Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, 2021, № 6, стр. 62-67

ВВЕДЕНИЕ

Параметрическое рентгеновское излучение (ПРИ) возникает вследствие рассеяния кулоновского поля релятивистского электрона на системах параллельных атомных плоскостей кристалла [1–3]. В настоящее время существуют кинематический [4, 5] и динамический [2, 3] подходы для описания ПРИ. В отличие от динамического кинематического подхода учитывает взаимодействие каждого атома только с первичной или преломленной волной в монокристалле, т.е. пренебрегают взаимодействием атома с волновым полем, которое создается в монокристалле в результате совокупного рассеяния на других атомах. Существенный прогресс в описании ПРИ релятивистских электронах в монокристаллах достигнут в динамическом подходе [6, 7]. Ярким подтверждением объективности и целесообразности использования динамической теории ПРИ является экспериментальное наблюдение пика параметрического рентгеновского излучения вдоль скорости релятивистского электрона [8], который не предсказывает кинематическая теория.

Дальнейшее развитие динамической теория параметрического рентгеновского излучения релятивистского электрона в монокристалле в геометрии рассеяния Лауэ и Брэгга было представлено в [9, 10] в общем случае асимметричного относительно поверхности мишени отражения поля электрона, когда система параллельных отражающих слоев мишени может располагаться под любым заданным углом к поверхности мишени. Теория когерентного рентгеновского излучения для пучков релятивистских электронов в монокристалле в геометрии рассеяния Лауэ была развита в [11], где было показано влияние расходимости пучка релятивистских электронов на когерентное рентгеновское излучение. В [12] динамическую теорию когерентного рентгеновского излучения расходящегося пучка релятивистских электронов, генерируемого в монокристаллической пластине в геометрии рассеяния Лауэ, рассматривали в условиях многократного рассеяния падающих частиц. Показаны условия, при которых вкладом дифрагированного тормозного излучения можно пренебречь.

Настоящая работа посвящена исследованию спектрально-угловых характеристик ПРИ, возбуждаемого пучком релятивистских электронов, пересекающих монокристаллическую пластинку в геометрии рассеяния Брэгга, с учетом многократного рассеяния на атомах мишени. Для учета многократного рассеяния использован традиционный метод усреднения спектрально-угловой и угловой плотностей излучения по расширяющемуся пучку электронов с прямолинейными траекториями. Исследовано влияние многократного рассеяния и асимметрии отражения поля электрона относительно поверхности мишени на спектрально-угловую плотность ПРИ.

ГЕОМЕТРИЯ ПРОЦЕССА ИЗЛУЧЕНИЯ

Рассмотрим пучок релятивистских электронов, пересекающих монокристалл в геометрии рассеяния Брэгга (рис. 1). Введем угловые переменные ${\mathbf{\psi }},$ ${\mathbf{\theta }}$ и ${{{\mathbf{\theta }}}_{0}}$ в соответствии с определением скорости выделенного в пучке релятивистского электрона ${\mathbf{V}}$ и единичных векторов: ${\mathbf{n}}$ – в направлении импульса фотона, излученного вблизи направления вектора скорости электрона, и n_g – в направлении рассеяния Брэгга:

где ${\mathbf{\theta }}$ – угол излучения, отсчитываемый от оси детектора излучения ${{{\mathbf{e}}}_{2}},$ ${\mathbf{\psi }}$ – угол отклонения рассматриваемого электрона в пучке, отсчитываемый от оси электронного пучка ${{{\mathbf{e}}}_{1}},$ ${{{\mathbf{\theta }}}_{0}}$ – угол между направлением распространения падающего фотона и осью ${{{\mathbf{e}}}_{1}},$ $\gamma = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\sqrt {1 - {{V}^{2}}} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {1 - {{V}^{2}}} }}$ – фактор Лоренца электрона. Угловые переменные рассматривают в виде суммы составляющих, параллельных и перпендикулярных плоскости рисунка: ${\mathbf{\theta }} = {{{\mathbf{\theta }}}_{{||}}} + {{{\mathbf{\theta }}}_{ \bot }},$ ${{{\mathbf{\theta }}}_{0}} = {{{\mathbf{\theta }}}_{0}}_{{||}} + {{{\mathbf{\theta }}}_{0}}_{ \bot },$ ${\mathbf{\psi }} = {{{\mathbf{\psi }}}_{{||}}} + {{{\mathbf{\psi }}}_{ \bot }},$ ${{\psi }_{0}}$ – начальная расходимость электронного пучка.

