Радиотехника и электроника, 2023, T. 68, № 1, стр. 3-12

ВВЕДЕНИЕ

Исследования и разработки поглощающих структур для работы в сверхвысокочастотном (СВЧ) и оптическом диапазонах представляют большой интерес уже долгое время, так как они находят ряд важных практических приложений. Указанные структуры применяются в безэховых камерах, предназначенных для измерения характеристик антенн и СВЧ-устройств, в качестве средств обеспечения электромагнитной совместимости различных устройств, в качестве средств снижения эффективной площади рассеяния наземных и воздушных объектов и в устройствах для приема и преобразования солнечного света.

Современные требования для поглощающих структур включают близкую к 100% эффективность поглощения в широкой полосе частот и в широком секторе углов падения. Одним из перспективных типов элемента для таких структур, удовлетворяющих указанным требованиям, является так называемая электромагнитная черная дыра. Такой элемент был впервые предложен в [1] в форме цилиндра с поглощающей однородной центральной частью и неоднородной оболочкой без потерь. Указанный поглотитель характеризуется тем фактом, что благодаря специальному радиальному профилю проницаемости оболочки геометрооптические лучи, входящие в него, оказываются в ловушке и поглощаются в его центральной части. Другие модификации цилиндрических черных дыр предложены и исследованы в [2–9]. Аналогичные исследования одиночных сферических электромагнитных черных дыр были проведены в [10–12].

Результаты исследований, приведенные в указанных выше публикациях, показывают, что одиночные электромагнитные черные дыры как цилиндрической, так и сферической формы могут обеспечивать высокую эффективность поглощения в широкой области частот. Этот факт вызвал определенный интерес в исследовании эффективности использования черных дыр в качестве элементов поглощающих периодических структур. Одномерно-периодические структуры из цилиндрических черных дыр были исследованы в [13–15]. Исследования показали высокую эффективность указанных структур, сравнимую с эффективностью структур с клиновидными элементами, но достижимую при значительно меньшей толщине поглощающего слоя.

Первые результаты, полученные для двумерно-периодических структур со сферическими черными дырами, были недавно доложены в [16]. Цель данной работы – дальнейшие исследования указанных структур на основе соответствующих модификаций гибридного проекционного метода, предложенного в [17] для анализа структур только с продольно неоднородными элементами. В работе описаны алгоритмы, соответствующие расположению радиально неоднородных черных дыр на полубесконечной диэлектрической подложке и на идеально проводящем экране, приведен вывод новых соотношений для расчета мощности, поглощенной черными дырами, которые будут использоваться для расчетов эффективности поглощения структуры. Полученные результаты, характеризующие эффективность применения сферических черных дыр в поглощающих структурах, сравниваются с аналогичными результатами для структур с традиционными пирамидальными поглощающими элементами.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД РЕШЕНИЯ

Геометрия исследуемой двумерно-периодической структуры в декартовой системе координат приведена на рис. 1. Структура образована двухслойными сферическими элементами внешнего радиуса a, расположенными на подложке в узлах прямоугольной или треугольной сетки с межэлементным расстоянием d_x в строках, а соседние строки расположены на расстоянии d_y друг от друга. Внешний слой каждого элемента является неоднородным с относительной диэлектрической проницаемостью ε(x, y, z), зависящей от радиальной координаты r = [x² + y² + (z – a)²]^1/2. Центральная область элемента представляет собой однородную диэлектрическую сферу радиусом a₁ и с диэлектрической проницаемостью ε₁. Подложка представляет собой однородное полупространство с относительной диэлектрической проницаемостью ε_s. Относительная магнитная проницаемость элементов структуры μ и μ₁, а также подложки μ_s равны единице. Относительная диэлектрическая проницаемость и относительная магнитная проницаемость над подложкой вне сфер также считаются равными единице.

