Радиотехника и электроника, 2022, T. 67, № 3, стр. 249-258
Синтез бифокальных зеркально-линзовых цилиндрических систем с минимальными аберрациями
В. А. Калошин a, *, Ви Ут Нам b
a Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН
125007 Москва, ул. Моховая, 11, стр. 7, Российская Федерация
b Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)
141700 Долгопрудный, Московской обл., Институтский пер. 9, Российская Федерация
* E-mail: vak@cplire.ru
Поступила в редакцию 10.03.2021
После доработки 10.03.2021
Принята к публикации 28.03.2021
- EDN: NRDWPX
- DOI: 10.31857/S0033849422020061
Аннотация
Развита методика синтеза и оптимизации бифокальных зеркально-линзовых цилиндрических систем с использованием последовательного нахождения участков первой поверхности диэлектрической линзы и зеркала, примыкающего ко второй поверхности линзы. При этом начальный участок первой поверхности линзы задается в виде полинома второго порядка, параметры которого определяются в результате решения найденного в работе уравнения в общем случае обеспечивающего непрерывность вторых производных функций, описывающих поверхности линзы и зеркала. Начальный участок зеркала находится в результате решения задачи синтеза плоского фронта для центрального положения источника. Определены параметры оптимизации с целью минимизации величины средне-квадратической аберрации при фиксированной толщине линзы, коэффициенте преломления и угле зрения бифокальной системы. На плоскости этих параметров для углов зрения 50, 70 и 100 градусов найдены области существования решения задачи синтеза, зависимости величины средне-квадратической аберрации от параметров оптимизации и набор параметров, обеспечивающих ее минимальное значение.
ВВЕДЕНИЕ
Цилиндрические зеркальные, линзовые и зеркально-линзовые фокусирующие системы применяются в качестве планарных диаграммо-образующих систем (ДОС) многолучевых антенных решеток [1–6] и антенн с главным зеркалом в виде параболического цилиндра [7].
Цилиндрические зеркально-линзовые ДОС можно реализовать в виде двухслойной конструкции [1, 3, 5, 6, 8], что является преимуществом перед трехслойной конструкцией двухзеркальных ДОС [6, 9]. Апланатические и бифокальные зеркально-линзовые ДОС позволяют обеспечить более широкий угол зрения по сравнению с однозеркальными ДОС [2]. При этом зеркально-линзовые ДОС на основе диэлектрических линз имеют меньшие потери и более простую конструкцию по сравнению с ДОС на основе линз с принудительным преломлением [1, 3].
В работе [10] была синтезирована зеркально-линзовая апланатическая система на основе диэлектрической линзы и проведены исследования зависимости средне-квадратической аберрации (СКА) от параметров системы.
В работе [5] с использованием последовательного нахождения участков первой поверхности диэлектрической линзы и зеркала, примыкающего ко второй поверхности линзы, была синтезирована и исследована бифокальная ДОС, которая обеспечивает меньшую величину СКА в заданном угле зрения, чем апланатическая. При этом вопрос об оптимальных параметрах такой системы, обеспечивающих минимальную величину СКА, остался открытым.
Следует отметить, что можно реализовать бифокальную волноводно-щелевую решетку с использованием двухслойной однозеркальной ДОС [4], а трехфокальную волноводно-щелевую антенную решетку – с использованием зеркально-линзовой ДОС на основе диэлектрической линзы [6]. Однако в процессе синтеза в этих работах в качестве дополнительной степени свободы использовалось определенное положение щелей в волноводах решеток, что ограничивает ширину рабочей полосы частот и область применения ДОС.
Цель данной работы – развитие методики синтеза и оптимизации цилиндрических бифокальных зеркально-линзовых ДОС на основе диэлектрической линзы с целью реализации минимальной СКА в заданном угле зрения и ее апробация на конкретных примерах.
1. МЕТОДИКА СИНТЕЗА БИФОКАЛЬНОЙ ЗЕРКАЛЬНО-ЛИНЗОВОЙ СИСТЕМЫ
Рассмотрим задачу синтеза зеркально-линзовой бифокальной системы, которая фокусирует поле источника цилиндрической волны, расположенного в любом из двух фокусов (F1, F2) в первом слое (рис. 1) в плоскую волну во втором слое. Система содержит цилиндрическую диэлектрическую линзу и зеркало, поверхность которого совпадает со второй поверхностью линзы. Первый и второй слои связаны через щель, форма которой совпадает с формой зеркала (металлизированной второй поверхностью линзы). Предположим, что задан коэффициент преломления линзы n, а форма первой поверхности линзы (далее – поверхность линзы) и зеркала описываются четными функциями y1(x) и y2(x), соответственно. При этом поверхности линзы и зеркала симметричны относительно оси y и пересекают ее в точках с декартовыми координатами (0, b) и (0, 0) соответственно (рис. 2). Задача синтеза заключается в нахождении этих функций.
