Прикладная математика и механика, 2019, T. 83, № 4, стр. 519-529

Введение. Основные результаты теории линейных периодических систем (ЛПС) были достаточно полно изложены [1], в частности, приведены асимптотические методы Крылова–Боголюбова–Митропольского, теория параметрического резонанса Крейна–Гельфанда–Лидского, значительное количество приложений теории периодических систем к различным задачам механики. Предметом исследования были различные проблемы теории устойчивости гамильтоновых ЛПС [2–4]. Изучались нелинейные колебания механических систем с параметрическими возмущениями [5, 6].

Известно, что условия устойчивости ЛПС могут быть получены на основе теории Флоке–Ляпунова [7] и сводятся к вычислению матрицы монодромии ЛПС. Для нахождения матрицы монодромии необходимо проинтегрировать ЛПС на ее периоде, что можно сделать, в общем случае, используя численные или численно-аналитические методы. Более сложной проблемой оказалась задача о стабилизации ЛПС. В этом направлении известно не так много результатов, и все они связаны с определенными ограничениями, наложенными на класс рассматриваемых систем. Рассматривалась задача стабилизации ЛПС с обратной связью [8]. Путем построения решений одного класса параметрических периодических дифференциальных уравнений Ляпунова, получен явный вид непрерывной периодической обратной связи, которая стабилизирует ЛПС. Однако, для получения решения задачи о стабилизации ЛПС необходимо найти фундаментальную матрицу линейной системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Это можно сделать либо аналитически, если система относительно простая, либо путем численного интегрирования в общем случае.

Рассматривалась проблема Брокетта о расширении возможностей классической стабилизации линейных стационарных систем путем введения периодической обратной связи [9]: решение было получено путем применения различных кусочно-постоянных периодических функций обратной связи. Исследован параметрический резонанс линейных механических систем с одной степенью свободы с кусочно-постоянными параметрами [10], при помощи метода, основанного на композиции элементарных потоков линейных систем с постоянными коэффициентами и анализе спектральных свойств матрицы монодромии. Рассмотрение ЛПС с кусочно-постоянными коэффициентами оказалось весьма плодотворным и в задаче о стабилизации ЛПС [11, 12]. Методом дискретизации получены новые достаточные условия устойчивости ЛПС с кусочно-постоянными коэффициентами и предложен алгоритм синтеза управления по обратной связи, которое стабилизирует систему. Основная идея – приближенное решение матричного дифференциального уравнения Ляпунова с использованием матричных сплайнов. Получены условия устойчивости и предложен алгоритм построения линейной обратной связи с периодической кусочно-непрерывной матрицей.

Метод дискретизации [13, 14] в теории устойчивости движения приобрел значительную популярность, что связано с новыми возможностями компьютерных вычислений. Идея этого метода состоит в том, что для построения функции Ляпунова (или функционала Ляпунова–Красовского) нет необходимости точного решения матричного дифференциального уравнения Ляпунова. Достаточно ограничиться нахождением приближенного решения, поскольку, как правило, если функция Ляпунова в задаче об асимптотической устойчивости линейной системы найдена, то близкая к ней в определенном смысле функция, также будет функцией Ляпунова.

Ниже рассматривается задача о стабилизации аффинной системы с периодическими коэффициентами. Предлагается новый вариант метода дискретизации для построения стабилизирующих управлений аффинных систем с периодическими коэффициентами. Основное отличие предлагаемого подхода от известного [13, 14] состоит в применении кусочно-экспоненциальных аппроксимирующих функций, что требует привлечения алгебраических идей и методов коммутаторного исчисления. Таким образом, идеи и методы настоящей работы тесно связаны с Ли-алгебраическими подходами в теории устойчивости и управлении движением [15–19]. На основе этого подхода получены новые условия асимптотической устойчивости ЛПС дифференциальных уравнений, которые позволяют сформулировать простой алгоритм синтеза управления в виде линейной обратной связи с кусочно-постоянными коэффициентами.

Работа состоит из 5 разделов и организована следующим образом. Первый раздел посвящен постановке задачи о стабилизации аффинной системы с периодическими коэффициентами. Во втором разделе построена кусочно-дифференцируемая функция Ляпунова и установлены новые достаточные условия асимптотической устойчивости ЛПС. На основе этих условий в третьем разделе описан алгоритм стабилизации аффинных периодических систем. Четвертый раздел посвящен стабилизации параметрических резонансных колебаний математического маятника. В пятом разделе приведены основные выводы работы и очерчены дальнейшие направления исследований.