Предполагается, что структура возбуждается плоской поперечно электрической (ТЕ) волной с амплитудой $A{{{\kern 1pt} }_{1}}$ или поперечно магнитной (ТМ) волной с амплитудой $A{{{\kern 1pt} }_{2}}$, падающей под углом $\theta $ к оси $z$ в вертикальной плоскости, расположенной под углом φ к плоскости $x0z$ (см. рис. 1а). Цель задачи – определить поле, отраженное от структуры, и поле как в области, содержащей сферические элементы, так и в подложке. Наибольший практический интерес представляет коэффициент отражения волны от структуры, характеризующий согласование последней со свободным пространством, и мощность, поглощенную в элементах структуры и в подложке.

Согласно [17], поперечные составляющие электрического и магнитного полей над элементами структуры при $z \geqslant h$, $h = 2a$ (см. рис. 1б) представляются в виде разложений по полной системе гармоник Флоке:

соответствующих зависимости от времени $\exp ( - i\omega t)$, где ${{\eta }_{0}} = {{({{{{\mu }_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\mu }_{0}}} {{{\varepsilon }_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{\varepsilon }_{0}}}})}^{{1/2}}}$– волновое сопротивление для свободного пространства, ${{R}_{{jpq}}}$ – неизвестные амплитуды отраженных ТЕ-$(j = 1)$ и ТМ-волн $(j = 2)$,

– продольные постоянные распространения, ${{w}_{{pq}}} = {{(\alpha _{p}^{2} + \beta _{{pq}}^{2})}^{{1/2}}}$,

– поперечные постоянные распространения, $u = \sin \theta \cos \varphi $ и $v = \sin \theta \sin \varphi $ – направляющие косинусы для падающей волны, $\delta = 0$ для прямоугольной сетки и $\delta = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}$ для треугольной сетки, $k = 2\pi {\kern 1pt} /{\kern 1pt} \lambda $ – волновое число, $\lambda $ – длина волны в свободном пространстве, ${{\vec {\psi }}_{{1pq}}}(x,y)$ и ${{\vec {\psi }}_{{2pq}}}(x,y)$ – ортонормированные поперечные векторные функции, определяемые через поперечные постоянные распространения (4) и ортонормированные скалярные функции

как указано в [17].

Для упрощения записи последующих формул мы вводим сквозную порядковую нумерацию гармоник Флоке для каждого типа. И далее двойной индекс $pq$, используемый в (1)–(5), заменим одиночным.

Поля в подложке $(z \leqslant 0)$ также представляем в виде разложения по гармоникам Флоке

с неизвестными амплитудами T_jq и постоянными распространения ${{\Gamma }_{{1q}}} = {{({{k}^{2}}{{\varepsilon }_{s}} - w_{q}^{2})}^{{1/2}}}$, учитывающими специфику подложки.

Поперечные составляющие полей в области $0 \leqslant z \leqslant h$, содержащей сферические элементы, ищем в виде разложений по поперечным функциям

с неизвестными коэффициентами, зависящими от $z$.

Выражения для продольных составляющих полей, определяемые через (6) и (7) из уравнений Максвелла

где $\hat {\varepsilon } = \varepsilon (x,y,z)$ в оболочках элементов, $\hat {\varepsilon } = {{\varepsilon }_{1}}$ в центральных частях последних и $\hat {\varepsilon } = 1$ вне элементов, приведены в [17].

Сшивание электрических полей (1) и (8), а также магнитных полей (2) и (9) (последнее должно быть векторно умножено на ${{\vec {e}}_{z}}$) при $z = h$ дает соотношения

где ${{\delta }_{{1q}}}$ – символ Кронекера. Аналогичное сшивание электрических полей (6) и (8), а также магнитных полей (7) и (9) при $z = 0$ дает еще четыре соотношения

которые будут использоваться при выводе последующих выражений.

