Прикладная математика и механика, 2023, T. 87, № 4, стр. 661-669

1. Введение. В строительной механике, авиастроении, машиностроении и других областях значимую роль играют задачи о колебаниях балок, стержней и пластин. Описание таких колебательных процессов приводит к дифференциальным уравнениям более высокого порядка, чем уравнение колебания струны ([1], с. 143–145), ([2], с. 276–277), ([3], с. 314–315), ([4], с. 34), ([5], с. 75–77).

Рассмотрим однородную балку длины $l$, один конец которой свободен, а другой наглухо заделан. Ее вынужденные изгибные поперечные колебания под действием непрерывной внешней силы $G(x,t)$, при отсутствии вращательного движения, описываются уравнением

где $\rho $ – линейная плотность балки, $S$ – площадь поперечного сечения, $E$ – модуль упругости материала, $J$ – момент инерции сечения относительно своей горизонтальной оси. Это уравнение можно переписать в виде где ${{\alpha }^{2}} = EJ{\text{/}}\rho S$, $F(x,t) = G(x,t){\text{/}}\rho S$.

Отметим, что при изучении задач расчета устойчивости вращающихся валов и вибрации кораблей так же приходят к уравнению (1.1) ([6], с. 326).

В данной работе рассматривается уравнение (1.1) в области

где $l$ и $T$ – заданные положительные действительные числа, с граничными условиями, соответствующими консольной балке, и начальными условиями

В данной работе исследуются следующие задачи.

Задача 1. В области $D$ найти решение $u(x,t)$ уравнения (1.1), такое, что

и удовлетворяет условиям (1.2) и (1.3), где $F(x,t)$, $\tau (x)$, $\nu (x)$ – заданные достаточно гладкие функции.

Задача 2. Пусть $F(x,t) = f(x)g(t)$. Найти функции $f(x)$ и $u(x,t)$, удовлетворяющие уравнению (1.1) в области $D$, такие, что $f(x) \in С\left[ {0,l} \right]$, а функция $u(x,t)$ удовлетворяет условиям (1.2)–(1.4) и, кроме того,

где $g(t)$, $\varphi (x)$, $\tau (x)$ и $\nu (x)$ – заданные достаточно гладкие функции, ${{t}_{0}}$ – заданная точка из $\left( {0,\,T} \right]$.

Задача 3. Пусть $F(x,t) = f(x)g(t)$. Найти функции $g(t)$ и $u(x,t)$, удовлетворяющие уравнению (1.1) в области $D$, такие, что $g(t) \in С\left[ {0,T} \right]$, а функция $u(x,t)$ удовлетворяет условиям (1.2)–(1.4) и, кроме того,

где $f(x)$, $h(t),$ $\tau (x)$ и $\nu (x)$ – заданные достаточно гладкие функции, ${{x}_{0}}$ – заданная точка из $\left( {0,l} \right)$.

Из постановок задач видно, что задача 1 представляет собой прямую начально-граничную задачу для неоднородного уравнения колебаний балки (1.1). Задачи 2 и 3 являются обратными, поэтому условия (1.5) и (1.6) являются дополнительными для определения соответственно сомножителей $f(x)$ и $g(t)$ правой части $F(x,t)$ уравнения (1.1).

Данная работа является продолжением исследований автора [7], посвященных обоснованию корректности постановки начально-граничной задачи 1 для уравнения (1.1). Основное внимание здесь уделяется задачам 2 и 3, постановки которых аналогичны работам [8–12], где похожие задачи изучались для уравнений теплопроводности, колебаний струны и других дифференциальных уравнений второго порядка и высоких порядков.

В данной работе на основе прямой задачи 1, изученной в [7], доказаны теоремы единственности и существования решений обратных задач 2 и 3. При этом решения построены в виде суммы рядов. Отметим, что при обосновании сходимости рядов в задаче 2 возникает проблема малых знаменателей, создающая дополнительные трудности. Установлены оценки, гарантирующие отделенность от нуля знаменателей, с указанием соответствующей асимптотики. На основании этих оценок обоснована сходимость рядов в классе регулярных решений уравнения (1.1).