Для решения задачи применим, как и в работе [5], методику последовательного нахождения участков поверхности линзы и зеркала. Предложим, что форма начального участка поверхности линзы (между точками A и B) известна, т.е. функция y1(x) = y10(x) на интервале [–x0, x0], где y10(x) – известная функция.
Осевой луч, выходящий из точки F0 с декартовыми координатами (0, b + f0), идет вдоль оси y и не преломляется линзой. Эйконал этого луча от точки F0 до плоского фронта (y = b + f0) определяется формулой L0 = 2f0 + (n + 1)b, где f0 – расстояние от точки F0 до поверхности линзы.
Рассмотрим другой луч, выходящий из фокуса F0 и падающий на поверхность линзы в точке P с координатами (xP, yP). Луч преломляется линзой, падает на зеркало в точке Q с координатами (xQ, yQ) и отражается от него. Эйконал этого луча определяется формулой
(1)
$\begin{gathered} L = \sqrt {x_{P}^{2} + {{{({{f}_{0}} + b - {{y}_{P}})}}^{2}}} + n{{l}_{{PQ}}} + {{f}_{0}} + \\ + \,\,b - {{y}_{P}} - {{l}_{{PQ}}}\frac{{\sqrt {{{n}^{2}} + S_{{FP}}^{2}} - {{S}_{{FP}}}y_{P}^{'}}}{{n\sqrt {(1 + y_{P}^{{'2}})} }}, \\ \end{gathered} $Потребуем, чтобы все лучи, выходящие из точки F0, после преломления линзой и отражения от зеркала были параллельны оси y. Для этого необходимо равенство эйконалов всех лучей от источника до фронта. Приравняем эйконал произвольного луча эйконалу осевого луча:
Решение этого уравнения имеет вид
(3)
${{l}_{{PQ}}} = n\sqrt {(1 + y_{P}^{{'{\kern 1pt} 2}})} \frac{{{{f}_{0}} + nb + {{y}_{P}} - \sqrt {x_{P}^{2} + {{{({{f}_{0}} + b - {{y}_{P}})}}^{2}}} }}{{\left( {{{n}^{2}}\sqrt {(1 + y_{P}^{{'{\kern 1pt} 2}})} + \sqrt {{{n}^{2}} + S_{{FP}}^{2}} - {{S}_{{FP}}}y_{P}^{'}} \right)}}.$Координаты точки Q определяются формулой
(4)
$\begin{gathered} {{x}_{Q}} = {{x}_{P}} + \frac{{{{f}_{0}} + nb + {{y}_{P}} - \sqrt {x_{P}^{2} + {{{({{f}_{0}} + b - {{y}_{P}})}}^{2}}} }}{{\left( {{{n}^{2}}\sqrt {(1 + y_{P}^{{'{\kern 1pt} 2}})} + \sqrt {{{n}^{2}} + {{S}_{{FP}}}^{2}} - {{S}_{{FP}}}y_{P}^{'}} \right)}} \times \\ \times \,\,\left( {y_{P}^{'}\sqrt {{{n}^{2}} + {{S}_{{FP}}}^{2}} + {{S}_{{FP}}}} \right), \\ {{y}_{Q}} = {{y}_{P}} + \frac{{{{f}_{0}} + nb + {{y}_{P}} - \sqrt {{{x}_{P}}^{2} + {{{({{f}_{0}} + b - {{y}_{P}})}}^{2}}} }}{{\left( {{{n}^{2}}\sqrt {(1 + y_{P}^{{'{\kern 1pt} 2}})} + \sqrt {{{n}^{2}} + {{S}_{{FP}}}^{2}} - {{S}_{{FP}}}y_{P}^{'}} \right)}} \times \\ \times \,\,\left( {\sqrt {{{n}^{2}} + {{S}_{{FP}}}^{2}} - {{S}_{{FP}}}y_{P}^{'}} \right). \\ \end{gathered} $Множество точек Q образует начальный участок зеркала.
