Прикладная математика и механика, 2019, T. 83, № 3, стр. 468-477

Введение. Демпфирующие свойства водных пен обусловлены их высокой сжимаемостью, которая существенно снижает амплитуду и скорость распространения акустических и ударных волн (УВ). Теплообменные процессы на межфазной структурной границе между газовой и жидкой компонентами пены также приводят к снижению интенсивности давления на фронте УВ. Изучение процессов ослабления УВ преградами из водных пен – актуальное направление исследований, связанных с учетом межфазных взаимодействий при построении математических моделей многофазных систем, численной реализацией этих моделей и верификацией полученных решений сравнением с новыми экспериментальными данными.

Распространение одномерных плоских [1, 2] и сферических [3, 4] УВ различной интенсивности в водных пенах с варьируемым начальным объемным водосодержанием исследовано в экспериментальных работах [1–4]. Установлено, что в таких пенах амплитуда УВ снижена на порядок по сравнению с газовой средой. В экспериментах также обнаружено уменьшение скорости распространения УВ. Уплотнение пены сопровождается разрушением жидких мостов, что приводит к образованию газокапельной смеси, в которой не наблюдаются процессы синерезиса (осаждения пены) [2].

Проводилось теоретическое исследование распространения УВ в газожидкостной среде с использованием вычислительных методов [3, 5–8]. Степень ослабления УВ в релаксирующих средах анализировалась [3] с применением смесевой модели водной пены. Также с использованием модели смеси при учете теплообмена между фазами численно моделировался [5] взрыв заряда взрывчатого вещества (ВВ) в пене. Были исследованы [6, 7] особенности взаимодействия ударно-волнового импульса со слоем пены в пространственной осесимметричной постановке на основе двухфазной модели газожидкостной смеси.

Настоящая работа, являющаяся продолжением предыдущего анализа [8], посвящена исследованию ослабления сильных УВ в водных пенах для условий экспериментов [4] с учетом объемной вязкости среды и процессов межфазной тепловой релаксации вследствие наличия контактного теплообмена.

1. Основные уравнения. Рассматривается однородная газожидкостная пенная среда, начальное объемное водосодержание которой принимается равным ${{\alpha }_{{10}}}$ в соответствии с условиями эксперимента [4] (рис. 1). В центре области инициируется взрыв заряда, который представлен в виде начального распределения давления

Для случая сферической симметрии избыточная энергия в объеме, занимаемом УВ, определяется в виде [3]

где e – внутренняя энергия смеси [9]. Предполагается равенство скоростей и давлений газовой и жидкой фаз пены, наличие индивидуального распределения температуры фаз и межфазного теплообмена только на контактной поверхности между фазами. В условиях принятых допущений процесс взаимодействия водной пены с сильной УВ может быть описан уравнениями двухфазной модели в лагранжевых переменных в одномерном сферическом приближении.

Такая модель включает в себя [9]:

уравнения сохранения массы каждой фазы

уравнение сохранения импульса смеси

уравнения сохранения внутренних энергий фаз в двухтемпературном приближении

Дифференциальная форма равенства давлений фаз p₁= p₂= p имеет вид

где ${{p}_{i}}(\rho _{i}^{0},{{T}_{i}})$, ${{T}_{i}}$, ${{e}_{i}}(\rho _{i}^{0},{{T}_{i}})$, ${{\alpha }_{i}}$ и $\rho _{i}^{0}$ – давление, температура, внутренняя энергия, объемное содержание и текущая плотность i-й фазы, нижние индексы i = 1 и i = 2 относятся к жидкой и газовой фазам соответственно, ${{\rho }_{0}}$ и $\rho $ = $\rho _{1}^{0}{{\alpha }_{1}}$ + $\rho _{2}^{0}{{\alpha }_{2}}$ – начальная и текущая плотности смеси, ${v}$ – массовая скорость частиц, r и x – лагранжева и эйлерова координаты. Значения ν = 1, 2 и 3 соответствуют случаям плоского, цилиндрического и сферического одномерных приближений.

