1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования
  4. № 12, 2022

Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, 2022, № 12, стр. 98-105

Трехмерное теоретическое исследование резонансного электронного обмена между ионом H– и поверхностью Al(001), покрытой адсорбатом Li+/Na+

Ю. А. Мелкозерова a, И. К. Гайнуллин a, *

a Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
119992 Москва, Россия

* E-mail: ivan.gainullin@physics.msu.ru

Поступила в редакцию 26.01.2022
После доработки 18.03.2022
Принята к публикации 18.03.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

Изучены особенности резонансного электронного обмена между ионом H– и поверхностью Al(001), на которой находился атом адсорбата Li+/Na+. Для моделирования использована трехмерная реализация метода распространения волновых пакетов. Поверхность Al(001) описывали псевдопотенциалом, полученным с помощью теории функционала плотности. Была рассмотрена модельная статическая задача. В результате анализа функции заселенности иона H–, динамики электронной плотности и скорости туннелирования установлено, что существуют периоды времени, когда электрон туннелирует обратно от адсорбата к иону.

Ключевые слова: взаимодействие ионов с поверхностью, электронный обмен, компьютерное моделирование, трехмерные расчеты, атомная структура.

ВВЕДЕНИЕ

Ионные пучки широко используются для диагностики твердых тел, разработки функциональных покрытий, контролируемой модификации поверхности, лечения рака и других задач, связанных с анализом и изменением свойств физических объектов на атомном уровне [1–15]. Активно исследуется резонансный электронный обмен при рассеянии ионных пучков и при распылении поверхности, т.е. в случаях одноэлектронного туннелирования через потенциальный барьер между атомом и поверхностью при сохранении энергии электрона. Резонансный электронный обмен имеет фундаментальное и практическое значение для анализа поверхности, реактивной способности поверхности и катализа, а также для создания источников пучков отрицательных ионов и других областей физики и химии [16–22].

Метод рассеяния медленных ионов обладает наилучшей поверхностной чувствительностью [23–27]. При анализе состава поверхности могут возникнуть значительные ошибки, если не рассматривать или неправильно учитывать нейтрализацию ионов [28]. В методе рассеяния медленных ионов часто используют ионы именно щелочных металлов, поскольку их нейтрализация вблизи металлических поверхностей происходит резонансно [29]. Так же резонансно происходит отрицательная ионизация большинства атомов, включая водород и дейтерий. По этой причине резонансный электронный обмен важен при анализе поверхности с помощью метода рассеяния медленных ионов [30–34]. На данный момент имеются теоретические модели описания резонансного электронного обмена для металлических поверхностей, которые согласуются с экспериментальными данными [35–57].

В зависимости от типа металлической поверхности обмен может протекать в двух различных режимах. В случае поверхностей, описываемых моделью свободных электронов (например, Al или Ag(110)), электрон распространяется по нормали к поверхности вглубь металла, и осуществляется резонансный электронный обмен с трехмерными объемными состояниями металла. В случае поверхностей с ограниченным движением электрона (например, Ag(111) или Cu(100)) электрон распространяется вдоль поверхности, так как распространение по нормали блокируется, и резонансный электронный обмен осуществляется через двумерные поверхностные зарядовые состояния изображения (image states) [54].

С точки зрения практического применения представляет интерес резонансный электронный обмен с неоднородными поверхностями. К примеру, метод рассеяния медленных ионов из-за своей предельной поверхностной чувствительности незаменим для определения концентрации адсорбата на поверхности. Однако у данного метода есть недостаток – точный количественный анализ затруднен. Изучение резонансного электронного обмена важно для получения более точных количественных оценок, полученных методом рассеяния медленных ионов, при анализе поверхностей, покрытых адсорбатом [58–60].

