Радиотехника и электроника, 2022, T. 67, № 4, стр. 353-360

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Особенностью видимого диапазона света, в котором работают зрительная система человека (ЗСЧ) и матричные фотоприемники (ФП), являются его малые временные процессы. Например, для длины волны 600 нм (оранжевый цвет) период колебаний соответствует фемтосекундному масштабу времени (~2 фс). Это означает фактически полную реализацию возможностей оптического сигнала. Один период оптического колебания – предельная длительность светового импульса, и одновременно предельная “скорость” оптического отклика материальной среды [1, 2]. Важным параметром ФП, является ширина полосы спектральной чувствительности ∆f. Отношение ∆f к пиковой частоте f₀ спектральной кривой называют показателем широкополосности ФП [3–5]:

Когда выполняется условие 2 ≥ μ ≥ 0.25, то исследуемая структура проявляет сверхширокополосные (СШП) свойства.

Надо иметь в виду, что узкополосные – синусоидальные и квазисинусоидальные сигналы обладают уникальным свойством. При таких широко используемых преобразованиях, как сложение, вычитание, дифференцирование и интегрирования, их форма остается прежней. Здесь и далее под формой понимается закон изменения сигналов во времени. Преобразованные сигналы могут различаться амплитудой и сдвигом во времени. Подобные свойства таких сигналов можно объяснить, если ввести понятие добротности спектральной линии Q = f₀/∆f = 1/μ. Из этого соотношения следует, что при μ → 0 добротность Q → ∞ и, следовательно, потери энергии, например в LC-контуре, отсутствуют, а колебания имеют форму синусоиды с постоянной амплитудой. СШП-сигналы имеют конечное значение добротности, которая в лучшем случае достигает значения Q = 4. Здесь имеют место значительные потери энергии, вследствие чего СШП-сигнал имеет форму быстро осциллирующего затухающего во времени колебания. У СШП-сигнала при указанных (и других) преобразованиях изменяются не только параметры, но и форма. Для них понятие несущей частоты отсутствует, информация содержится в форме колебания. Для СШП-сигналов наиболее удобным является анализ задач распространения их во временной области [6].

В работе впервые приведены результаты исследования СШП-свойств ЗСЧ и матричных ФП цветного изображения. Данные вопросы в литературе практически не рассматривались. Между тем их решение имеет большое научное и практическое значение. В научных исследованиях, связанных с колориметрией, необходимы цифровые устройства с точной передачей цвета. От регистратора изображения во многом зависит соответствие цифрового изображения реальной картине. Так как эталоном в таком сравнении является зрительный орган человека, то, соответственно, ориентироваться необходимо именно на его характеристики при построении новых типов матричных ФП. При рассмотрении спектральных характеристик приемника и ЗСЧ уже видны различия. Данное исследование может помочь ответить на вопрос, в чем отличие и схожесть этих характеристик на качественном уровне.

Целью статьи является использование параметров СШП-сигналов для сравнения ЗСЧ и матричных ФП по следующим параметрам: величина показателя широкополосности, длительность импульсной характеристики, число периодов световых колебаний и форме кривых СШП-сигналов. В качестве матричных ФП были выбраны матрицы четырех фирм: Sony, Foveon X3, Agilent, Kodak [7–13].

1. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗРИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ЧЕЛОВЕКА В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ

Зависимость функции спектральной чувствительности ЗСЧ в основной физиологической системе красный–зеленый–синий (RGB) от длины волны приведена на рис. 1а [14]. Анализ данных проводили по шкале энергии: E = 1240/λ (λ в нм, E в эВ) и шкале частот. Спектральные кривые по шкале энергии и частот приведены на рис. 1б. Начальное значение шкалы энергии находили из соотношения E₀ = (1240/700) = 1.77 эВ. Частоту находили следующим образом: из шкалы энергии E вычитали энергию E₀, в результате получали шкалу локальной энергии E–E₀, затем учитывали переход от энергии E к энергии E–E₀ с помощью коэффициента m = E_п /(E_п –E₀ ), где E_п – энергия, соответствующая пику спектральной кривой. После этого находили соотношение для расчета частоты f = mv, где v = (E – E₀)/h, где h = 4.1 × 10^–15 эВ с – постоянная Планка. Окончательно получаем f = = (m/4.1)(E – E₀)10¹⁵ Гц. В расчете за единицу частоты принимали величину, равную 10¹⁵ Гц. В нашем случае m = 4.68. Спектральные кривые R, G, B (см. рис. 1а) аппроксимировали с помощью программы Origin элементарными полосами в форме кривой Гаусса. Дифференциальная функция распределения ЗСЧ вычисляется по формуле

где А – амплитуда кривой Гаусса, f₀ – частота пика, Δf – ширина на его полувысоте.