Проектирование уравнений Максвелла (10) и (11) для полей в области, содержащей сферические элементы, на поперечные функции $\vec {\psi }_{{1p}}^{ * }(x,y)$ и $\vec {\psi }_{{2p}}^{ * }(x,y)$, как это описано в [17] и более подробно в [18], сводит указанные уравнения к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно переменных коэффициентов, стоящих в разложениях (8) и (9):

где

и $S(z)$ – площадь горизонтального сечения сферы. Учитывая осевую симметрию элемента структуры и проводя интегрирование по φ' в (26) и (27) в цилиндрической системе координат $\rho {\kern 1pt} '$ и φ', получим

где

и J₀(…) – функция Бесселя нулевого порядка.

Решение дифференциальных уравнений (20)–(23) ищем в виде разложений по треугольным функциям f_n(z) [17], [18]

с вершинами в $N$ узлах, расположенных равномерно на интервале $0 \leqslant z \leqslant h$, включая его концы. Подстановка (30) и (31) в дифференциальные уравнения (20)–(23) и проектирование последних на треугольные функции f_m(z) в рамках метода конечных элементов, в процессе которого учитываются явное выражение (23), а также соотношения (14), (15), (18) и (19), сводит задачу к системе алгебраических уравнений

с матричными элементами

в которых

Коэффициенты $Y_{{pq}}^{{mn}}$ и $Z_{{pq}}^{{mn}}$ вычисляются по формулам, аналогичным формуле (40), где коэффициент ${{W}_{{pq}}}$ следует заменить на (24) и (25) соответственно. Явные выражения для коэффициентов (38)–(40) имеются в [18].

Уравнения (32)–(34) образуют полную бесконечную алгебраическую систему, которую решаем методом усечения до размера $3PN$, где $P$ – число учитываемых пространственных гармоник для каждого из наборов ${{H}_{{1nq}}}$, ${{E}_{{1nq}}}$, и ${{E}_{{2nq}}}$, $n = 1,\,\,...,\;N$. Так как каждая треугольная функция частично перекрывается только с ближайшими соседними функциями, то интегралы (35)–(40) равны нулю для $\left| {m - n} \right| > 1$, и поэтому матрица системы является блочно-ленточной. Пример указанной структуры имеется в [17]. Численное решение алгебраической системы позволяет затем рассчитать коэффициенты отражения волн в свободное пространство (12), (13) и коэффициенты прохождения волн в подложку, а также мощность, поглощенную элементами структуры.

2. СООТНОШЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО БАЛАНСА

Соотношение энергетического баланса (или баланса мощностей) используется как один из способов проверки корректности работы различных численных алгоритмов. Такое соотношение было приведено в [17] для случая отсутствия потерь в элементах структуры и подложке. Ниже представлено аналогичное соотношение, выведенное с учетом потерь в элементах и подложке, определяемых мнимой частью диэлектрической проницаемостью в них.

Соотношение энергетического баланса

включает отраженную мощность P ^r, мощность P ^t, прошедшую в подложку, и мощность P ^a, поглощенную элементами структуры, сумма которых равна мощности P ⁱ, падающей на структуру.

Падающая, отраженная и прошедшая мощности определяются общей формулой

где $\vec {n} = - {{\vec {e}}_{z}}$ для падающей и прошедшей мощностей, $\vec {n} = {{\vec {e}}_{z}}$ для отраженной мощности и S_a – площадь ячейки периодической структуры, равная d_x × d_y.

Подставляя первые слагаемые из (1) и (2) при $z = h$ в (42), получим

где учтено, что ${{\Gamma }_{{00}}} = {{\Gamma }_{1}} = k\cos {\kern 1pt} \theta $. Аналогичная подстановка вторых слагаемых из (1) и (2) в (42) дает

Выражение для мощности, прошедшей в подложку –

выводится в результате подстановки (6) и (7) в (42).

