Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, 2020, № 9, стр. 66-72

1. ВВЕДЕНИЕ

При пересечении заряженной частицей входной поверхности кристаллической пластинки возникает переходное излучение (ПИ) [1], которое дифрагирует на системе параллельных атомных плоскостей кристалла, образуя дифрагированное переходное излучение ДПИ [2, 3]. При пересечении заряженной частицей кристаллической пластинки ее кулоновское поле рассеивается на системе параллельных атомных плоскостей кристалла, порождая параметрическое рентгеновское излучения (ПРИ) [4, 5]. В общем случае асимметричного отражения излучения от пластинки, когда дифрагирующие атомные плоскости составляют произвольный угол с поверхностью, динамические эффекты в ПРИ и ДПИ рассматривались в работах [6–8], в которых было показано, что, меняя асимметрию отражения, можно существенно увеличить выходы излучений.

В настоящей работе исследуются возможности использования когерентного излучения, возбуждаемого электронами в монокристаллической мишени для индикации параметров пучков ускоренных электронов. Актуальность этой проблемы связана с необходимостью обеспечения надежной информацией о параметрах пучков электронов различных энергий при проведении фундаментальных и прикладных исследованиях, проводимых на современных ускорительных установках.

При проведении фундаментальных и прикладных экспериментальных исследований с использованием пучков электронов различных энергий, ученые сталкиваются с проблемой недостаточности информации о параметрах пучков. Важными параметрами пучка являются его поперечные размеры и угловая расходимость. Главную проблему для физиков, занимающихся пучками релятивистских электронов в диапазоне энергий 100–1000 МэВ, составляет обеспечение измерений поперечных размеров пучка, поскольку угловая расходимость на современных электронных ускорителях составляет величину порядка 0.001 мрад, что не существенно для пучков электронов, имеющих размеры порядка и более десяти микронов.

В настоящее время проектируются два линейных электрон-позитронных коллайдеров [9, 10]. В этих установках электроны и позитроны будут разгоняться до энергии 250 ГэВ. Поперечные размеры пучка предполагаются очень малыми (~5–100 нм) и главной проблемой станет измерение угловой расходимости. Очевидно, что процесс измерения не должен заметно влиять на измеряемые параметры пучка, поэтому для индикации необходимо использовать такие процессы, которые минимально воздействовали бы на сами измеряемые параметры. Решение этой проблемы позволит с большей точностью интерпретировать экспериментальные данные в фундаментальных и прикладных исследованиях.

Полученные в работе [8] выражения показывают, что угловая плотность ДПИ зависит от расходимости электронного пучка в большей степени, чем угловая плотность ПРИ. Это связано с тем, что для пучков электронов с энергией, превышающей несколько сотен МэВ, излученные фотоны ДПИ имеют меньший угловой разброс, чем фотоны ПРИ и вследствие этого угловая плотность ДПИ становится более чувствительной к расходимости пучка. Необходимо отметить, что при дальнейшем увеличении энергии релятивистского электрона угловое распределение фотонов ДПИ сужается, а ширина углового распределения фотонов ПРИ достигает насыщения и перестает изменяться.

В настоящей работе исследуется дифрагированное переходное излучение релятивистских электронов в монокристаллической мишени в геометрии рассеяния Лауэ. Излучение рассматривается для случая очень тонкой мишени, когда многократное рассеяния электронов на атомах мишени пренебрежимо мало, что важно при измерении расходимости электронного пучка, поскольку обеспечивает достаточно малое ее изменение в процессе измерения. Получено выражение, описывающее число фотонов ДПИ излученных в заданный телесный угол. Показано, что коллимированное ДПИ, генерируемое в монокристалле, существенно зависит от расходимости электронного пучка.

