Радиотехника и электроника, 2021, T. 66, № 6, стр. 571-576

ВВЕДЕНИЕ

Вопросы единственности решения задач взаимодействия электромагнитного поля с неоднородной диэлектрической средой, находящейся в трехмерной ограниченной области Q, окруженной свободным пространством, имеют принципиальное значение в электродинамике. Если среда в Q имеет потери, то решение задачи единственно, т.е. при отсутствии внешнего источника поля решение во всем пространстве, в том числе в области Q, может быть только нулевым. При отсутствии потерь в среде, особенно при наличии анизотропии, возникают значительные трудности при доказательстве единственности. В работах [1–3] было доказано, что для сред без потерь и с гладкими параметрами среды во всем пространстве решение задач единственно, если выполняется условие

где ${{\varepsilon }_{{nm}}}$ – компоненты тензора ора диэлектрической проницаемости $\hat {\varepsilon }$ в декартовой системе координат. Для изотропной среды условие (1) принимает вид $\varepsilon (x) \ne 0,{\kern 1pt} {\kern 1pt} \,\,x \in Q$.

Цель данной работы – представить доказательство, что в среде без потерь, в которой нарушается условие (1), существуют ненулевые решения в Q для однородной задачи. Если среда анизотропная, то в области Q может находиться электромагнитная энергия и при этом нет излучения в окружающее пространство.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим следующий класс задач. В трехмерной ограниченной области Q среда характеризуется эрмитовой кусочно-дифференцируемой тензор функцией диэлектрической проницаемости $\hat {\varepsilon }(x)$, а вне области диэлектрическая проницаемость изотропна и равна ${{\varepsilon }_{0}}$ и везде $\mu = {{\mu }_{0}}$, $\operatorname{Im} \,{{\varepsilon }_{0}} = 0,$ $\operatorname{Im} {{\mu }_{0}} = 0,$ $\operatorname{Re} \,{{\varepsilon }_{0}} > 0,$ $\operatorname{Re} \,{{\mu }_{0}} > 0$. (Тензор $\hat {\alpha }$ является эрмитовым, если $\hat {\alpha } = \hat {\alpha }{\text{*}}$, где $\hat {\alpha }{\text{*}}$ - сопряженный тензор, т.е. транспонированный тензор с комплексно сопряженными элементами). Нашей целью является изучение решений однородных уравнений Максвелла

удовлетворяющих условию излучения на бесконечности

где ${{k}_{0}} = \omega \sqrt {{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}} $, $u$ – любая из декартовых компонент полей $\vec {E}$ или $\vec {H}$. Кроме того, на поверхностях разрыва параметров среды тангенциальные компоненты полей должны быть непрерывны.

Поставленная задача может быть сведена к однородному объемному сингулярному интегральному уравнению относительно электрического поля [1]

где G – функция Грина для уравнения Гельмгольца

$R = \left| {x - y} \right|$, $x = ({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})$, $y = ({{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}})$, $\Omega \supseteq Q$. Из (4) ясно, что электромагнитное поле в Q не зависит от значения полей в области $\Omega {\kern 1pt} \backslash {\kern 1pt} \bar {Q}$.

2. УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕЗОНАНСНЫХ СТРУКТУР

С помощью леммы Реллиха, используя условие на бесконечности (3), в [4] доказывается, что в области ${{{\mathbf{R}}}^{{\mathbf{3}}}}\,\backslash \,\bar {Q}$ электромагнитное поле, удовлетворяющее (2), (3), равно нулю. Тогда из теоремы Пойнтинга, учитывая эрмитовость тензор-функции $\hat {\varepsilon }(x)$, следует интегральное равенство

Для изучения решений однородных уравнений будем применять принцип продолжения решения по непрерывности, который справедлив для эллиптических дифференциальных уравнений [5]. Несложно видеть, что уравнения Максвелла не являются эллиптическими. Однако если тензор-функция $\hat {\varepsilon }(x)$ трижды дифференцируема в какой-либо области, то в этой области уравнения Максвелла (2) могут быть сведены в декартовой системе координат к следующей системе дифференциальных уравнений [2, 6]:

В (7) используется правило суммирования по повторяющимся индексам, а ${{L}_{{kmn}}}$ – символ Леви–Чивита. Система уравнений (7) будет эллиптической, если выполняется условие (1) [2, 6].