Оценим поведение водной пены под воздействием сильной УВ в зависимости от интенсивности межфазного теплообмена q. Поскольку в структуру пены входят жидкие пленки толщиной δ, то при ее разрушении за фронтом сильной УВ пена распадается на микрокапли диаметром d₀ ≈ δ. Время разрушения жидких пленок ∼10 мкс толщиной δ ≈ 10^–5 м оценивалось ранее [10]. Следовательно, в рассматриваемой модели можно предположить, что водная пена за фронтом сильной УВ распадается на монодисперсные микрокапли диаметра d, которые равномерно распределены в газе. Тогда интенсивность межфазного теплообмена q в уравнениях (1.5) определяется по аналогии с предложением Ждана [5]:

Здесь $\eta $ – коэффициент динамической вязкости газа, η₂₀ = 1.71 × 10^–5 кг/м с и T₂₀ = = 273 K – начальные значения динамической вязкости и температуры газа, ${{\gamma }_{2}}$, R, ${{\mu }_{2}}$ и Pr – показатель адиабаты газа, универсальная газовая постоянная, молекулярная масса воздуха и число Прандтля, d – текущий диаметр капли, где d₀ = 3 × 10^–5 м, $\rho _{{10}}^{0}$ – начальная плотность воды.

Уравнение состояния воды принято в форме Ми–Грюнайзена [11], где давление и внутренняя энергия записаны как сумма потенциальной (холодной) и тепловой компонент:

Свойства воздуха описываются уравнением состояния совершенного газа

где ${{c}_{V}}$ – удельная теплоемкость воздуха при постоянном объеме.

В рассматриваемой задаче начальные и граничные условия выбраны в соответствии со схемой экспериментальной установки, изображенной на рис. 1. Эксперимент по сферическому взрыву в водной пене был проведен с использованием взрывчатого вещества PLANP массой ∼145 г, заключенного в пластиковую сферу диаметром 60 мм. Датчики давления, расположенные от центра взрыва на расстояниях l_i (i = 1, …, 4), использовались для измерения давления в УВ, вызванной сферическом взрывом. Осциллограммы давления, полученные в эксперименте, были представлены [4] с использованием шкалы расстояний Гопкинсона

где x – расстояние от центра взрыва, W = $m\tilde {\eta }$ = 0.184 кг – масса ВВ в тротиловом эквиваленте, m = 0.145 кг и $\tilde {\eta }$ = 1.27 – масса заряда и коэффициент перевода в тротиловый эквивалент рассматриваемого ВВ. Энергия сферического взрыва определяется так [12]: где Q = 4184 кДж/кг – удельная энергия разложения тринитротолуола при взрыве.

Численное решение задачи Коши, которая представлена системой пяти уравнений (1.3)–(1.7), замыкающими соотношениями для давления и внутренней энергии (1.8) и (1.9), начальными и граничными условиями, соответствующими экспериментам [4], было проведено на явной разностной сетке. Искусственная вязкость Неймана–Рихтмайера использовалась в виде добавки к давлению, что является аналогом объемной вязкости [13]. Устойчивость решения контролировалась условием Куранта.

2. Верификация модели. Для проверки достоверности предложенной модели было проведено сравнение автомодельного решения задачи о точечном сферическом взрыве в совершенном газе [14], полученного Л.И. Седовым, и численного решения, найденного по предложенной модели. Аналитические решения [14] для скорости ${v}$, давления p, плотности ρ, эйлеровой x, лагранжевой r координат и температуры T для случая сферической симметрии принимают вид

Условия на фронте УВ:

Скорость фронта УВ:

Здесь E₀= 10 Дж – энергия взрыва, ρ₀ = 0.0125 кг/м³ – начальная плотность газа (воздух), γ = 1.4 – показатель адиабаты, $\frac{2}{{5\gamma }}$ ≤ V ≤ $\frac{4}{{5(\gamma + 1)}}$, $V = \frac{{{v}t}}{r}$ – безразмерный параметр.

При численном решении задачи в качестве граничного условия на расстоянии r₀ = = 12 мм от центра взрыва задавался закон движения поршня в виде массовой скорости лагранжевой точки ${{{v}}_{{{{r}_{0}}}}}(t)$ и давления ${{p}_{{{{r}_{0}}}}}(t)$ как функций от времени для лагранжевой координаты r₀ в соответствии с решением (2.1)–(2.3). На рис. 2 представлено сравнение аналитического и численного решений по предлагаемой модели в однофазном приближении, которые удовлетворительно согласуются.

3. Результаты численного моделирования. В процессе численного исследования были проведены расчеты для условий экспериментов по сферическому взрыву в водной пене [4]. Согласование расчетной энергии взрыва заряда ВВ, вычисляемой по формуле (1.2), и ее экспериментального значения (1.11) достигнуто при следующих значениях амплитуды и ширины исходного импульса давления в пене (1.1): ∆p = 6 × 10³ МПа, a = 0.07 м. В расчетах объемное водосодержание пены снижено до α₁₀ = 0.0043 по сравнению с экспериментальными данными [4], вследствие учета эффекта синерезиса пены в процессе ее генерации с низкой скоростью, изменяющейся в диапазоне от 0.150 до 1 м³/мин, с коэффициентом расширения 1:120 [4].