2. ГЕОМЕТРИЯ ПРОЦЕССА ИЗЛУЧЕНИЯ

Пусть пучок релятивистских электронов пересекает монокристаллическую пластинку в геометрии рассеяния Лауэ (рис. 1). Введем в рассмотрение угловые переменные $\psi ,$ ${\mathbf{\theta }}$ и ${{{\mathbf{\theta }}}_{0}}$ в соответствии с определениями скорости релятивистского электрона ${\mathbf{V}}$ (в единицах скорости света в вакууме) и единичных векторов в направлении фотона, излученного близком к скорости электрона ${\mathbf{n}}$, и фотона, излученного вблизи направления рассеяния Брэгга ${{{\mathbf{n}}}_{{\mathbf{g}}}}:$

где $\psi $ – угол отклонения электрона в пучке, отсчитываемый от оси электронного пучка ${{{\mathbf{e}}}_{1}},$ ${{{\mathbf{\theta }}}_{0}}$ – угол между осью ${{{\mathbf{e}}}_{1}}$ и направлением ${\mathbf{n}}$ распространения падающего фотона ПИ, ${\mathbf{\theta }}$ – угол между направлением ${{{\mathbf{e}}}_{2}}$ брэгговского отражения фотона, падающего вдоль оси электронного пучка, и направлением распространения дифрагированного фотона ${{{\mathbf{n}}}_{{\mathbf{g}}}}$ (угол излучения), $\gamma = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\sqrt {1 - {{V}^{2}}} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {1 - {{V}^{2}}} }}$ – Лоренц-фактор частицы. ${{{\mathbf{e}}}_{1}}$ и ${{{\mathbf{e}}}_{2}}$ являются единичными векторами.

На рис. 1 ${{\psi }_{0}}$ – угловая расходимость электронного пучка. Угол ${{\psi }_{0}}$ определяет конус, ограничивающий часть пучка электронов, за пределами которого плотность электронов уменьшается более чем в $е$ раз по сравнению с плотностью на оси пучка. Угловые переменные раскладываются на составляющие параллельные и перпендикулярные плоскости рисунка ${\mathbf{\theta }} = {{{\mathbf{\theta }}}_{{||}}} + {{{\mathbf{\theta }}}_{ \bot }},$ ${{{\mathbf{\theta }}}_{0}} = {{{\mathbf{\theta }}}_{0}}_{{||}} + {{{\mathbf{\theta }}}_{0}}_{ \bot },$ $\psi = {{\psi }_{{||}}} + {{\psi }_{ \bot }}.$

3. ВЛИЯНИЕ РАСХОДИМОСТИ ЭЛЕКТРОННОГО ПУЧКА НА ДПИ

Воспользуемся формулой, полученной в работе [11], описывающей спектрально-угловую плотность ДПИ для монокристалла произвольной толщины:

где где – средняя диэлектрическая восприимчивость, F(g) – формфактор атома, содержащего Z электронов, $S({\mathbf{g}})$ – структурный фактор элементарной ячейки, содержащей ${{N}_{0}}$ атомов, ${{u}_{{\tau }}}$ – среднеквадратичная амплитуда тепловых колебаний атомов кристалла. В работе рассматривается рентгеновская область частот $(\chi _{{\mathbf{g}}}^{'} < 0,\chi _{0}^{'} < 0).$

При $s = 1$ выражения (2) описывают $\sigma $ – поляризованные волны, а при $s = 2$ $\pi $ – поляризованные. Так как излучаемое релятивистским электроном электромагнитное поле является поперечным в рентгеновском диапазоне частот, то падающая ${\mathbf{E}}({\mathbf{k}},\omega )$ и дифрагированная ${\mathbf{E}}({\mathbf{k}} + {\mathbf{g}},\omega )$ волны, определяются двумя амплитудами с разными значениями поперечной поляризации:

где вектора ${\mathbf{e}}_{0}^{{(1)}}$ и ${\mathbf{e}}_{0}^{{(2)}}$ перпендикулярны вектору ${\mathbf{k}} = k{\mathbf{n}},$ а векторы ${\mathbf{e}}_{{\mathbf{g}}}^{{(1)}}$ и ${\mathbf{e}}_{{\mathbf{g}}}^{{(2)}}$ перпендикулярны вектору ${{{\mathbf{k}}}_{{\mathbf{g}}}} = {\mathbf{k}} + {\mathbf{g}}$ = ${{k}_{{\mathbf{g}}}}{{{\mathbf{n}}}_{{\mathbf{g}}}}.$ Векторы ${\mathbf{e}}_{0}^{{(2)}},$ ${\mathbf{e}}_{{\mathbf{g}}}^{{(2)}}$ лежат в плоскости векторов ${\mathbf{k}}$ и ${{{\mathbf{k}}}_{{\mathbf{g}}}}$ ($\pi $-поляризация), а вектора ${\mathbf{e}}_{0}^{{(1)}}$ и ${\mathbf{e}}_{{\mathbf{g}}}^{{(1)}}$ перпендикулярны ей ($\sigma $-поляризация).

