Радиотехника и электроника, 2022, T. 67, № 4, стр. 411-416

ВВЕДЕНИЕ

Теорема Шокли–Рамо (ТШР) [1, 2] описывает токи, возникающие во внешней цепи при движении между металлическими электродами в вакууме одиночного точечного заряда q (токи, втекающие из внешней цепи в металлические электроды). Теорема предназначалась для изучения дробового эффекта в электровакуумных сверхвысокочастотных (СВЧ) приборах. При ее выводе были использованы теоремы математического анализа для потенциальных полей (теорема Грина, в частности), когда электрическое поле равно $\vec {E} = - \vec {\nabla }\varphi $ (φ – потенциал), а изменения полей со временем t предполагались квазистационарными (достаточно медленными). Влияние подводящих ток проводов не рассматривалось.

В реальных условиях, однако, в СВЧ-приборах присутствуют и другие заряды – как неподвижные, так и двигающиеся. Требуемые на этот случай обобщения не заставили себя долго ждать (см., например, [3–6]).

Далее, в работах [7–13] ТШР была распространена на диэлектрики, включая и случай неоднородного анизотропного диэлектрика [10–12] с поляризацией [10–13], когда

где ${{\varepsilon }_{{ij}}}(t,\vec {r})$ – тензор диэлектрической проницаемости (по одинаковым тензорным индексам (обычно латинским) здесь и далее предполагается суммирование), ${{P}_{i}}(t,\vec {r})$ – плотность дипольного моменте, ${{D}_{i}}(t,\vec {r})$ – электрическая индукция.

В этих случаях ТШР полезна при изучении датчиков жесткого излучения [7–9, 14], интегральных схем и приборов со структурами металл–диэлектрик–полупроводник (МДП) [10‒13] и других современных приборов.

1. ТЕОРЕМА ШОКЛИ–РАМО

При выводе ТШР удобно использовать функционал

где интегрирование проводится по всему пространству без N металлических электродов, ${{\vec {j}}_{{\text{п}}}}(t,\vec {r})$ – плотность полного тока в исследуемом образце, равная $\vec {j}(t,\vec {r})$ – плотность конвективного тока, а ${{\varphi }^{{(1)}}}(t,\vec {r})$ – потенциал из вспомогательной краевой задачи (отмеченной индексом (1)), рассматриваемой в том же пространстве и с теми же электродами, но без зарядов и поляризации. Отсюда, используя теорему Остроградского–Гаусса, равенство и уравнения Максвелла, можно, действуя аналогично [1, 2] и последующим работам, получить равенство где ${{\vec {E}}^{{(1)}}} = - {\text{grad}}{{\varphi }^{{(1)}}}$, $\Phi _{k}^{{(1)}}(t)$ – потенциал k-го электрода из вспомогательной задачи (k = 1, 2, …, N), а I_k – ток, втекающий в k-й электрод из внешней цепи.

Отметим, что вспомогательный потенциал, нужный здесь для получения выражения с токами в левой части (5), не обязательно должен быть тесно связан с основной задачей. Все, что требуется пока от этой функции, – быть постоянной на поверхностях электродов, хотя выбор той же среды (но без зарядов и поляризации), конечно, удобен. Кроме того, используемый подход и формула (5) справедливы и для непотенциальных полей в основной задаче (см., например, вывод в [11, 12]). Роль подводящих ток проводов обсуждалась в [12, 15].

Формулу для тока I_α на отдельный (α-й) электрод можно получить, как в [1, 2], выбрав в (5) следующие значение вспомогательных потенциалов на электродах:

В результате получаем

где ${{\vec {E}}^{{(1\alpha )}}}$ – поле во вспомогательной задаче в рассматриваемом случае (индекс (1α)). Отсюда следует где ${{\vec {E}}^{{(\alpha )}}}$ – вспомогательное нормированное поле

В работах [1, 2] рассматривался только вклад ${{I}_{0}}$ в ток из (8), связанный с движением одиночного заряда q, двигающегося со скоростью ${{\vec {v}}_{0}}$ в точке ${{\vec {r}}_{0}}$ и создающего конвективный ток с плотностью

При этом формула (для втекающего в α-й электрод тока) имеет вид Это и есть обобщение работ [1, 2], справедливое и для диэлектриков, и для непотенциальных полей.

