Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, 2022, № 10, стр. 107-112

ВВЕДЕНИЕ

Движение заряженной частицы в поле кристаллической плоскости (плоскостное каналирование) или атомной цепочки (аксиальное каналирование), а также электромагнитное излучение, возникающее при таком движении, можно теоретически рассматривать как в классическом приближении, так и в квантовом. В литературе можно найти примеры обоих подходов [1–9]. Традиционно считается, что при относительно невысоких энергиях (E < 100 МэВ), когда число квантовых связанных каналированных состояний невелико, следует применять квантовый подход – решать релятивистское уравнение Шредингера для определения спектра состояний, применять квантовую электродинамическую теорию возмущений для расчета матричных элементов радиационных переходов. Для приближенных к реальности моделей усредненных потенциалов выполнить такие расчеты можно только численно, что не способствует ясному пониманию физики таких процессов.

При энергии от сотен МэВ и выше, когда число квантовых состояний становится велико, можно воспользоваться классической (не квантовой) релятивистской механикой и классической электродинамикой. В этом приближении многие вычисления можно проделать аналитически, хотя для “формально усредненных” потенциалов даже классические расчеты иначе как численно не выполнишь. “Формальное усреднение” – это усреднение атомных потенциалов по соответствующей плоскости или оси. Если отталкиваться от известных в литературе приближений атомных потенциалов (потенциал Мольер, приближение Хартри–Фока и других), то после формального усреднения для осевого потенциала можно получить функции, в лучшем случае выражаемые через сложные логарифмические (так называемый стандартный потенциал Линдхарда [1]) или специальные (Макдональда [2]) функции, работать с которыми можно только численно.

С другой стороны, точность известных экспериментов по измерению спектров излучения каналированных частиц высоких энергий, как правило, не настолько велика, чтобы можно было заметить отличия близких по форме функций потенциальной энергии от координат. Расчеты в разных приближениях и с разными модельными потенциалами дают сходные результаты и качественно сходное совпадение с экспериментами [4, 9, 10]. В этой связи возникает вопрос: если численный расчет не позволяет качественно улучшить совпадение результата с экспериментом, не лучше ли провести расчет хотя и приближенно, но физически прозрачно и понятно, т.е. аналитически? Численный расчет – это, безусловно, мощнейший математический инструмент, но понять и почувствовать физический смысл рассчитываемого эффекта он не помогает.

В настоящей работе авторы предлагают примеры расчета спектра состояний и интенсивности излучения каналированной частицы, сознательно выполненные для максимально простых (математически) модельных потенциалов с использованием классического и упрощенного квантового подходов. Целью является демонстрация возможности и желательности использования приближенных методов при изучении как самого явления каналирования, так и излучения при каналировании.

Для удобства движение частиц рассматривается как в лабораторной системе отсчета, так и в так называемой сопутствующей системе отсчета [11–13], движущейся вдоль направления каналирования со скоростью, равной продольной компоненте скорости каналированной частицы. В сопутствующей системе отсчета движение частицы финитно и подобно колебательному движению в случае одномерного потенциала (при плоскостном каналировании) или двумерному финитному движению по орбитам в центральном поле (при аксиальном каналировании). Используя удобные приближенные модели усредненного потенциала, можно достаточно просто, аналитически рассчитать спектральные характеристики возникающего электромагнитного излучения, его интенсивность и характерные времена жизни квантовых каналированных состояний. Покажем это на нескольких примерах.

ПЛОСКОСТНОЕ КАНАЛИРОВАНИЕ – ОДНОМЕРНАЯ МОДЕЛЬ АТОМА

В сопутствующей системе отсчета каналированные в плоскостном канале частицы совершают финитные колебания между соседними ионными плоскостями (если они заряжены положительно) или вблизи одной из таких плоскостей (если они заряжены отрицательно). По сути, электрон в режиме плоскостного каналирования представляет собой одномерную модель атома. Аналитически несложно решить задачу о движении частиц в случае параболического потенциала, имеющего минимум посередине между соседними ионными плоскостями и достигающего максимумов точно на плоскостях (вполне реалистичное приближение для каналирования положительно заряженных частиц – позитронов или протонов):

где x < d/2, d – межплоскостное расстояние, U₀ – глубина усредненного плоскостного потенциала в лабораторной системе отсчета, определяемая параметрами кристалла. В большинстве кристаллов эта глубина составляет 20–50 эВ [2, 9]. Если рассматривать такое движение в сопутствующей системе отсчета и при классическом подходе, то в случае параболического потенциала (1) частица должна совершать гармонические колебания с циклической частотой: где Е – полная энергия каналированной частицы. При низких (нерелятивистских) энергиях E = mc ², с – скорость света.

В квантовом приближении уровни поперечной энергии связанного одномерного движения можно определить из одномерного (в сопутствующей системе отсчета) релятивистского уравнения Шредингера с потенциалом атомной плоскости U(x), умноженным на лоренц-фактор:

или, для простоты, можно воспользоваться правилом Бора–Зоммерфельда [14], которое принято записывать как где p = (2E(ε_x – U(x)))^1/2/c – классический поперечный импульс каналированной частицы с поперечной энергией E_x, движущейся в поле с потенциалом U(x), а интеграл берется по всей классически допустимой области связанного движения ε_x > U(x). Применение правила (4) к параболическому потенциалу приводит к эквидистантным разрешенным значениям поперечной энергии ${{\varepsilon }_{{xn}}}$ = $\hbar {{\omega }_{{{\text{кл}}}}}$(n + 1/2), где классическая частота определяется выражением (2), а переходы между соседними уровнями приводят к испусканию фотонов той же частоты, что и при классическом рассмотрении. Общее число уровней связанного движения в поле с потенциалом (1) можно оценить величиной: Для отрицательно заряженных частиц (электронов) усредненный потенциал атомной плоскости складывается из перекрывающихся потенциалов соседних плоскостей и напоминает перевернутую параболу (1). Потенциал имеет пологие параболические вершины между соседними атомными плоскостями, а вблизи ионных плоскостей соседние параболы стыкуются, и потенциал меняется почти линейно по мере удаления от плоскости: где b ≤ d/2 – параметр размерности длины, примерно равный четверти межплоскостного расстояния. Применение правила (4) для определения номера самого верхнего связанного состояния (ε_x ~ 0) дает результат N ~ (2√2/3π)(EU₀)^1/2(b/сħ), отличающийся от результата (5) только численным коэффициентом порядка единицы. Уровни поперечной энергии в поле с потенциалом (6), конечно, не будут эквидистантными, но средние расстояния между ними будут сопоставимы по величине с расстояниями между уровнями в (1). Аналогичные результаты получаются и для других потенциалов, “считаемых аналитически”, например, для простейшего потенциала Кронига–Пенни [15] U = –U₀, если |x| < b, и U = 0, если b < |x| < d/2, для которого уровни поперечной энергии тоже не эквидистантны (ε_n ~ n²), но общее число связанных состояний N и средние расстояния между уровнями поперечной энергии будут того же порядка величины, что и для потенциалов иной геометрической формы (при тех же глубине и ширине).

УПРОЩЕННЫЙ ЛИНЕЙНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ И КЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В ТЕОРИИ ИЗЛУЧЕНИЯ

Учитывая слабую зависимость спектральных характеристик связанных состояний частиц в плоскостных каналах от геометрии усредненного потенциала, для оценки интенсивности электромагнитного излучения, испускаемого каналированным электроном, воспользуемся потенциалом (6), достаточно реалистичным и позволяющим выполнить такой расчет аналитически. Напомним, что “точное” квантовое решение этой задачи требует расчета волновых функций c помощью релятивистского уравнения Шредингера (3) и вычисления матричных элементов для переходов между уровнями с найденными функциями, что можно сделать только численно даже с самыми простыми потенциалами. Однако, если воспользоваться несколько упрощенным квантово-классическим подходом, то эта задача решается аналитически и очень просто. Заметим, что в случае потенциала (6) электрон (в классическом приближении) движется под действием практически постоянной по величине силы, испытывая (в сопутствующей системе отсчета) ускорение:

Классическая электродинамика утверждает [16], что движущийся с постоянным ускорением электрон обязан излучать электромагнитные волны. Интенсивность излучения в сопутствующей системе отсчета определяется выражением: где с – скорость света, е – заряд электрона, w – его ускорение, k = $\frac{1}{{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}$ – постоянная закона Кулона. Заметим, что интенсивность излучения (8) не зависит от поперечной энергии электрона, в отличие от известной ситуации с кулоновским потенциалом в атомной физике, когда по мере потери энергии электроном интенсивность излучения возрастает. Этот факт заметно упрощает дальнейшие оценки. Можно оценить, за какое время t (на какой длине пути l = tc в кристалле) электрон потеряет поперечную энергию ~U₀ и дойдет до самого нижнего состояния: Подставляя известные значения констант и взяв вполне типичные для многих кристаллов значения b ~ 10^–10 м, U₀ ~ 50 эВ [2, 9, 17], можно оценить характерную длину пробега в кристалле, на которой электрон после серии радиационных переходов дойдет до дна потенциальной ямы: l = tc ~ ~ (bmc)²/ke²U₀ ≤ 1 см (несколько миллиметров).

В процессе потери поперечной энергии электрон будет терять и энергию полную, причем при каждом переходе с изменением поперечной энергии на ∆ε будет испускаться фотон в направлении вперед (эффективные углы излучения θ ~ mc²/E) c энергией в лабораторной системе отсчета, сильно увеличенной за счет эффекта Доплера [2, 3, 8, 9, 13, 17, 18]:

Опускаясь от края потенциальной ямы к ее дну, электрон потеряет на излучение энергию Доля потерянной электроном энергии ∆Е/E при невысоких значениях Е будет достаточно мала, но при повышении Е она быстро растет, приближаясь к 100% при энергии E ~ (mc²)²/U₀~ 5 ГэВ. Эта же энергия одновременно является пределом применимости нерелятивистского приближения при рассмотрении поперечного движения каналированного электрона [13, 18]. Характерная энергия излучаемых фотонов будет в диапазоне, определяемом выражением (10).

АКСИАЛЬНОЕ КАНАЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ – ДВУМЕРНАЯ МОДЕЛЬ АТОМА

В сопутствующей системе отсчета движение электрона вокруг притягивающей его ионной цепочки подобно двумерному финитному движению по орбитам в центральном поле. В литературе известны весьма разные модельные потенциалы, использовавшиеся для описания такого движения. Исторически первой моделью усредненного потенциала атомной цепочки был так называемый стандартный потенциал Линдхарда [1]:

где ρ – радиальная координата (расстояние до оси каналирования), d – межатомное расстояние в цепочке, Z – атомный номер кристалла, ${{R}_{{{\text{T}} - {\text{F}}}}}$ – радиус экранирования Томаса–Ферми. Для аналитического расчета спектральных характеристик и интенсивности излучения электрона в режиме аксиального каналирования потенциал фактически не пригоден.

В [2] выполнено точное усреднение потенциала цепочки атомов, описываемых экспоненциально экранированным кулоновским потенциалом, приводящее к специальным функциям Макдональда, дальнейшая работа с которыми возможна только численно. В [4, 8, 19, 20] предлагали аппроксимировать непрерывный потенциал атомной цепочки двумерным кулоновским потенциалом:

где с – подгоночный параметр порядка единицы. Функция (13) весьма далека от реального усредненного потенциала цепочки атомов, зато она позволяет аналитически исследовать некоторые особенности движения в случае аксиального двумерного потенциала. В [21] анализировали аналитическое решение волнового уравнения с потенциалом (13) и было предложено классифицировать квантовые состояния по аналогии с атомной физикой: 1s, 2s, 2p и так далее. Были получены волновые функции состояний с квантовыми числами n, m: Однако дальнейший аналитический расчет интенсивности возникающего излучения в квантовом подходе даже с таким упрощенным потенциалом, как (13), весьма затруднен. Проще исследовать движение быстрой отрицательно заряженной частицы в случае потенциала притягивающей струны, имеющего вид прямоугольной ямы: где ${{R}_{{{\text{T}} - {\text{F}}}}}$ – поперечный радиус струны. Собственные волновые функции движения частицы в случае потенциала (15) имеют вид: где функции R(ρ) можно найти из уравнения: Пренебрегая просачиванием через центробежный барьер, для потенциала (17) можно оценить энергию связанных стационарных состояний: Нетрудно вычислить и число связанных состояний (в атомных единицах (ћ = с = 1)): Из соотношения (19) видно, что n_max не зависит от m и определяется только параметрами ямы и полной энергией частицы. Учитывая, что радиус экранирования Томаса–Ферми R_T–F– это величина, сравнимая с параметром b, который был использован в моделях потенциалов плоскостного каналирования, можно констатировать факт, что число связанных состояний для электронов в аксиальном канале сравнимо с числом состояний в плоскостном канале и отличается только численным коэффициентом – порядка единицы.

ИЗЛУЧЕНИЕ ПРИ АКСИАЛЬНОМ КАНАЛИРОВАНИИ. КЛАССИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ИНТЕНСИВНОСТИ

Для оценки интенсивности излучения электрона при аксиальном каналировании удобно воспользоваться упрощенным, но сохраняющим физическую суть рассмотрением, аналогичным случаю плоскостного каналирования. Для выбора самой простой, но реалистичной модели усредненного потенциала атомной цепочки приведем несколько очевидных физических соображений.

Потенциал каждой ионной цепочки для каналированного электрона является притягивающим и убывает при приближении к цепочке. Вблизи каждой цепочки формально усредненный потенциал покоящихся строго на оси цепочки ионов с точечными ядрами в центре “расходится” по логарифмическому закону: U(ρ) → –∞ при ρ → 0 [1, 2]. Понятно, однако, что это не физическая расходимость. Реальный потенциал всегда ограничен (конечен), если учесть хотя бы неустранимое тепловое движение ионов и дополнительно усреднить по нему. Потенциалы соседних цепочек перекрываются, благодаря чему устраняется нефизическая логарифмическая расходимость [1, 2] формально усредненных потенциалов ионных цепочек на большом удалении от осей.

Форма реального потенциала “пучка” параллельных ионных цепочек – сложная искривленная поверхность с коническими углублениями, имеющими вершины на осях цепочек. Недалеко от оси цепочки потенциал будет расти практически линейно, как и потенциал (6) в плоскостном случае, но с заменой переменной х на ρ: U₀(1 – ρ/b), где U₀ – эффективная глубина потенциальной ямы, а b ≤ d/2 – параметр, который при расчете можно подобрать так, чтобы обеспечить лучшее совпадение с реальным.

В случае аксиального, линейно растущего с удалением от оси потенциала частица (в сопутствующей системе отсчета) может, в частности, двигаться по круговым финитным траекториям разного радиуса, но всегда с одинаковым центростремительным ускорением, которое обеспечивает этот потенциал: |w| = U₀/bm. Соответственно, это движение будет сопровождаться электромагнитным излучением постоянной интенсивности, как и в плоскостном случае, определяемой той же формулой (8). Спектральные характеристики (10), характерное время потери поперечной энергии (9), характерная полная потеря энергии (11) будут такими же, как и в плоскостном случае, с заменой глубины плоскостного канала на глубину осевого и заменой параметра b. Численная оценка длины, на которой электрон опустится на дно потенциальной ямы (несколько миллиметров), тоже остается прежней. Интересно, что расчет с потенциалом кулоновского типа (13), естественно, дает оценку времени падения электрона на ось того же порядка (~3 × 10^–11 c), что и оценка времени падения электрона на ядро в модели атома Резерфорда [22], и обе они близки к оценке (9).

ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Применение упрощенного, квантово-классического подхода для теоретического рассмотрения задачи об интенсивности и спектральных характеристиках электромагнитного излучения, возникающего при каналировании электронов в монокристаллах, позволяет аналитически рассчитать основные характеристики излучения для электронов с энергией Е ~10⁸–10⁹ эВ, когда количество уровней поперечной энергии в случае усредненного потенциала велико и можно уже использовать классическое (не квантовое) приближение, одновременно применяя нерелятивистское приближение для описания поперечного движения электрона в канале.

Проведенный анализ позволяет установить, что спектральные и энергетические характеристики излучения, возникающего при плоскостном и при аксиальном каналировании в рассматриваемом диапазоне значений энергии, качественно близки. Интегральная интенсивность излучения растет пропорционально квадрату полной начальной энергии электрона. При энергии электронов несколько ГэВ серия радиационных переходов с верхних связанных уровней каналированного движения на нижние способна привести к потере энергии, сравнимой с начальной энергией электрона, на монокристалле толщиной несколько миллиметров (l ≤ 1 см). Оценка толщины кристалла, способного привести к почти полной конверсии энергии электрона в энергию жесткого гамма-излучения (l ~ 1 см), слабо зависит от типа кристалла и ориентации кристаллической решетки. Излучение, сопровождающее практически любой режим каналирования, должно иметь сходные количественные характеристики.