Параметр $\varepsilon $ определяет степень асимметрии отражения поля электрона относительно поверхности мишени. Заметим, что угол падения электрона на поверхность мишени ($\delta - {{\theta }_{{\text{B}}}}$) уменьшается при увеличении параметра $\varepsilon .$ Параметр ${{b}^{{(s)}}}$ равен половине пути электрона в мишени ${{L}_{e}} = {L \mathord{\left/ {\vphantom {L {\sin (\delta - {{\theta }_{{\text{B}}}})}}} \right. \kern-0em} {\sin (\delta - {{\theta }_{{\text{B}}}})}},$ выраженной в длинах экстинкции рентгеновских волн в монокристалле $L_{{{\text{ext}}}}^{{(s)}}.$

Выражения (2а) и (2б) описывают спектрально-угловую плотность ДПИ релятивистского электрона, пересекающего монокристаллическую пластинку, с учетом отклонения направления скорости электрона (угол $\psi ({{\psi }_{ \bot }},{{\psi }_{\parallel }})$) относительно оси электронного пучка ${{{\mathbf{e}}}_{1}}.$ Выражения получены в рамках двухволнового приближения динамической теории дифракции для общего случая асимметричного отражения волн излучения, когда угол между отражающей системой параллельных атомных плоскостей кристалла и поверхностью мишени (угол $\delta $) может принимать произвольное значение в рамках геометрии Лауэ.

Рассмотрим излучение пучка релятивистских электронов в тонком кристалле, то есть при условии, когда наибольшая длина пути дифрагированного фотона в пластинке ${{L}_{f}} = {L \mathord{\left/ {\vphantom {L {\sin (\delta + {{\theta }_{{\text{B}}}})}}} \right. \kern-0em} {\sin (\delta + {{\theta }_{{\text{B}}}})}}$ будет много меньше длины поглощения рентгеновских волн в кристалле

Для выполнения данного условия, а также условия малости влияния процесса индикации на параметры электронного пучка (угол многократного рассеяния в мишени во много раз меньше начальной расходимости пучка) в рентгеновском диапазоне частот излучения толщина мишени должна быть меньше или порядка десятков микрометров. При этом выбор толщины мишени будет зависеть от плотности вещества мишени, энергии релятивистских электронов и энергии излучаемых фотонов ДПИ. В этом случае из выражения (2б) следует: Найдем угловую плотность ДПИ, проинтегрировав выражения (2а) по частоте $\omega ,$ используя соотношение $\frac{{d\omega }}{\omega } = \frac{{\left| {\chi _{{\mathbf{g}}}^{'}} \right|{{C}^{{(s)}}}}}{{2{{{\sin }}^{2}}{{\theta }_{{\text{B}}}}}}d{{\xi }^{{(s)}}},$ которое следует из выражения для ${{\xi }^{{(s)}}}(\omega )$ в (3). Угловая плотность ДПИ принимает вид: где $\Omega = {{\gamma }^{{ - 2}}} + {{({{\theta }_{ \bot }} - {{\psi }_{ \bot }})}^{2}} + {{({{\theta }_{\parallel }} + {{\psi }_{\parallel }})}^{2}}.$

Проинтегрируем спектральную функцию в (7), используя при ${{b}^{{(s)}}} \ll \sqrt \varepsilon $ аппроксимацию: $\int_{ - \infty }^\infty {R_{{{\text{ДПИ}}}}^{{(s)}}} d{{\xi }^{{(s)}}}(\omega ) \approx 4\pi \varepsilon {{b}^{{(s)}}}.$