СПЕКТРАЛЬНО-УГЛОВАЯ ПЛОТНОСТЬ ПРИ

В [13] была развита теория когерентного рентгеновского излучения пучка релятивистских электронов в монокристалле в направлении, близком к оси пучка в геометрии рассеяния Брэгга ${\mathbf{n}}$ (рис. 1). Были получены выражения, описывающие спектрально-угловые характеристики параметрического рентгеновского излучения вблизи скорости релятивистского электрона. При аналогичных рассуждениях и использовании аналогичных обозначений в настоящей работе получено выражение для спектрально-угловой плотности ПРИ релятивистского электрона с учетом отклонения направления его скорости V относительно оси электронного пучка е₁ (угол ψ(${{\psi }_{ \bot }},$ ψ_||)):

где При фиксированном значении ${{\theta }_{{\text{B}}}}$ параметр асимметрии $\varepsilon $ определяет ориентацию входной поверхности мишени относительно отражающих слоев, которая определяется углом $\delta .$ Параметр b^(s) равен половине пути электрона в мишени L_e = = L/sin(θ_B + δ), выраженной в длинах экстинкции рентгеновских волн в кристалле $L_{{{\text{ext}}}}^{{(s)}} = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\omega \left| {\chi _{g}^{{\text{'}}}} \right|}}} \right. \kern-0em} {\omega \left| {\chi _{g}^{{\text{'}}}} \right|}}{{C}^{{(s)}}}.$

Угловую плотность ПРИ получаем из (1) после интегрирования по частотной функции ${{\xi }^{{(s)}}}(\omega ),$ используя соотношение $\frac{{d\omega }}{\omega } = - \frac{{\left| {\chi _{g}^{{\text{'}}}} \right|{{C}^{{(s)}}}}}{{2{{{\sin }}^{2}}{{\theta }_{{\text{B}}}}}}d{{\xi }^{{(s)}}},$ которое следует из выражения для ${{\xi }^{{(s)}}}\left( \omega \right)$ в (2):

Так как спектр ПРИ очень узкий при условии ${{b}^{{(s)}}} \gg 1,$ для интегрирования воспользуемся хорошо известной аппроксимацией $\frac{{{{{\sin }}^{2}}(ax)}}{{{{x}^{2}}}}$ → πaδ(x) и получим угловую плотность ПРИ: Так как электроны многократно рассеиваются на атомах среды, проведем усреднение спектрально-угловой и угловой плотности ПРИ по угловому распределения электронов в пучке в виде функции Гаусса, меняющейся с длиной пути прохождения в мишени $t$ за счет многократного рассеяния электрона:

т.е. усредним по расширяющемуся пучку излучающих электронов с прямолинейными траекториями на длине пути электрона в мишени L_e = L/sin(θ_B + δ), где ${{\psi }_{0}}$ – начальная расходимость электронного пучка, $\psi _{s}^{2} = \frac{{E_{s}^{2}}}{{{{m}^{2}}{{\gamma }^{2}}}}\frac{1}{{{{L}_{R}}}}$${{\left( {1 + 0.038{\text{ln}}\left( {\frac{t}{{{{L}_{R}}}}} \right)} \right)}^{2}}$ – средний квадрат угла многократного рассеяния электрона на единице длины с учетом его зависимости от длины пройденного пути $t$ в монокристалле [14], E_s ≈ 21 МэВ. Усредненные выражения для спектрально-угловой и угловой плотности ПРИ с учетом многократного рассеяния принимают вид:

В отсутствие многократного рассеяния будем усреднять спектрально-угловую и угловую плотности ПРИ по всем возможным прямолинейным траекториям электронов в пучке по функции Гаусса $f(\psi ,t) = \frac{1}{{\pi \psi _{0}^{2}}}\exp \left( { - \frac{{\psi _{ \bot }^{2} + \psi _{0}^{2}}}{{\psi _{0}^{2}}}} \right).$ Обозначения в этом случае оставим без изменения:

АНАЛИЗ СПЕКТРАЛЬНО-УГЛОВОЙ ПЛОТНОСТИ ПРИ. ЧИСЛЕННЫЕ РАСЧЕТЫ

Рассмотрим пучок релятивистских электронов с энергией E = m γ, пересекающих монокристаллическую пластинку углерода C(111) толщиной L (рис. 1). Пусть ось пучка релятивистских электронов ${{{\mathbf{e}}}_{1}}$ расположена под углом θ_B = 16.2° к рассматриваемой отражающей системе параллельных атомных плоскостей монокристалла, частота Брэгга ω_B = 10.9 кэВ. Численные расчеты будем проводить для σ-поляризованных волн (s = 1).

