Радиотехника и электроника, 2019, T. 64, № 12, стр. 1212-1218

ВВЕДЕНИЕ

В последние годы значительно возрос интерес к исследованию спиновых волн в ферромагнитных металлах. Это вызвано тем, что спиновые волны стали использоваться в устройствах магноники для преобразования спиновых токов в электрические [1, 2]. Знание поляризации волн, их пространственного распределения, результата интерференции собственных волн имеет большое значение для обеспечения эффективного возбуждения и преобразования спиновых волн [3, 4]. Теория распространения спиновых волн в ферромагнитных металлах была развита в работах [5‒9]. В теории учтено обменное взаимодействие в ферромагнетике, затухание в магнитной системе, закрепление спинов на границах пластины. Современное состояние проблем исследования колебаний и волн в магнитных средах изложено в монографиях [10, 11].

Методом проникновения электромагнитных волн через тонкие пленки пермаллоя наблюдался ферромагнитный резонанс (ФМР), антирезонанс (ФМАР), а также спин-волновой резонанс (СВР) [12]. В данной работе экспериментально исследовано проникновение электромагнитных волн миллиметрового диапазона. Возбуждение спиновых волн, их распространение в пластине с учетом закрепления спинов в условиях ФМР, ФМАР и СВР рассмотрено в [13, 14]. Расчету поляризации спиновых волн в пластине посвящена работа [15]. Решение этой задачи имеет практическое значение для параметрического возбуждения волн в магнитных средах с использованием спин-поляризованных токов [16]. В [15] рассмотрена поляризация намагниченности и магнитного поля собственных волн пластины для случаев различной толщины пластины: как меньше, так и больше классической глубины скин-слоя. Там показано, что поляризация микроволнового поля различна в условиях ФМР и ФМАР. В случае тонкой пластины, толщина которой меньше глубины скин-слоя, существенную роль играет интерференция собственных прямых и обратных волн. В тонкой пластине при условии ФМАР и в более слабых внешних полях поляризация микроволновых намагниченности и поля близка к круговой. Вблизи ФМР микроволновое магнитное поле имеет поляризацию, близкую к линейной. В толстой пластине в условии ФМАР поляризация и суммарного поля, и намагниченности близки к круговой с направлением обхода, как в ларморовской волне [5, 15]. В поле ФМР поляризация намагниченности эллиптическая, с ларморовским вращением. Поляризация поля тоже эллиптическая, но этот эллипс очень вытянутый. Во всех случаях слабого закрепления поле и намагниченность анти-ларморовской и электромагнитной собственных волн малы по сравнению с ларморовской волной. Однако для нахождения пространственного распределения микроволновых полей и намагниченности внутри пластины требуется учесть наличие прямых и отраженных спиновых волн, принять во внимание одновременное возбуждение нескольких волн и их интерференцию внутри пластины. Эта задача решается в данной работе.

1. КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ РАСЧЕТНОГО МЕТОДА

Прохождение электромагнитных волн через ферромагнитную металлическую пластину и отражение волн от нее будем рассматривать, следуя работам [5, 9, 15]. Запишем уравнения Максвелла для электрического E и магнитного поля H в металле и уравнения Ландау–Лифшица движения магнитного момента:

где $\vec {M}$ – намагниченность, σ – проводимость металла, $c$ – скорость света в вакууме, $A$ – обменный параметр, M_s – намагниченность насыщения, ${\gamma } = {{g\,e} \mathord{\left/ {\vphantom {{g\,e} {2mc}}} \right. \kern-0em} {2mc}}$ – гиромагнитное отношение, $g$ – фактор спектроскопического расщепления, $e$ и $m$ – заряд и масса электрона, G – постоянная Гильберта, характеризующая затухание в магнитной системе.

На рис. 1 представлено расположение векторов распространения и поляризации волн по отношению к рассматриваемой ферромагнитной пленке. Электромагнитная волна падает из вакуума 1 на диэлектрическую подложку 2 с толщиной d₂ и диэлектрической проницаемостью ε_s. Далее волна проходит в металлическую ферромагнитную пленку 3 с толщиной d₃ и проводимостью σ. В областях 2 и 3 происходят отражения волн на границах и интерференция. В металлической ферромагнитной пластине существуют волны спиновые ларморовская и антиларморовская и электромагнитно-подобная [5]. Для антиларморовской волны прецессия вектора намагниченности осуществляется по часовой стрелке, если смотреть против направления постоянного магнитного поля, а для ларморовской и электромагнитно-подобной волн – против часовой стрелки. Из области 3 волна переходит в 4. Постоянное магнитное поле направлено вертикально вверх, вдоль оси z (см. рис. 1). Систему (1), (2) нужно дополнить граничными условиями для полей и спинов.

Граничные условия для полей имеют обычный вид (см. [15]). Граничные условия для спинов на границе металлической пленки и диэлектрической подложки при y = d₂ записываются следующим образом:

а на границе между пленкой и вакуумом при y = d₂+ + d₃ – Здесь m_i – компоненты напряженности микроволнового магнитного поля и намагниченности, $K_{s}^{{({{d}_{2}})}}$ и $K_{s}^{{({{d}_{2}} + {{d}_{3}})}}$ – константы закрепления спинов на границах пленки. Ход решения системы (1), (2) с граничными условиями (3), (4) подробно изложен в [14, 15]. Здесь мы рассмотрим способ расчета поляризации собственных волн.

Будем полагать, что все компоненты переменных электромагнитных полей в пленке пропорциональны множителю $\exp \left( {i{\omega }t - {{k}_{n}}y} \right),$ где ω = 2πf – круговая частота, соответствующая частоте f, t – время, ${{k}_{n}}$ – волновое число, соответствующее одной из мод ферромагнитной среды.

Как было показано ранее [12–15], при рассматриваемой здесь ориентации поля подмагничивания относительно плоскости магнитной пластины в ней распространяются три моды спиновых волн. Согласно [15] будем использовать следующие значения цифрового индекса n для волновых чисел ${{k}_{n}}{\text{:}}$ 1 – антиларморовская спиновая волна ${{L}_{ - }};$ 2 – ларморовская спиновая волна ${{L}_{ + }};$ 3 – электромагнитно-подобная волна ${{E}_{ + }}.$

Для расчета компонент векторов переменного магнитного поля $\vec {h}$ и намагниченности $\vec {m},$ соответствующих n-й моде электромагнитных волн, распространяющихся в пластине, используем следующие выражения [13, 14]:

где $F\left( {{{k}_{n}},y} \right) = {{A}_{n}}\left( {{{k}_{n}}} \right)\exp \left( { - {{k}_{n}}y} \right) + {{B}_{n}}\left( {{{k}_{n}}} \right)\exp \left( {{{k}_{n}}y} \right),$${\eta } = {{{{H}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{H}_{0}}} {\left( {4{\pi }{{M}_{s}}} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {4{\pi }{{M}_{s}}} \right)}}$ – нормированная напряженность внешнего постоянного магнитного поля, $\Omega = {\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega {\left( {4\pi {{M}_{s}}\gamma } \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {4\pi {{M}_{s}}\gamma } \right)}}$ – нормированная круговая частота, $\alpha = {G \mathord{\left/ {\vphantom {G {\left( {{{M}_{s}}\gamma } \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {{{M}_{s}}\gamma } \right)}}$ – нормированный параметр затухания, $\varepsilon = {{\sqrt {{A \mathord{\left/ {\vphantom {A {2\pi }}} \right. \kern-0em} {2\pi }}} } \mathord{\left/ {\vphantom {{\sqrt {{A \mathord{\left/ {\vphantom {A {2\pi }}} \right. \kern-0em} {2\pi }}} } {\left( {{{M}_{s}}\delta } \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {{{M}_{s}}\delta } \right)}}$ – нормированный обменный параметр, ${{K}_{n}} = {{k}_{n}}\varepsilon \delta $ – нормированное волновое число n-й моды, $\delta = {c \mathord{\left/ {\vphantom {c {\sqrt {2\pi \omega \sigma } }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {2\pi \omega \sigma } }}$ – глубина скин-слоя. Множители ${{A}_{n}}$ и ${{B}_{n}}$ в формулах (5)–(8) соответствуют парциальным волнам n-й моды, распространяющимся в положительном и отрицательном направлениях оси y (см. рис. 1).

Модули векторов переменного магнитного поля и переменной намагниченности, соответствующие n-й моде, могут быть определены с использованием формул (5)–(8) в виде

Для векторов $\vec {h}$ и $\vec {m}$ будем использовать обозначения $t_{h}^{{\min }},$ $t_{h}^{{\max }}$ и $t_{m}^{{\min }},$ $t_{m}^{{\max }},$ соответствующие моментам времени $t \in \left[ {0\,;\,T} \right],$ $T = {{f}^{{ - 1}}},$ когда их модули принимают соответственно минимальные и максимальные значения.

Углы поворота относительно оси x главных полуосей эллипсов, являющихся траекториями прецессии векторов $\vec {h}$ и $\vec {m},$ определяются выражениями

а эллиптичности этих траекторий – формулами Отметим, что используемые в (10) и (11) обозначения $h$ и m, а также ${{h}_{x}},$ ${{h}_{y}}$ и ${{m}_{x}},$ ${{m}_{y}}$ могут быть отнесены как к модулям и компонентам векторов, соответствующих одной из мод ферромагнитной среды, так и к суммарным полям, т.е. к их суммам, для всех трех мод, в зависимости от рассматриваемой ситуации.

2. АМПЛИТУДА И ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ ПОЛЕЙ В ПЛАСТИНЕ

Интерференция спиновых волн наиболее ярко проявляется в достаточно толстой пластине, по толщине которой укладывается несколько длин волн. Рассмотрим изменение амплитуды и поляризации высокочастотных полей внутри пластины толщиной d₃ = 2 мкм с параметрами: A = 1.16 × 10^–6 эрг/см, M_s = 810 Гс, σ = 5 × 10⁶ См/м, α = 0.01 [15]. Если амплитуды собственных волн, распространяющихся в прямом и обратном направлениях в пластине, сопоставимы по величине, то можно ожидать осцилляционных изменений поля от точки к точке внутри пластины. Можно предполагать, что эти осцилляционные изменения будут сказываться особенно сильно при условии ФМАР, когда затухание волн наименьшее [13, 14]. Результаты расчетов модулей коэффициентов прохождения $\left| T \right|$ и отражения $\left| R \right|$ волн показаны на рис. 2. В полевых зависимостях коэффициентов видны особенности, вызванные ФМАР, ФМР. Рассмотрим случай слабого закрепления спинов на границе пленки $K_{s}^{{({{d}_{2}})}}$ = $K_{s}^{{({{d}_{2}} + {{d}_{3}})}}$ = 0.1 эрг/см².

Рассмотрим пространственные распределения амплитуд суммарного поля и намагниченности, рассчитанные по формулам (9). Изменения амплитуд обоих полей на рис. 3а можно представить в виде суммы составляющих: монотонного и приблизительно линейного уменьшения амплитуды с ростом глубины – расстояния, которое отсчитывается от границы пленки с подложкой $\left( {y = {{d}_{2}}} \right)$ в положительном направлении оси y, и затухающих осцилляций с пространственным периодом 43 нм. Анализ дисперсионных зависимостей, выполненный в [13], позволяет установить, что этот период осцилляций вызван интерференцией прямой и обратной ларморовской спиновой волны. Значительно сильнее сказывается интерференция волн на поляризации, т.е. величине угла наклона φ большей оси эллипса поляризации, и эллиптичности, т.е. отношении размеров осей эллипса поляризации ε, |ε| > 1.

Изменения φ и ε по глубине, полученные с использованием формул (10) и (11), показаны на рис. 3б, 3в. Осцилляции этих величин также имеют период 43 нм. Осцилляции выражены в более сильной степени вблизи границ пластины. Величина осцилляций угла поворота очень значительна, она превышает 1 рад. Размах осцилляций эллиптичности на большей части толщины пластины невелик, от 0.97 до 0.995. Другими словами, поляризация поля близка к круговой и амплитуда поля прямой волны значительно превышает амплитуду обратной. Только вблизи дальней границы пластины эллиптичность уменьшается из-за возрастания влияния отраженной от границы волны.

Результаты расчетов для двух характерных случаев показаны на рис. 4. Ограничимся рассмотрением наибольшей по амплитуде электромагнитно-подобной волны ${{E}_{ + }}.$ На рис. 4а представлены результаты расчета при условии ФМР H = 8.5 кЭ ≈ H_ФМР при слабом закреплении спинов $K_{s}^{{({{d}_{2}})}}$ = $K_{s}^{{({{d}_{2}} + {{d}_{3}})}}$ = = 0.1 эрг/см². Амплитуды намагниченности и магнитного поля экспоненциально уменьшаются по мере удаления от поверхности ввода волны с глубиной затухания около 200 нм. Напряженность поля электромагнитно-подобной волны имеет эллиптичность около 0.68 по всей толщине пластины 2000 нм и угол поворота большей оси эллипса, близкий к нулю. Намагниченность электромагнитно-подобной волны близка к линейной поляризации с углом поворота φ, равным π/2. Расчет показал, что для случая сильного закрепления спинов на границе $K_{s}^{{({{d}_{2}})}}$ = $K_{s}^{{({{d}_{2}} + {{d}_{3}})}}$ = 0.6 эрг/см² и при условии ФМР H = 8.5 кЭ ≈ H_ФМР для амплитуды и поляризации намагниченности и поля электромагнитно-подобной волны получаются очень похожие результаты.

Иной результат получается при условии ФМАР H = 2.5 кЭ ≈ H_ФМАР (рис. 4б): глубина проникновения волны резко увеличилась и намного превысила толщину ферромагнитной пластины 2000 нм. Поляризация и микроволнового поля, и намагниченности для электромагнитно-подобной волны весьма близка к круговой.

Выполненные нами расчеты показали, что пространственное распределение амплитуды собственных волн оказалось приблизительно одинаковым как при слабом, так и при сильном закреплении спинов на границах пленки. В частности, в условиях ФМАР при H = 2.5 кЭ антиларморовская спиновая волна S_– спадает крайне быстро, на расстоянии в несколько нанометров. Электромагнитно-подобная волна E₊ спадает в e раз на расстоянии примерно 700 нм. Ларморовская спиновая волна S₊ спадает на толщине пленки на ~30%. Разумеется, это явление проникновения волны сквозь металл в условиях ФМАР хорошо известно [17]. При условии ФМР в поле H = 8.5 кЭ анти-ларморовская спиновая волна S_– также спадает крайне быстро. Электромагнитно-подобная волна E₊ спадает на расстоянии примерно 150 нм, а ларморовская спиновая волна S₊ спадает на расстоянии примерно 150 нм, так же как и электромагнитно-подобная волна.

Теперь рассмотрим пространственные распределения амплитуд суммарного поля и намагниченности при сильном закреплении $K_{s}^{{({{d}_{2}})}}$ = $K_{s}^{{({{d}_{2}} + {{d}_{3}})}}$ = = 0.6 эрг/см². Отдельно рассмотрим случаи ферромагнитного резонанса и антирезонанса, так как распределение и поляризация полей при этих условиях радикально отличаются. При условии ФМАР в поле H = 2.5 кЭ микроволновые напряженность поля и намагниченность спадают в целом почти линейно по глубине (рис. 5а). Кроме линейного вклада на рисунке видны осцилляции амплитуды поля как функция глубины. Угол поворота φ и эллиптичность испытывают сильнейшие осцилляции. Угол поворота φ изменяется от –π/2 до +π/2. Осцилляции вызваны интерференцией моды S₊. Размах осцилляций эллиптичности резко увеличивается при приближении к дальней стороне пластины.

Распределение поля при условии ФМР при H = 8.5 кЭ значительно отличается от предыдущего случая и от результатов работы [18], в которой интерференция спиновых волн не принималась во внимание. Пространственное распределение намагниченности оказывается немонотонным с локальным максимумом на глубине около 180 нм. Наличие максимума связано с существованием сопоставимых по амплитуде волн. На глубине свыше 200 нм спадание намагниченности близко к экспоненциальному. Осцилляций намагниченности и напряженности поля на рис. 5б не видно. Это вполне объяснимо, поскольку при ФМР амплитуды волн из-за поглощения существенно уменьшаются и условия для интерференции ухудшаются. Осцилляции угла поворота и эллиптичности в этом случае не видны. Кроме этого, существенного пространственного изменения поляризации тоже нет. Величина угла поворота и эллиптичность суммарного микроволнового поля близки к тем же величинам для электромагнитно-подобной волны в аналогичных условиях. Это сходство в условиях ФМР неудивительно, поскольку электромагнитно-подобная волна имеет наибольшую амплитуду среди собственных волн.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследовано распространение и интерференция спиновых волн в ферромагнитной металлической пластине. Разработан метод расчета поляризации волн и выполнены расчеты поляризации в различных внешних полях: в условиях ФМР, ФМАР. Рассмотрена поляризация собственных волн и суммарного микроволнового поля и микроволновой намагниченности в ферромагнитной металлической пластине.

Показано, что в распределении амплитуд суммарного микроволнового поля и намагниченности есть монотонный спадающий по глубине вклад и осцилляции, вызванные интерференцией прямой и обратной ларморовской спиновой волн. Обнаружено, что интерференция волн особенно существенна при слабом закреплении спинов на границах пленки. Осцилляции угла поворота эллипса поляризации и эллиптичности велики при условии ФМАР.

Результаты расчетов важны для понимания законов распространения спиновых волн в пластинах и могут быть полезны для расчета оптимальных условий возбуждения и преобразования волн в устройствах магноники.