Первая производная функции y2(x) = yQ(xQ), описывающей поверхность начального участка зеркала, определяется формулой
(5)
$\begin{gathered} y_{Q}^{'}({{x}_{Q}}) = \frac{{n\sin ({{\alpha }_{{PQ}}})}}{{1 + n\cos ({{\alpha }_{{PQ}}})}} = \\ = \frac{{y_{P}^{'}\sqrt {{{n}^{2}} + {{S}_{{FP}}}^{2}} + {{S}_{{FP}}}}}{{\sqrt {(1 + y_{P}^{{'{\kern 1pt} 2}})} + \sqrt {{{n}^{2}} + {{S}_{{FP}}}^{2}} - {{S}_{{FP}}}y_{P}^{'}}}. \\ \end{gathered} $Для реализации непрерывности функций, описывающих форму поверхности зеркала и линзы, и их производных на стыках (A, D) начальных участков с соседними необходимо, чтобы луч плоской волны, падающей на зеркало под углом δ к оси y, после отражения в точке D попадал в точку A, а после преломления в точке A – в фокус F1. Из геометрии на рис. 2 нетрудно найти координаты этого фокуса, а также фокуса F2, учитывая, что он симметричен фокусу F1 относительно оси y:
(6)
$\begin{gathered} {{x}_{{{{F}_{1}}}}} = - {{x}_{0}} - f\frac{{n{{S}_{{AD}}} - y_{0}^{'}\sqrt {1 - {{n}^{2}}S_{{AD}}^{2}} }}{{\sqrt {(1 + y{{{_{0}^{'}}}^{2}})} }};\,\,\,{{x}_{{{{F}_{2}}}}} = - {{x}_{{{{F}_{1}}}}}; \\ {{y}_{{{{F}_{1}}}}} = {{y}_{0}} - f\frac{{n{{S}_{{AD}}}y_{0}^{'} + \sqrt {1 - {{n}^{2}}S_{{AD}}^{2}} }}{{\sqrt {(1 + y{{{_{0}^{'}}}^{2}})} }};\,\,\,\,{{y}_{{{{F}_{2}}}}} = {{y}_{{{{F}_{1}}}}}; \\ \end{gathered} $Рассмотрим луч, который выходит из фокуса F1, падает на линзу в точке A, преломляется, падает в точку D, отражается от зеркала и выходит под углом δ к оси Y. Этот угол определяется формулой
(7)
$\delta = \arcsin \left( {\frac{{n(({{x}_{D}} - {{x}_{A}}) - y_{D}^{'}({{y}_{D}} - {{y}_{A}}))}}{{\sqrt {{{{(({{x}_{D}} - {{x}_{A}}) - y_{D}^{'}({{y}_{D}} - {{y}_{A}}))}}^{2}} + {{{(({{x}_{D}} - {{x}_{A}})y_{D}^{'} + ({{y}_{D}} - {{y}_{A}}))}}^{2}}} }}} \right) + \operatorname{arctg} (y_{D}^{'}),$Для определения нового участка зеркала предположим, что луч из фокуса ${{F}_{1}}$ падает на начальный участок линзы в точке M с координатами (xM, yM), $( - {{x}_{0}} \leqslant {{x}_{M}} \leqslant {{x}_{0}})$, преломляется, падает на зеркало в точке N с координатами (xN, yN) и отражается под углом $\delta $ к оси y (рис. 3). Отсюда для угла между осью y и падающим из точки ${{F}_{1}}$ в точку M лучом получаем ${{\beta }_{M}} = \operatorname{arctg} ({{({{x}_{M}} - {{x}_{{F1}}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{({{x}_{M}} - {{x}_{{F1}}})} {({{y}_{{F1}}} - {{y}_{M}})}}} \right. \kern-0em} {({{y}_{{F1}}} - {{y}_{M}})}})$. Угол между осью y и лучом, проходящим через линзу от точки M до точки N, определяется формулой
(8)
${{\alpha }_{{MN}}} = {\text{arcsin}}\left( {\frac{{({{x}_{M}} - {{x}_{{F1}}}) - y_{M}^{'}({{y}_{M}} - {{y}_{F}})}}{{n\sqrt {{{{(({{x}_{M}} - {{x}_{{F1}}}) - y_{M}^{'}({{y}_{M}} - {{y}_{F}}))}}^{2}} + {{{(({{x}_{M}} - {{x}_{{F1}}})y_{M}^{'} + ({{y}_{M}} - {{y}_{F}}))}}^{2}}} }}} \right) + \operatorname{arctg} ( - y_{M}^{'}),$Из условия равенства эйконалов всех лучей, которые выходят из фокуса, после преломления линзой и отражения от зеркала, получаем уравнение
(9)