При этом площадь ограниченная спектральной кривой 4 (рис. 1б) по величине равна единице.

Параметры спектров приведены в табл. 1. Из данных табл. 1 следует, что элементарные составляющие спектральной чувствительности ЗСЧ RGB имеют 0.3 ≤ μ ≤ 0.8 и, следовательно, проявляют СШП-свойства.

2. СШП-СИГНАЛ СПЕКТРА В ФОРМЕ СИММЕТРИЧНОЙ КРИВОЙ ГАУССА

Комплексную импульсную (временную) характеристику находили по формуле обратного преобразования Фурье:

где G(f) – дифференциальная функция распределения спектральной чувствительности ЗСЧ.

Когда функция G(f) описывается кривой Гаусса (2), интеграл (3) имеет аналитическое решение [15]:

СШП-сигнал (модуль функции g^*(t)) находится как где коэффициент С = 1.

В соответствии с выражением (5) для пиков 1, 2 и 3 (см. рис. 1б) (соответственно) можно записать следующие соотношения для модулей:

и мнимой их компоненты согласно (4): где коэффициенты α₁, α₂, α₃ – находят из соотношения (6), принимая ширину пика равной соответственно ∆f₁, ∆f₂ и ∆f₃; параметры С₁, С₂ и С₃ – весовые коэффициенты, значения которых указаны в табл. 1, причем всегда С = С₁ + С₂ + С₃ = 1, СШП-сигналы для R,G,B-цветов, построенные по формулам (7) и данным табл. 1, представлены на рис. 2а, а по формулам (8a), (8б) – на рис. 2б.

Ширина импульса t_0.5 на его полувысоте, и ширина ∆f соответствующего спектра связаны соотношением неопределенности [15]:

Соотношение (9) не зависит от пиковой частоты f₀. От этой частоты зависит сдвиг спектра по оси частот. Спектры системы R, G, B имеют форму колокола (рис. 1б), при этом в соответствии с (8) сигнал во времени также имеет форму колокола. Таким образом, если менять ∆f, то один из колоколов становится у́же, а другой соответственно шире. В расчетах используем правую половину колокола (см. рис. 2а).

Результаты расчета по формуле (9) приведены в табл. 1. Сопоставление их с результатами численных расчетов (см. рис. 2а) показывает хорошее совпадение. Из рис. 2а можно видеть, что зависимости g(t) для R,G,B-цветов имеют монотонно спадающие во времени кривые и одновременно заканчивающиеся в точке “с”. При этом ширина R-импульса имеет наименьшее значение (1.1 фс) из трех цветов, тогда как G-, B-импульсы, примерно, равны по величине, 1.4 и 1.3 фс. Более того, из-за нелинейных свойств функций g₂(t) и g₃(t) кривые B и G (см. рис. 2а) пересекаются между собой. Из соотношений (7) несложно определить время t*, соответствующее этому моменту t* = = ln(C₂/C₃ )/(α₂ – α₃), где α₂ и α₃ зависят от частоты f₂ и f₃ по формуле (6). Расчет показывает: t* ≈ ≈3.0 фс, что по величине согласуется с экспериментом ~2.9 фс. При t ≥ t* кривые B и G (см. рис. 2а) практически сливаются между собой.

Импульсы, изображенные на рис. 2б, в фемтосекундной оптике называют предельно короткими импульсами (ПКИ) [16]. Они содержат внутри себя всего несколько периодов электромагнитных колебаний, обычно два-три [2]. Их получают с помощью фемтосекундных лазеров. Оптика ПКИ имеет ряд особенностей по сравнению с оптикой более длинных импульсов. Во-первых, благодаря предельно малой длительности импульса при взаимодействия их с оптической средой не происходит разрушения вещества даже при достаточно высокой интенсивности излучения. Во-вторых, нелинейные эффекты, слабые в поле длинных импульсов, в данном случае становятся ярко выраженными и хорошо наблюдаемы. Импульсные характеристики, приведенные на рис. 2б, по физическому смыслу отражают нелинейные свойства процесса перехода из закрытого состояния глаза в открытое. Соотношение (5) с учетом (1) и (6) можно привести к виду

где T₀ = 1/f₀ – период колебаний. Длительность переходного процесса t_п оценим на уровне 0.1, затем, полагая t_п = nT₀ (n – число периодов колебаний), находим связь числа колебаний с показателем широкополосности:

В соответствии с данными табл. 1 красный цвет имеет ~1.0, зеленый ~1.35, синий ~2.7 колебаний, что согласуются с расчетно-экспериментальными результатами, представленными на рис. 2б.