1. Постановка задачи. Рассмотрим аффинную систему дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

где $x \in {{\mathbb{R}}^{n}}$, $A:\mathbb{R} \to {{\mathbb{R}}^{{n \times n}}}$, $B:\mathbb{R} \to {{\mathbb{R}}^{{n \times m}}}$ – кусочно-непрерывные отображения, $u:\mathbb{R} \times {{\mathbb{R}}^{n}} \to {{\mathbb{R}}^{m}}$. Предположим, что существует положительное число $\theta $ такое, что $A(t + \theta ) = A(t)$, $B(t + \theta ) = B(t)$ при всех $t \in \mathbb{R}$. Пусть $u(t,x) = K(t)x$ – управление по обратной связи, где $K:\mathbb{R} \to {{\mathbb{R}}^{{m \times n}}}$ является кусочно-непрерывным отображением.

Целью настоящей работы является синтез управления $u(t,x) = K(t)x$, обеспечивающего асимптотическую устойчивость решения $x = 0$ замкнутой линейной системы дифференциальных уравнений (1.1) с кусочно-постоянной и $\theta $-периодической матрицей $K:\mathbb{R} \to {{\mathbb{R}}^{{n \times n}}}$.

Приведем некоторые сведения из линейной алгебры, необходимые для дальнейшего изложения, следуя в основном [20, 21].

Коммутатор двух матриц $A \in {{\mathbb{R}}^{{n \times n}}}$, $B \in {{\mathbb{R}}^{{n \times n}}}$ определяется формулой

вводит в ${{\mathbb{R}}^{{n \times n}}}$ структуру алгебры Ли. Оператор коммутирования $\mathop {{\text{ad}}}\nolimits_A $, $A \in {{\mathbb{R}}^{{n \times n}}}$ определяется как линейное отображение

Пусть $X$, $Y$ и $Z$ – независимые матричные переменные, $F(X,Y)$ – формальный ряд от переменных $X$ и $Y$, $\lambda \in \mathbb{R}$, тогда поляризационное тождество

определяет производную Хаусдорфа $\left( {Z\frac{\partial }{{\partial X}}} \right)F(X,Y)\;\mathop = \limits^{{\text{def}}} \;{{F}_{1}}(X,Y,Z)$.

Определим рекурсивно следующие лиевы многочлены от матричных переменных $X$ и $Y$ (определение и более подробные сведения о лиевых элементах можно найти в [21])

Легко видеть, что

Тождества Ф. Хаусдорфа играют важную роль в дальнейшем изложении

Для векторов $x \in {{\mathbb{R}}^{n}}$ используем евклидову норму $\left\| x \right\| = \sqrt {{{x}^{{\text{T}}}}x} $, а для квадратных матриц порядка $n$ будем пользоваться спектральной нормой: $\left\| A \right\| = \lambda _{{max}}^{{1/2}}({{A}^{{\text{T}}}}A)$, $A \in {{\mathbb{R}}^{{n \times n}}}$. Через ${{\lambda }_{{max}}}( \cdot )$ и ${{\lambda }_{{min}}}( \cdot )$ будем обозначать максимальное и минимальное собственные значения симметричной матрицы, соответственно.

2. Функция Ляпунова и условия устойчивости ЛПС. Рассмотрим ЛПС

где $x \in {{\mathbb{R}}^{n}}$, $C:\mathbb{R} \to {{\mathbb{R}}^{{n \times n}}}$ – кусочно-непрерывное $\theta $-периодическое отображение, т.е. $C(t + \theta ) = C(t)$.

Пусть $N$ – фиксированное натуральное число, $h = \tfrac{\theta }{N}$. Для каждого $m = 0, \ldots ,N - 1$ определим матрицы

и положительные числа ${{a}_{m}}$, ${{c}_{m}}$, ${{d}_{m}}$, $m = 0, \ldots ,N - 1$ такие, что

Пусть ${{P}_{0}}$ – некоторая симметричная положительно-определенная матрица, для каждого $m = 0,1, \ldots ,N - 1$ определим последовательно симметричные положительно-определенные матрицы ${{P}_{m}}$

Функцию Ляпунова выберем в виде $v(t,x) = {{x}^{{\text{T}}}}P(t)x$, где $P(t)$ – кусочно-дифференцируемая, $\theta $-периодическая симметричная положительно-определенная при всех $t \in \mathbb{R}$ матрица-функция от $t$, которую на интервале $(0,\theta ]$ определим формулой

Лемма 1. Пусть

Тогда при всех $t \in (mh,(m + 1)h]$ справедлива оценка

Доказательство. Применяя цепное правило дифференцирования, получим при $t \in (mh,(m + 1)h]$

Применяя тождества Хаусдорфа (1.2), получим

Следовательно,

Поскольку, при $t \in (mh,(m + 1)h]$

и то

Лемма доказана.