Для исследования решений интегрального уравнения (4) будем использовать гильбертово пространство интегрируемых с квадратом вектор-функций ${{\vec {L}}_{2}}(\Omega )$ со скалярным произведением, определяемым формулой

Дадим несколько определений, которые используются в дальнейшем изложении.

Определение 1. Пусть A – линейный ограниченный оператор, действующий в гильбертовом пространстве H. Тогда оператор $A{\text{*}}$, который также определен в H, называется сопряженным к A, если равенство $(Af,g) = (f,A{\text{*}}g)$ выполняется для всех $f,g \in H$.

Решения однородного уравнения $Au = 0$ будем называть нулями оператора A. Обозначим размерность подпространства нулей через $n{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (A)$. Тогда $n\,(A{\text{*}})$ – размерность подпространства нулей сопряженного оператора $A{\text{*}}$. Разность IndA = $ = n(A) - n(A*)$ называется индексом A.

Определение 2. Линейный ограниченный оператор A, действующий в гильбертовом пространстве H, называется нетеровым оператором, если значения $n{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (A)$ и $n\,(A*)$ конечны.

Имеет место следующее утверждение [1–3].

Теорема 1. Пусть тензор-функция $\hat {\varepsilon }{\kern 1pt} (x){\kern 1pt} {\kern 1pt} $ является всюду в ${{{\mathbf{R}}}^{{\mathbf{3}}}}$ непрерывной по Гёльдеру функцией координат, а вне ограниченной области $\Omega $ диэлектрическая проницаемость постоянна и равна ${{\varepsilon }_{0}}$. Тогда, для того чтобы оператор уравнения (4) был нетеровым в гильбертовом пространстве ${{\vec {L}}_{2}}(\Omega )$, необходимо и достаточно выполнения в $\Omega $ условия (1).

Отметим, что условие эллиптичности дифференциальных уравнений (7) и условие нетеровости интегрального оператора уравнения (4) совпадают, однако для дифференциальных уравнений требуется большая гладкость параметров среды.

Обозначим через A оператор уравнения (4), где $\Omega = Q$. Тогда

где $\hat {\eta }{\kern 1pt} {\kern 1pt} (x) = {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {{{{\hat {\varepsilon }}}_{r}}{\kern 1pt} (x) - \hat {I}} \right)$ – тензор-функция, а ${{\hat {G}}_{0}}{\kern 1pt} (x,y)$ и ${{\hat {G}}_{1}}{\kern 1pt} (x,y)$ – матричные функции, очевидным образом определяемые из (4), (5).

Рассмотрим оператор в пространстве ${{\vec {L}}_{2}}(Q)$ вида

где $\hat {G}(x,y)$ – тензор-функция. Из (8) следует, что сопряженный оператор определяется формулой

где $\hat {G}{\text{*}}$ – сопряженный к $\hat {G}$ тензор. Тогда оператор, сопряженный к оператору (9) в пространстве ${{\vec {L}}_{2}}(Q)$, будет иметь следующий вид:

Из (4), (5) следует, что ${{\hat {G}}_{n}}{\kern 1pt} (x,y) = {{\hat {G}}_{n}}{\kern 1pt} (y,x)$, ${{\hat {G}}_{n}}{\kern 1pt} = \hat {G}_{n}^{t}$, n = 0, 1. Учитывая эти свойства тензоров, возьмем комплексное сопряжение от выражения (11):

В (12) символы t и * обозначают соответственно транспонированный тензор и комплексно сопряженный вектор.

Имеет место следующее вспомогательное утверждение [7].

Лемма 1. Пусть тензор-функция $\hat {\eta }{\kern 1pt} {\kern 1pt} (x) = {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {{{{\hat {\varepsilon }}}_{r}}{\kern 1pt} (x) - \hat {I}} \right)$ может не иметь обратную функцию в Q только на множестве точек меры ноль, например на границе Q. Тогда размерности подпространств нулей оператора $A({{\hat {\varepsilon }}^{t}})\,$ и оператора $A{\text{*}}(\hat {\varepsilon })\,$, действующих в ${{\vec {L}}_{2}}(Q)$, связаны равенством $n\left( {A{\text{*}}(\hat {\varepsilon })} \right) = n\left( {A({{{\hat {\varepsilon }}}^{t}})} \right)$, где A и $A{\text{*}}$ определяются выражениями (9) и (11).

Доказательство.

Пусть $\vec {W} \in {{\vec {L}}_{2}}(Q)$ – нуль оператора (11), т.е. $A{\text{*}}\vec {W} = 0$. Обозначим

Тогда, поскольку $A{\text{*}}\vec {W} = 0$, из (12) получим $\vec {W}* = {{\hat {\eta }}^{t}}\vec {V}$. Теперь из (9), (12) имеем

где $A({{\hat {\varepsilon }}^{t}})\,$ – оператор уравнения (9) с тензором диэлектрической проницаемости, равным ${{\hat {\varepsilon }}^{t}}\,$. Из (13) следует, что любой нуль оператора $A{\text{*}}(\hat {\varepsilon })\,$ определяет нуль оператора $A({{\hat {\varepsilon }}^{t}})\,$. Обратное из (13) не следует. Значит, размерности подпространств нулей этих операторов связаны неравенством $n\,\left( {A{\text{*}}(\hat {\varepsilon })} \right) \leqslant n\,\left( {A({{{\hat {\varepsilon }}}^{t}})} \right)$. Теперь пусть $\vec {W}$ – нуль оператора (9) с диэлектрической проницаемостью ${{\hat {\varepsilon }}^{t}}$, т.е. $A({{\hat {\varepsilon }}^{t}})\,\vec {W} = 0$. Обозначим $\vec {V}* = {{\hat {\eta }}^{t}}\vec {W}$. Тогда из (9), (12) имеем $(A{\text{*}}\vec {V})* = {{\hat {\eta }}^{t}}A({{\hat {\varepsilon }}^{t}})\vec {W} = 0$, откуда следует, что $n\,\left( {A({{{\hat {\varepsilon }}}^{t}})} \right) \leqslant n\left( {A{\text{*}}(\hat {\varepsilon })} \right)$. Значит, $n\left( {A({{{\hat {\varepsilon }}}^{t}})} \right) = n\left( {A{\text{*}}(\hat {\varepsilon })} \right)\,$, т.е. размерности подпространств нулей операторов $A{\text{*}}(\hat {\varepsilon })\,$ и $A({{\hat {\varepsilon }}^{t}})\,$ равны. Лемма доказана.

Теперь докажем основной результат работы.

Теорема 2. Пусть в ограниченной области Q среда характеризуется эрмитовой тензор-функцией диэлектрической проницаемости $\hat {\varepsilon }(x)$, а вне Q диэлектрическая проницаемость равна ${{\varepsilon }_{0}}$. Кроме того, тензор-функция ${\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \left( {\hat {\varepsilon }{\kern 1pt} (x) - {{\varepsilon }_{0}}\hat {I}} \right)$ может не иметь обратную функцию в Q только на множестве точек меры ноль, например на границе Q. Тогда существуют ненулевые решения однородного уравнения (4) в ${{\vec {L}}_{2}}(Q)$, если выполняется одно из следующих условий.

А. В каждой точке области Q нарушается условие (1); компоненты тензора – вещественные величины и являются непрерывными по Гёльдеру функциями в Q;

Б. Существует подобласть ${{Q}_{0}} \subset Q$, в каждой точке которой нарушается условие (1), а в области $Q\,\backslash \,{{Q}_{0}}$ условие (1) выполняется; $\hat {\varepsilon }(x)$ – трижды дифференцируемая функция в ${{{\mathbf{R}}}^{{\mathbf{3}}}}$.

Если среда в Q анизотропная, тензор $\hat {\varepsilon }$ имеет обратный тензор в каждой точке области нарушения условия (1), то в области Q может накапливаться энергия электромагнитного поля.

Доказательство. Будем использовать некоторые рассуждения, приведенные в работе [7] при доказательстве теорем существования и единственности решения задач рассеяния. Рассмотрим сначала условие A теоремы 2. Определим область B в виде шара с центром в точке ${{x}_{0}} \in Q$ и радиусом $2d$, где d – диаметр области Q (диаметр области – максимальное расстояние между точками границы). Очевидно, что $Q \subset B$. Зададим в области B непрерывную по Гёльдеру эрмитову тензор-функцию ${{\hat {\varepsilon }}^{0}}(x)$, причем ${{({{\hat {\varepsilon }}^{0}})}^{t}} = {{\hat {\varepsilon }}^{0}}$, а компоненты тензора вещественные величины. Далее, в области Q функция ${{\hat {\varepsilon }}^{0}}(x)$ совпадает с функцией $\hat {\varepsilon }(x)$, т.е._{${{\hat {\varepsilon }}^{0}}(x) = \hat {\varepsilon }(x),\,x \in Q$.} Определим функцию-срезку со свойствами:

$\zeta (t;a,b) \in {{C}^{\infty }}({{{\mathbf{R}}}^{{\mathbf{1}}}})$, $0 \leqslant \zeta (t;a,b) \leqslant 1$, $\zeta (t;a,b) = 1$ при $t \leqslant a$,

$\zeta (t;a,b) = 0$ при $t \geqslant b$,

$\zeta (t;a,b) > 0$ при $a < t < b$ ($0 < a < b$).

Рассмотрим вспомогательную задачу, которая описывается однородным интегральным уравнением (4) в области $\Omega = B$ с диэлектрической проницаемостью ${{\hat {\varepsilon }}^{c}}(x)$, определяемой формулой

В (14) $\sigma (x)$ – вещественная непрерывная по Гёльдеру функция, которая определяется следующим образом:

$\sigma (x) \geqslant 0$; $\sigma (x) = 0$ при $x \in Q$,

$\sigma (x) > 0$ при $x \in B\,\backslash \,Q$;

$\sigma (x) = 0$, $x \in {{{\mathbf{R}}}^{{\mathbf{3}}}}\,\backslash \,B$.

Диэлектрическая проницаемость ${{\hat {\varepsilon }}^{с}}(x)$ является всюду в ${{{\mathbf{R}}}^{{\mathbf{3}}}}$ непрерывной по Гёльдеру функцией. Поскольку условие (1) не выполняется в Q, то из теоремы 1 следует, что оператор A уравнения (4) с указанной диэлектрической проницаемостью не является нетеровым в пространстве ${{\vec {L}}_{2}}(B)$. Докажем, что размерность подпространства нулей оператора бесконечна. Предположим, что это не так, т.е. значение n(A) конечно. Тогда, учитывая, что ${{({{\hat {\varepsilon }}^{с}})}^{t}} = {{\hat {\varepsilon }}^{с}}$, из леммы 1 следует – значение $n\,(A*)$ тоже конечно и, значит, оператор A является нетеровым. Таким образом, приходим к противоречию, и поэтому значение n(A) бесконечно.

Теперь рассмотрим структуру нулей оператора уравнения (4), определенного в области B. В области $B\,\backslash \,\overline Q $ среда, определяемая (14), имеет потери, и поэтому в этой области электромагнитное поле равно нулю. Тогда, сравнивая уравнение (4), определенное в области B с диэлектрической проницаемостью (14), и уравнение (4) в области Q, находим, что множества нулей операторов этих уравнений совпадают в Q. Значит, существует бесконечное число ненулевых решений однородного уравнения (4) в ${{\vec {L}}_{2}}(Q)$.

Покажем, что для анизотропной среды энергия электромагнитного поля, определяемая ненулевыми решениями в Q, также ненулевая. Энергия электромагнитного поля в Q определяется выражением

Из (6), (15) получим

Значит, электромагнитная энергия в Q будет нулевой, если магнитное поле равно нулю. Предположим, что магнитное поле равно нулю в Q. Тогда из первого уравнения (2) имеем $\hat {\varepsilon }\,\vec {E} = 0$, и поскольку тензор-функция $\hat {\varepsilon }(x)$ имеет обратную функцию в Q, электрическое поле также равно нулю. Значит, энергия электромагнитного поля, определяемая ненулевыми решениями уравнения (4) в ${{\vec {L}}_{2}}(Q)$, также ненулевая.

Теперь пусть выполняется условие Б теоремы 2. Рассмотрим вспомогательную задачу, которая описывается уравнением (4) в области $\Omega = B$ с диэлектрической проницаемостью $\hat {\varepsilon }(x)$. Из условия теоремы следует, что в области $B\,\backslash \,Q$ диэлектрическая проницаемость постоянна и равна ${{\varepsilon }_{0}}$. Но поскольку тензор-функция $\hat {\varepsilon }(x)$ – эрмитова, то электромагнитное поле равно нулю в области $B\,\backslash \,Q$. Тогда получаем, что множества нулей операторов уравнения (4) в области B и уравнения (4) в Q совпадают в области Q.

Пусть в уравнении (4) диэлектрическая проницаемость равна ${{\hat {\varepsilon }}^{t}}(x)$. Тогда электромагнитное поле для этой задачи также равно нулю в области $B\,\backslash \,Q$. Покажем, что

где A – оператор уравнения (4) в области B.

Электромагнитное поле в Q, определяемое уравнением (4), удовлетворяет уравнениям Максвелла и нулевым граничным условиям на $\partial Q$. Из уравнений (2) следует, что элементы множества нулей оператора $A(\hat {\varepsilon })\,$ описываются решениями уравнения

удовлетворяющими граничным условиям – тангенциальные компоненты $\vec {E}$ и ${\kern 1pt} {\text{rot}}{\kern 1pt} \vec {E}$ на $\partial Q$ равны нулю. Аналогично, элементы множества нулей оператора $A({{\hat {\varepsilon }}^{t}})\,$ описываются решениями уравнения

удовлетворяющими граничным условиям – тангенциальные компоненты ${{\vec {E}}_{1}}$ и ${\kern 1pt} {\text{rot}}{\kern 1pt} {{\vec {E}}_{1}}$ на $\partial Q$ равны нулю.

Пусть $\vec {E}$ – нуль оператора $A(\hat {\varepsilon })\,$. Возьмем комплексное сопряжение (18). Тогда, поскольку тензор $\hat {\varepsilon }\,$ эрмитов, из (18), (19) получим, что ${{\vec {E}}_{1}} = \vec {E}{\text{*}}$ является нулем оператора $A({{\hat {\varepsilon }}^{t}})\,$, и поэтому $n\left( {A(\hat {\varepsilon })} \right)\, \leqslant n\left( {A({{{\hat {\varepsilon }}}^{t}})} \right)$. Аналогично, применяя комплексное сопряжение к (19), получим $n\left( {A({{{\hat {\varepsilon }}}^{t}})} \right) \leqslant n\left( {A(\hat {\varepsilon })} \right)$. Значит, справедливо равенство (17). Поскольку множества нулей операторов уравнений (4) в B и в Q совпадают в области Q, получим равенство (17) для оператора уравнения (4) в Q.

Диэлектрическая проницаемость $\hat {\varepsilon }(x)$ является всюду в ${{{\mathbf{R}}}^{{\mathbf{3}}}}$ дифференцируемой функцией. Поэтому, поскольку условие (1) не выполняется в области ${{Q}_{0}} \subset Q$, из теоремы 1 получим, что оператор уравнения (4) не является нетеровым в пространстве ${{\vec {L}}_{2}}(Q)$. Из (17) и леммы 1 следует, что $n(A) = n(A*)$ для оператора уравнения (4) в области Q. Значит, аналогично изложенному выше получаем, что значение n(A) бесконечно.

Теперь рассмотрим структуру нулей оператора уравнения (4) в области B. Согласно условию Б, эрмитова тензор-функция $\hat {\varepsilon }(x)$ в области $B\,\backslash \,{{Q}_{0}}$ удовлетворяет условию (1) и является трижды дифференцируемой. Тогда, используя уравнения (7) и применяя принцип продолжения решения по непрерывности [5] из области $B\,\backslash \,\overline Q $ в область $Q\,\backslash \,{{Q}_{0}}$, получим, что электромагнитное поле равно нулю в $B\,\backslash \,{{Q}_{0}}$. Множества нулей оператора уравнения (4) в B и оператора уравнения (4) в Q совпадают. Значит, существует бесконечное число ненулевых решений однородного уравнения (4) из ${{\vec {L}}_{2}}(Q)$, которые локализованы в области ${{Q}_{0}}$.

Для анизотропной среды получим, аналогично изложенному выше, что энергия электромагнитного поля в ${{Q}_{0}}$, определяемая ненулевыми решениями уравнения (4), ненулевая. Теорема доказана.

В изотропной среде при выполнении условий теоремы 2 энергия электромагнитного поля не может накапливаться. В этом случае нарушение условия (1) принимает вид $\varepsilon (x) = 0$. Тогда в области ${{Q}_{1}}$, где нарушается условие (1), из (6) имеем, что в этой области магнитное поле равно нулю. Значит, согласно (16) энергия также равна нулю. Далее из второго уравнения (2) следует, что $\vec {E} = {\text{grad}}\varphi $, где $\varphi $ – любая дифференцируемая функция, удовлетворяющая условию ${\text{grad}}\varphi = 0$ на $\partial {{Q}_{1}}$. Очевидно, что существует бесконечное число таких ненулевых решений.

Пусть диэлектрическая проницаемость всюду в ${{{\mathbf{R}}}^{{\mathbf{3}}}}$ постоянна и равна ${{\varepsilon }_{0}}$, а в области Q задана тензор-функция магнитной проницаемости $\hat {\mu }(x)$. Тогда справедливы рассмотренные уравнения с заменой $\vec {E} \to \vec {H}{\kern 1pt} ,\,\,\vec {H} \to - \vec {E}$ и диэлектрической проницаемости на магнитную проницаемость и обратно. Очевидно, что в этом случае справедливы все полученные утверждения с указанными выше заменами.

3. ПРИМЕРЫ РЕЗОНАНСНЫХ СТРУКТУР

Теорема 2 дает ответ на вопрос о существовании открытых резонансных анизотропных диэлектрических структур.

Приведем пример простой анизотропной среды, для которой выполняется условие А теоремы 2. В области Q среда характеризуется постоянным тензором диэлектрической проницаемости, который в декартовой системе координат имеет вид ${{\varepsilon }_{{nm}}} = {{\varepsilon }_{n}}{{\delta }_{{nm}}}$, где ${{\varepsilon }_{1}},{{\varepsilon }_{2}},{{\varepsilon }_{3}}$ – вещественные величины, ${{\varepsilon }_{1}},{{\varepsilon }_{2}} > 0$, ${{\varepsilon }_{1}},{{\varepsilon }_{2}} \ne {{\varepsilon }_{0}}$, а ${{\varepsilon }_{3}} < 0$. Очевидно, что выполняются все условия теоремы, поэтому в Q может накапливаться электромагнитная энергия. Отметим, что форма области Q может быть практически любой. Можно привести много других примеров, удовлетворяющих условиям теоремы. Однако следует отметить, что подобные анизотропные диэлектрические структуры могут быть получены, по-видимому, только искусственным способом.

Теперь приведем пример анизотропной среды, удовлетворяющей условию Б теоремы 2. Рассмотрим анизотропную плазменную среду без потерь. В области Q среда характеризуется функциями плотности электронов $N(x)$ и внешнего магнитного поля ${{\vec {H}}_{0}}(x)$, которые являются трижды дифференцируемыми в ${{{\mathbf{R}}}^{{\mathbf{3}}}}$, причем ${{\vec {H}}_{0}}(x),N(x) = 0$ при $x \in {{{\mathbf{R}}}^{{\mathbf{3}}}}\,\backslash \,Q$. Для описания тензора диэлектрической проницаемости в точке $x \in Q$ введем локальную декартовую систему координат так, чтобы вектор ${{\vec {H}}_{0}}(x)$ был направлен вдоль оси ${{x}_{3}}$. Тогда компоненты тензора относительной диэлектрической проницаемости среды в локальной системе координат в точке $x \in Q$ будут иметь вид [8]

где e и m – заряд и масса электрона соответственно; с – скорость света; N = N(x), ${{H}_{0}} = \left| {{{{\vec {H}}}_{0}}(x)} \right|$.

Из (20) следует

Из (21), учитывая, что $\alpha _{1}^{2} + \alpha _{2}^{2} = 1 - \alpha _{3}^{2}$, получим, что условие (1) будет нарушено, если

Требование $\;\operatorname{Im} {{\alpha }_{3}} = 0$ приводит к тому, что ${{\omega }^{2}} \leqslant \omega _{p}^{2} + \omega _{H}^{2}$. Далее из (22) следует, что условие ${{\left| {{{\alpha }_{3}}} \right|}^{2}} \leqslant 1$ приводит к тому, что должно выполняться неравенство $\left( {{{\omega }^{2}} - \omega _{p}^{2}} \right)\,\left( {{{\omega }^{2}} - \omega _{H}^{2}} \right) \geqslant 0$. Получим, что условие (1) не будет выполняться, если справедливо одно из следующих условий:

Отметим, что в приведенные условия не входят параметры локальной системы координат.

Рассмотрим условие (24). Пусть в каждой точке области ${{Q}_{0}} \subset Q$ выполняется условие $\omega (x)_{p}^{2} + $ $ + \,\,\omega (x)_{H}^{2} = {{\omega }^{2}}$, а в области $Q\,\backslash \,{{Q}_{0}}$ справедливо неравенство ${{\omega }^{2}} > \omega (x)_{p}^{2} + \omega (x)_{H}^{2}$. Тогда в каждой точке области ${{Q}_{0}}$ условие (1) нарушается, а в области $Q\,\backslash \,{{Q}_{0}}$ оно выполняется. Далее из (20) следует, что тензор-функция $\hat {\varepsilon }(x)$ имеет обратную функцию в каждой точке области ${{Q}_{0}}$. Кроме того, из (20) следует, что тензор $({{\hat {\varepsilon }}_{r}} - \hat {I})$ имеет обратный в каждой точке области Q, за исключением границы $\partial Q$. Значит, выполняются все условия теоремы 2, и в области ${{Q}_{0}}$ может накапливаться энергия электромагнитного поля. Используя условия (23), (24), можно построить примеры других сред, удовлетворяющих условиям теоремы 2.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, доказано, что в среде без потерь, в которой нарушается условие (1) в области неоднородности Q, могут существовать ненулевые решения однородной задачи. Если среда анизотропная, то в области Q может находиться электромагнитная энергия и при этом нет излучения в окружающее пространство. Полученные результаты открывают принципиальную возможность создания аккумуляторов электромагнитной энергии. Кроме того, приведенный пример плазменной среды во внешнем магнитном поле показывает, что природа шаровой молнии связана, возможно, с рассмотренными резонансными структурами.