Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования, 2022, № 12, стр. 15-20

ВВЕДЕНИЕ

Рефлектометрия поляризованных нейтронов представляет собой удобный и точный метод определения атомной и магнитной структур тонких наноразмерных пленок и сверхрешеток. Она основана на наличии у нейтронов собственного магнитного момента, который при рассеянии взаимодействует с магнитными моментами атомов образца. Это приводит к дополнительному вкладу в потенциал взаимодействия, который существенно зависит от магнитного состояния системы. Для получения наиболее полной информации первичный пучок поляризуют – выстраивают магнитные моменты нейтронов вдоль некоторого выбранного направления. Анализ рассеяния нейтронов с различной поляризацией (в том числе с изменением поляризации в процессе рассеяния) позволяет определить тип магнитного упорядочения атомов или слоев и рассчитать величину и направление магнитных моментов. Особенно активно рефлектометрия поляризованных нейтронов применяется для изучения металлических многослойных наноструктур, обладающих необычными электрическими и магнитными свойствами и составляющих элементную базу квантовой наноспинтроники. Рефлектометрия является неразрушающим методом и никак не изменяет свойства образца. Все это обусловило довольно широкое применение данного подхода в исследованиях магнитных свойств многослойных пленок [1, 2]. Рефлектометрия поляризованных нейтронов также дает возможность анализа тонких эффектов, например, влияния магнитной текстуры многослойных металлических пленок на рассеяние нейтронов [3].

Для расчета интенсивности рассеяния нейтронов с различной поляризацией на заданной системе применяют обобщенный метод оптических матриц Абеле [4], когда коэффициенты отражения выводят из произведения матриц размерности 8 × 8, которые учитывают как ядерное, так и магнитное взаимодействие [5]. В настоящей работе представлен альтернативный подход к расчету интенсивности, основанный на применении фазово-амплитудных функций и решении нелинейного матричного дифференциального уравнения, связывающего коэффициенты отражения нейтронов и потенциалы взаимодействия. К плюсам этого метода можно отнести меньшие вычислительные затраты (уравнение записывается для матриц 2 × 2) и, соответственно, более высокую скорость вычислений. Использование фазово-амплитудных функций также упрощает моделирование и анализ систем со сложным магнитным упорядочением, в частности, с геликоидальным упорядочением моментов.

Метод фазово-амплитудных функций как эффективный способ решения различных задач квантовой механики был введен в работах Калоджеро [6] и Бабикова [7]. В них он представлен в наиболее общем виде. Затем были рассмотрены более узкие задачи, например, применение метода для анализа нелокальных потенциалов взаимодействия [8]. Этот метод был адаптирован для рентгеновской и нейтронной рефлектометрии [9] и показал достаточно хорошие результаты как в моделировании интенсивности отражения от различных систем, так и в определении характеристик потенциала взаимодействия по известной картине зеркального отражения. В [9] также можно найти краткий обзор других работ по применению метода фазово-амплитудных функций. В настоящей работе показано, как с его помощью решать прямую и обратную задачи в рефлектометрии поляризованных нейтронов.

ТЕОРИЯ МЕТОДА

В отличие от рассеяния рентгеновских лучей и ядерного рассеяния нейтронов взаимодействие поляризованных нейтронов с магнитными моментами атомов является более сложной задачей многоканального рассеяния. Возникают два канала рассеяния – для нейтронов со спином “вверх” и для нейтронов со спином “вниз” (направления выбраны условно). Для упрощения дальнейших выкладок введем обозначения: канал нейтронов со спином “вверх” обозначим знаком “+” (плюс); канал нейтронов со спином “вниз” знаком “–” (минус). Кроме того, имеется перемешивание каналов – нейтроны могут изменить направление спина в момент рассеяния на образце.