В случае двух плоскопараллельных электродов результат особенно прост. Нормированное поле для выбранного электрода (будем обозначать его индексом 0) имеет вид

где d – расстояние между электродами, а ${{\vec {n}}_{0}}$ – внешний единичный вектор нормальный к поверхности выбранного электрода. Тогда (10б) приобретает следующий вид:

Как видно из (10г), при приближении заряда к электроду $({{\vec {v}}_{0}}{{\vec {n}}_{0}}) < 0$ и $q{{I}_{0}} < 0$, т.е. ток привносит в электрод заряд другого знака, экранирующий поле заряда q. При удалении же от электрода знаки заряда и тока совпадают.

В реальной ситуации вклад в ток во внешней цепи дают одновременно все двигающиеся в рассматриваемом пространстве (в образце или в вакууме) заряды. Поэтому естественным расширением ТШР будет формула

где В (12), кроме вклада от конвективных токов, включено и слагаемое с поляризацией, так как оно, очевидно, имеет ту же природу (см. также текст ниже).

Однако в полный ток, который описывается формулой (11), дает вклад еще одно слагаемое. Возникает вопрос, какие токи оно описывает, какова их природа и как на практике отделить их от индуцированных токов из (12). Обычно предполагается, что (в квазистационарных режимах) кроме индуцированных токов есть еще только токи емкостной природы (эффекты же индукции приводят к электродвижущим силам (ЭДС) и влияют на токи лишь опосредованно). Такой подход практикуется, например, при изучении полупроводников и полупроводниковых приборов (см., например, [16–18]).

2. ТОКИ ЕМКОСТНОЙ ПРИРОДЫ

Для сравнения формул для токов емкостной природы со вторым слагаемым в (11) и выделения емкостных токов в явном виде удобно использовать другой функционал (см., работы [11, 12, 19]):

где все поля потенциальны, а вспомогательный потенциал рассматривается в том же пространстве (с теми же электродами), но без заряда и поляризации, т.е. где ρ – плотность заряда, а Проведем преобразования интеграла (14) по аналогии с выводом формулы (5) из функционала (2), получим или где Ф_β – потенциал β-го электрода, а $Q_{\beta }^{{(1)}}$ – заряд β-го электрода во вспомогательной задаче. В случае (6) формула (17б) приобретает вид где $Q_{\beta }^{{(1\alpha )}}$ – заряд β-го электрода во вспомогательной задаче в рассматриваемом случае, а I_α – ток из внешней цепи в α-й электрод, формула для которого легко выводится из (18): Здесь где $C_{\beta }^{\alpha }$ – емкостные коэффициенты. В электростатике это были бы коэффициенты емкости $C_{\alpha }^{\alpha }$ и коэффициенты электростатической индукции $C_{\beta }^{\alpha }$ (при β ≠ α) (см., например, [20]).

Итак, полный ток содержит следующие компоненты различной природы:

где второе слагаемое описывает рассматриваемые токи емкостной природы, включая и токи, связанные с изменениями емкостных коэффициентов.

Отметим, что определение на эксперименте индуцированных токов в пленках диэлектриков МДП-структур путем “вычитания” емкостных токов из полных измеряемых токов при синхронных измерениях емкостных и полных токов (см. историю вопроса в монографии [18] и в работе [10]) было необходимо для развития высокочувствительной диагностики подвижного заряда (в особенности подвижных при комнатной температуре ионов) в пленках подзатворных окислов SiO₂ (см. [10, 18] и ссылки там) и стало важным, чуть ли не определяющим, этапом в создании современных интегральных схем [18] и компьютеров на их основе. Кроме того, в рамках аналогичных методик возможно определение токов через границы раздела диэлектрик–полупроводник в МДП-структурах и других полезных параметров [10, 13, 21].