Рассмотрим влияние многократного рассеяния на спектрально-угловую плотность ПРИ с фиксированным углом наблюдения θ. На рис. 2 представлены кривые, построенные по формулам (6a) и (7а), описывающие спектрально-угловые плотности ПРИ для фиксированного угла наблюдения ${{\theta }_{ \bot }} = \sqrt {{{\gamma }^{{ - 2}}} - \chi _{0}^{'}} $ ≈ 4.84 мрад, ${{\theta }_{ \bot }}$ = 0 в максимуме угловой плотности ПРИ при толщине мишени L = 15 мкм. Пунктирная кривая соответствует ПРИ без учета, а сплошная – с учетом многократного рассеяния. Видно, что в рассматриваемых условиях многократное рассеяние электронов пучка существенно влияет на спектрально-угловую плотность ПРИ. На рис. 3 представлены кривые, аналогичные рис. 2, но при меньшей толщине мишени L = 5 мкм. Видно, что при уменьшении толщины мишени существенно ослабляется влияние многократного рассеяния, что связано с уменьшением пути электрона в мишени. На рис. 4 представлены кривые, аналогичные рис. 3, но при меньшей в три раза энергии электрона (γ = 100). Из рис. 4 следует существенное влияние многократного рассеяния релятивистских электронов атомами среды, что является следствием увеличения среднего квадрата угла многократного рассеяния при уменьшении энергии.

Рассмотрим угловую плотность ПРИ и влияние на нее многократного рассеяния ПРИ. На рис. 5 представлены построенные по формулам (6б) и (7б) кривые, описывающие угловые плотности ПРИ для разной толщины мишени L. Пунктирная кривая соответствует угловой плотности ПРИ без учета многократного рассеяния, а сплошная – с учетом многократного рассеяния. Рис. 5 показывает увеличение угловой плотности ПРИ с увеличением толщины мишени. Видно, что в рассматриваемых условиях при L = 10 мкм и выше многократное рассеяние электронов пучка существенно влияет на угловую плотность ПРИ.

Рассмотрим влияние асимметрии отражения поля электрона относительно поверхности мишени на спектрально-угловую и угловую плотности ПРИ в условиях многократного рассеяния релятивистских электронов на атомах мишени. Асимметрия отражения определяется параметром $\varepsilon = \frac{{\sin ({{\theta }_{{\text{B}}}} - \delta )}}{{\sin ({{\theta }_{{\text{B}}}} + \delta )}}.$ Меняя угол между поверхностью мишени и системой параллельных атомных плоскостей монокристалла δ (рис. 1), изменяем параметр $\varepsilon $ при фиксированном угле Брэгга θ_В. В случае, когда ε > 1, угол δ < 0, на рис. 1 указан положительный угол δ. На рис. 6 представлены кривые, построенные по формуле (6а), описывающие спектрально-угловую плотность ПРИ в условиях сильного многократного рассеяния (аналогичные кривым на рис. 2), при различных параметрах асимметрии ε: ε = 1 (δ = 0), ε = 3 (δ = = –8.3°), ε = 5 (δ = –10.9°). Из рис. 6 следует существенное влияние асимметрии отражения на ширину пика спектра ПРИ, что может привести также к увеличению угловой плотности ПРИ (рис. 7).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе развита динамическая теория параметрического рентгеновского излучения, генерируемого пучком релятивистских электронов в монокристаллической пластине в геометрии рассеяния Брэгга в условиях многократного рассеяния падающих частиц. Получены выражения, описывающие спектрально-угловые и угловые плотности ПРИ с учетом и без учета многократного рассеяния электронов пучка атомами мишени. Исследовано влияние многократного рассеяния на спектрально-угловые и угловые плотности ПРИ при различных толщинах мишени и разной энергии релятивистских электронов. Продемонстрировано усиление влияния многократного рассеяния на спектрально-угловую плотность ПРИ при увеличении толщины мишени и уменьшении энергии релятивистских электронов. Показано существенное влияние асимметрии относительно поверхности мишени отражения поля электрона на спектрально-угловую и угловую плотности ПРИ в условиях сильного многократного рассеяния релятивистских электронов атомами мишени. Результаты работы могут быть полезными при постановке новых экспериментов по исследованию свойств ПРИ и дают более точную интерпретацию экспериментов в условиях динамической дифракции и асимметрии отражения.