1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Радиотехника и электроника
  4. T. 67, № 8, 2022

Радиотехника и электроника, 2022, T. 67, № 8, стр. 745-753

Построение траекторий лучей при рассеянии электромагнитных волн от неоднородной плазмы факела ракетного двигателя

К. И. Конов a, *, К. Н. Климов a, **

a Национальный исследовательский университет “Московский авиационный институт”
125993 Москва, Волоколамское шос., 4, Российская Федерация

* E-mail: konov.k.i@gmail.com
** E-mail: const0@mail.ru

Поступила в редакцию 09.03.2022
После доработки 09.03.2022
Принята к публикации 25.03.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассмотрена модель концентрации электронов в шлейфе факела ракетного двигателя (РД) и приведены картины распределения плазменной частоты на примере третьей ступени межконтинентальной баллистической ракеты (МБР) Peacekeeper. Представлены картины 3D-траекторий лучей, рассеянных на шлейфе факела РД МБР для частоты 0.4 ГГц. Показано, что использование алгоритма выбора переменной интегрирования на каждом шаге и параллельных векторных вычислений повышает эффективность численного электродинамического моделирования и позволяет проводить 3D-анализ неоднородной плазмы факела РД в геометрооптическом приближении.

ВВЕДЕНИЕ

Рассеяние электромагнитных (ЭМ) волн от плазмы факела ракетного двигателя (РД) представляет интерес для широкого круга исследователей [1–10]. Шлейф неоднородной плазмы от факела РД ослабляет и рассеивает ЭМ-волну, что может привести к ошибкам при передаче информации по радиоканалу между объектом и наземной антенной на активном участке траектории. В частности, данное явление стало причиной потери телеметрии при первом запуске европейской ракеты-носителя VEGA [4]. В работах [5, 6, 10–13] был проведен ряд наземных экспериментов с РД для исследования физических принципов, лежащих в основе этого явления. Аналитические модели плазмы выхлопного шлейфа РД рассмотрены в работах [14–19]. Данные модели позволяют получить пространственные и частотные зависимости диэлектрической проницаемости в плазменном шлейфе факела РД. Полученные параметры плазмы могут быть использованы при решении уравнений Максвелла [19–26].

При использовании расчетных моделей, основанных на методе конечных элементов для неоднородной плазмы, простой геометрической формы в работе [19] достигнуты удовлетворительные результаты. В указанной работе выполнен 2D-расчет для круга радиусом до 43 м и диапазона частот 0.1…10 ГГц с пространственной дискретизацией ${\lambda \mathord{\left/ {\vphantom {\lambda {10}}} \right. \kern-0em} {10}}$, где $\lambda $ – длина ЭМ-волны в вакууме для заданной частоты.

При увеличении расстояния от сопла факел РД существенно расширяется, он обладает сложной 3D-геометрической структурой. Для решения такой 3D-задачи методом конечных элементов или конечных разностей требуются достаточно большие вычислительные ресурсы [19, 26–30].

В программном комплексе Ansys HFSS при расчете в приближении физической оптики граничные условия задаются на поверхности объекта. Для получения корректных результатов при расчете задачи о рассеянии ЭМ-волны на факеле РД необходимо учитывать пространственное распределение диэлектрической проницаемости внутри неоднородной плазмы в шлейфе факела РД.

При решении задачи о рассеянии ЭМ-волн от неоднородной плазмы факела РД обратим внимание на особенности геометрии задачи: размеры области анализа, как и неоднородностей диэлектрической проницаемости, существенно больше длины волны. Такая особенность соответствует условиям применения методов геометрической оптики [31–37]. Учитывая сказанное, воспользуемся алгоритмом численного построения лучей в геометрооптическом приближении, предложенным в [33–37], который позволяет достаточно эффективно решать описанную задачу путем выбора переменной интегрирования на каждом шаге.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

На рис. 1 представлена геометрия исследуемой задачи. Центр системы координат расположен в центре сопла ракетного двигателя [3]. Азимутальный угол $\alpha $ задается между проекцией вектора $P$ на плоскость $XOY$ – ${{P}_{{xy}}}$ и осью абсцисс. Зенитный угол $\beta $ задается между вектором $P$ и осью аппликат.

Рис. 1.

Геометрия исследуемой задачи: 1 – 3-я ступень МБР Peacekeeper, 2 – плазменный шлейф факела РД.