В результате получим четыре различных в общем случае коэффициента отражения: два основных, без изменения состояния (“++” и “– –”), и два с изменением состояния (“+–” и “–+”). Из-за наличия взаимодействия каналов невозможно получить независимые уравнения для каждого коэффициента отражения. Фазовое уравнение принимает матричный вид, хотя схема его вывода остается аналогичной описанной в [6, 7, 9]:

Здесь ${\mathbf{B}}$ – матрица коэффициентов отражения: каждый элемент матрицы является коэффициентом отражения в определенном канале рассеяния и представляет собой функцию глубины $x$ и волнового числа $k = {{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } \lambda }} \right. \kern-0em} \lambda }\sin \theta {\text{,}}$ где $\lambda $ – длина волны падающих нейтронов, $\theta $ – угол падения.

Уравнение (1) – не единственно возможная форма записи фазового уравнения. Например, в [10] предлагается выразить фазовое уравнение через логарифмическую производную показателя преломления и эйконал. Этот подход удобен для анализа задач оптики при нормальном падении луча на границу раздела сред. В нейтронной рефлектометрии при скользящих углах падения более предпочтительна форма (1).

Матрица ${\mathbf{V}}$ описывает потенциал взаимодействия в каждом канале:

Чаще всего потенциал взаимодействия является только функцией глубины. Но для некоторых веществ, ядра которых резонансно взаимодействуют с тепловыми нейтронами, может возникнуть зависимость потенциала от длины волны и, следовательно, от волнового числа. Примером такого вещества является гадолиний.

Матрицы ${{{\mathbf{E}}}^{ + }}$ и ${{{\mathbf{E}}}^{ - }}$ связаны с падающей и отраженной волнами соответственно:

Все произведения в уравнении (1) являются матричными и в общем случае некоммутативны. Введем обозначения: где ${{b}_{n}}\left( x \right)$ – длина ядерного рассеяния нейтронов на глубине $x,$ $N\left( x \right)$ – число частиц в единице объема на глубине $x.$ Величина ${{\delta }_{n}}\left( x \right)$ описывает преломление и отражение нейтронов в веществе, ${{\beta }_{n}}\left( x \right)$ – поглощение.

Для магнитного рассеяния

где ${{b}_{m}}\left( x \right)$ – длина магнитного рассеяния нейтронов, $\mu \left( x \right)$ – магнитный момент частиц на глубине $x$ в магнетонах Бора. Мнимая часть длины рассеяния отсутствует, поскольку взаимодействие с магнитной подсистемой не приводит к поглощению нейтронов.

Тогда элементы матрицы потенциала ${\mathbf{V}}$ могут быть представлены следующим образом [11]:

Здесь введена величина $\alpha $ – угол между направлением магнитного момента падающих нейтронов и направлением магнитного момента частиц образца. Если в образце не ферромагнитное упорядочение, то $\alpha $ различен в разных слоях. В геликоидальных системах с плавным поворотом магнитного момента угол является функцией глубины $\alpha \left( x \right).$ В случае несимметричного взаимодействия каналов рассеяния ${{V}_{{ + - }}}\left( x \right) \ne {{V}_{{ - + }}}\left( x \right),$ но в рефлектометрии поляризованных нейтронов такие задачи не рассматриваются.

Матричное уравнение (1) может быть представлено и в виде системы из четырех связанных дифференциальных уравнений для каждого коэффициента отражения. Такая система весьма громоздка для записи и неудобна для численного решения, хотя может быть полезна для теоретического анализа частных случаев при определенных значениях и соотношениях между элементами потенциала. Например, используя систему, легко показать, что, если ${{V}_{{ + - }}}\left( x \right) = {{V}_{{ - + }}}\left( x \right),$ то и ${{B}_{{ + - }}}\left( x \right) = {{B}_{{ - + }}}\left( x \right).$ Но для расчетных задач предпочтительнее более компактная матричная форма.

Рассмотрим важный частный случай магнитной коллинеарной системы. Возможны два значения угла: $\alpha = 0^\circ $ (ферромагнитное упорядочение) или $\alpha = 180^\circ $ (антиферромагнитное упорядочение). Тогда из (7) следует, что ${{V}_{{ + - }}}\left( x \right) = {{V}_{{ - + }}}\left( x \right) = 0.$ Уравнение для коэффициента отражения ${{B}_{{ + - }}}\left( x \right)$ имеет вид (аргументы опущены для краткости):

Первое слагаемое, очевидно, обращается в ноль. Чтобы определить поведение второго слагаемого, необходимо рассмотреть граничное условие для ${{B}_{{ + - }}}.$ В [9, 12] было показано, что граничным условием является амплитуда волны, отраженной от полубесконечной подложки, рассчитанная по формуле Френеля: Здесь $n = \sqrt {{{k}^{2}} - 4\pi \left( {{{\delta }_{{ + - }}} + i{\kern 1pt} {{\beta }_{{ + - }}}} \right)} $ = $\sqrt {{{k}^{2}} - {{V}_{{ + - }}}} $ = $ = \sqrt {{{k}^{2}}} = k,$ т.к. ${{V}_{{ + - }}} = 0.$ Тогда граничное условие ${{B}_{{ + - }}}\left( {0,k} \right) = 0.$ Можно показать как аналитически, так и численно, что решением уравнения (8) при таких условиях будет ${{B}_{{ + - }}}\left( {x,k} \right) = {\text{const}} = 0.$ Это означает, что перемешивания каналов рассеяния в магнитно-коллинеарных системах нет. Система уравнений в этом случае превращается в два независимых уравнения для каждого канала, полностью идентичных фазовому уравнению из [7]:

Матричное уравнение (1) может быть решено методом Рунге–Кутты, характеристики потенциала определяются при помощи алгоритма Левенберга–Марквардта [13], возможно применение и других алгоритмов спуска.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ АПРОБАЦИЯ

С целью апробации метода были проведены эксперименты по рефлектометрии поляризованных нейтронов на следующих образцах: Al₂O₃//Nb(300 Å) – немагнитная система, проверка возможности обработки простых данных; Al₂O₃//Nb(100 Å)/Fe(500 Å)/Nb(50 Å) – система с одним магнитным слоем, проверка возможности обработки данных без переворота спина; Al₂O₃//Nb(100 Å)/Fe(250 Å)/Nb(20 Å)/Fe(250 Å)/ Nb(50 Å) – система с двумя магнитными слоями, проверка возможности обработки данных при наличии рассеяния с переворотом спина.

Поверхность подложки совпадает с кристаллографической плоскостью $\left( {1\bar {1}02} \right).$ Все образцы были приготовлены на установке магнетронного распыления ULVAC (Институт физики металлов УрО РАН, г. Екатеринбург) [14]. Базовое давление в камере роста составляло 6 × 10^–7 Па, давление аргона 0.1 Па, температура комнатная, внешнее магнитное поле отсутствовало.

Нейтронные измерения проводились на времяпролетном рефлектометре поляризованных нейтронов РЕФЛЕКС [15], установленном на импульсном ядерном реакторе ИБР-2 (Объединенный институт ядерных исследований, г. Дубна Московской обл.). На рис. 1 точками представлены экспериментальные рефлектометрические данные для образца 1 – тонкой пленки Nb. В результате обработки эксперимента с использованием метода фазово-амплитудных функций было установлено, что толщина пленки составляет 325 Å. Средние величины шероховатости на границе раздела с подложкой и на поверхности пленки не превышают 4 Å. На поверхности образовался окисленный слой Nb₂O₅ толщиной 25 Å. Рефлектометрическая кривая, рассчитанная по определенным параметрам, также представлена на рис. 1. Несоответствие с экспериментальными данными составляет 5.4%.

На рис. 2 приведены экспериментальные данные для образца Al₂O₃//Nb(100 Å)/Fe(500 Å)/ Nb(50 Å). Данный образец снимали в магнитном поле напряженностью 3 кЭ, он находился в состоянии насыщения. Регистрировали нейтроны с поляризацией “+” и “–”. Состояния с изменением спина отсутствуют, поскольку направление намагниченности параллельно спину нейтронов.

По результатам обработки определена следующая структура образца 2: Al₂O₃//Nb(114 Å)/ Fe(508 Å)/Nb(26)/Nb₂O₅(29 Å). Характерная шероховатость поверхности не превышает 8 Å. Образец действительно находится в ферромагнитном состоянии, угол между направлением намагниченности слоя Fe и спином нейтронов в состоянии “+” равен 0°. Несоответствие между расчетной и экспериментальной кривыми составляет 13% для поляризации “+” и 6% для поляризации “–”. Параметры структуры определяли так, чтобы одновременно обеспечить наиболее оптимальное согласие двух спектров.

Образец 3 перед началом измерений был намагничен до насыщения, рефлектометрические кривые были получены в поле 100 Э. На рис. 3 приведены экспериментальные данные в сравнении с расчетными. Расхождения кривых составляют 13% для поляризации “++”, 10% для “– –” и 12% для “+–”.

В данном образце наблюдалось слабое рассеяние нейтронов с переворотом спина (рис. 3в) с поляризацией “+– и “–+”. Как и следует из теории, эти два типа поляризации совпадают друг с другом в пределах экспериментальной погрешности. Для анализа была взята поляризация “+–”, поскольку в этом случае было меньше статистического шума. Наличие рассеяния с переворотом спина свидетельствует о формировании в образце слабо неколлинеарного упорядочения магнитных моментов слоев Fe.

В результате анализа было установлено, что образец имеет следующую структуру: Al₂O₃// Nb(88 Å)/Fe(248 Å)/Nb(21 Å)/Fe(256 Å)/Nb(29 Å)/ Nb₂O₅(31 Å). Эти значения хорошо согласуются с номинальными параметрами, заданными при напылении, что свидетельствует о высоком качестве образца. Шероховатость поверхности не превышает 5 Å. Cамой размытой оказалась граница между прослойкой Nb и ближайшим к поверхности слоем Fe. Это можно объяснить диффузией Fe в слой Nb еще во время напыления. При этом нет следов интенсивной диффузии из ближайшего к подложке слоя Fe в буферный слой Nb. Связано это с тем, что в тонких слоях обычно не успевает сформироваться кристаллическая решетка, структура слоя близка к аморфной, имеется множество точечных и линейных дефектов. В результате такой слой оказывается более рыхлым. Кроме того, возможен островковый рост тонкого слоя Nb, тогда атомы Fe заполняют пространства между островками, формируя размытую (~10 Å) межслойную границу.

Магнитные моменты слоев Fe отклонены от направления внешнего поля на небольшие углы (9° и 4°) в разные стороны в плоскости слоев, суммарный момент образца отклонен от направления поля на 6.5°. Неодинаковость углов может быть обусловлена наличием собственной магнитной анизотропии в исследуемой пленке.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе предложен и экспериментально проверен метод фазово-амплитудных функций для анализа данных рефлектометрии поляризованных нейтронов. Матричное дифференциальное уравнение для многоканального рассеяния было приведено к виду, удобному для практического использования в расчетных задачах нейтронной рефлектометрии. Для решения уравнения предлагается использовать метод Рунге–Кутты, для определения характеристик потенциала взаимодействия – алгоритм Левенберга–Марквардта. Были получены экспериментальные рефлектометрические спектры для образцов с различным магнитным состоянием. Во всех случаях обработка кривых с использованием предлагаемого метода позволила определить как структурные, так и магнитные характеристики образцов. Таким образом, можно сделать вывод, что метод фазово-амплитудных функций может использоваться для моделирования и анализа экспериментальных данных в рефлектометрии поляризованных нейтронов.