$\sqrt {{{{({{x}_{M}} - {{x}_{{{{F}_{1}}}}})}}^{2}} + {{{({{y}_{M}} - {{y}_{{{{F}_{1}}}}})}}^{2}}} + n{{l}_{{MN}}} - {{x}_{N}}\sin (\delta ) - \,{{y}_{N}}\cos (\delta ) = f + n{{l}_{0}} - {{x}_{D}}\sin (\delta ) - {{y}_{D}}\cos (\delta ),$Решение уравнения (9) имеет вид
(10)
${{l}_{{MN}}} = \frac{{f - \sqrt {{{{({{x}_{M}} - {{x}_{{{{F}_{1}}}}})}}^{2}} + {{{({{y}_{M}} - {{y}_{{{{F}_{1}}}}})}}^{2}}} + n{{l}_{0}} + ({{x}_{M}} - {{x}_{A}})\sin (\delta ) + ({{y}_{M}} - {{y}_{A}})\cos (\delta )}}{{n - \sin ({{\alpha }_{{MN}}})\sin (\delta ) + \cos ({{\alpha }_{{NM}}})\cos (\delta )}}.$Зная длину lMN и угол αMN, можно определить координаты точки N по формулам
(11)
$\begin{gathered} {{x}_{N}} = {{x}_{M}} + {{l}_{{MN}}}\sin ({{\alpha }_{{MN}}}), \\ {{y}_{N}} = {{y}_{M}} - {{l}_{{MN}}}\cos ({{\alpha }_{{MN}}}). \\ \end{gathered} $Множество точек N образует новый участок зеркала. При этом функции y2(x) и ее первая производная непрерывны в точке D стыка начального участка зеркала с новым (соседним) участком.
Из законов преломления и отражения в точке N получим
(12)
$y_{N}^{'}({{x}_{N}}) = \frac{{n\sin ({{\alpha }_{{MN}}}) - \sin (\delta )}}{{n\cos ({{\alpha }_{{MN}}}) + \cos (\delta )}}.$Для определения нового участка линзы рассмотрим падение плоской волны на начальный участок зеркала. Пусть один из лучей падает на зеркало в точке S с координатами (xS, yS) под углом δ к оси y. Этот луч отражается от зеркала, проходит через линзу, после преломления выходит из точки T с координатами (xT, yT) и проходит через фокус ${{F}_{2}}$ (см. рис. 2). Угол между осью Y и отрезком ST определяется формулой
(13)
$\begin{gathered} {{\alpha }_{{ST}}} = \arcsin \left( {\frac{{W(1 + y_{D}^{'}y_{S}^{'}) + (y_{D}^{'} - y_{S}^{'})\sqrt {1 - {{W}^{2}}} }}{{\sqrt {{{{(y_{D}^{'} - y_{S}^{'})}}^{2}} + {{{(1 + y_{D}^{'}y_{S}^{'})}}^{2}}} }}} \right) - \\ - \,\,\operatorname{arctg} (y_{S}^{'}), \\ \end{gathered} $(14)
${{d}_{{SC}}} + n{{l}_{{ST}}} + \sqrt {{{{({{x}_{S}} + {{l}_{{ST}}}\sin ({{\alpha }_{{ST}}}) - {{x}_{{{{F}_{2}}}}})}}^{2}} + {{{({{y}_{S}} + {{l}_{{ST}}}\cos ({{\alpha }_{{ST}}}) - {{y}_{{{{F}_{2}}}}})}}^{2}}} = n{{l}_{0}} + f,$Решение уравнения (14) имеет вид
где $A = {{n}^{2}} - 1$; $B = ({{x}_{{{{F}_{2}}}}} - {{x}_{S}})\sin ({{\alpha }_{{ST}}}) + ({{y}_{{{{F}_{2}}}}} - {{y}_{S}}) \times $ $ \times \,\,\cos ({{\alpha }_{{ST}}})\,\,\, + $ $n({{d}_{{SC}}} - f - {{l}_{0}})$; $C = {{({{d}_{{SC}}} - f - {{l}_{0}})}^{2}} + $ $ + \,\,{{({{x}_{S}} - {{x}_{{{{F}_{2}}}}})}^{2}} - {{({{y}_{S}} - {{y}_{{{{F}_{2}}}}})}^{2}}$.Координаты точки T нового отрезка линзы рассчитываются по формулам
(16)
$\begin{gathered} {{x}_{T}} = {{x}_{S}} + {{l}_{{ST}}}\sin ({{\alpha }_{{ST}}}), \\ {{y}_{T}} = {{y}_{S}} + {{l}_{{ST}}}\cos ({{\alpha }_{{ST}}}). \\ \end{gathered} $Из закона преломления находим первую производную функции, описывающую новый участок линзы:
(17)
$y_{T}^{'}({{x}_{T}}) = \frac{{\sin ({{\beta }_{T}}) - n\sin ({{\alpha }_{{ST}}})}}{{\cos ({{\beta }_{T}}) - n\cos ({{\alpha }_{{ST}}})}},$Множество точек T образует новый участок линзы. При этом функции y1(x) и ее первая производная также непрерывны на стыке B начального участка зеркала с новым (соседним) участком.