Мощность, поглощенная в элементах структуры, определяется формулой

где – проводимость элемента структуры, определяемая мнимой частью его диэлектрической проницаемости. Полное электрическое поле равно сумме его поперечной составляющей (8) и продольной составляющей [17, 18]

полученной в результате подстановки (9) в уравнение Максвелла (10). В результате этого формулу (46) можно переписать в виде

где

Подставляя (8) в (49) и учитывая, что $ = \operatorname{Im} \{ \varepsilon (r{\kern 1pt} ') - 1\} $, а также, что $\varepsilon (r{\kern 1pt} ') - 1$ умножается на действительную функцию в (28) и на действительное произведение треугольных функций в выражениях для $Y_{{pq}}^{{mn}}$ и $Z_{{pq}}^{{mn}}$, аналогичных выражению (40), получим

Аналогично, подставляя (47) в (50) и учитывая, что

а также что $1 - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{\kern 1pt} \varepsilon (r{\kern 1pt} ')}}} \right. \kern-0em} {{\kern 1pt} \varepsilon (r{\kern 1pt} ')}}$ умножается на действительную функцию в (29) и на действительное произведение треугольных функций в (40), получим

Таким образом, видим, что мощность, поглощаемая в элементах структуры, определяется через мнимые части матричных элементов системы уравнений (32)–(34).

3. МОДИФИКАЦИЯ ДЛЯ СЛУЧАЯ СТРУКТУРЫ НА ЭКРАНЕ

Если элементы структуры расположены не на диэлектрической подложке, а на идеально проводящем экране в плоскости z = 0, то алгоритм, описанный выше, может быть модифицирован следующим образом. Наличие экрана исключает поля (6) и (7) из рассмотрения. Граничные условия (16)–(19) заменяются условиями ${{E}_{{1q}}}(0) = {{E}_{{2q}}}(0) = 0$, что исключает первые члены из разложений (31). В этом случае система уравнений (32)–(34) модифицируется следующим образом:

т.е. суммирование по n, содержащее коэффициенты разложения электрических полей E_1nq и E_2nq по треугольным функциям, начинается с n = 2.

Наконец, мощность P ^t, прошедшая в подложку в соотношении (41), исключается из указанного соотношения.

4. РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМОВ И ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Базовый алгоритм и его модификация, описанные выше, были реализованы в компьютерных программах на языке МАТЛАБ с учетом профиля диэлектрической проницаемости во внешнем слое сферической электромагнитной черной дыры

предложенного в [7] и затем использованного в [9] и [15], где r – расстояние от центра сферического элемента (см. разд. 1), β – параметр, определяющий скорость возрастания мнимой части проницаемости слоя от нуля на внешней границе в направлении к центральной области. Постоянная диэлектрическая проницаемость последней определяется как ${{\varepsilon }_{1}} = \varepsilon ({{a}_{1}})$. Таким образом, профиль диэлектрической проницаемости элемента соответствует полному согласованию между внешней поверхностью элемента и свободным пространством при r = a, а также между внешним слоем и внутренней областью элемента при r = a₁.

Функция (28) вычисляется с использованием кусочно-постоянной аппроксимации диэлектрической проницаемости в области интегрирования, что приводит к формуле

где ${{\rho }_{0}} = {{[a_{1}^{2} - {{(a - z)}^{2}}]}^{{1/2}}}$ при $\left| {a - z} \right| < {{a}_{1}}$ и ${{\rho }_{0}} = 0$ при $\left| {a - z} \right| \geqslant {{a}_{1}}$, ${{\rho }_{l}} = {{\rho }_{0}} + {{[\rho (z) - {{\rho }_{0}}]{\kern 1pt} l} \mathord{\left/ {\vphantom {{[\rho (z) - {{\rho }_{0}}]{\kern 1pt} l} {L(z)}}} \right. \kern-0em} {L(z)}}$; $L(z)$ – число отрезков разбиения области интегрирования, обеспечивающее заданную точность интегрирования, и ${{\bar {\varepsilon }}_{l}}$ – значение диэлектрической проницаемости в середине l-го отрезка интегрирования. Функция (29) вычисляется аналогичным способом.

Эффективность гибридного проекционного метода при анализе двумерно-периодических структур исследовалась в [17], путем проверки сходимости результатов и их сравнения с данными, имеющимися в литературе для некоторых частных случаев. Здесь также была исследована сходимость результатов для случая сферических элементов и проверена точность выполнения соотношения энергетического баланса (41) и его модификации для случая структуры, расположенной на экране. Во всех расчетах погрешность выполнения указанных соотношений, нормированных на ${{{{\eta }_{0}}{{k}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\eta }_{0}}{{k}^{2}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}{\kern 1pt} $ при единичных амплитудах A₁ и A₂ падающих волн, не превышала 10^–12.

Параметры а₁/а и β подбирали в процессе численных исследований так, чтобы обеспечить наиболее высокую эффективность поглощения структуры, определяемую отношением мощности, поглощенной элементами структуры, к мощности, падающей на структуру. Расчеты показали, что наилучшие результаты достигаются при значениях а₁/а, лежащих в интервале от 0.3 до 0.5, а оптимальные значения для β в разных случаях превышают 2. Кроме того, наилучшие результаты достигаются при плотном расположении черных дыр в сетке, т.е. при a = d_x/2.

Нормированные поглощенная, отраженная и прошедшая мощности, соответствующие черным дырам с параметрами a = d_x/2, a₁/a = 0.5 и β = 2.5, расположенным в гексагональной сетке в свободном пространстве (при ε_s = μ_s = 1) и возбуждаемым при нормальном падении (θ = 0), показаны на рис. 2 в зависимости от периода d_x. Как мы видим, эффективность поглощения P ^a/P ⁱ не достигает единицы (или 100%) при увеличении d_x. Этот эффект объясняется наличием зазоров между сферическими элементами, через которые просачивается падающая волна, не проходя через поглощающую среду.

Аналогичные результаты для таких же черных дыр, но расположенных в квадратной сетке, приведены на рис. 3. Здесь эффективность поглощения еще ниже, а прошедшая мощность соответственно возрастает, так как площадь зазоров между сферическими элементами оказывается больше, чем в случае гексагональной сетки.

Результаты, полученные для эффективности поглощения рассматриваемых структур при наклонном падении ТЕ- и ТМ-волн под углом θ = 30°, приведены на рис. 4 для гексагональной сетки и плоскости падения φ = 90°, а также на рис. 5 для квадратной сетки и плоскости падения φ = 45°. Отметим, что в отличие от случая нормального падения характеристики структуры при наклонном падении ТЕ- и ТМ-волн отличаются друг от друга. Как мы видим, эффективность поглощения в этих случаях выше, чем при нормальном падении. Этот эффект объясняется тем, что проекции поперечных сечений сферических элементов на плоскости перпендикулярные направлению падения становятся перекрывающимися, что уменьшает просветы в поглощающей среде, через которые просачиваются падающие волны.

Результаты, приведенные на рис. 6, показывают влияние диэлектрической проницаемости подложки ε_s и идеально проводящего экрана на эффективность поглощения структуры с гексагональной сеткой. Волна, ослабленная в результате прохождения через поглощающие элементы структуры, доходит до границы подложки, от которой она частично отражается. Указанная отраженная волна вновь проходит через поглощающие элементы, что вносит дополнительный вклад в поглощаемую мощность. Ясно, что чем больше мощности отражается от границы подложки, тем больше оказывается добавка в поглощенную мощность, что видно из сравнения эффективности поглощения для подложки с ε_s = 2 и с ε_s = 4. Так как коэффициент отражения во втором случае выше, чем в первом, мы видим более высокую эффективность поглощения для указанного второго случая. В случае структуры, расположенной на идеально проводящем экране, от которого наблюдается полное отражение волны, дошедшей до него, добавка к поглощенной мощности будет максимальной, что и демонстрируется более высокими кривыми эффективности поглощения. Аналогичные эффекты имеют место и в случае структуры, расположенной в квадратной сетке. Однако согласно рис. 3 и 5 эффективность поглощения в этом случае ниже, чем для случая гексагональной сетки, т.е. он представляется менее интересным, и поэтому соответствующие результаты не приводятся.

Поведение эффективности поглощения и нормированной отраженной мощности в зависимости от угла падения ТЕ- и ТМ-волн в плоскости φ = 0° показано на рис. 7 для случая гексагональной сетки с периодом d_x = 1.6λ. Как видим, высокая эффективность поглощения обеспечивается в широком секторе углов падения для обоих случаев поляризации. Согласно другим результатам, не приведенным здесь, аналогичное поведение можно наблюдать в плоскости падения φ = 90° и в промежуточных плоскостях.

Наконец, рассматривая возможность применять структуры с черными дырами, расположенными в гексагональной сетке, в качестве покрытий стенок в безэховых камерах СВЧ-диапазона, представляет интерес сравнить их характеристики поглощения с аналогичными характеристиками обычных структур с пирамидальными поглощающими элементами, расположенными в квадратной сетке на экране. Подобный элемент состоит из пьедестала квадратного поперечного сечения с длиной стороны квадрата d и высотой h₀, а также пирамидальной частью высотой h₁. Указанный параметр d равен периоду квадратной сетки, в которой расположены пирамидальные элементы. Типичные пропорции между указанными параметрами можно определить формулами h₀ = 0.65d и h₁ = 2.5d. Будем считать, что диэлектрическая проницаемость такого элемента равна ε = 1.5 + + 0.7i как [19].

Рассмотрим три подхода к сравнению характеристик поглощения. Первый соответствует одинаковым периодам сетки d_x, второй – одинаковым объемам V₁, приходящимся на элемент структуры, и третий – одинаковым объемам самих элементам V₂. На вставке рис. 7 приведены относительные размеры элементов, а также зависимости эффективности поглощения от периода d_x для случая нормального падения. Как видим, эффективность поглощения структуры с черными дырами оказывается несколько ниже эффективности структур с пирамидальными элементами. Но поскольку эффективность поглощения для черных дыр оказывается все-таки достаточно высокой (прядка 98%), а толщина поглощающего покрытия меньше, чем для пирамидальных элементов, что является преимуществом, то структуры с черными дырами представляются перспективными для дальнейшего исследования и усовершенствования. Последнее может быть проведено путем расположения черных дыр на сравнительно тонком поглощающем слое, который может быть как сплошным, так и с выемками, для помещения сферических элементов в них.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, рассмотрена трехмерная векторная задача рассеяния плоских ТЕ- и ТМ-волн на двумерно-периодической поглощающей структуре, образованной сферическими электромагнитными черными дырами, расположенными на полубесконечной диэлектрической подложке. Приведен алгоритм решения, основанный на гибридном проекционном методе, в котором учтена специфика сферических поглощающих элементов. Алгоритм обобщен на случай расположения черных дыр на идеально проводящем экране, а также включает вывод новых выражений для расчета мощности, поглощаемой черными дырами, что представляется важным как с точки зрения исследования эффективности поглощения, так и для проверки необходимого условия выполнения соотношения энергетического баланса.

Разработанные алгоритмы были реализованы в соответствующих программах в среде МАТЛАБ. Численные исследования, проведенные с использованием последних, показали, что наиболее высокая эффективность поглощения (порядка 98%) достигается в широком диапазоне значений периода структуры и в широком секторе углов падения в структурах с черными дырами, расположенными в гексагональной сетке на экране.

Сравнение характеристик исследованных структур с широко применяемыми поглощающими структурами с пирамидальными элементами показали, что эффективность структур со сферическими элементами, между которыми имеются неизбежные воздушные зазоры, оказывается ниже, чем у традиционных структур. Однако различие является несущественным, а толщина поглощающего слоя, содержащего сферические элементы, оказывается существенно меньше, чем в традиционных структурах, что является преимуществом применения сферических элементов и делает перспективными их дальнейшие исследования и усовершенствование поглощающих структур.

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.