Рассмотрим модель зависимости массовой плотности (г/см3) заряженных частиц $p\left( {r,\theta } \right)$ в факеле РД на примере третьей ступени тяжелой МБР Peacekeeper, которая была предложена в [3]:

(1)
$p\left( {r,\beta } \right) = 3.3952 \times {{10}^{{ - 5}}}\frac{{{{{\cos }}^{{\gamma \left( \beta \right)}}}\left( {\frac{\beta }{{g\left( \beta \right)}}} \right)}}{{{{{\left( {r + {{r}_{{{\text{вых}}}}}} \right)}}^{2}}}},$
где ${{r}_{{{\text{вых}}}}} = \,\,~ - 0.938854$ м – радиус выхода. Значение параметра $\gamma \left( \beta \right)$ определяется из следующих условий [3]:
(2)
$\gamma \left( \beta \right) = \left\{ \begin{gathered} - 0.7\beta + 32~\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,~0^\circ < \beta \leqslant 20^\circ \hfill \\ 0.2\beta + 14~\,\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,\,{\text{\;}}20^\circ < \beta \leqslant 40^\circ \hfill \\ 0.5\beta + 2{\text{\;}}\,\,\,\,{\text{при}}~\,\,\,\,40^\circ < \beta \leqslant 60^\circ \hfill \\ 0.2333\beta + 46~\,\,\,{\text{при \;}}60^\circ < \beta \leqslant 90^\circ \hfill \\ \end{gathered} \right..$
Значение функции $g\left( \beta \right)$ определяется согласно условию [3]:
(3)
$g\left( \beta \right) = \left\{ \begin{gathered} 2~\,\,\,{\text{при}}\,\,\,~0^\circ < \beta \leqslant 85^\circ \hfill \\ - 0.1\beta + 10.5{\text{\;при}}\,\,\,{\text{\;}}85^\circ < \beta \leqslant 90^\circ . \hfill \\ \end{gathered} \right.$
Распределение массовой плотности заряженных частиц, задаваемое выражениями (1)–(3) осесимметрично относительно оси аппликат и определяет концентрацию электронов ${{n}_{e}}$. В плазме рассматриваемого факела РД основными заряженными частицами являются электроны ${{e}^{ - }}$, частицы хлора $~{\text{C}}{{{\text{l}}}^{ - }}$ и калия ${{{\text{K}}}^{ + }}$ [3]. Выражения для концентрации электронов запишем в следующем виде [3, 10, 20, 23]:
(4)
${{n}_{e}} = \frac{{p\left( {r,\beta } \right)}}{{{{M}_{{\text{т}}}}}}{{\chi }_{e}}{{N}_{{\text{A}}}},$
где ${{M}_{{\text{т}}}}$ – молярная масса веществ выхлопной струи, ${{\chi }_{e}}$ – молярная доля электронов, ${{N}_{{\text{A}}}}$ – число Авогадро.

Зная концентрацию электронов, рассчитаем плазменную частоту для модели плазмы без учета столкновений и движения положительных ионов в соответствии со следующим выражением [21–23]:

(5)
${{f}_{p}} = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{{{{n}_{e}}{{e}^{2}}}}{{{{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}}}} ,$
где $e$ – заряд электрона, ${{\varepsilon }_{0}}$ – диэлектрическая проницаемость вакуума, ${{m}_{e}}$ – масса электрона.

В соответствии с (5) на рис. 2а представлено сечение для значений плазменной частоты ${{f}_{p}}$ в шлейфе факела рассматриваемого РД в плоскости $XOZ$. На рис. 2а можно выделить три области: на расстоянии, большем 150 м от сопла, плазменная частота ${{f}_{p}}$ принимает значения от $0.1$ до 1 МГц, на расстоянии от 50 до 150 м от сопла – от 1 до 10 МГц, на расстоянии менее 50 м до сопла – выше 1 ГГц. Рассмотрим сечение плазменной частоты в области, примыкающей к соплу на расстоянии до 4 м более детально. На рис. 2б соответствующее сечение представлено с шагом сетки на два порядка меньшим, чем на рис. 2а. Как следует из рис. 2б, на расстоянии от 2.4 до 4 м от сопла, плазменная частота принимает значения от 1 до 10 ГГц, на расстоянии от 1.4 до 2.4 м от сопла – от 10 до 100 ГГц, на расстоянии от 1.1 до 1.4 м от сопла – от 100 ГГц до 1 ТГц, при дальнейшем приближении к соплу плазменная частота достигает значения 10 ПГц. Распределение плазменной частоты ${{f}_{p}}$ симметрично относительно оси аппликат, что следует из осесимметричности концентрации электронов (4). Поскольку полное отражение э/м волны от плазмы происходит на частотах меньших значения плазменной частоты, то представленные картины распределения плазменный частоты позволяют оценить размеры анализируемой области для требуемой частоты.