Для сравнительного анализа на рис. 3 представлены расчетные зависимости давления от расстояния до центра взрыва для условий экспериментальных данных [4]. Здесь показаны численные результаты без учета (пунктирная линия) и с учетом межфазного теплообмена (1.7) и объемной вязкости [13] (сплошная линия). Пиковые значения давлений из эксперимента [4] отмечены точками 5. Обобщенные экспериментальные данные базы Кинни и Грэхэма для газа [14] и национальной лаборатории Сандиа для пены [16], представленные в аналитической форме, показаны линиями 3 и 4 соответственно. Как в экспериментах, так и в расчетах, после момента времени t ~ ~ 1.0 мс фиксируется второй скачок давления, который возникает в результате отражения волны сжатия от центра взрыва.

На рис. 4 приведены найденные зависимости давления от времени (линии 1 и 2) и соответствующие им экспериментальные данные для пены, полученные с помощью датчиков, расположенных на расстояниях l₁ = 0.41, l₂ = 0.53, l₃ = 0.67, l₄ = 0.93 (м) от точки взрыва. Профили давления в водной пене, обозначенные сплошными линиями, рассчитаны с учетом межфазного теплообмена и вязкости. На рис. 3 и 4 видно, что при x ≥ 0.5 м пиковые величины давлений, полученные в расчетах без учета межфазного теплообмена и вязкости, превышают экспериментальные значения. Добавочный член q в уравнениях сохранения внутренней энергии фаз (1.5), отвечающий за интенсивность межфазного теплообмена, дает дополнительное снижение амплитуды давления за счет уменьшения температуры газовой фазы, следствием чего является замедление скорости распространения фронта УВ по сравнению с расчетами без учета теплообмена. Учет вязкости в УВ приводит к дополнительной диссипации ударного импульса, что становится заметным при удалении УВ от центра взрыва.

В процессе численного исследования был проведен анализ динамики объемного содержания ${{\alpha }_{1}}$ жидкости в пене. Расчетные профили ${{\alpha }_{1}}$ представлены на рис. 5 для моментов времени в мс. Сжатие пены за фронтом УВ увеличивает ее объемное водосодержание до α₁ = 0.02 к моменту времени t = 0.05 мс, что приводит к уменьшению амплитуды и скорости распространения УВ по сравнению с соответствующими значениями при прохождении УВ в газе (см. рис. 3). Влияние межфазного теплообмена и вязкости снижает значение ${{\alpha }_{1}}$ за фронтом УВ за счет уменьшения амплитуды давления в УВ. Вблизи центра взрыва, после прохождения УВ, формируется газовая область с незначительным значением α₁ < 0.001.

Заключение. Проведено компьютерное исследование динамики сферической УВ, возникающей в результате взрыва заряда ВВ, в водной пене с применением предложенной модели двухфазной газокапельной смеси, учитывающей контактный теплообмен между фазами и вязкость. Численная реализация модели выполнена в открытой среде разработки Lazarus. Получена оценка энергии в УВ при моделировании сферического взрыва в виде начального импульса давления, согласующаяся с расчетным и экспериментальным значениями энергии взрыва. Расчетные зависимости давления и экспериментальные данные по сферическому взрыву в водной пене коррелируют по амплитуде, длительности и скорости распространения УВ. Показано, что при уплотнении пены наблюдается снижение скорости распространения УВ. Демпфирующие свойства водной пены усиливаются при увеличении начальной плотности пены [17]. Использование пены даже с невысоким водосодержанием α₁₀ ≈ 0.004 способствует ослаблению амплитуды ударного импульса в шесть раз и уменьшению скорости распространения УВ по сравнению с газовой средой [8]. Анализ эволюции объемного водосодержания выявил увеличение ${{\alpha }_{1}}$ в пять раз на начальной стадии распространения УВ, приводящее к значительной диссипации энергии взрыва.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке грантов Российского фонда фундаментальных исследований (№ 17-41-020582 p_поволжье_а) и Республики Башкортостан молодым ученым (№ 8 ГР 18.03.2019), средствами государственного бюджета по госзаданию 0246-2019-0052 и программы ОЭ-4-4-12 ОЭММПУ РАН.