2. Построение решения прямой задачи. В этом пункте кратко приведены результаты исследования задачи 1, полученные в [7], где методом интегралов энергии доказана единственность решения этой задачи. Методом разделения переменных построено решение задачи (1.2)–(1.4) для уравнения (1.1) в явном виде как суммы ряда по системе собственных функций следующей спектральной задачи:

Собственные значения этой спектральной задачи находятся по формуле ${{\lambda }_{n}} = - d_{n}^{4}$, где ${{d}_{n}}$ – корни уравнения $chdl \cdot \cos dl = - 1$, для которых справедлива асимптотическая формула

Система собственных функций имеет вид

или где ${{a}_{n}} = \frac{1}{{\operatorname{sh} \frac{{{{d}_{n}}l}}{2}}}$, ${{b}_{n}} = \frac{1}{{\cos \frac{{{{d}_{n}}l}}{2}}}$, ${{c}_{n}} = - \frac{1}{{\operatorname{ch} \frac{{{{d}_{n}}l}}{2}}}$, ${{f}_{n}} = \frac{1}{{\sin \frac{{{{d}_{n}}l}}{2}}}$.

Нормируя эту систему, получаем

Отметим, что система функций ${{Y}_{n}}(x)$ полна и образует ортонормированный базис в пространстве ${{L}_{2}}\left[ {0,l} \right]$.

Тогда решение задачи 1 определяется в виде суммы ряда

где ${{u}_{n}}(t)$ определяются по формуле и после вычисления принимают вид где ${{\tau }_{n}} = \int_0^l {\tau (x){{Y}_{n}}(x)dx} $, ${{\nu }_{n}} = \int_0^l {\nu (x){{Y}_{n}}(x)dx} $, ${{F}_{n}}(t) = \int_0^l {F(x,t){{Y}_{n}}(x)dx} $.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема 1. Если функция $\tau (x)$ принадлежит классу ${{C}^{6}}[0,l]$, $\tau (0) = \tau {\kern 1pt} '(0)$ = $\tau {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(l) = \tau {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '{\kern 1pt} (l)$ = = ${{\tau }^{{(4)}}}(0) = {{\tau }^{{(5)}}}(0)$ = 0, функция $\nu (x)\;$ – классу ${{C}^{4}}[0,l]$, $\nu (0) = \nu {\kern 1pt} '(0)$ = $\nu {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(l) = \nu {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(l)$ = 0, а функция $F(x,t)$ – классу $C\left( {\bar {D}} \right) \cap C_{x}^{4}\left( {\bar {D}} \right)$ и $F(0,t) = {{F}_{x}}(0,t)$ = ${{F}_{{xx}}}(l,t) = {{F}_{{xxx}}}(l,t)$ = 0 при $0 \leqslant t \leqslant T$, то существует единственное решение задачи 1 и оно определяется рядом (2.2).

Полное доказательство этой теоремы приведено в работе [7].

3. Исследование обратной задачи 2. Пусть $F(x,t) = f(x)g(t)$. В силу теоремы 1 функции $f(x)$ и $g(t)$ должны удовлетворять условиям:

Тогда функции ${{F}_{n}}(t)$ и ${{u}_{n}}(t)$ принимают вид

где

Удовлетворяя функцию (2.2) условию (1.5), получим уравнение

где ${{\varphi }_{n}} = \int_0^l {\varphi (x){{Y}_{n}}(x)dx} $.

Тогда с учетом (2.3) найдем

при условии, что для всех $n \in N:\;{{g}_{n}}({{t}_{0}}) \ne 0$.

Подставляя найденные значения ${{f}_{n}}$ в равенство (2.3), построим в явном виде функции

Тогда решение задачи 2 находится как сумма рядов

где ${{u}_{n}}(t)$ и ${{f}_{n}}$ определяются равенствами (3.4) и (3.3) соответственно, при условии, что ${{g}_{n}}({{t}_{0}}) \ne 0$ для любых $n \in N$.

Из однозначного характера построения решения задачи 2 следует его единственность. Действительно, пусть ${{g}_{n}}({{t}_{0}}) \ne 0$ при всех $n \in N$ и $\varphi (x) = \tau (x) = \nu (x) \equiv 0$. Тогда из (3.3) и (3.4) вытекает, что ${{f}_{n}} = 0$ и ${{u}_{n}}(t) \equiv 0$ при всех $n \in N$. В силу чего из формул (2.2) и (3.2) следуют равенства

из которых в силу полноты системы функций ${{Y}_{n}}(x)$ на ${{L}_{2}}\left[ {0,l} \right]$ следует, что $u(x,t) = 0$ и $f(x) = 0$ почти всюду на $\left[ {0,l} \right]$ при любом $t \in \left[ {0,T} \right]$_. Тогда из условия (1.4) и непрерывности функции $f(x)$ на $\left[ {0,l} \right]$ следует, что $u(x,t) \equiv 0$ в $\bar {D}$ и $f(x) \equiv 0$ на $\left[ {0,l} \right]$ при любой функции $g(t) \in C\left[ {0,T} \right]$.

Если при некотором ${{t}_{0}}$ и $n = m$ выражение ${{g}_{m}}({{t}_{0}}) = 0$, то однородная задача 2 (при $\varphi (x) = \tau (x) = {v}(x) \equiv 0$) при любой непрерывной функции $g(t)$ имеет ненулевое решение

где ${{f}_{m}} \ne 0$ – произвольная постоянная.

Выражение ${{g}_{n}}({{t}_{0}})$ за счет $\sin \left( {\alpha d_{m}^{2}(t - s)} \right)$ может обращаться в нуль не более чем в счетном числе точек.

Поэтому возникает проблема малых знаменателей и необходимо установить оценки величин ${{g}_{n}}({{t}_{0}})$, гарантирующие их отдаленность от нуля, и указать асимптотику этих оценок при больших $n$.

Пусть $g(s)$ монотонна на отрезке $\left[ {0,{{t}_{0}}} \right]$. Тогда на основании второй теоремы о среднем для некоторой точки $\xi \in (0,{{t}_{0}})$ справедливо:

Пусть $g(s)$ на отрезке $\left[ {0,{{t}_{0}}} \right]$ возрастает и неотрицательна. Тогда $g({{t}_{0}}) = g(0) + \beta $, $\beta \geqslant 0$, и тогда имеем

Таким образом, при $g(s) \equiv \operatorname{const} \ne 0$ равенство ${{g}_{n}}({{t}_{0}}) = 0$ возможно только при $\alpha d_{n}^{2}{{t}_{0}} = 2\pi k$, $k \in N$. В силу (2.1) при больших $n$: ${{d}_{n}} \approx \frac{\pi }{{2l}}(2n - 1)$, тогда при $d = \frac{{\alpha {{t}_{0}}\pi }}{{8{{l}^{2}}}}$ = = $\frac{k}{{{{{(2n - 1)}}^{2}}}}$ нарушается единственность решения задачи 2.

Итак, установлен критерий единственности решения задачи 2.

Теорема 2. Если существует решение задачи 2, то оно единственно тогда и только тогда, когда ${{g}_{n}}({{t}_{0}}) \ne 0$ для всех $n \in N$.

Лемма 1. Пусть $g(t)$ – возрастающая и положительная функция на отрезке $\left[ {0,T} \right]$ и $d$ – алгебраическое число степени $s \geqslant 2$. Тогда при больших $n$ справедливы оценки

где ${{\left\| g \right\|}_{C}} = \mathop {\sup }\limits_{0 \leqslant t \leqslant T} \left| {g(t)} \right|$, ${{C}_{i}}$ – положительные постоянные, зависящие, вообще говоря, от $\alpha ,l,T$, ${{\left\| g \right\|}_{C}}$.

Доказательство проводится аналогично работе [12].

Лемма 2. Пусть $d$ – алгебраическое число степени $s \geqslant 2$. Тогда при любом $t \in \left[ {0,T} \right]$ и больших $n$ справедливы оценки

Справедливость этих оценок следует из формул (3.4) и (3.3) на основании леммы 1.

Формально почленным дифференцированием первого ряда из (3.5) составим ряды

В силу леммы 2 эти ряды при любых $(x,t) \in \bar {D}$ мажорируются числовым рядом

для сходимости которого достаточно потребовать, чтобы выполнялись условия:

При выполнении этих условий ряд (3.6) мажорируется сходящимся рядом

Таким образом, доказана следующая

Теорема 3. Пусть функции $\varphi (x)$, $\tau (x)$ $\nu (x)\;$ удовлетворяют условиям (3.7), кроме этого, непрерывная функция $g(t)$ и число $d$ удовлетворяют условиям леммы 1. Тогда существует единственное решение задачи 2 и оно определяется рядами (3.5).

4. Исследование обратной задачи 3. Удовлетворим функцию (2.2) граничному условию (1.6):

С учетом (3.1) из последнего равенства получаем интегральное уравнение Вольтерра первого рода относительно неизвестной функции $g(t)$:

где

Формально почленным дифференцированием ряда (4.2) составим ряды

Аналогично из (4.3) получим

На основании леммы 2 при любых $(x,t) \in \overline D $ ряды (4.2) и (4.4) мажорируются числовым рядом ${{C}_{7}}\sum\nolimits_{n = 1}^\infty {{{n}^{2}}\left| {{{f}_{n}}} \right|} $, а ряды (4.3) и (4.5) – рядом ${{C}_{7}}\sum\nolimits_{n = 1}^\infty {{{n}^{4}}\left( {\left| {{{\tau }_{n}}} \right| + {{n}^{{ - 2}}}\left| {{{\nu }_{n}}} \right|} \right)} $.

Для сходимости указанных числовых рядов достаточно потребовать выполнения условий теоремы 3. Тогда эти ряды мажорируются сходящимся рядом ${{C}_{8}}\sum\nolimits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{{n}^{2}}}}} $.

Дифференцируя интегральное уравнение (4.1) по t, будем иметь

Учитывая, что $K(t,t) = 0$, при повторном дифференцировании получим

Поскольку из (4.2) следует, что

то последнее уравнение примет вид

Тогда, если $f\left( {{{x}_{0}}} \right) \ne 0$, то уравнение (4.6) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода с непрерывным ядром и непрерывной правой частью при условии $h(t) \in {{C}^{2}}\left[ {0,T} \right]$. Следовательно, это уравнение имеет единственное решение $g(t)$ в классе $C\left[ {0,T} \right]$.

Теорема 4. Пусть функции $\tau (x)$, $\nu (x)$ удовлетворяют условиям теоремы 1, $f(x) \in {{C}^{4}}\left[ {0,l} \right]$, $f(0) = f{\kern 1pt} '(0) = f{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(l) = f{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(l)$ = 0, $h(t) \in {{C}^{2}}\left[ {0,T} \right]$ и $h(0) = \tau \left( {{{x}_{0}}} \right)$, h'(0) = = $\nu \left( {{{x}_{0}}} \right)$. Тогда, если $f\left( {{{x}_{0}}} \right) \ne 0$, то задача 3 имеет единственное решение, которое определяется формулой (2.2), а функция $g(t)$ находится из интегрального уравнения (4.6).

Выясним, насколько существенно условие $f\left( {{{x}_{0}}} \right) \ne 0$ в теореме 4. Пусть для некоторых $n = m$ выполняется равенство ${{Y}_{m}}({{x}_{0}}) = 0$. Тогда для функции $f(x) = {{Y}_{m}}(x)$ при любой функции $g(t) \in C\left[ {0,\,T} \right]$ существует ненулевое решение задачи 3 (где τ(x) = = $\nu (x) = h(t)$ = 0)