Условие ${{b}^{{(s)}}} \ll \sqrt \varepsilon $ соответствует случаю, когда длина пути электрона в монокристалле существенно меньше длины экстинкции рентгеновских волн. В результате получим выражение

Исследуем зависимость выхода фотонов ДПИ в коллиматор от начальной расходимости электронного пучка с целью ее использования для индикации расходимости пучков электронов высоких и сверхвысоких энергий. Для этого усредним выражение для угловой плотности ДПИ (8) по возможным прямолинейным траекториям электрона в пучке. Будем проводить усреднение по симметричной функции распределения Гаусса: $f(\psi ) = \frac{1}{{\pi \psi _{0}^{2}}}\exp \left[ { - \frac{{\psi _{ \bot }^{2} + \psi _{\parallel }^{2}}}{{\psi _{0}^{2}}}} \right].$ Складывая угловые плотности (8) для двух поляризаций и усредняя по $f(\psi ),$ получим выражение, описывающее угловую плотность ДПИ возбуждаемого одним электроном, усредненную по всем возможным прямолинейным траекториям электрона в пучке: где Функция ${{Y}_{{{\text{ДПИ}}}}}$ характеризует влияние расходимости электронного пучка ${{\psi }_{0}}$ на угловую плотность ДПИ.

Интегрируя по углам излучения ($ - \theta _{ \bot }^{'} \leqslant {{\theta }_{ \bot }} \leqslant \theta _{ \bot }^{'},$ $ - \theta _{\parallel }^{'} \leqslant {{\theta }_{\parallel }} \leqslant \theta _{\parallel }^{'}$) угловую плотность ДПИ (9а), попадающего в прямоугольный коллиматор с размерами $2\theta _{ \bot }^{'} \times 2\theta _{\parallel }^{'},$ получим выражение, описывающее число фотонов коллимированного ДПИ, возбуждаемого пучком релятивистских электронов, нормированное на число электронов в пучке:

Функция ${{F}_{{{\text{ДПИ}}}}}({{\psi }_{0}}),$ описывает зависимость числа излученных в коллиматор фотонов ДПИ от расходимости электронного пучка ${{\psi }_{0}}$ и размера прямоугольного коллиматора $ \pm \theta _{ \bot }^{'}$ и $ \pm \theta _{\parallel }^{'}.$ Формула (10) для заданного коллиматора определяет однозначную связь между числом ${{N}_{{{\text{ДПИ}}}}}$ фотонов, излученных в коллиматор, и расходимостью электронного пучка.

Рассмотрим зависимости угловой плотности ДПИ и числа фотонов коллимированного ДПИ от расходимости электронного пучка. Для определенности положим $\chi _{0}^{'} = - {{10}^{{ - 5}}},$ значение которой определяется частотой излучения и материалом мишени. На рис. 2 представлены кривые углового распределения плотности ДПИ, построенные по формуле (9б) для пучков релятивистских электронов с различными параметрами расходимости ${{\psi }_{0}}.$ Кривые построены для энергии релятивистского электрона $E \approx 2.55$ ГэВ ($\gamma = 5000$) при фиксированном значении компоненты угла излучения (наблюдения) ${{\theta }_{\parallel }} = 0.$

На рис. 2а представлены кривые, построенные для значений параметра расходимости ${{\psi }_{0}}$ порядка и больше характерного угла излучения ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 \gamma }} \right. \kern-0em} \gamma },$ а на рис. 2б – для меньших значений параметра расходимости (${{\psi }_{0}} < 0.2\,\,{\text{мрад}} = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 \gamma }} \right. \kern-0em} \gamma }$). Рисунки демонстрируют наличие значительной зависимости угловой плотности ДПИ от расходимости электронного пучка, вплоть до значений расходимости порядка ${{\psi }_{0}} = 0.02$ мрад для данной энергии электронов. Следует отметить, что при изменении расходимости относительно значения ${{\psi }_{0}} = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 \gamma }} \right. \kern-0em} \gamma }$ происходит качественное изменение формы углового распределения ДПИ (рис. 2а и 2б).

На рис. 3–5 представлены построенные по формуле (10б) кривые, описывающие функцию ${{F}_{{{\text{ДПИ}}}}}({{\psi }_{0}})$ при различных значениях параметров коллимации фотонного пучка $\theta _{ \bot }^{'}$ и $\theta _{\parallel }^{'}.$ Зависимость от толщины мишени присутствует только в коэффициенте перед функцией ${{F}_{{{\text{ДПИ}}}}}({{\psi }_{0}}).$

Кривые на рис. 3, 4, построенные для коллиматора с размерами, соответственно, $\theta _{ \bot }^{'} = \theta _{\parallel }^{'} = 3{{\gamma }^{{ - 1}}} = 0.6$ мрад и $\theta _{ \bot }^{'} = \theta _{\parallel }^{'} = {{\gamma }^{{ - 1}}}$ = = 0.2 мрад, показывают заметное уменьшения числа фотонов ДПИ излученных в коллиматор при увеличении расходимости электронного пучка. Однако кривая на рис. 5, построенная для коллиматора с параметрами $\theta _{ \bot }^{'} = \theta _{\parallel }^{'} = 0.5{{\gamma }^{{ - 1}}}$ = 0.1 мрад, показывает заметное увеличение числа фотонов коллимированного ДПИ при увеличении расходимости электронного пучка. Это отражает тот факт, что угловая плотность в характерном для ДПИ минимуме возрастает при увеличении угловой расходимости (рис. 2б), а именно в области этого минимума и располагается коллиматор с параметрами $\theta _{ \bot }^{'} = \theta _{\parallel }^{'} = 0.5{{\gamma }^{{ - 1}}} = 0.1$ мрад. На рис. 6 представлена кривая зависимости функции при больших размерах коллиматора $\theta _{ \bot }^{'} = \theta _{\parallel }^{'} = 10{{\gamma }^{{ - 1}}}$ = = 2 мрад, когда в него попадают практически все фотоны ДПИ. В этом случае наблюдается очень слабая зависимость выхода фотонов ДПИ от расходимости пучка электронов.

На рис. 7 представлены построенные по формуле (9б) кривые, демонстрирующие зависимость угловой плотности ДПИ от расходимости электронного пучка при энергии релятивистского электрона $\gamma = 500{\kern 1pt} 000$ ($E \approx 255$ ГэВ) и параллельной компоненты угла наблюдения ${{\theta }_{\parallel }} = 0.$ Из рис. 7 видно, что заметная зависимость угловой плотности ДПИ от расходимости пучка для данной энергии электронов наблюдается в области значений параметра расходимости $5 \times {{10}^{{ - 3}}} \leqslant {{\psi }_{0}} \leqslant 5 \times {{10}^{{ - 4}}}$ мрад, Это значит, что ДПИ можно использовать и для индикации пучков электронов с такой энергией. На рис. 8 представлена зависимость числа фотонов ДПИ, излученных в коллиматор $\theta _{ \bot }^{'} = \theta _{\parallel }^{'} = 3{{\gamma }^{{ - 1}}},$ от расходимости ${{\psi }_{0}}$ пучка электронов с $\gamma = 500{\kern 1pt} 000.$

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе теоретически исследуется дифрагированное переходное излучение пучка релятивистских электронов, пересекающих тонкую монокристаллическую пластинку в геометрии рассеяния Лауэ. Получено выражение, описывающее угловую плотность ДПИ усредненную по всем возможным прямолинейным траекториям электрона в пучке. Для усреднения используется двумерное распределение Гаусса. Проведенные расчеты показали существование значительной зависимости угловой плотности ДПИ от расходимости электронного пучка. Для рассматриваемого случая тонкой монокристаллической мишени получено выражение, описывающее число коллимированных фотонов ДПИ, возбуждаемого пучком релятивистских электронов. Показано, что число фотонов коллимированного ДПИ также существенно зависит от расходимости электронного пучка, в то время как полный выход изучения без коллимации практически не зависит от расходимости электронного пучка.

Полученное в настоящей работе выражение для числа фотонов коллимированного ДПИ может использоваться для определения расходимости пучков релятивистских электронов, что значительно упрощает индикацию по сравнению с использованием углового распределения ДПИ.