3. АНОМАЛЬНЫЕ ТОКИ

Третье слагаемое в (21)

описывает еще один, независимый, тип токов. Если индуцированные токи (12) и токи емкостной природы (22) равны нулю, то ток из (23) может быть отличен от нуля (в этом смысле вклад (23) аномален). Для этого требуется, чтобы в образце не было двигающихся зарядов, поляризация не изменялась и не менялись также потенциалы электродов и емкостные коэффициенты. В [15] приведен простой иллюстрирующий пример с конденсатором, заряды в котором неподвижны, поляризация отсутствует, потенциалы постоянны, а неоднородные изменения диэлектрической проницаемости происходят таким образом, что емкость конденсатора не меняется. Дополнительные токи в этом примере связаны с перераспределением экранирующих зарядов между электродами при неоднородных изменениях диэлектрической проницаемости. В работе [19] этот эффект рассмотрен в более общем случае. В данной работе вклад (23) анализируется без ограничений. Исследуется, в частности, влияние поляризации на токи, возникающие при изменениях параметров образца.

Рассмотрим с этой целью функционал

и преобразуем его с помощью теоремы Остроградского–Гаусса в поверхностный интеграл где интегрирование проводится ${\text{по}}$ поверхностям S_β металлических электродов системы, $\vec {n}$ – внешние нормали к ним (интеграл по бесконечности равен нулю вследствие электронейтральности системы). Как видно из (25), J₃ = 0, если вспомогательные потенциалы на электродах постоянны во времени. Чтобы использовать это обстоятельство, раскроем подынтегральное выражение в (24): и заметим, что откуда Поскольку $ - {\text{div}}\vec {P}$ – связанный заряд, то заряд ${{\rho }_{{\text{п}}}}$, введенный в (28), это полный (свободный плюс связанный) заряд. В этих обозначениях (26) принимает следующий вид: Отметим, что для интересующего нас случая (6), когда вспомогательные потенциалы на электродах постоянны и поэтому J₃ = 0, равны нулю интеграл в правой части (24) и равный ему интеграл от левой части в (29). Поэтому равен нулю и интеграл от правой части в (29), т.е. или, после деления на – Ф₀, где – это нормированный потенциал. Заметим наконец, что левая часть в (31) совпадает с правой частью в (23), так что формулу (23) для третьего вклада в ток из (21) теперь можно записать в окончательном виде:

Эта формула служит обобщением соответствующего выражения из [19].

Отметим, что закон сохранения связанного заряда имеет вид

т.е., как видно из (34), ${{\partial{ \vec {P}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial{ \vec {P}}} {\partial t}}} \right. \kern-0em} {\partial t}}$ играет роль тока для связанного заряда. Отсюда следует и закон сохранения полного, свободного плюс связанного, заряда: где величина играет, очевидно, роль связанной с полным зарядом плотности тока. В этих обозначениях равенство (35) приобретает более компактный вид:

Теперь формулу (12) для традиционного вклада из ТШР можно записать в следующем виде:

Таким образом, свободный и связанный заряды входят в формулы (33) и (38) одинаковым образом – в составе ${{\rho }_{{\text{п}}}}$ и ${{\vec {J}}_{{\text{п}}}}$. Иначе говоря, поляризация (связанные заряды) влияет на токи во внешней цепи (индуцированные и аномальные) так же, как и свободные заряды.

При этом аномальные токи из (33), хотя и связаны с наличием в образце локальных полных зарядов, но отличны от нуля только тогда, когда одновременно происходят изменения вспомогательного нормированного потенциала, а для этого, в свою очередь, требуется, чтобы диэлектрическая проницаемость образца менялась соответствующим образом. Приведенный в работе [15] пример показывает, что такая ситуация вполне возможна; причем ненулевые аномальные токи могут присутствовать даже тогда, когда остальные вклады в ток во внешней цепи равны нулю. Это показывает, что аномальный вклад в ток во внешней цепи независим от остальных вкладов.

Обсуждаемые вопросы интересны, например, в связи с диагностикой дипольных дефектов в тонких пленках диэлектриков МДП-структур и интегральных схем [13]. Но особого внимания заслуживают, конечно, вещества со спонтанной поляризацией, величина которой может принимать довольно высокие значения, >4 × 10^–6 Кл/см² [22], такими что поля связанного заряда, неизбежно возникающего на границах сегнетоэлектриков из-за обрыва поляризации, могли бы быть достаточно велики, ~5 × 10⁷ В/см и больше. Однако на практике эти поля экранируются зарядами адсорбированных ионов, а в полупроводниках – зарядами электронов и дырок. В последнем случае возникает интересная ситуация, когда вблизи границ образуются узкие переходные заряженные слои с размерами, зависящими от соотношения между величинами поляризации и пьезоэлектрических напряжений. Поляризация в этих слоях непрерывно изменяется до своих граничных значений, которые могут значительно уступать объемным. При этом экранирование полей поляризации электронами (дырками) приводит в итоге к уменьшению общих полей в поверхностном слое (см., например, модельное рассмотрение сегнетоэлектрика–полупроводника в [23]). Тем не менее общий связанный заряд в слое и экранирующий его свободный заряд электронов или дырок остаются по-прежнему большими. Конечно, свободный заряд локализован, хотя бы частично, на дефектных уровнях и поверхностных состояниях, т.е. не обязательно подвижен. Но и подвижная его часть может быть достаточно велика, чтобы использовать ее в приборных применениях, включая транзисторы (см., например, обзор [24] по приборам на основе GaN и теоретические данные по спонтанной и пьезоэлектрической поляризациям и зарядам в нитридах на их границах [25]). Отметим наконец, что при внешних воздействиях на структуры с поляризацией (поля, подсветка, температура и т.п.) будет изменяться величина и пространственное распределение не только свободных, но и связанных зарядов.

Далее, четвертый вклад в ток (четвертые слагаемые в формулах (19) и (21))

связан с асимметричной частью тензора диэлектрической проницаемости. Обычно он равен нулю, так как тензор ${{\varepsilon }_{{ij}}}$ симметричен в силу обобщенного принципа симметрии кинетических коэффициентов [20], однако в некоторых случаях (при наличии магнитного поля, например) симметрия может нарушаться. Природа этого вклада будет рассмотрена в другой работе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, ток из внешней цепи на отдельный металлический электрод, возникающий при изменении связанных с образцом факторов, можно, в развитие ТШР, представить в виде четырех компонент различной природы (см. формулы (21) и (22), (33), (38) и (39)). При этом свободные заряды и поляризация влияют на токи во внешней цепи одинаковым образом: в составе полного (свободного плюс связанного) заряда (см. (28)) в формуле (33) для аномальных токов и в составе связанного с полным зарядом тока (см. (36)) в формуле (38) для индуцированных токов.

Аномальные токи индуцируются, как мы видели (см. (33)), локальными полными зарядами, но отличны они от нуля только тогда, когда внутри образца одновременно с зарядами и в том же месте изменяется вспомогательный нормированный потенциал. Может возникнуть сомнение: а возможно ли это, ведь во вспомогательной задаче токи и заряды отсутствуют, а потенциалы электродов постоянны. И все же внутри образца при изменениях его диэлектрической проницаемости (и постоянных потенциалах электродов) изменения внутренних потенциалов могут происходить. В работе [15] приведен пример с конденсатором, в котором происходят неоднородные изменения диэлектрической проницаемости, такие что все компоненты тока, кроме аномальной, равны нулю. Этот пример показывает, что аномальные токи теоретически возможны и независимы от других компонент полного тока. Вообще в природе изменения диэлектрической проницаемости наблюдаются не так уж и редко: например, в различных процессах, связанных фазовыми переходами или химическими реакциями, при релаксации структуры стекол и в других случаях. Однако встреча с подобными ситуациями в приборных применениях маловероятна (разве что при наличии в приборе макроскопических дефектов соответствующей природы), да и вряд ли желательна.

Работа выполнена в рамках государственного задания.