Рис. 2.

Сечение для значения плазменной частоты  fp в факеле рассматриваемого РД, в плоскости XOZ в области, примыкающей к соплу: а – до 400 м, б – до 4 м.

Отметим, что несмотря на то, что представленные результаты были получены для третьей ступени тяжелой МБР Peacekeeper, они также согласуются с моделями распределения плазменной частоты в факеле РД для третьей ступени японской твердотельной ракеты Mu-5, предназначенной для запуска научных спутников [8, 10], поэтому исследуемая модель представляет интерес для ракет подобного класса.

Для расчета распределения относительной диэлектрической проницаемости в факеле РД при известной плазменной частоте ${{f}_{p}}$ и заданной частоте сигнала $f$ воспользуемся следующим выражением [20–23, 31]:

(6)
$\varepsilon = 1 - {{\left( {{{{{f}_{p}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{f}_{p}}} f}} \right. \kern-0em} f}} \right)}^{2}}.~~$

Введем обозначение kp для отношения квадрата плазменной частоты $f_{p}^{2}$ к массовой плотности заряженных частиц $p\left( {r,\beta } \right)$ в факеле РД, поскольку оно не зависит от координат и представляет собой комбинацию фундаментальных физических констант и молярной массы компонентов топлива:

(7)
${{k}_{p}} = \frac{{f_{p}^{2}}}{{p\left( {r,\beta } \right)}} = \frac{{{{\chi }_{e}}{{N}_{{\text{A}}}}{{e}^{2}}}}{{4{{\pi }^{2}}{{\varepsilon }_{0}}{{m}_{e}}{{M}_{{\text{т}}}}{\text{\;}}}}.$

Такая величина является постоянной для выбранной модели факела РД и позволяет минимизировать число операций при вычислении распределения относительной диэлектрической проницаемости, которую запишем в виде следующего условия:

(8)
$\varepsilon = \left\{ \begin{gathered} 1 - \frac{{p\left( {r,\beta } \right)}}{{{{f}^{2}}}}{{k}_{p}}~\,\,\,\,{\text{при}}\,\,\,{\text{\;}}z \geqslant 0 \hfill \\ 1\,\,\,\,~{\text{при}}\,\,\,\,~z < 0. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛУЧЕЙ В ПЛАЗМЕ РД С ЗАВИСИМОСТЬЮ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ ОТ ТРЕХ КООРДИНАТ

Рассмотрим дифференциальные уравнения лучей, соответствующие представленной задаче [31, 32]. Для расчета траекторий лучей в геометрооптическом приближении необходимо найти решение задачи Коши для следующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений [31, 32, 37]:

(9)
$\begin{gathered} \frac{{dx}}{{d\tau }} = {{P}_{x}}~,~\,\,\,\,~\frac{{dy}}{{d\tau }} = {{P}_{y}}~,\,\,\,\,~\frac{{dz}}{{d\tau }} = {{P}_{z}}~, \\ \frac{{d{{P}_{x}}}}{{d\tau }} = \frac{1}{2}\frac{{\partial {{n}^{2}}}}{{\partial x}}~,~\,\,\,\,~\frac{{d{{P}_{y}}}}{{d\tau }} = \frac{1}{2}\frac{{\partial {{n}^{2}}}}{{\partial y}},\,\,\,\,~~\frac{{d{{P}_{z}}}}{{d\tau }} = \frac{1}{2}\frac{{\partial {{n}^{2}}}}{{\partial z}}. \\ \end{gathered} $

В [33] описан алгоритм численного решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка, описывающей распространение лучей в слоистой среде с зависимостью диэлектрической проницаемости от двух координат. В [37] представлена модификация алгоритма для случая шестимерного фазового пространства, в котором имеется три пространственные координаты. Такой алгоритм позволяет проводить расчет траекторий лучей для случая зависимости диэлектрической проницаемости от трех координат. В работе [37] было проведено тестирование алгоритма на примере расчета траекторий лучей в 3D-линзе Люнеберга. Показано, что полученное численное решение задачи Коши для системы (9) сходится к точному аналитическому решению с ошибкой, соответствующей величине выбранного шага сетки.