Непрерывность функций, описывающих поверхности линзы и зеркала и их первых производных, обеспечивает непрерывность фазового распределения поля на выходе системы в приближении геометрической оптики. Для обеспечения непрерывности амплитудного распределения необходимо, чтобы вторые производные функций, описывающих поверхности линзы и зеркала в местах стыков соседних участков также были непрерывными. Для этого необходимо и достаточно удовлетворить этому условию для точек стыков с начальным участком зеркала. Непрерывность вторых производных в остальных точках поверхности линзы и зеркала обеспечивается автоматически.
Вторую производную функций yQ(xQ), yN(xN), описывающих начальный и второй участок поверхности зеркала, можно получить дифференцированием (5) и (12) по xP и xM соответственно. При совпадении точек Q и D, D и N заменим xP на – x0, а xM на x0. В результате, получим уравнение, решение которого обеспечивает непрерывность вторых производных функции y1(x):
(18)
$\frac{{\alpha _{M}^{'}(q{{S}_{l}} - n\sqrt {{{q}^{2}} + 1} - {{C}_{l}}){{v}_{0}}^{2}({{q}^{2}} + 1)}}{{{{{(n + {{C}_{l}} + \sqrt {{{q}^{2}} + 1} )}}^{2}}({{v}_{0}}^{2}\sqrt {{{q}^{2}} + 1} + (u_{0}^{'}{{v}_{0}} - {{u}_{0}}v_{0}^{'})q + \alpha _{M}^{'})}} + \frac{{\alpha _{G}^{'}(n + {{C}_{p}})}}{{{{{(n + {{C}_{p}} + 1)}}^{2}}(1 + l{\kern 1pt} '{{C}_{p}} + l{{C}_{p}}\alpha _{G}^{'})}} = 0,$2. СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ ЗЕРКАЛЬНО-ЛИНЗОВОЙ СИСТЕМЫ
Для синтеза зеркально-линзовой бифокальной системы зададим исходные параметры: расстояние b между центральными точками наповерхности линзы и зеркала (толщина линзы), полуразмер x0 начального отрезка поверхности линзы, расстояние f от конца начального отрезка поверхности линзы до фокуса F1, расстояние f0 от центральной точки поверхности линзы до фокуса начальной системы F0. Будем синтезировать бифокальную систему с начальным отрезком зеркала в виде полинома второго порядка y10(x) = ax2+ b.
Подставляя y0= $ax_{0}^{2}$ + b, $y_{0}^{'}$ = 2ax0, = 2a в уравнение (18) и решая его с использованием стандартной численной процедуры, находим параметр a. Реализуя описанный выше алгоритм синтеза новых отрезков m раз, находим форму поверхности линзы и зеркала, которые имеют непрерывные первые
и вторые производные.
Задача оптимизации состоит в нахождении геометрических параметров системы, а также формы фокальной кривой, обеспечивающих минимальную средне-квадратическую аберрацию (СКА) эйконала на выходе ДОС, которую будем определять по формуле
(19)
$\sigma = \frac{1}{D}\sqrt {\frac{1}{k}\sum\limits_{i = 1}^k {{{{({{L}_{i}} - {{L}_{0}})}}^{2}}} } ,$Для вычисления СКА системы по формуле (19) необходимо найти направление фронта и величину эйконала L0 опорного луча, а также отличие эйконалов всех остальных лучей от эйконала этого луча. Если источник находится в фокусе, то углы выхода всех лучей одинаковые и определяются формулой (7). При смещении положения источника углы выхода лучей будут разные. Для каждого положения источника найдем k лучей, которые выходят из источника, преломляются линзой и отражаются от зеркала. Далее выбирая каждый из этих лучей в качестве опорного по формуле (19) найдем СКА относительно каждого из опорных лучей с соответствующим (ортогональным) фронтом (рис. 4). Выберем из полученных величин СКА минимальное значение и определим соответствующее направление излучения. Полученное приближенное значение СКА можно уточнить, меняя угол выхода опорного луча вблизи найденного значения и определяя минимум СКА.
Для определения фокальной кривой найдем геометрическое место положений источника (см. рис. 4), которые обеспечивают наименьшую величину СКА. Декартовые и полярные координаты источника связаны формулами $~{{x}_{{Fj}}} = {{R}_{j}}\sin \left( {{{\theta }_{j}}} \right)$, $~{{y}_{{Fj}}} = {{R}_{j}}{\text{cos}}\left( {{{\theta }_{j}}} \right)$. Задача состоит в нахождении оптимальной функции R(θ). Для угла ${{\theta }_{j}}$, соответствующего положению фокуса, эта величина известна (${{R}_{0}}$ = $\sqrt {x_{{{{F}_{1}}}}^{2} + ~y_{{{{F}_{1}}}}^{2}} $). Далее, уменьшая угол ${{\theta }_{j}}$ на некоторое малое значение $~\xi $, находим в окрестности ${{R}_{0}}$ значение ${{R}_{{j + 1}}}$$({{\theta }_{0}} - \xi )$ с использованием стандартной процедуры нахождения минимума. Применяя описанный алгоритм многократно, находим значения $~{{R}_{j}}\left( {{{\theta }_{j}}} \right)$ для 20 точек. Далее повторяем процедуру в сторону увеличения ${{\theta }_{j}}$ до необходимой величины, которая определяется углом зрения системы. Используя сплайн-интерполяцию определяем искомую функцию R(θ).
При решении задачи синтеза бифокальной зеркально-линзовой системы было замечено, что описанный выше алгоритм позволяет получить аналитическое решение не для всех наборов исходных параметров. Решение перестает существовать в двух случаях: в первом алгоритм перестает работать из-за того, что уравнение (18) не имеет действительного корня, а во втором – когда в процессе синтеза у зеркала появляется точка возврата (рис. 5а). В последнем случае бифокальной системы зависимость СКА от угла зрения имеет вид, соответствующий трехфокальной системе (рис. 5б).
Рис. 5.
Бифокальная зеркально-линзовая система с параметрами n = 1.5, f = 0.6201, f0 = 0.683, x0 = 0.01295, b = 0.1024: а) геометрия системы, б) зависимость СКА от угла зрения.

Набор параметров, при котором алгоритм перестает работать, будем называть критическим. При увеличении числа синтезированных отрезков у зеркала всегда появляются точки возврата, которые и определяют предельный размер апертуры системы.
Будем оптимизировать систему с фиксированным углом зрения, толщиной линзы b = 0.102 и коэффициентом преломления n = 1.5. Угол зрения определяется отношением x0/b, поэтому будем фиксировать параметр x0. В результате параметрами оптимизации являются: расстояние f от края начального участка линзы до фокуса F1 и расстояние f0 от фокуса начальной системы F0 до поверхности линзы. Проведем исследование величины СКА в зависимости от этих двух параметров.
Линии уровня величины 105σ в зависимости от величин f0 и f/f0 при фиксированных значениях n и b показаны на рис. 6а–6в для углов зрения 50, 70 и 100 град при x0 = 0.0129, 0.0181 и 0.0265 соответственно. Видно, что минимальная величина СКА достигается при следующих наборах параметров: f0 = 0.722, f/f0 = 0.923 (для угла зрения 50 град), f0 = = 0.794, f/f0 = 0.863 (для угла зрения 70 град) и f0 = = 0.951, f/f0 = 0.719 (для угла зрения 100 град), которые в отличие от бифокальной двухзеркальной системы [11] находятся достаточно далеко от границы области существования решения.
Рис. 6.
Линии уровня 105 σ бифокальной зеркально-линзовой системы с коэффициентом преломления n = 1.5 и толщиной b = 0.102 при x0 = 0.0129 (а), 0.0181 (б) и 0.0265 (в).

На рис. 7а–7в показаны зависимости СКА синтезированных систем с оптимальными параметрами от угла зрения. Как видно из рисунков, максимальная величина СКА зеркально-линзовых систем с оптимальными параметрами для углов зрения 50, 70 и 100 град составляет соответственно 2.1 × 10–5, 5.2 × 10–5 и 1.3 × 10–4. При этом величина апертуры D бифокальных систем равна соответственно 0.707, 0.789 и 0.850.
Рис. 7.
Зависимость 105 σ от угла зрения оптимальной бифокальной зеркально-линзовой системы с n = 1.5, b = 0.1024 и тремя наборами параметров: а) f = 0.666, f0 = 0.722, x0 = 0.0129; б) f = 0.685, f0 = 0.794, x0 = 0.01812; в) f = 0.683, f0 = = 0.951, x0 = 0.0265.

Для анализа полученных результатов удобно считать все размеры относительно апертуры системы. Для этого достаточно умножить все размерные параметры на множитель, равный обратной величине D. В результате для систем с D = 1 и углами зрения 50, 70 и 100 град величина f0 равна, соответственно, 1.02, 1.01 и 1.12, а толщина линзы b – 0.145, 0.130 и 0.120.
На рис. 8 показаны фокальные кривые синтезированных систем с оптимальными параметрами для углов зрения 50, 70 и 100 град.
Отметим, что полученные величины СКА в два-три раза превышают соответствующие величины для двухзеркальных бифокальных систем синтезированных и оптимизированных в [11], но при этом для угла зрения 70° – в девять раз меньше аналогичной величины для бифокальной зеркально-линзовой системы, синтезированной в работе [5].
С увеличением угла зрения от 50 до 100 град величина СКА увеличивается в пять раз, угловой размер фокальной линии – примерно в два раза, толщина линзы уменьшается на 17%, а продольный размер системы (f0 + b) увеличивается на 6%.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На основе полученных результатов можно сделать следующие выводы:
1. Развитая в работе методика позволяет синтезировать и оптимизировать бифокальные зеркально-линзовые цилиндрические системы по минимуму СКА.
2. Синтезированная и оптимизированнаяв работе система имеют на порядок меньшую величину СКА, чем известная бифокальная зеркально-линзовая система с аналогичным углом зрения.
3. Продольный размер бифокальных зеркально-линзовых систем с оптимальными параметрами слабо зависит от угла зрения и близок к размеру апертуры.
Список литературы
Калошин В.А. // Тр. 13-й Междунар. Крымской конф. СВЧ техника и телекоммуникационные технологии, Crimico-2003. 8–12 сент. 2003. Севастополь: Вебер, 2003. С. 383.
Ettorre M., Gandini E., Sauleau R. // Proc. 5th Europ. Conf. on Antennas and Propagation (EUCAP). Rome. 11–15 Sept. 2011. N.Y.: IEEE, 2011. P. 2947.
Tekkouk K., Ettorre M., Le Coq L., Sauleau R. // IEEE Trans. 2016. V. AP-64. № 2. P. 504.
Калошин В.А., Ле Д.Т., Фролова Е.В. // РЭ. 2019. Т. 64. № 8. С. 768.
Калошин В.А., Ле Д.Т., Ви У.Н. // Журн. радиоэлектроники. 2020. № 3. http://jre.cplire.ru/jre/ mar20/13/text.pdf.
Калошин В.А., Ле Д.Т. // Журн. радиоэлектроники 2020. № 4. http://jre.cplire.ru/jre/apr20/4/text.pdf.
Калошин В.А., Нгуен К.Т. // Журн. радиоэлектроники. 2020. № 7. http://jre.cplire.ru/jre/jul20/9/ text.pdf.
Калошин В.А., Нгием Х.Д., Фролова Е.В. // Журн. радиоэлектроники. 2018. № 1. http://jre.cplire.ru/ jre/jan18/3/text.pdf.
Банков С.Е., Фролова Е.В. // РЭ. 2017. Т. 62. № 5. С. 463.
Калошин В.А., Фролова Е.В. // Журн. радиоэлектроники. 2015. № 12. http://jre.cplire.ru/jre/dec15/19/ text.pdf.
Калошин В.А., Ви Ут Нам // РЭ. 2022. Т. 67. № 2. С. 140.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Радиотехника и электроника