Построенная функция Ляпунова и доказанная лемма 1 позволяет установить достаточные условия асимптотической устойчивости ЛПС (2.1).

Теорема 1. Предположим, что существует симметричная положительно-определенная матрица ${{P}_{0}}$ и положительная постоянная $h > 0$, $hN = \theta $ такие, что

Тогда ЛПС (2.1) асимптотически устойчива.

Доказательство. Из утверждения леммы 3.1 следует неравенство

Поскольку

Вследствие периодичности линейной системы (2.1), очевидно следует, что

Из условия теоремы следует, что $q \in (0,1)$, что доказывает асимптотическую устойчивость ЛПС (2.1). Теорема доказана.

Замечание 1. Важно отметить, что условия асимптотической устойчивости полученные в теореме 1 учитывают коммутационные свойства матриц $C(t)$ и ${{C}_{m}}(t)$. В частности, если матрица $C(t)$ удовлетворяет условиям Лаппо–Данилевского [22]

то ${{c}_{m}} \equiv 0$ и условия теоремы 1 являются необходимыми и достаточными условиями асимптотической устойчивости.

3. Алгоритм стабилизации аффинных систем с периодическими коэффициентами. Полученные в теореме 1 условия асимптотической устойчивости ЛПС позволяют предложить следующий алгоритм построения управления $u(t,x) = K(t)x$ с кусочно-постоянной матрицей $K(t) \in {{\mathbb{R}}^{{m \times n}}}$.

Шаг 1. Выбираем количество шагов дискретизации $N$.

Шаг 2. Вычисляем длину шага дискретизации $h = \frac{\theta }{N}$. Для каждого $m = 0, \ldots ,N - 1$ вычисляем матрицы

Шаг 3. Для каждого $m = 0, \ldots ,N - 1$ предполагая, что пара матриц $({{A}_{m}},{{B}_{m}})$ стабилизируемая, выбираем матрицу ${{K}_{m}}$ так, чтобы матрица ${{\tilde {C}}_{m}} = {{A}_{m}} + {{B}_{m}}{{K}_{m}}$ удовлетворяла условиям Рауса–Гурвица.

Замечание 2. Если пара матриц $({{A}_{m}},{{B}_{m}})$ управляема, то матрицу ${{K}_{m}}$ можно представить в явном виде, воспользовавшись результатами работы [23] (см. лемма 1).

где ${{\lambda }_{m}}$ и ${{t}_{{1m}}}$ – произвольные числа, удовлетворяющие условиям ${{\lambda }_{m}} > 0$, $0 < {{t}_{{1m}}} \leqslant + \infty $, причем при ${{t}_{{1m}}} = + \infty $ следует выбрать число ${{\lambda }_{m}}$ так, чтобы

Здесь $\sigma ( \cdot )$ – спектр соответствующей матрицы.

Если такой выбор матрицы ${{K}_{m}}$ невозможен, то увеличиваем $N$ и возвращаемся к шагу 1, в противном случае, полагаем $K(t) = {{K}_{m}}$ при всех $t \in (mh,(m + 1)h]$.

Шаг 4. Вычисляем матрицы

и положительные постоянные ${{a}_{m}}$, ${{c}_{m}}$ и ${{d}_{m}}$ такие, что

Шаг 5. Вычисляем матрицу

и проверяем условие ${{r}_{\sigma }}(\Phi ) < 1$, где ${{r}_{\sigma }}( \cdot )$ – спектральный радиус соответствующей матрицы. Если это условие выполняется, то выбираем симметричную положительно-определенную матрицу ${{P}_{0}}$, удовлетворяющую линейному матричному неравенству

Если условие ${{r}_{\sigma }}(\Phi ) < 1$ не выполняется, то увеличиваем количество шагов дискретизации $N$ возвращаемся к шагу 2.

Шаг 6. Последовательно вычисляем матрицы ${{P}_{m}}$

постоянные и проверяем выполнение неравенства

Если это неравенство выполняется, то построенное кусочно-постоянное управление $u(t,x) = K(t)x$ стабилизирует исходную линейную систему. В этом случае останавливаем выполнение алгоритма.

Если эти неравенства не выполняются, то увеличиваем число $N$ и возвращаемся к шагу 2.

4. Гашение резонансных колебаний линейного осциллятора. В качестве приложения предложенного алгоритма стабилизации ЛПС рассмотрим задачу о гашении резонансных колебаний линейного осциллятора, уравнение движения которого имеет вид [24]

где $x \in \mathbb{R}$, ${{\omega }_{0}}$ – собственная частота колебаний осциллятора, $u(t,x,\dot {x})$ – управляющая сила.

В уравнении (4.1) перейдем к безразмерному времени $\tau = {{\omega }_{0}}t$:

где $\bar {u}(\tau ,x,x{\text{'}}) = \frac{1}{{\omega _{0}^{2}}}u\left( {\frac{\tau }{{{{\omega }_{0}}}},x,{{\omega }_{0}}x{\text{'}}} \right)$

Введем фазовые переменные ${{x}_{1}} = x$, ${{x}_{2}} = x{\kern 1pt} '$ и представим уравнение (4.2) в виде аффинной системы с периодическими коэффициентами

где

Управление $K(\tau )$ выберем в виде

где $h = \frac{\pi }{N}$, $N$ – число точек дискретизации. Нетрудно вычислить и ${{B}_{m}} = B(\tau )$. Пусть $k_{{22}}^{{(m)}} = - 2\mu $, $\mu \in (0,1)$, $k_{{21}}^{{(m)}} = \frac{\varepsilon }{2}(sin2(m + 1)h - sin2mh)$, тогда – матрица, удовлетворяющая условию Рауса–Гурвица. Вычислим ${{C}_{m}}(\tau )$ и ${{\hat {C}}_{m}}(\tau )$

Отсюда следует, что при всех $\tau \in (mh,(m + 1)h]$ выполняются оценки

Можно считать, что ${{d}_{m}} = 2{{a}_{0}} = 2(1 + \varepsilon + \sqrt {8{{\mu }^{2}} + 2{{\varepsilon }^{2}}{{h}^{2}}} )$. Пусть ${{P}_{0}} = I$, тогда учитывая формулу для матрицы ${{e}^{{ - \mathop {\widetilde C}\nolimits_0 \tau }}}$

где $\Omega = \sqrt {1 - {{\mu }^{2}}} $. Найдем норму и минимальное собственное значение матриц ${{P}_{m}} = {{e}^{{ - \tilde {C}_{0}^{{\text{T}}}mh}}}{{e}^{{ - {{{\tilde {C}}}_{0}}mh}}}$: где ${{\psi }_{m}} = \Omega mh$.

Применение теоремы 1 приводит к следующему утверждению о стабилизации положения равновесия линейного осциллятора при параметрических возмущениях.

Предложение 1. Пусть $N$ – натуральное число, $h = \frac{\pi }{N}$, $\Omega = \sqrt {1 - {{\mu }^{2}}} $, ${{c}_{0}} = 2\varepsilon \sqrt {2 + 4{{\mu }^{2}}} $, ${{a}_{0}} = 1 + \varepsilon + \sqrt {8{{\mu }^{2}} + 2{{\varepsilon }^{2}}{{h}^{2}}} $, ${{\psi }_{m}} = \Omega mh$ и

Тогда, если выполняется неравенство

то управление где $m = 0, \ldots ,N - 1$, продолженное периодическим образом на всю числовую ось $\mathbb{R}$, т.е. $u\left( {t + \tfrac{\pi }{{{{\omega }_{0}}}},x,\dot {x}} \right)$ = $u(t,x,\dot {x})$, стабилизирует положение равновесия линейного осциллятора (4.1) при параметрических возмущениях.

Приведем численный пример. Для значений параметров $\mu = 0.25$, $\varepsilon = 0.2$ число переключений $N = 13$ гарантирует, что управление (4) стабилизирует положение равновесия маятника. При этом $k_{{21}}^{{(m)}}$ определяются таблицей значений.

5. Обсуждение результатов. Современное развитие вычислительных средств позволяет предложить численную реализацию алгоритма стабилизации аффинных периодических систем. Для дальнейших исследований представляет интерес распространения полученных результатов для нелинейных управляемых систем. Представленные результаты можно обобщать также в направлении построения более точных кусочно-экспоненциальных аппроксимаций решений дифференциальных матричных уравнений Ляпунова.

Часть работы выполнена за счет средств бюджетной программы НАН Украины по КПКВК 6541230 “Поддержка развития приоритетных направлений научных исследований”.