2. СШП-СИГНАЛ СПЕКТРА В ФОРМЕ ТРЕХ СИММЕТРИЧНЫХ КРИВЫХ ГАУССА

Вначале решение интеграла (3) выполнено численным методом (функция G(f) описывается огибающей кривой 4 (см. рис. 1б)). Результаты расчета для модуля импульсной характеристики приведены на рис. 3а.

В данном случае СШП-сигнал ЗСЧ имеет сложную форму. Для выяснения механизма его возникновения выполним аналитический расчет импульсной характеристики на комплексной плоскости.

Представим комплексный спектр в следующем виде [17]:

где Модуль комплексной функции (индекс k) имеет вид С помощью соотношений (13)–(15) и данных табл. 1 получена расчетная зависимость g_k(t) (см. рис. 3, штриховая кривая). Сопоставление данных численного метода и аналитического расчета показывает хорошее их совпадение.

Далее возведем в квадрат соотношения (13) и (14) и подставим полученные результаты в (15), в результате получим другое выражение g_k(t):

где – мгновенная мощность спектральных составляющих ЗСЧ, где E₁, E₂, E₃ – значения мгновенной мощности взаимодействия спектров между собой. Последнее следует из того, что спектральные кривые 1, 2 и 3 (см. рис. 1б) перекрываются между собой.

При этом в отличие от D² взаимная мгновенная мощность E² в определенные моменты времени может принимать отрицательные значения (рис. 4а). Таким образом, в случае многокомпонентного спектра ЗСЧ форма СШП-сигнала зависит как от ширины каждой элементарной составляющей, так и от разности их пиковых частот. При этом активное взаимодействие между R, G, B-цветами имеет место в начальные моменты времени (0, …, t₁). Когда t ≥ t₂, компоненты сигнала D² и E² изменяются во времени синхронно (см. рис. 4a).

Влияние степени взаимодействия спектров R, G, B-цветов между собой проявляется в том, что форма мнимой компоненты комплексной функции импульсной характеристики (рис. 4б) заметно отличается от формы мнимой компоненты для каждого цвета в отдельности (см. рис. 2б). При этом пики 1 и 2, изображенные на рис. 4б, относятся к кривой 1, рис. 3а, а пики 3 и 4 к кривой 2.

С целью получения наглядного представления о свойствах СШП-сигнала преобразуем его в виде двух импульсов. Для этого часть кривой 1 (рис. 3а) до точки ее минимума “а” аппроксимировали полиномом третьей степени:

После этого строили кривую “b–c” (точка “с” – проекция точки “а” на ось абсцисс, см. рис. 3б). Численные значения импульсной (временной) характеристики быстрой компоненты g_б(t) находили путем интерполяции кривой линии “a–b–c–d”, а медленной (индекс “м”) компоненты g_м(t) – путем вычитания из исходной кривой g(t) (кривая 1, рис. 3а) кривой быстрой компоненты g_б(t) (см. рис. 3б). Форма этой компоненты показана на рис. 3в. Для лучшего представления о СШП-свойствах ЗСЧ используем понятие переходной характеристики:

откуда следует, что где – это переходные характеристики быстрой и медленной компоненты СШП-сигнала соответственно. Результаты численного интегрирования соотношений (21) представлены на рис. 3а. Можно видеть, что использование переходной характеристики ЗСЧ позволяет наглядно представить переходной процесс в виде двух компонент. При этом их амплитудные значения 0.51 и 0.36 сопоставимы по величине.

4. СШП-СИГНАЛЫ МАТРИЧНЫХ ФОТОПРИЕМНИКОВ

Параметры матричных ФП, полученные по данным работы [13] в виде элементарных полос, представлены в табл. 2, там же приведены значения параметров μ, n, t_0.5, рассчитанные по формулам (1), (9) и (11). Сравнение характеристик ЗСЧ и матричных ФП по этим параметрам (см. табл. 1) показывает заметное расхождение между ними. ЗСЧ имеет определенные закономерности в свойствах СШП-сигналов от частоты. Так, с увеличением частоты пика (см. табл. 1) наблюдается плавное уменьшение μ от 0.8 до 0.3, а также плавный рост величины n от 1 до 2.7. Общим свойством матричных ФП и ЗСЧ является только то, что они являются СШП-сигналами, значение которых для матричных ФП находится в диапазоне 0.33 ≤ μ ≤ 0.66.

Компоненты 1–3 каждого из ФП, параметры которых приведены в табл. 2, имеют форму кривой Гаусса (2). При этом амплитуда А равна весовым коэффициентам С₁, С₂ и С₃ соответственно. Элементарные полосы описываются уравнениями

Огибающую линию контура спектра ФП находили из соотношения:

Соотношение (23) для каждого из ФП с данными, указанными в табл. 2, подставляли в формулу (3), полагая в нем G(f) = G_m(f).

В результате численного интегрирования получены графические зависимости (рис. 5) для СШП-сигналов (модуля импульсной характеристики) матричных ФП и ЗСЧ. Из рисунка видно, что кривые заметно отличаются. Данное явление связано с различными свойствами материала среды, через которую проходят СШП-сигналы.

Для выявления признаков, отличающих матричные ФП друг от друга, использовали метод, описанный выше и позволяющий выделить быструю и медленную компоненты в функции g(t). Переходные характеристики для быстрой компоненты приведены на рис. 6.

По своей форме переходные характеристики, изображенные на рис. 6, демонстрируют подобие рассмотренных ФП. Что касается переходной характеристики медленной компоненты g(t), то здесь ситуация другая. Графики этой функции для разных приемников приведены на рис. 7.

Сопоставление сигналов, изображенных на рис. 7 (по форме), показывает: ЗСЧ имеет переходную характеристику, которая монотонно нарастает во времени и достигает установившегося (стационарного) значения. По форме переходной характеристики к ЗСЧ приближается фотоприемник Foveon X3. Остальные ФП (см. рис. 7) по этому параметру заметно отличаются от ЗСЧ. Одной из причин этого явления является то, что длительность импульса R-цвета по величине у них превышает длительность этого цвета ЗСЧ (рис. 2а). Здесь отсутствует синхронное изменение сигналов во времени, которое имеет место в ЗСЧ (рис. 2а).

Количественная оценка времени нарастания t_h переходной характеристики на ее полувысоте показывает, что ЗСЧ имеет наименьшее значение t_h = 1.5 фс. У фотоприемника Foveon X3 величина t_h = 1.6 фс. Остальные ФП имеют время t_h = = 2.2…3.7 фс, т.е. заметно уступают ЗСЧ по временным характеристикам.

ПОЛУЧЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Представлены параметры R,G,B-цветов в частотной области для ЗСЧ и матричных ФП фирм Sony, Foveon X3, Agilent, Kodak.

2. Установлено: ЗСЧ (0.3 ≤ μ ≤ 0.8) и матричные ФП (0.33 ≤ μ ≤ 0.66) по величине показателя μ по определению удовлетворяют условиям сверхширокополосности.

3. Показано, что показатель широкополосности μ определяет число периодов колебаний n импульсной характеристики на комплексной плоскости: n = 0.81/μ.

4. Получены простые соотношения для расчета длительности импульсной (временной) характеристики для элементарных составляющих спектров. Установлено, что по этим параметрам матричные ФП заметно отличаются от ЗСЧ.

5. В случае совместного действия R, G, B-кривых ЗСЧ и матричных фотоприемников форма СШП-сигнала зависит как от ширины элементарных составляющих спектральных кривых, так и от разности их пиковых частот.

6. Огибающая кривая СШП-сигнала многокомпонентного спектра содержит быструю и медленную составляющие. Для выявления отличий формы огибающих кривых спектра ЗСЧ и матричных ФП использовали переходную характеристику медленной компоненты.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследованы спектральные характеристики современных матричных фотоприемников и зрительной системы человека. Обнаруженные СШП-свойства у исследуемых объектов могут помочь математически оценить полученную чувствительность того или иного приемника, несмотря на качественное их отличие зрительной системы человека. Исследование позволило сопоставить современные ФП и зрительную систему человека по следующим параметрам: быстродействие, число элементарных колебаний, величина показателя широкополосности, длительность импульсной характеристики, число периодов оптических (световых) колебаний. Данный способ исследования позволяет ввести новые критерии количественной оценки качества приемников в видимом диапазоне.