Численное решение задачи Коши для системы (9) реализовано на языке Python с использованием модификации алгоритма численного интегрирования с выбором переменной интегрирования на каждом шаге, описанного в [37].

Для повышения эффективности расчетов были предприняты следующие меры:

– операции расчета траектории выполняются не для каждого луча поочередно, а для матрицы лучей с использованием векторных вычислений;

– заданный набор лучей разбивается на выбранное число матриц, которые рассчитываются параллельно в многопотоковом режиме.

Время, затраченное на проведение расчета траекторий лучей, согласно предложенной программной реализации алгоритма интегрирования с выбором переменной интегрирования на каждом шаге для области анализа 40 × 40 × 80 ${{{\text{м}}}^{{\text{3}}}}{\text{\;}}$ представлено в табл. 1 [33–37].

Таблица 1.

Время, затраченное на проведение расчета траекторий лучей

Процессор ОЗУ, ГБ Частота, ГГц Объем области анализа, λ3 Время расчета
Intel(R) Core(TM) i7-8700K 3.70 GHz 16 0.4 303.4 тыс 3 мин 10 с
Intel(R) Xeon(R) Gold 6146 3.20 GHz 384 0.4 303.4 тыс 57 с
4 303.4 млн 51 мин 55 с
10 4.74 млрд 4 ч 5 мин 49 с

3. ТРАЕКТОРИИ ЛУЧЕЙ В ПЛАЗМЕ ФАКЕЛА РД

Приведем результаты расчета траекторий лучей, падающих на факел ракетного двигателя, при выбранных начальных условиях [31, 32].

Рассмотрим падение плоской волны вдоль оси абсцисс на неоднородную плазму факела РД. Точки входа лучей расположены в плоскости, перпендикулярной оси абсцисс, расстояние от которой до центра системы координат составляет –20 м, лучи расположены в узлах квадратной сетки равномерно по осям ординат и аппликат. Область входа лучей составляет от –20 до 20 м по оси ординат и от 1 до 80 м по оси аппликат. Начальные значения азимутальных и зенитных углов для всех лучей одинаковы и составляют соответственно α = 0° и β = 90°. Расчет выполнен для частоты 0.4 ГГц.

В результате расчета траекторий лучей, падающих вдоль оси абсцисс на неоднородную плазму факела РД для третьей ступени МБР Peacekeeper на частоте 0.4 ГГц, можно выделить три области в зависимости от характера рассеяния лучей. Соответствующие этим областям картины траекторий лучей (пространственные проекции характеристик уравнения эйконала) [31, 33], рассеянных в неоднородной плазме от факела РД, приведены на рис. 3–5. Также на рис. 3а–3в–5а–5в показаны линии уровня значений относительной диэлектрической проницаемости на исследуемой частоте.

Рис. 3.

Пространственные проекции характеристик уравнения эйконала на частоте 0.4 ГГц для лучей с аппликатой точки выхода от 34 до 70 м: проекции траекторий лучей на плоскость XOZ при y = 0 (а), YOZ при х = 0 (б), XOY при z = = 35 м и аксонометрическая проекция (г).

Рис. 4.

Пространственные проекции характеристик уравнения эйконала на частоте 0.4 ГГц для лучей с аппликатой точки выхода 10 до 30 м: проекции траекторий лучей на плоскость XOZ при y = 0 (а), YOZ при х = 0 (б), XOY при z = 13 м и аксонометрическая проекция (г).

Рис. 5.

Пространственные проекции характеристик уравнения эйконала на частоте 0.4 ГГц для лучей с аппликатой точки выхода от 1 до 9 м: проекции траекторий лучей на плоскость XOZ при y = 0 (а), YOZ при х = 0 (б), XOY при z = 5 м и аксонометрическая проекция (г).

На рис. 3 приведены картины траекторий лучей с аппликатами точки выхода от 34 до 70 м, срезы значений относительной диэлектрической проницаемости показаны для $z = 35$ м. Как видно из рис. 3, пространственные проекции характеристик уравнения эйконала преломляются и увеличивают значение координаты по оси аппликат.

На рис. 4 приведены картины траекторий лучей с аппликатами точки выхода от 10 до 30 м, срезы значений относительной диэлектрической проницаемости показаны для $z = 13$ м. Как видно из рис. 4, пространственные проекции характеристик уравнения эйконала в зависимости от ординаты точки выхода преломляются и либо увеличивают, либо уменьшают значение координаты по оси аппликат. Из рис. 4в следует, что область значительного градиента относительной диэлектрической проницаемости расширяется и большее количество лучей преломляется.

На рис. 5 приведены картины траекторий лучей с аппликатами точки выхода от 1 до 9 м, срезы значений относительной диэлектрической проницаемости показаны для $z = 5$ м. Относительно плоскостей XOZ, YOZ и XOY наблюдается симметричное преломление лучей, что объясняется симметричным относительно оси аппликат распределением плазменной частоты. Как видно из рис. 5, пространственные проекции характеристик уравнения эйконала в зависимости от ординаты точки выхода преломляются и либо увеличивают значение координаты по оси аппликат, либо незначительно преломляются в плоскости XOY. Луч с ординатой точки выхода y = 0 полностью отражается от факела РД.

На рис. 3–5 для наглядности показаны не все лучи, которые были рассчитаны. Для частот 4 и 10 ГГц структура траекторий лучей сохраняется, но размеры областей, в которых наблюдается преломление траекторий лучей (см. рис. 3–5) уменьшаются.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, рассмотрена модель концентрации электронов в шлейфе факела РД на примере третьей ступени МБР Peacekeeper. Приведены картины распределения плазменной частоты в шлейфе факела, дифференциальные уравнения лучей в плазме факела РД с зависимостью диэлектрической проницаемости от трех координат, картины пространственных проекций уравнения эйконала на шлейфе факела РД для частоты 0.4 ГГц. Расчет траекторий лучей на ПК с процессором Intel(R) Xeon(R) Gold 6146 3.20 GHz и 384 ГБ ОЗУ частоты 10 ГГц и 4.74 трлн узлов занял 4 ч 5 мин 49 с.

Для других РД разработанным программным обеспечением может быть проведено аналогичное моделирование, если будет задано соответствующее распределение плотности заряженных частиц в плазме факела РД.

Предложенная программная реализация построения траекторий лучей с выбором переменной интегрирования на каждом шаге позволяет проводить анализ рассеяния ЭМ-волн в плазме РД в геометрооптическом приближении для 3D-геометрий, включая неоднородную плазму РД.

Использование алгоритма выбора переменной интегрирования на каждом шаге и параллельных векторных вычислений позволило повысить эффективность численного электродинамического моделирования.

Список литературы

  1. McIver D.E. // Proc. of the NASA Conf. on Communicating Through Plasmas of Atmospheric Entry and Rocket Exhaust, Hampton, 1964, P. 167.

  2. Wood W. A., DeMore J.E. // Proc. 6th Solid Propellant Rocket Conf. Washington DC. 01–03 Feb. 1965. AIAA. P. 183. https://doi.org/10.2514/6.1965-183

  3. Senol A.J., Romine G.L. // J. Spacecraft and Rockets. 1986. V. 23 № 1. P. 39. https://doi.org/10.2514/3.25081

  4. Abe T., Fujita K., Ogawa H., Funaki I. // 31st AIAA Plasmadynamics and Lasers Conf. AIAA. 2000. P. 2484. https://doi.org/10.2514/6.2000-2484

  5. Kinefuchi K., Funaki I., Abe T. // IEEE Trans. 2010. V. AP-58. № 10. P. 3282.

  6. Kinefuchi K., Funaki I., Shimada T., Abe T. // J. Spacecraft and Rockets. 2010. V. 47. № 4. P. 627.

  7. Coutu N., Barrot W., Engblom W., Perrell E. // Proc. IEEE Southeastcon. 4–7 Apr. Jacksonville, USA. P. 1. https://doi.org/10.1109/SECON.2013.6567408

  8. Kinefuchi K., Funaki I., Abe T. // J. Spacecraft and Rockets. 2013. V. 50. № 1. P. 150. https://doi.org/10.2514/1.A32223

  9. McCargar R.K., Siegrist K.M., Reuster J.G. et al. // IEEE Trans. 2020. V. AP-66. № 12. P. 6531. https://doi.org/10.1109/TAP.2018.2845545

  10. Kinefuchi K., Yamaguchi H., Minami M. et al. // Acta Astronautica. 2019. V. 165. P. 373. https://doi.org/10.1016/j.actaastro.2019.09.025

  11. Kinefuchi K., Funaki I., Ogawa H. et al. // Proc. 47th AIAA Aerospace Sciences Meeting Including the New Horizons Forum and Aerospace Exposition. 2009. P. 1386. https://doi.org/10.2514/6.2009-1386

  12. Котельников В.А., Котельников М.В. // Труды МАИ. 2012. № 50. С. 21.

  13. Sun B., Xie K., Shi L. et al. // IEEE Trans. 2020. V. AP-68. № 12. P. 8021. https://doi.org/10.1109/TAP.2020.2999661

  14. Smoot L.D., Underwood D.L. // J. Spacecraft and Rockets. 1966. V. 3. № 3. P. 302. https://doi.org/10.2514/3.28444

  15. Smoot L.D., Seliga T.J. // J. Spacecraft and Rockets. 1967. V. 4. № 6. P. 774. https://doi.org/10.2514/3.28950

  16. Blevins J.A., Frederick R.A., Coleman H.W. // Proc. 32nd Aerospace Sciences Meeting & Exhibit, Reno. 10–13 Jan. 1994. https://doi.org/10.2514/6.1994-671

  17. Котельников В.А., Котельников М.В., Морозов А.В. // Теплофизика высоких температур. 2016. Т. 54. № 3. С. 323.

  18. Котельников В.А., Котельников М.В., Филиппов Г.С. // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2018. № 6. С. 13.

  19. Dieudonné É., Kameni A., Pichon L., Monchaux D. // Acta Astronautica. 2019. V. 158. P. 334. https://doi.org/10.1016/j.actaastro.2019.03.032

  20. Гинзбург В.Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. М.: Наука, 1967.

  21. Хилд М., Уортон С. Микроволновая диагностика плазмы. М.: Атомиздат, 1968.

  22. Чен Ф. Введение в физику плазмы. М.: Мир, 1987.

  23. Клеммоу Ф., Доуэрти Дж. Электродинамика частиц и плазмы. М.: Мир, 1996.

  24. Климов К.Н., Сестрорецкий Б.В. // РЭ. 2005. Т. 50. № 6. С. 647.

  25. Климов К.Н., Камышев Т.В., Рученков В.А., Сестрорецкий Б.В. // РЭ. 2006. Т. 51. № 7. С. 773.

  26. Климов К.Н. Методология численного анализа во временной области двумерных импедансносеточных моделей антенных систем и электродинамических объектов большой размерности. Дис. … док. техн. наук. М.: МИЭМ, 2007. 402 с.

  27. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.

  28. Самарский А.А. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.

  29. Карцев И.Ю. Метод импедансно-сеточной функции Грина для решения двумерных задач дифракции. Дис. … канд. техн. наук. М.: МЭИ, 1991. 138 с.

  30. Grossmann M.T., Holzhauer E., Hirsch M. et al. // III Reflectometry Work-shop for Fusion Plasma. 5–7 May 1997. Madrid, Spain. P. 115.

  31. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. М.: Наука, 1980.

  32. Кравцов А.Ю., Орлов Ю.И. Каустики, катастрофы и волновые поля // Успехи матем. наук. 1983. Т. 141. № 4. С. 591.

  33. Перфильев В.В., Степанов T.C., Климов К.Н. // РЭ. 2016. Т. 61. № 12. С. 1184.

  34. Klimov K.N., Konov K.I. // Systems of Signal Synchronization, Generating and Processing in Telecommunications. 4–5 Jul. 2018. Minsk. P. 1. https://doi.org/10.1109/synchroinfo.2018.8456987

  35. Klimov K., Konov K. // Int. Seminar on Electron Devices Design and Production. 23–24 Apr. 2019. Prague. P. 1. https://doi.org/10.1109/SED.2019.8798408

  36. Klimov K.N., Konov K.I., Belevtsev A.M. et al. // Proc. SPIE The Int. Soc. for Optical Engineering. 21–25 Sep. 2020. V. 11541. P. 1. https://doi.org/10.1117/12.2582075

  37. Конов К.И., Климов К.Н. // Радиотехника. 2021. Т. 85. № 8. С. 69. https://doi.org/10.18127/j00338486-202108-08

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Радиотехника и электроника

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал