Радиотехника и электроника, 2022, T. 67, № 9, стр. 855-858

Графен обладает исключительно сильной нелинейностью третьего порядка в сравнении с широко используемыми диэлектриками и металлами, а также сильным плазмонным откликом и гораздо меньшими потерями в ИК- и ТГц-диапазонах. Как линейная, так и нелинейная проводимости графена хорошо управляются с помощью электрического поля или химического легирования [1–5], что обеспечивает управление параметрами ПС без изменения размеров и структуры.

При электродинамическом моделировании структур, содержащих графеновые слои, можно использовать приближенные граничные условия. Первое граничное условие – непрерывность тангенциальных компонент напряженности электрического поля ${{\vec {E}}_{\tau }}$

второе – где $\vec {H}$ – напряженность магнитного поля, $\vec {n}$ – нормаль к поверхности, $\vec {j}$ – плотность поверхностного тока, $\sigma $ – поверхностная проводимость графена. Символы “+” и “–” введены для обозначения полей на верхней и нижней границах слоя.

Линейная часть $\sigma $ – σ⁽¹⁾ определяется формулой Кубо–Хансена [6]. Поскольку графен имеет центрально-симметричную структуру, то в нелинейной части проводимости максимальный уровень будет иметь составляющая третьего порядка:

Существует несколько формул для определения нелинейной проводимости (см. обзор [7]). При энергии кванта ћω $ \ll $ 2µ_с можно использовать формулу [8, 9]

где e – заряд электрона, µ_c – химический потенциал (уровень Ферми), v_F = 10⁶ м/с – скорость Ферми, ω – частота падающей волны, ћ – приведенная постоянная Планка, К = 3/32.

Существуют и другие выражения коэффициента $K$: 3/8π [10], 1/8π [8, 11]. Во всех формулах зависимости от частоты и химического потенциала одинаковые, то выбор коэффициента $K$ не принципиален, поскольку влияет лишь на амплитуду падающей волны, необходимой для достижения данного уровня нелинейности. В связи с этим на рис. 1 приведены значения коэффициента нелинейности $\delta = {{{{\sigma }^{{\left( 3 \right)}}}{{{\left| E \right|}}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\sigma }^{{\left( 3 \right)}}}{{{\left| E \right|}}^{2}}} {{{\sigma }^{{\left( 1 \right)}}}}}} \right. \kern-0em} {{{\sigma }^{{\left( 1 \right)}}}}}$, где $E$ напряженность поля на графеновом слое.

Самым простым способом решения нелинейной задачи является метод возмущения, т.е. использование в нелинейной проводимости напряженности электрического поля ${{\left| {\vec {E}} \right|}^{2}}$, полученной при решении линейной задачи, например, в [12–14]. Оценить теоретически погрешность метода возмущения непростая задача.

Цель данной работы – решение строгим методом и методом возмущения простой задачи об отражении плоской электромагнитной волны от нелинейного графенового слоя и получение оценки метода возмущений из сравнения решений.

Полагаем, что на 1d-структуру – полупространство с показателем преломления ${{n}_{1}}$, графеновый слой, полупространство с показателем преломления ${{n}_{2}}$, – падает из верхнего полупространства E-поляризованная волна под углом θ (ее амплитуда ${{E}_{0}}$, частота ${{f}_{1}}$). Графеновый слой лежит в плоскости $y = 0$. В спектре отраженных и прошедших волн будем учитывать только волны на основной частоте ${{f}_{1}}$ и на утроенной ${{f}_{3}} = 3{{f}_{1}}$.

Напряженность электрического поля можно представить в виде

где Подставляя (3), (4) в (1), получим Затем подставляем (3), (4) в (2) и после достаточно простых, но громоздких тригонометрических преобразований, получим

$\zeta = \sigma _{m}^{{\left( 3 \right)}}{{\mu }_{0}}$ (${{\mu }_{0}}$ – магнитная постоянная),

При выводе (6), (7) учтены формулы (5).

Система (6), (7) – система из двух алгебраических уравнений третьего порядка. Рассмотрим два подхода к решению этой системы.

Метод возмущения (МВ). Решаем (6) в линейном приближении

где $N = {{n}_{1}} + n{{{\kern 1pt} }_{2}} + {{Z}_{0}}{{\sigma }_{1}}$.

Подставляем (8) в (6), (7) и находим для нелинейного случая

где $\zeta = {{Z}_{0}}{{\sigma }^{{\left( 3 \right)}}}$.

Решение алгебраических уравнений третьего порядка методом Ньютона (МН). Полагаем в (6) ${{B}_{3}} = 0$ и решаем уравнение (6) относительно переменной ${{B}_{1}}$

Обозначаем полученное решение $B_{1}^{{\left( 1 \right)}}$.

Находим коэффициент прохождения третьей гармоники. Для этого решаем нелинейное уравнение (7) относительно переменной ${{B}_{3}}$

при начальном условии

Обозначаем полученное решение $B_{3}^{{\left( 1 \right)}}$.

Подставляем $B_{3}^{{\left( 1 \right)}}$ в (6) и решаем еще раз уравнение относительно ${{B}_{1}}$. Обозначаем полученное решение $B_{1}^{{\left( 2 \right)}}$.

Еще раз решаем уравнение (10), в котором надо заменить $B_{1}^{{\left( 1 \right)}}$ на $B_{1}^{{\left( 2 \right)}}$. Полученное решение обозначаем $B_{3}^{{\left( 2 \right)}}$.

Этот итерационный процесс при необходимости можно повторить.

Рассмотрим результаты расчетов коэффициентов отражения $R = {{\left| {{{B}_{1}} - 1} \right|}^{2}}$ (рис. 2), потерь $P$ основной гармоники (рис. 3) и коэффициента прохождения третьей гармоники$\,{{T}_{3}} = 20\lg \left| {{{B}_{3}}} \right|$ (рис. 4 ). Из (5) следует, что для третьей гармоники коэффициенты прохождения и отражения равны. Результаты расчетов приведены для $\mu $ = 0.45 эВ, $\tau $ = 1 пс при нормальном падении.

Малая амплитуда падающего поля равна $\delta \approx 0.1$. Как видно из рис. 2, 3, для основной гармоники прямое численное решение и решение методом возмущения практически совпадают. Средняя амплитуда падающего поля равна $\delta \approx 0.25$, большая $\delta \approx 0.5$. Небольшие различия при низких частотах можно объяснить резким возрастанием ${{\sigma }^{{(3)}}}$ (5) при уменьшении частоты.

Метод возмущения дает также завышенные значения коэффициента прохождения третьей гармоники $\,{{T}_{3}}$ (см. рис. 4 ) при всех частотах за исключением низких. Расхождение не принципиальное, но его следует учитывать при расчете нелинейных графеновых структур в области плазмонного резонанса.