Различают локальное и нелокальное влияние адсорбатов на резонансный электронный обмен при столкновениях атомов с поверхностью. При нелокальном эффекте изменяется работа выхода металла вследствие покрытия поверхности адсорбатами, поэтому вероятность переноса электрона также меняется. Нелокальный эффект достаточно хорошо изучен теоретически [21, 61]. При локальном эффекте изменяется локальный электростатический потенциал вследствие присутствия атома адсорбата. Из-за необходимости применения трехмерных численных методов локальный эффект изучен гораздо меньше.

Для расчета вероятности туннелирования электрона часто используется так называемое адиабатическое приближение, в котором предполагается, что скорость туннелирования электрона не зависит от энергии и текущей заселенности уровня атома [54]. Конечное зарядовое состояние снаряда может быть получено интегрированием полуклассического кинетического уравнения. Несмотря на его простоту, многие экспериментальные данные и важные закономерности электронного обмена, в том числе при скользящем рассеянии и нейтрализации многозарядных ионов, были объяснены с помощью адиабатического приближения и кинетического уравнения [29, 36, 37]. Общий подход к описанию резонансного электронного обмена при рассеянии ионов на поверхности металла основан на решении уравнения с гамильтонианом Андерсона–Ньюнса [16, 18]. Однако практическая применимость модели Андерсона–Ньюнса ограничена необходимостью расчета матричных элементов взаимодействия, для чего используются существенные допущения, в частности адиабатическое приближение.

В последние десятилетия был разработан метод распространения волновых пакетов, который был применен ко многим задачам резонансного электронного обмена [41, 62–69]. Поскольку этот метод не использует адиабатическое приближение, он может быть применен к исследованию неадиабатических эффектов обмена [53]. Еще одним преимуществом метода распространения волновых пакетов является то, что он позволяет визуализировать пространственное распределение электронов. Насколько известно, из-за отсутствия трехмерной реализации неадиабатических методов моделирования резонансного электронного обмена трехмерные неадиабатические эффекты обмена с адсорбатами ранее теоретически не исследовали.

В настоящей теоретической работе представлено модельное исследование резонансного электронного обмена между ионом H– и поверхностью Al(001). В качестве адсорбатов брали Na+ и Li+. Для удобства была использована атомарная система единиц, где me = e = ħ = 1 ат. ед., 1 ат. ед. расстояния равна 0.53 Å. Энергия дана в эВ относительно уровня вакуума (Ev = 0).

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

В [28, 56, 70–73] можно найти описание теоретической модели и численных методов, использованных в настоящем исследовании. В работе изучен распад состояния иона H– вблизи поверхности металла. Анион водорода рассматривается как водородоподобный атом, состоящий из одного активного электрона и нейтрального атомного остова. Используем трехмерную реализацию метода распространения волновых пакетов [74, 75], с помощью которого вычислим эволюцию волнового пакета активного электрона в составном потенциале, создаваемом поверхностью и атомной частицей. Иллюстрация исследуемой задачи представлена на рис. 1. Таким образом, численно решим нестационарное уравнение Шредингера с известными начальными условиями [76–80]:

(1)
$\begin{gathered} i\frac{{\partial \psi \left( {r,~t} \right)}}{{\partial t}} = \left( { - \frac{\Delta }{2} + U\left( {r,~t} \right)} \right)\psi \left( {r,t} \right), \\ \psi \left( {r,0} \right) = {{\psi }_{0}}\left( r \right), \\ \end{gathered} $
где $U\left( {r,t} \right) = {{V}_{{e - {\text{ion}}}}}\left( {r,t} \right) + {{V}_{{e - {\text{surf}}}}}\left( r \right) + {{V}_{{e - {\text{ads}}}}}\left( r \right)$ – зависящий от времени потенциал, воздействующий на активный электрон, ${{V}_{{e - {\text{ion}}}}}\left( {r,t} \right)$ описывает взаимодействие между электроном и снарядом, ${{V}_{{e - {\text{surf}}}}}\left( r \right)$ – взаимодействие электрона с поверхностью металла и ${{V}_{{e - {\text{ads}}}}}\left( r \right)$ – взаимодействие с адсорбатом. В теоретических исследованиях в качестве частицы рассматривают атом или ион с одним активным электроном (в данном случае ион водорода H–) [81], ее можно смоделировать с помощью аналитического псевдопотенциала [82, 83]. Псевдопотенциал металлической поверхности, содержащей адсорбаты, находится с помощью теории функционала плотности. В работе адсорбат расположен на расстоянии 2.5 ат. ед. над поверхностью Al(001).

