Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, 2020, № 5, стр. 89-92

Зависимость энергетического распределения отраженных ионов от вида атомного потенциала

А. И. Толмачев^a, *, Л. Форлано^b

^a Российский новый университет
105005 Москва, Россия

^b Университет Калабрии
87036 Козенца, Италия

^* E-mail: tolmachev.alex@rambler.ru

Поступила в редакцию 26.07.2019
После доработки 12.08.2019
Принята к публикации 12.08.2019

DOI: 10.31857/S1028096020050192

Полный текст (PDF)

Аннотация

Теоретически и методом компьютерного моделирования рассчитан низкоэнергетический спектр ионов, отраженных от поверхности твердого тела. Теория основана на численном решении уравнения переноса методом дискретных потоков, компьютерное моделирование – на модели парных столкновений и локальных неупругих потерь энергии. Показано, что при малых энергиях отраженных ионов их энергетическое распределение описывается универсальной формулой, содержащей единственную постоянную. Значение постоянной меняется незначительно при переходе от потенциала твердых сфер к кулоновскому потенциалу.

Ключевые слова: отражение ионов, энергетическое распределение, атомный потенциал, сечение рассеяния, теоретический анализ.

ВВЕДЕНИЕ

Исследование отражения ионов от твердого тела имеет важное значение для получения информации о поверхностных слоях вещества. Основными характеристиками отраженных ионов являются коэффициент отражения по числу частиц $~{{R}_{N}},$ коэффициент отражения энергии $~{{R}_{E}}~,~$ а также энергетическое распределение [1].

Значение коэффициента отражения определяется главным образом числом частиц, обладающих малыми энергиями. Энергетическое распределение отраженных ионов, проинтегрированное по всем углам вылета, при малых энергиях имеет вид:

(1)

$R\left( E \right)~dE = C~{{\left( {{\text{ln}}\frac{{~{{E}_{{0~}}}}}{E}} \right)}^{{{{ - 3} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 3} 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}\frac{{dE~}}{{E~~}}~,\,\,\,\,E \ll {{E}_{0}},$

где $~{{E}_{0}}$ и E – энергии бомбардирующих и отраженных ионов соответственно. Множитель ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 E}} \right. \kern-0em} E}$ в уравнении (1) является результатом решения задачи в приближения бесконечной мишени. Дополнительный логарифмический множитель появляется после учета поверхности мишени. Коэффициент $C$ зависит от отношения масс $A = {{{{M}_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{M}_{1}}} {{{M}_{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{M}_{2}}}}$ иона и атома мишени, а также от вида атомного потенциала. Для случая степенного атомного потенциала приближенные значения $C~$ были найдены в [2].

В настоящей работе получены точные зависимости коэффициента $C~$ от отношения $A$ для различных видов потенциалов – от кулоновского до потенциала твердых сфер. Рассматривается случай легких ионов, при котором масса иона не превышает массы атома мишени, $A \leqslant 1.$

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Сечение рассеяния

Для рассмотрения различных типов атомных потенциалов мы используем модельное дифференциальное сечение рассеяния, выраженное в виде функции угла рассеяния $\omega $ в системе центра масс [3, 4]:

(2)

$d\sigma = ~~\frac{{2\eta \left( {1 + \eta } \right){\text{sin}}\omega d\omega }}{{{{{\left( {1 + 2\eta - {\text{cos}}\omega } \right)}}^{2}}}}.$

Параметр экранирования $\eta $ связан с нормированной энергией ионов $\varepsilon $ соотношением [5]:

(3)

$\eta = \frac{1}{{~4~\varepsilon {\text{\;}}\left( {1 + \varepsilon } \right)}}~,\,\,\,\,\varepsilon = \frac{{~{{E}_{0}}}}{{{{E}_{{at}}}}}.$

Предельной случай больших параметров экранирования $\eta \gg 1$ описывает рассеяние на потенциале твердых сфер, а предельный случай малых параметров $\eta \ll 1$ – резерфордовское рассеяние на кулоновском потенциале. Другие типы атомных потенциалов соответствуют промежуточным значениям параметра экранирования. Переход в уравнении (2) к лабораторной системе координат дает сечение рассеяния $d\sigma $ для столкновений ионов и атомов мишени. Соответствующее отношение ${\Delta \;}$ энергии иона после столкновения к его энергии до столкновения может быть найдено из кинематических уравнений.

Уравнение переноса

Теоретический анализ основан на решении уравнения переноса для функции распределения рассеянных ионов $f\left( {x,~\mu ,~u} \right).$ Функция распределения зависит от нормированной глубины мишени $x$, косинуса $\mu $ угла между скоростью частицы и внутренней нормалью к поверхности мишени, а также от относительной энергии $u = {E \mathord{\left/ {\vphantom {E {{{E}_{0}}.}}} \right. \kern-0em} {{{E}_{0}}.}}$

Выполним преобразование Меллина по энергетической переменной:

(4)

$F\left( {x,\mu } \right) = \int\limits_0^1 {{{u}^{s}}~f\left( {x,\mu ,u} \right)~du} ,$

и запишем уравнение переноса как

(5)

$\mu \frac{{\partial F\left( {x,\mu } \right)}}{{\partial x}} + F\left( {x,\mu } \right) = \int\limits_{ - 1}^1 {p\left( {\mu ,\mu {\kern 1pt} '} \right)~F\left( {x,\mu {\kern 1pt} {\text{'}}} \right)~d\mu {\kern 1pt} '} ~,$

где угловая функция

(6)

$p\left( {\mu ,\mu {\kern 1pt} '} \right) = \int\limits_0^{2\pi } {{{\Delta }^{s}}\left( {{\text{cos\;}}\Omega } \right)\sigma \left( {{\text{cos}}\Omega } \right)\frac{{d\varphi }}{{2\pi }}} $

представляет собой сечение рассеяния, взятое с весом ${{\Delta }^{s}}$ и усредненное по азимутальному углу, появляющемуся в уравнении для угла рассеяния в лабораторной системе координат,

(7)

$\cos \Omega = \mu \mu {\kern 1pt} {\text{'}} + \sqrt {~1 - {{\mu }^{2}}} \sqrt {~1 - {{\mu }^{{'2}}}} {\text{cos}}\varphi .$

При положительных $\mu $ функция распределения должна удовлетворять дельтаобразному граничному условию, указывающему угол падения ионов на мишень. В настоящей работе рассматривается случай нормального падения ионов. Необходимо подчеркнуть, что поведение энергетического распределения при малых энергиях отраженных ионов не требует выполнения обратного преобразования Меллина, а только исследования поведения функции $F\left( {0, - \mu ,~s} \right)$ в окрестности точки $s \approx 0.$

Решение уравнения переноса

Уравнение (5) представляет собой односкоростное транспортное уравнение с законом рассеяния, определяемым угловой функцией (6). Мы решили уравнение (5) методом дискретных потоков [6]. Интервал интегрирования по $\mu {\kern 1pt} {\text{'}}$ разбивался на $N~$ равных частей и рассматривались значения неизвестной функции распределения в $~N + 1$ дискретной точке. Для определения этих значений решение разлагалось в ряд экспоненциально убывающих по глубине мишени функций и решалась задача о собственных векторах квадратной матрицы. Коэффициенты разложения вычислялись из граничного условия при положительных $\mu $ и затем подставлялись в решение для отрицательных $\mu .$ В результате решения определяли коэффициент отражения как функция параметра $~s{\text{:}}$

(8)

${{R}_{N}}\left( s \right) = \int\limits_0^1 {\mu ~F\left( {0,~ - \mu ,~s} \right)d\mu } ,$

после чего постоянная $~C$ находилась из предельного перехода

(9)

$C = \mathop {\lim }\limits_{s \to 0} \frac{{~1 - {{R}_{N}}\left( s \right)}}{{2\sqrt {~\pi s~} }}.$

Сходимость метода контролировалась путем увеличения числа дискретных потоков до максимального значения $~N = 500.$ Корректность метода была проверена на тестовых задачах с известными аналитическими решениями, а также с помощью программы компьютерного моделирования PAOLA [7].

На рис. 1 представлена зависимость коэффициента $~C$ в уравнении (1) от отношения масс $~A~$ и вида атомного потенциала. Из рисунка следует, что число низкоэнергетических отраженных ионов увеличивается с ростом отношения масс $A,~$ но практически не зависит от атомного потенциала. Последний результат важен для теории отражения. При движении ионов в мишени их энергия постоянно уменьшается, и сечение рассеяния меняется от столкновения к столкновению. Как следует из рис. 1, пренебрежение изменением сечения рассеяния вполне допустимо, и оно не приводит к большим погрешностям в окончательном решении.

Рис. 1.

Изменение коэффициента $~C$ при переходе от потенциала твердых сфер $~\left( {{\text{малые}}~\,\varepsilon } \right)$ к кулоновскому потенциалу $\left( {{\text{большие}}~\,\varepsilon } \right).$ Отношение масс: A = 0.1 (кривая 1), A = 0.5 (кривая 2) и A = (кривая 3). Сплошные линии – теория, маркеры – компьютерное моделирование по программе PAOLA.

Учет неупругих потерь энергии

Неупругие потери энергии увеличивают число отраженных ионов с малыми энергиями, следовательно, увеличивают значение множителя $~C~.~$ В настоящей работе предполагалось, что неупругие потери являются локальными и пропорциональны энергии. Это означает, что в каждом упругом столкновении иона энергии $E$ теряется дополнительная энергия, равная $DE,$ где $D$ – безразмерный параметр. Если неупругие потери отсутствуют, то $D = 0.$

На рис. 2 представлена зависимость коэффициента $C$ от отношения масс $A$ для потенциала твердых сфер при различных значениях параметра неупругих потерь. Как и следовало ожидать, неупругие потери энергии увеличивают число отраженных ионов с малыми энергиями. Кроме того, при учете неупругих потерь энергии значение коэффициента $~C~$ для $A = 0$ принимает конечное значение, отличное от нуля. Если же неупругие потери отсутствуют, то при малых $~A$ коэффициент $C$ пропорционален ${{A}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}.$

Рис. 2.

Зависимость коэффициента $~C$ от отношения масс $~A~$ для потенциала твердых сфер при различных значениях параметра неупругих потерь энергии: $~D = 0~$ (неупругие потери отсутствуют, кривая 1), $D = 0.3$ (кривая 2) и $D = 0.6$ (кривая 3). Сплошные линии – теория, маркеры – компьютерное моделирование по программе PAOLA.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Теоретически исследована низкоэнергетическая часть энергетического распределения ионов, отраженных от поверхности твердого тела, для различных законов взаимодействия ионов и атомов мишени. Показано, что число отраженных ионов малых энергий увеличивается с ростом массы ионов и меняется незначительно при переходе от взаимодействия по закону твердых тел к кулоновскому взаимодействию.

Неупругие потери энергии увеличивают число отраженных ионов в низкоэнергетической части спектра. В предельном случае очень малых масс ионов энергетическое распределение становится конечным.

Результаты теории проверены с помощью программы компьютерного моделирование PAOLA. Расхождение между теорией и моделированием не превышает погрешности датчика случайных чисел.

Список литературы

Машкова Е.С., Молчанов В.А. Применение рассеяния ионов для анализа твердых тел. М.: Энергоатомиздат, 1995. 176 с.
Waldeer K.T., Urbassek H.M. // Appl. Phys. A. 1988. V. 45. P. 207.
Leibfried G., Oen O.S. // J. Appl. Phys. 1962. V. 33. № 7. P. 2257.
Eckstein W. Computer Simulation of Ion-Solid Interactions. Berlin: Springer, 1991. 296 p.
Толмачев А.И., Форлано Л. // Поверхность. Рентген, синхротр. и нейтрон. исслед. 2019. № 5. С. 108.
Толмачев А.И. // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1990. Т. 54. № 7. С. 1247.
Толмачев А.И., Форлано Л. // ЖТФ. 2018. Т. 88. № 10. С. 1502.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал