяния:

где $\sigma _{{{\text{tr}}}}^{{{\text{el}}}}$ и $\sigma _{{{\text{tr}}}}^{{{\text{inel}}}}$ – транспортные длины электронов по упругому и неупругому каналу рассеяния соответственно. При расчетах значений $\sigma _{{{\text{tr}}}}^{{{\text{el}}}}$ и $\sigma _{{{\text{tr}}}}^{{{\text{inel}}}}$ в модели используются формулы для транспортных сечений из работ [9, 10].

2. Модель предполагает наличие в объеме образца двух потоков первичных электронов пучка. Известно, что большая часть электронов в атоме с атомным номером Z находится на расстояниях от ядра порядка а_БZ ^–1/3 (а_Б − боровский радиус = = 0.529 Å). Численный расчет показывает, что половина полного электрического заряда атома находится внутри сферы радиуса r_0.5 = 1.33а_Б × Z ^–1/3 [11]. Для ₁₃Al величина r_0.5 = 0.299 Å при атомном радиусе r_ат = 1.43 Å [12], в ₂₉Cu величина r_0.5 = = 0.229 Å при r_ат = 1.28 Å [12], в ₄₇Ag r_0.5 = 0.195 Å при r_ат = 1.44 Å [12] и в ₇₉Au r_0.5 = 0.164 Å при r_ат = = 1.44 Å [12]. Такое неоднородное распределение заряда в атоме для направленного потока заряженных частиц, размерами каждой из которых можно пренебречь, и рассеяние каждой из которых на атоме определяется прицельным параметром, должно с неизбежностью приводить к сепарации потока на две группы первичных частиц. Поэтому в тонких слоях, толщина x которых много меньше величины транспортного пробега L_tr, неупругое одночастичное взаимодействие быстрой заряженной частицы будет с большей вероятностью происходить с той половиной полного заряда атома, которая находится вне области с радиусом r_0.5. Это приводит к формированию двух групп первичных частиц: испытавших неупругое рассеяние только на Z/2 внешних атомных электронах (вторая группа), и потока частиц, теряющих энергию с участием всех Z атомных электронов (первая группа), как представлено на рис. 1. Видно, что с увеличением толщины слоя и, соответственно, увеличением пробега частиц в веществе (из-за упругого рассеяния частиц на большие углы) степень участия атомных электронов области экранирования в суммарных энергетических потерях возрастает, а доля частиц, теряющих энергию с участием только внешних атомных электронов, уменьшается. После прохождения пути, превышающего величину L_tr, остаются лишь частицы первой группы, энергетические потери которых обусловлены всеми Z- атомными электронами. Возможности и эффективность такого подхода для описания энергетических спектров пучка быстрых электронов при их транспорте в веществе были показаны в работах [1–5]. Полученные в рамках этой модели результаты (решение одномерного транспортного уравнения [3], формулы для наиболее вероятных потерь энергии [4] и для полной ширины энергетических спектров на половине максимума (FWHM) [3, 5]) позволяют проводить расчеты спектров энергетических потерь частиц, прошедших пленочную мишень, с хорошим соответствием экспериментальным результатам, как это представлено на рис. 2.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ ЭНЕРГИИ ПУЧКА ЭЛЕКТРОНОВ ПО ГЛУБИНЕ МАССИВНОЙ МИШЕНИ

Ранее в работе [4] из первых принципов была получена формула, описывающая зависимость квадрата наиболее вероятной энергии $E_{{\text{p}}}^{2}$ пучка электронов с энергией E₀, прошедших толстую пленочную мишень, и испытавших в ней среднее число n неупругих взаимодействий:

где: J – средняя энергия возбуждения атомных электронов мишени; e – основание натуральных логарифмов.

При этом среднее число n неупругих взаимодействий в выражении (1) рассчитывается из следующего достаточно простого соотношения:

в котором правая часть, то есть величина 4πq ⁴n₀Zx, представляет собой так называемую “дисперсию по Бору” для частиц с электрическим зарядом, равным единице, x – толщина пленки, q – заряд электрона, n₀ – число атомов в единице объема вещества, Z – средний атомный номер вещества.

Логарифм в формуле (1), в соответствии с использованным в работе [4] подходом, обусловлен вкладом статистической вероятности применительно к дискретному и многократно повторяющемуся процессу потерь энергии заряженными частицами при неупругом рассеянии. С другой стороны, величина n может быть представлена как отношение вероятной однократной потери энергии, равной ε = nε_min, первичными электронами к минимальной вероятной ε_min потери энергии. И в этом случае для электронов, прошедших слой толщины x, величина ln(ε/ε_mine) представляет собой результат усреднения по вероятным потерям энергии при многократном рассеянии. С ростом x вклад логарифмического члена увеличивается. Очевидно, что, расширив диапазон усреднения энергетических потерь в сторону максимально возможных однократных потерь энергии ε_max = (n_maxε_min), мы можем получить выражение для величины квадрата средней энергии $E_{{\text{m}}}^{2}$ от толщины в мишени как

Видно, что выражение для квадрата средней энергии в массивной мишени отличается от соотношения для квадрата наиболее вероятной энергии только видом своего логарифмического члена, аналогично тому, как формула Бёте отличается от формулы Ландау. Учитывая, что величина ε_min для быстрых электронов определяется как J²/2E₀ [4], а как известно параметр J ~ Z [13], то ε_min ~ Z ²/E₀. Естественно предположить, что и величина ε_max зависит от Z аналогичным образом, то есть ε_max~ Z ²E₀. Поэтому логарифмический член для средних энергий определяется только зависимостью от начальной энергии электронов E₀, а выражение (3), с некоторым приближением, можно представить как

где универсальная константа C_m оказывается практически не зависящей от материала мишени и равна C_m ≈ 790 эВ.

Таким образом, в отличие от наиболее вероятной энергии, логарифм для средней энергии определяется величиной первичной энергии E₀ и значением универсального параметра C_m. Поэтому разность квадратов первичной энергии и средней энергии пучка электронов будет линейно зависеть от толщины мишени. Это хорошо подтверждается при сопоставлении расчетов $E_{{\text{m}}}^{2},$ выполненных по формуле (4), с экспериментальными результатами измерений величины $E_{{\text{m}}}^{2}$ из классической работы [14] для ряда материалов, которые представлены на рис. 3.

Отметим три несомненных достоинства полученного соотношения, которое описывает распределение средней энергии пучка электронов по глубине образца, и позволяет в удобной форме проводить расчеты распределений средних потерь энергии для количественных электронно-зондовых методов исследования материалов и изделий на их основе. Во-первых, в отличие от модели непрерывных потерь энергии (continuous slowing-down approximation), учтена в полной мере статистическая вероятность дискретного процесса многократного рассеяния электронов в веществе. Во-вторых, средняя энергия E_m и ее производная dE_m/dx зависят от толщины x слоя материала, а не от траекторного пробега s частиц, что удобно при ее практическом применении в многочисленных приложениях. И, в-третьих, допустима прямая экспериментальная проверка этой формулы, результаты которой для алюминия, меди, серебра и золота отражены на рис. 3.

Применение полученной формулы (4) в более широком диапазона энергий E₀ электронов пучка (от 0.1 кэВ до 1.0 МэВ) достигается введением в нее релятивистской поправки для энергий E₀> > 20 кэВ. А также учетом зависимости вероятности неупругого рассеяния в веществе первичного электрона пучка с E₀< 3 кэВ от соотношения его скорости со средней скоростью атомных электронов по методике, которая ранее была предложена и использована в работе [4]. В результате, мы получаем:

где ${{F}_{{\text{M}}}} = 5.554\left\{ {1 - \exp \left[ { - 0.1714\left( {{{{{E}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{E}_{0}}} {{{C}_{{\text{M}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{C}_{{\text{M}}}}}}} \right)} \right]} \right\}.$

ПРОБЕГ ПУЧКА ЭЛЕКТРОНОВ. АПРОБАЦИЯ ПОЛУЧЕННОГО АНАЛИТИЧЕСКОГО ВЫРАЖЕНИЯ

Формулы (4) и (5) легко могут быть использованы для нахождения важнейшего параметра, характеризующего взаимодействие пучка электронов с веществом (величины пробега R_e электронов в веществе), как расстояния от поверхности, на котором средняя кинетическая энергия первичных электронов практически становится равной тепловой энергии, т.е. E_m = 0, что применительно к выражению (5) дает:

С целью изучения возможности использования формул (6) для практических задач электронно-зондовых методов исследования, была осуществлена их проверка. Она проводилась путем сопоставления рассчитанных по этим формулам величин R_e, характеризующих процесс диссипации энергии в веществе, с широко используемыми исследователями результатами расчета R_K−O диффузионной модели [6] и с многочисленными экспериментальными измерениями R_F, представленными в работах Фиттинга [7, 8]. Экспериментально измеряемые пробеги электронов с энергией Е₀ от 0.4 до 1000 кэВ в веществе, как показано в работе [8], могут быть аппроксимированы следующими аналитическими выражениями:

где [E₀] – кэВ, [$\rho $] – г/см³, [R_F] – Ǻ.

Результаты расчетов параметра R_e по формуле (6), а также значений R_F и R_K−O в различных материалах и для энергий E₀ пучка электронов, равных 1–50 кэВ, представлены в таблице. Видно, что наблюдается хорошее соответствие между расчетами величины R_е и R_F. Диффузионная модель заметно завышает величину пробега R_K–O для Е₀ ≥ 10 кэВ и занижает при Е₀ < 1 кэВ. Рассчитанные зависимости величины R_e от энергии E₀ (R_e = f(E₀)) во всем анонсированном диапазоне 0.1 кэВ–1.0 МэВ для бериллия, алюминия, меди и золота приведены на рис. 4 совместно с результатами экспериментальных измерений пробегов электронов в этих материалах. Видно, что полученная для R_e формула хорошо описывает экспериментальные результаты во всем выбранном диапазоне энергий. Следует отметить еще один важный результат, вытекающий из свойств этого соотношения. Формула (6) проясняет и саму возможность применения для описания пробега электронов по глубине образца степенной зависимости от начальной энергии вида ~$E_{{\text{0}}}^{{\text{p}}}$ и объясняет практическую невозможность установить единое значение этого степенного показателя p в широком диапазоне значений энергии E₀ электронного пучка. Действительно, из представления логарифмического члена в формуле (6) в виде 2 ln(E₀/C_m) = 2(E₀/C_m)^p легко вычислить p (p = = {ln[ln(E₀/C_m)]}/ln(E₀/C_m)) для каждого значения величины используемой энергии Е₀. Так, для значений энергии Е₀ = 10, 30 и 50 кэВ p будет равняться 0.37, 0.355 и 0.34 соответственно. То есть зависимость R_е от энергии Е₀ в выражении R_е ~ $E_{{\text{0}}}^{{\text{p}}}$ можно представить как $E_{0}^{{1.63}}$ для 10 кэВ, $Е _{0}^{{1.645}}$ для Е₀ = 30 кэВ и $Е _{0}^{{1.66}}$ для 50 кэВ. Для электронов с энергией Е₀ = 100 кэВ R_e будет уже ~$Е _{0}^{{1.67}}.$ Поэтому становится понятной причина, из-за которой исследователи, начиная с работы Грюена [15] 1967 г. по настоящее время, эмпирически не смогли подобрать для R_е единое значение степенного показателя для значений энергии Е₀ в широком энергетическом диапазоне 3–100 кэВ. Реальная зависимость R_e от Е₀ определяется наличием в знаменателе формулы для тормозной способности вещества при электронной бомбардировке логарифмической функции – ln(E₀/C_m), которая плавно меняется с изменением Е₀.

СООТВЕТСТВИЕ ПАРАМЕТРА R_e ПРАКТИЧЕСКОМУ И ЭКСТРАПОЛИРОВАННОМУ ПРОБЕГАМ, А ТАКЖЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЮ ПРОБЕГОВ ЭЛЕКТРОНОВ ПУЧКА ПО ГЛУБИНЕ МИШЕНИ

Представляет несомненный интерес и значимость вопрос – как соотносится пробег R_e, определяемый формулой (6), общепринято используемым определениям пробегов электронов в веществе (экстраполированному пробегу [16] и практическому пробегу R_F [8, 16]). Под практическим пробегом, как правило, понимается толщина такой мишени, в которой тормозится ~99% первичных электронов пучка. Из результатов, представленных в таблице, видно, что в пределах нескольких (1–5)% величины R_e и R_F тождественны._{Для выявления соответствия Re распределениям пробегов электронов по глубине мишени на рис. 5 представлены результаты расчетов таких распределений для титана и меди, полученные по формулам работы [5], и приведены результаты экспериментальных измерений, выполненные по методике “меченого слоя” для этих материалов [17, 18].Хорошее взаимное соответствие расчета и эксперимента на рисунках указывает, что они передают весьма близкое к реальному распределение пробегов электронов в этих двух случаях. Поэтому отмеченные на рисунке стрелками значения Re (ρRe)можно идентифицировать как весьма близкие к общепринятому определению – экстраполированный пробег электронов [16]: как глубину проникновения частиц, соответствующую экстраполяции прямолинейного участка кривойφ(ρx)до пересечения ее c осью абсцисс. Таким образом, полученные результаты позволяют определить место и значимость параметра Re,найденного на основе учета только средних потерь энергии электронами в веществе, как важный оценочный параметр, который характеризует глубину проникновения электронов в исследуемом образце, и который легко рассчитывается по формуле (6). Для более точного нахождения глубины проникновения электронов в образце следует пользоваться более сложными и более трудоемкими расчетами по формулам работы [5]. Они описывают распределение пробегов электронов по глубине на основе учета наиболее вероятных потерь энергии электронами пучка. При этом учитываетсяи вклад упругого рассеяния заряженных частиц и влияние процессов обратного рассеяния первичных электронов на транспорт заряженных частиц в веществе.}

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Получена формула, описывающая распределение квадрата средней энергии пучка моноэнергетических электронов по глубине массивной мишени. Установлено, что тормозная способность вещества зависит от толщины слоя материала, а не от траекторного пробега частиц, что удобно при ее практическом применении в многочисленных приложениях. Выполнена проверка полученного аналитического выражения путем сопоставления расчетов с имеющимися результатами экспериментальных измерений этой величины в алюминии, меди, серебре и золоте. Получена универсальная формула расчета пробегов R_e электронов в веществе для энергий электронного пучка от 0.1 кэВ до 1.0 МэВ. Представлены результаты расчетов пробегов электронов для широкого диапазона материалов: от бериллия до золота. Выполненное сравнение получаемых значений R_e с расчетами, проводимыми по существующим и широко используемым формулам диффузионной модели и степенной аппроксимации, а также с результатами экспериментальных измерений величины R_e, показывает очевидные преимущества нового подхода при описании средних значений энергии пучка электронов в конденсированном веществе.

БЛАГОДАРНОСТИ

Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования в рамках выполнения работ по Государственному заданию ФНИЦ “Кристаллография и фотоника” РАН.