Рис. 1.

Иллюстрация задачи резонансного электронного обмена между атомом и поверхностью металла. Потенциал создают поверхность, адсорбат и атом.

Численное решение уравнения Шредингера дает зависимость волновой функции туннелирующего электрона от координат и времени ψ(r, t). Проекция волновой функции на начальное состояние ψ0(r) дает амплитуду вероятности того, что волновой пакет останется в начальном состоянии, или автокорреляционную функцию:

(2)
$A\left( t \right) = \left\langle {~\left. {{{\psi }_{0}}\left( r \right)} \right|\psi \left( {r,t} \right)} \right\rangle .$
Квадрат модуля этой функции дает вероятность исходного состояния

(3)
$P\left( t \right) = {{\left| {A\left( t \right)} \right|}^{2}}.$

Ширина уровня иона Г(Z), характеризующая скорость резонансного электронного обмена, рассчитывается из следующего приближения:

(4)
$P\left( t \right) = {\text{exp}}\left( { - {{\Gamma }}t} \right).$

Следует отметить, что в большинстве случаев имеет место так называемое “экспоненциальное затухание” [54]. Следовательно, Г(Z) легко вычислить из линейной аппроксимации ln(P(t)) [56, 72].

РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

Влияние расстояния между ионом и поверхностью на резонансный электронный обмен

Исследуем распад иона водорода на поверхности при различных расстояниях между ионом и поверхностью. Сравним резонансный электронный обмен в случае чистой поверхности и в случае, когда адсорбат расположен на расстоянии 2.5 ат. ед. над поверхностью.

На рис. 2 показана динамика резонансного электронного обмена для чистой и покрытой адсорбатом Li+ и адсорбатом Na+ поверхности Al(001). В обоих случаях электрон туннелирует по нормали к поверхности и продолжает движение в этом направлении. Такое поведение типично для поверхностей, описываемых моделью свободных электронов, таких как Al(001) [29, 54]. Следует отметить, что в случае поверхности, покрытой адсорбатом, электроны туннелируют к поверхности через адсорбат. Сначала электрон туннелирует к атому адсорбата. Затем он частично туннелирует как в обратном направлении к иону, так и на поверхность, и возникают осцилляции между ионом и атомом адсорбата.

Рис. 2.

Иллюстрация динамики резонансного электронного обмена в случае поверхности Al(001): а – чистой; б – покрытой адсорбатом Li+; в – Na+. Показаны изоповерхности электронной плотности в последовательные моменты времени 10 и 50 ат. ед. Ион H– расположен над адсорбатом.

На рис. 3 показана зависимость заселенности иона H– от времени. В случае чистой поверхности заселенность P экспоненциально убывает, что согласуется с теорией [29, 54]. Однако в случае поверхности, покрытой адсорбатом, P демонстрирует колебания во времени, что в большей степени проявляется при малых расстояниях между ионом и поверхностью. Колебания заселенности означают, что в течение определенных периодов времени электрон туннелирует обратно к иону. После промежуточного заселения атома адсорбата электрон может туннелировать как в металл, так и обратно к иону. Аналогичные осцилляции P наблюдаются в случае резонансного электронного обмена между двумя атомами [84].

Рис. 3.

Зависимость заселенности Р иона H– от времени для расстояний 8 (1), 10 (2), 12 (3), 14 ат. ед. (4) между ионом и чистой поверхностью Al(001) (а), покрытой адсорбатом Li+ (б) и Na+ (в).

Ширина уровня иона Н– Г(Z), определяющая скорость обмена, в случае чистой поверхности экспоненциально уменьшается с увеличением расстояния между ионами и поверхностью (рис. 4). Однако для поверхности, покрытой адсорбатом, скорость резонансного электронного обмена немонотонно зависит от расстояния между ионом и поверхностью. Следует отметить, что на рис. 4 представлена средняя частота обмена за весь период взаимодействия. Для чистой поверхности усредненная скорость резонансного электронного обмена равна его мгновенной скорости (т.е. в случае короткого времени взаимодействия). В случае поверхности, покрытой адсорбатом, средняя скорость резонансного электронного обмена значительно меньше его мгновенной скорости из-за колебаний P(t). Поэтому немонотонная зависимость Г(Z) объясняется балансом между двумя конкурирующими факторами: с одной стороны, мгновенная скорость обмена возрастает экспоненциально в случае более коротких расстояний между ионами и поверхностью; с другой стороны, его средняя скорость вблизи поверхности снижается из-за колебаний P(t).

Рис. 4.

Зависимость средней скорости резонансного электронного обмена Г (ширины уровня иона) от расстояния Z между ионом и поверхностью Al(001): чистой (1); покрытой адсорбатом Li+ (2); Na+ (3).

Влияние на резонансный электронный обмен латерального положения иона относительно атома адсорбата на поверхности металла

Исследуем влияние латерального положения X иона H– на резонансный электронный обмен с поверхностью, покрытой адсорбатом, при фиксированном расстоянии между ионами Z = 12 ат. ед. Адсорбат находится на расстоянии 2.5 ат. ед. над поверхностью Al(001), при этом его латеральное положение считается нулевым (X = 0).

На рис. 5 и 6 показана эволюция электронной плотности для различных латеральных положений иона H–. При X < ~12 ат. ед. электрон сначала туннелирует к атому адсорбата из-за более тонкого потенциального барьера. При больших расстояниях X адсорбат расположен относительно далеко от иона, поэтому электроны туннелируют сразу вдоль нормали к поверхности. Следует отметить, что резонансный электронный обмен в этом случае аналогичен обмену с чистой поверхностью из-за небольшого влияния адсорбата. Однако при X < 12 ат. ед. наличие адсорбата сильно влияет на обмен. Видно, что изначально электрон туннелирует в направлении ион–адсорбат. На втором этапе электрон туннелирует от адсорбата к поверхности. Следует отметить, что электрон не распространяется строго по нормали к поверхности, как в случае с чистой поверхностью. Эта особенность может быть важной, если учесть влияние атомной структуры поверхности на резонансный электронный обмен, например, на анизотропию распространения электронов.

Рис. 5.

Иллюстрация динамики резонансного электронного обмена между атомом водорода и поверхностью Al(001), покрытой адсорбатом Na+. Показаны изоповерхности электронной плотности в последовательные моменты времени 10 и 50 ат. ед. Ион H– расположен на уровне 12 ат. ед. над поверхностью, латеральное положение относительно атома адсорбата: а – 0; б – 8; в – 12 ат. ед.

Рис. 6.

Иллюстрация динамики резонансного электронного обмена между атомом водорода и поверхностью Al(001), покрытой адсорбатом Li+. Показаны изоповерхности электронной плотности в последовательные моменты времени 10 и 50 ат. ед. Ион H– расположен на уровне 12 ат. ед. над поверхностью, латеральное положение относительно атома адсорбата: а – 0; б – 8; в – 12 ат. ед.

Ионная заселенность Р демонстрирует колебания во времени (рис. 7), описанные в предыдущем разделе. Следует отметить, что эти колебания затухают при Х ≥ 8 ат. ед. В случае, когда на поверхности расположен адсорбат, ширина уровня иона Г(X) зависит от латерального положения иона относительно атома адсорбата (рис. 8). Эффективность электронного обмена, которая определяется величиной Г(X), уменьшается с отдалением от адсорбата.

Рис. 7.

Зависимость заселенности Р иона H– от времени для его латеральных положений: 0 (1); 4 (2); 8 (3); 12 (4); 16 ат. ед. (5). Ион H– расположен на расстоянии 12 ат. ед. над поверхностью Al(001), покрытой адсорбатом Li+ (а) и Na+ (б).

Рис. 8.

Зависимость средней скорости резонансного электронного обмена Г (ширины уровня ионов) от латерального положения иона на поверхности Al(001), покрытой адсорбатом Li+ (1) и Na+ (2).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе был теоретически исследован электронный обмен между ионом H– и поверхностью Al(001), покрытой адсорбатами Na+ и Li+. Была рассмотрена статическая задача, когда ион закреплен над поверхностью. Анализ эволюции электронной плотности показывает, что туннелирование электрона от иона H– к поверхности Al(001) происходит через промежуточное заселение атома адсорбата. В случае чистой поверхности Al(001) заселенность иона H– демонстрирует экспоненциальный спад, типичный для резонансного электронного обмена с поверхностями, описываемыми моделью свободных электронов. В случае присутствия адсорбата характер обмена изменяется: функция заселенности иона H– осциллирует во времени, что типично для обмена между двумя атомами. Таким образом, существуют периоды времени, когда электрон туннелирует обратно от адсорбата к иону. Мгновенная скорость резонансного электронного обмена монотонно уменьшается с расстоянием между ионом и поверхностью. Она больше в случае поверхности, покрытой адсорбатом, из-за меньшего потенциального барьера. Однако средняя скорость обмена немонотонно зависит от расстояния между ионом, поверхностью и адсорбатом, поскольку на коротких расстояниях (d < 10 ат. ед.) электрон колеблется между ионом и адсорбатом, что снижает среднюю скорость резонансного электронного обмена. В результате средняя скорость обмена в случае поверхности, покрытой адсорбатом, может быть, как выше, так и ниже, чем в случае чистой поверхности.

Исследование влияния латерального положения иона подтверждает, что перенос электрона на поверхность происходит через промежуточное заселение атома адсорбата. Следует отметить, что в этом случае волновой пакет электрона распространяется не по нормали к поверхности, как в случае чистой поверхности, а по направлению ион–адсорбат. Резонансный электронный обмен между ионом и адсорбатом также демонстрирует колебания электронной плотности.

Обнаруженные особенности резонансного электронного обмена с поверхностями, покрытыми адсорбатом, важны для анализа состава поверхности с помощью рассеяния медленных ионов. Напомним, что некорректный учет перезарядки может привести к значительным ошибкам в измерении поверхностных концентраций элементов. Следует отметить, что мы представили только результаты модельных исследований, которые раскрывают основные особенности резонансного электронного обмена с поверхностями, покрытыми адсорбатом. Сравнение с экспериментальными данными и практическое применение теоретических результатов для повышения точности рассеяния медленных ионов – тема отдельной работы.

Список литературы

  1. Martyanenko Yu.V. // Radiat. Eff. Defects Solids. 1973. V. 20. P. 211.

  2. Urazgil’din I.F. // Phys. Rev. B. 1993. V. 47. P. 4139.

  3. Bogomolova L.D., Borisov A.M., Kurnaev V.A., Mashkova E.S. // Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. B. 2003. V. 212. P. 164.

  4. Mosunov A.S., Ryzhov Y.A., Shkarban I.I., Yurasova V.E., Zykova E.Yu. // Radiat. Eff. Defects Solids. 2007. V. 162. P. 401.

  5. Alarcón L.S., Chen L., Esaulov V.A., Gayone J.E., Sánchez E.A., Grizzi O. // J. Phys. Chem. C. 2010. V. 114. P. 19993.

  6. Chen L., Shen J., Valdés J.E., Vargas P., Esaulov V.A. // Phys. Rev. A. 2011. V. 83. P. 032901.

  7. Zhou H., Chen L., Feng D., Gou Y., Ji M., Wang G., Zhou W., Li Y., Zhao L., Chen X. // Phys. Rev. A. 2012. V. 85. P. 014901.

  8. Chen L., Ding B., Li Y., Qiu S., Xiong F., Zhou H., Gou Y., Chen X. // Phys. Rev. A. 2013. V. 88. P. 044901.

  9. Ullah M.W., Kuronen A., Djurabekova F., Nordlund K., Titov A.I., Karaseov P.A. // Vacuum. 2014. V. 105. P. 88.

  10. Zykova E.Y., Khaidarov A.A., Ivanenko I.P., Gainullin I.K. // J. Surf. Invest.: X-Ray, Synchrotron Neutron Tech. 2012. V. 6. P. 877.

  11. Klavsyuk A.L., Kolesnikov S.V., Gainullin I.K., Saletsky A.M. // Eur. Phys. J. B. 2012. V. 85. P. 331.

  12. Bryukvina L.I., Lipko S.V., Martynovich E.F. // J. Surf. Invest.: X-Ray, Synchrotron Neutron Tech. 2013. V. 7. P. 617.

  13. Mamedov N.V., Mamedov I.M. // Bull. Russ. Acad. Sci.: Phys. 2020. V. 84. P. 713.

  14. Balakshin Y.V., Kozhemiako A.V., Evseev A.P., Minnebaev D.K., Elsehly E.M. // Moscow University Phys. Bull. 2020. V. 75. P. 218.

  15. Shemukhin A.A., Smirnov A.M., Evseev A.P., Vorobyeva E.A., Kozhemiako A.V., Minnebaev D.K., Balakshin Y.V., Nazarov A.V., Chernysh V.S. // Moscow University Phys. Bull. 2020. V. 75. P. 133.

  16. Brako R., Newns D.M. // Rep. Prog. Phys. 1989. V. 52. P. 655.

  17. Shao H., Langreth D.C., Nordlander P. Low Energy Ion-Surface Interactions / Ed. Rabalais J.W. New York: Wiley, 1994.

  18. Los J., Geerlings J.J.C. // Phys. Rep. 1990. V. 190. P. 133.

  19. Burgdorfer J. Review of Fundamental Processes and Applications of Atoms and Ions / Ed. Lin C.D. World Scientific, 1993.

  20. Thumm U. Ion-Surface Interactions. Book of Invited Papers, XXII. ICPEAC, Santa Fe, NM / Ed. Burgdorfer J., Cohen J.S., Datz S., Vane C.R. Princeton: Rinton Press, 2002.

  21. Esaulov V.A. Low Energy Ion Scattering and Recoiling Spectroscopy // Surface Science Surface Science Techniques. Springer Series in Surface Sciences / Ed. Bracco G., Holst B. Vol. 51. Berlin: Springer, 2013.

  22. Gainullin I.K. // Phys. Usp. 2020. V. 63. https://doi.org/10.3367/UFNe.2019.11.038691

  23. Brongersma H.H., Draxler M., de Ridder M., Bauer P. // Surf. Sci. 2007. V. 62. P. 63.

  24. He X., Zhou W., Wang Z.Y., Zhang Y.N., Shi J., Wu R.Q., Yarmoff J.A. // Phys. Rev. Lett. 2013. V. 110. P. 156101.

  25. Cushman C.V., Bruner P., Zakel J., Major G.H., Lunt B.M., Smith N.J., Grehl T., Linford M.R. // Analytical Meth. 2016. V. 8. P. 3419.

  26. Yin C., Guo Z., Gellman A.J. // J. Phys. Chem. C. 2020. V. 124. P. 10605.

  27. Bruckner B., Bauer P., Primetzhofer D. // Surf. Sci. 2020. V. 691. P. 121491.

  28. Gainullin I.K. // Surf. Sci. 2018. V. 677. P. 324.

  29. Winter H. // Phys. Rep. 2002. V. 367. P. 387.

  30. Bacal M., Wada M. // Appl. Phys. Rev. 2015. V. 2. P. 021305.

  31. Dudnikov V. // Phys. Usp. 2019. V. 62. P. 1233.

  32. Oohara W., Kaji T., Hirose K., Fujii M., Watano R., Watai M., Hiraoka Y., Yoshida M. // AIP Adv. 2020. V. 10. P. 095006.

  33. Oohara W., Fujii M., Watai M., Hiraoka Y., Egawa M., Morinaga Y., Takamori S., Yoshida M. // AIP Adv. 2019. V. 9. P. 085303.

  34. Sereda I., Tseluyko A., Ryabchikov D., Hrechko Y., Azarenkov N. // Vacuum. 2019. V. 162. P. 163.

  35. Borisov A.G., Teillet-Billy D., Gauyacq J.P. // Phys. Rev. Lett. 1992. V. 68. P. 2842.

  36. Thumm U., Bárány A., Cederquist H., Hägg L., Setterlind C.J. // Phys. Rev. A. 1997. V. 56. P. 4799.

  37. Ducrée J.J., Casali F., Thumm U. // Phys. Rev. A. 1998. V. 57. P. 338.

  38. Kuerpick P., Thumm U. // Phys. Rev. A. 1998. V. 58. P. 2174.

  39. Usman E.Yu., Urazgil’din I.F., Borisov A.G., Gauyacq J.P. // Phys. Rev. B. 2001. V. 64. P. 205405.

  40. Chakraborty H., Niederhausen T., Thumm U. // Phys. Rev. A. 2004. V. 69. P. 052901.

  41. Chakraborty H., Niederhausen T., Thumm U. // Phys. Rev. A. 2004. V. 70. P. 052903.

  42. Liu G.F., Sroubek Z., Yarmoff J.A. // Phys. Rev. Lett. 2004. V. 92. P. 216801.

  43. Canario A.R., Kravchuk T., Esaulov V.A. // New J. Phys. 2006. V. 8. P. 227.

  44. Bahrim B., Makarenko B., Rabalais J.W. // Surf. Sci. 2005. V. 594. P. 62.

  45. Obreshkov B., Thumm U. // Phys. Rev. A. 2006. V. 74. P. 012901.

  46. Schmitz A., Shaw J., Chakraborty H.S., Thumm U. // Phys. Rev. A. 2010. V. 81. P. 042901.

  47. Chen L., Shen J., Jia J., Kandasamy T., Bobrov K., Guillemot L., Fuhr J.D., Martiarena M.L., Esaulov V.A. // Phys. Rev. A. 2010. V. 84. P. 052901.

  48. Meyer C., Bonetto F., Vidal R., Garcia A., Gonzales C., Ferron J., Goldberg E.C. // Phys. Rev. A. 2012. V. 86. P. 032901.

  49. Obreshkov B., Thumm U. // Phys. Rev. A. 2013. V. 87. P. 022903.

  50. Gao L., Zhu Y., Shi Y., Liu P., Xiao Y., Li G., Liu Y., Esaulov V. A., Chen X., Chen L., Guo Y. // Phys. Rev. A. 2017. V. 96. P. 052705.

  51. Shaw J., Zhang Y., Doerr D., Chakraborty H., Monismith D. // Phys. Rev. A. 2018. V. 98. P. 052705.

  52. Xiao Y., Shi Y., Liu P., Zhu Y., Gao L., Guo Y., Chen L., Chen X., Esaulov V. // Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. B. 2019. V. 450. P. 73.

  53. Canario A.R., Borisov A.G., Gauyacq J.P., Esaulov V.A. // Phys. Rev. B. 2005. V. 71. P. 121401(R).

  54. Gauyacq J.P., Borissov A.G. // Springer Ser. Chem. Phys. 2007. V. 83. P. 87. https://doi.org/10.1007/978-3-540-34460-5_4

  55. Gainullin I.K. // Phys. Rev. A. 2017. V. 95. P. 052705.

  56. Gainullin I.K. // Surf. Sci. 2019. V. 681. P. 158.

  57. Shaw J., Monismith D., Zhang Y., Doerr D., Chakra- borty H.S. // Atoms. 2020. V. 7. P. 89.

  58. Bahrim B., Makarenko B., Rabalais J.W. // Surf. Sci. 2009. V. 603. P. 703.

  59. Iglesias-García A., Romero M.A., García E.A., Goldberg E.C. // Phys. Rev. B. 2020. V. 102. P. 115406.

  60. Gauyacq J.P., Borisov A.G. // J. Phys.: Cond. Matter. 1998. V. 10. P. 6585.

  61. Kimmel G.A., Goodstein D.M., Levine Z.H., Cooper B.H. // Phys. Rev. B. 1991. V. 43. P. 9403.

  62. Ermoshin V.A., Kazansky A.K. // Phys. Lett. A. 1996. V. 218. P. 99.

  63. Gainullin I.K., Urazgildin I.F. // Phys. Rev. B. 2006. V. 74. P. 205403.

  64. Amanbaev E.R., Gainullin I.K., Zykova E.Yu., Urazgildin I.F. // Thin Solid Films. 2011. V. 519. P. 4737.

  65. Amanbaev E.R., Shestakov D.K., Gainullin I.K. // J. Surf. Invest.: X-Ray, Synchrotron Neutron Tech. 2009. V. 3. P. 865.

  66. Shestakov D.K., Polivnikova T.Yu., Gainullin I.K., Urazgildin I.F. // Nucl. Instrum. Methods Phys. Res.B. 2009. V. 267. P. 2596.

  67. Magunov A.A., Shestakov D.K., Gainullin I.K., Urazgil’din I.F. // J. Surf. Invest.: X-Ray, Synchrotron Neutron Tech. 2008. V. 2. P. 764.

  68. Gainullin I.K., Usman E.Yu., Urazgildin I.F. // Nucl. Instrum. Methods Phys. Res. B. 2005. V. 232. P. 22.

  69. Gainullin I.K., Usman E.Yu., Song Y.W., Urazgil’din I.F. // Vacuum. 2003. V. 72. P. 263.

  70. Gainullin I.K., Sonkin M.A. // Phys. Rev. A. 2015. V. 92. P. 022710.

  71. Aleksandrov A.F., Gainullin I.K., Sonkin M.A. // J. Surf. Invest.: X-Ray, Synchrotron Neutron Tech. 2020. V. 14. P. 791.

  72. Gainullin I.K. // Moscow University Phys. Bull. 2019. V. 74. P. 585.

  73. Gainullin I.K. // Phys. Rev. A. 2019. V. 100. P. 032712.

  74. Gainullin I.K., Sonkin M.A. // Comp. Phys. Commun. 2015. V. 188. P. 68.

  75. Gainullin I.K. // Comp. Phys. Commun. 2017. V. 210. P. 72.

  76. Majorosi S., Czirják A. // Comp. Phys. Commun. 2016. V. 208. P. 9.

  77. Fu Y., Zeng J., Yuan J. // Comp. Phys. Commun. 2017. V. 210. P. 181.

  78. Lüdde H.J., Horbatsch M., Kirchner T. // Eur. Phys. J. B. 2018. V. 91. P. 99.

  79. Zhou S.P., Liu A.H., Liu F.C., Wang C.C., Ding D.J. // Chin. Phys. B. 2019. V. 28. P. 083101.

  80. Liu Q., Liu F., Hou C. // Proc. Comp. Sci. 2020. V. 171. P. 312.

  81. Cohen J.S., Fiorentini G. // Phys. Rev. A. 1986. V. 33. P. 1590.

  82. Chulkov E.V., Silkin V. M., Echenique P. M. // Surf. Sci. 1999. V. 437. P. 330.

  83. Jennings P.J., Jones R. O., Weinert M. // Phys. Rev. B. 1988. V. 37. P. 6113.

  84. Gainullin I.K., Klavsyuk A. L. // Bull. Russ. Acad. Sci.: Phys. 2012. V. 76. P. 542.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал