Радиотехника и электроника, 2023, T. 68, № 11, стр. 1090-1098

ВВЕДЕНИЕ

Параметр помехозащищенности является одним из основных при выборе и использовании радиосигналов для передачи информации любого назначения. С ростом объемов циркулирующей в коммутационных сетях информации возрастает потребность в спектрально эффективных сигналах с многопозиционной фазовой модуляцией (ФМ) и квадратурной амплитудной модуляцией (КАМ). С точки зрения помехоустойчивости большой интерес вызывают, в частности, биортогональные сигналы с квадратурной фазовой манипуляцией (QPSK). Радиосигналы с QPSK-модуляцией при одинаковой информационной скорости и в два раза меньшей шириной полосы частот имеют такую же вероятность битовой ошибки, что и сигналы с двоичной фазовой манипуляцией (BPSK), которые считаются наиболее устойчивыми к шумовым помехам. При проектировании и оценке качества работы радиолинии важно уметь определять параметры помехоустойчивости расчетным путем не только в присутствие шума, но и при наличии структурных помех. К наиболее известным видам относятся, например, помехи гармонические, сканирующие по частоте и помехи с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ), подобные сигналу, одиночные и в различных сочетаниях.

Если гармонические помехи имеют простые и однозначные математические модели, то сканирующие по частоте помехи разнообразны как по применению, так и по математическим моделям. Они существенно различаются и терминологически.

Сканирование по диапазону частот может осуществляться как одной помехой [1–5], так и синхронно несколькими помехами одновременно [6]. Периодически такая помеха попадает в полосы частот каналов в этом диапазоне. Размах, мощность и периоды сканирования могут быть различными.

Известны направления применения помех со сканированием по частоте при активации импровизированных взрывных устройств [3–7]. В работах [8, 9] предложен алгоритм режекции сканирующей по частоте помехи в системе с широкополосной модуляцией с прямым расширением спектра.

Широкое применение имеют сигналы и помехи с ЛЧМ. Зондирующие сигналы с ЛЧМ используют в радиолокации для расширения полосы частот и повышения точности определения дальности до цели [10, 11]. Находят применение сигналы с ЛЧМ и в акустической связи [12, 13]. Вместе с тем ЛЧМ-сигналы применяются при мультиплексировании с ортогональным частотным разделением каналов для повышения степени разделения сигналов на поднесущих частотах с целью повышения их помехозащищенности [14–17], а также при передаче цифровых сигналов с многопозиционной модуляцией [18].

Оценка и сравнение по помехозащищенности сигналов с многопозиционной модуляцией производятся по сопоставлению величин вероятностей битовых ошибок как функции от отношения сигнал/шум, отнесенного к одному биту.

Цель статьи – расчет вероятностей битовых ошибок приема сигналов с QPSK-модуляцией при наличии помехи с ЛЧМ на основе математически корректной методики. Основой методологического подхода и разработанной методики является диагонализация ковариационной матрицы вектора откликов корреляторов схемы приемника Котельникова и сведение четырехкратного интеграла переходной вероятности к двукратному [19].

Следует отметить, что в данной статье вероятности битовых ошибок будем определять не из вероятностей правильного приема символов [19, 20], а непосредственно из переходных вероятностей ошибочного приема символов. Преимущества данного подхода отмечено в работе [21].

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ДЛЯ РАСЧЕТА ВЕРОЯТНОСТЕЙ БИТОВЫХ ОШИБОК ПРИЕМА РАДИОСИГНАЛОВ С QPSK-МОДУЛЯЦИЕЙ

Методика определения переходных вероятностей из позиции созвездия переданного сигнала в позицию принятого опирается на построение вероятностного пространства на множестве совместных событий и представлена в работе [22]. Этот подход отличается от изложенного в работах [23, 24] простотой, наглядностью, и, главное, тем, что применим к случаю наличия структурных помех. Рассмотрим необходимые элементы предлагаемой методики.

Обозначим позиции символов в созвездии сигналов с QPSK-модуляцией порядковыми числительными 1, 2, 3, 4. Тогда вероятности перехода передаваемых символов в принятые обозначим как P(m/n) (m, n = 1, 2, 3, 4), где n – номер позиции передаваемого символа, а m – номер позиции принятого символа. При расчете вероятностей битовых ошибок будем учитывать привязку каждой пары значений битовых символов из нулей и единиц номеру позиции сигнального символа в созвездии. Это будет определяться использованием или неиспользованием кодирования по Грею. Для расчета переходных (условных) вероятностей для сигнальных символов фиксированность расположения значений битов в символе не требуется. При первичном выводе формул для вероятностей битовых ошибок вначале требуются только значения битов в символе без привязки к номеру позиции в созвездии символов.

Введем обозначения “0₁”, “1₁”, “0₂”, “1₂” – знаки нулей и единиц в первом и во втором битах в символе, например, (0₁1₂,1₁0₂). Покажем вывод формул только для первого бита. Тогда события, заключающиеся в ошибке приема 0 и 1 в первом бите есть объединения следующих событий:

Если все передаваемые символы априорно равновероятны и независимы, то можно написать [22]:

С использованием кодирования по Грею выражения можно переписать через условные вероятности в виде

Вероятность ошибок первого бита равна

Таким образом, остается рассчитать переходные вероятности и привязать пары битовых знаков к номерам позиций символов в созвездии. Эта привязка, в свою очередь, определяется тем, что применяется или не применяется кодирование по Грею. Первый вариант более предпочтителен и чаще применяется. В этом случае привязка в созвездии, как известно, осуществляется следующим образом: 1-я позиция – “00”; 2-я – “01”; 3-я – “11”; 4-я – “10”.

Определим математические модели сигнала ${{s}_{i}}\left( t \right)$ и помехи ${{s}_{p}}\left( t \right)$ на l-м тактовом интервале длительности T в следующем виде:

где ${{A}_{{\text{с}}}}$ – амплитуда сигнала: ${{A}_{{\text{с}}}} = \sqrt {2{{P}_{{\text{с}}}}} $; $~{{A}_{{\text{п}}}}$ – амплитуда помехи: $~{{A}_{{\text{п}}}} = \sqrt {2{{P}_{{\text{п}}}}} $; P_с – мощность сигнала; P_п – мощность помехи; ω₀ – частота несущего колебания сигнала; $\Delta {{{{\omega }}}_{{\text{п}}}}$ – сдвиг частоты помехи относительно ω₀; φ_п – фазовый сдвиг помехи; $a$ – коэффициент, принимающий значения 0 или 1.

Модель помехи представляет собой агрегат объединения гармонической помехи и помехи с ЛЧМ. Это обобщение является естественным, поскольку случайная составляющая канального отклика корреляционного демодулятора, как оказывается, не зависит от структуры помехи. Это, в частности, определяется прямым расчетом, как будет видно из дальнейших выкладок. Если a = 0, то помеха гармоническая со сдвигом частоты, если $\Delta {{{{\omega }}}_{{\text{п}}}}$ = 0 и a = 0, то помеха гармоническая, когерентная с сигналом, если a = 1, то помеха с ЛЧМ.

На вход корреляционного демодулятора поступает аддитивная смесь сигнала, помехи и шума:

где j – номер позиции переданного информационного символа, n(t) – шумовая помеха, моделируемая белым гауссовым шумом (БГШ) с корреляционной функцией:

где N₀ – односторонняя спектральная плотность БГШ; $\delta \left( {t - t{\kern 1pt} '} \right)$ – дельта-функция Дирака.

Требуется сделать следующее.

1. Найти математические выражения для определения средних вероятностей битовых ошибок когерентного приема радиосигнала QPSK в присутствии помехи.

2. Построить кривые средних вероятностей битовых ошибок от отношения сигнал/шум при заданных значениях девиации частоты ЛЧМ помехи.

3. Провести сравнение помехозащищенности сигнала при наличии гармонической помехи или помехи с ЛЧМ.

2. РАСЧЕТ ВЕРОЯТНОСТЕЙ БИТОВЫХ ОШИБОК ДЛЯ РАДИОСИГНАЛОВ С QPSK-МОДУЛЯЦИЕЙ

Для расчета вероятностей битовых ошибок выпишем значение напряжения на выходе i-го коррелятора при приеме j-й позиции сигнала ${{\xi }}_{i}^{j}$ в момент отсчета T:

где $i,~j \in \left( {1,~2,~3,~4} \right)$.

Случайную составляющую в (4) обозначим символом

Выбор принятого символа сигнала осуществляется по максимальному значению ${{\xi }}_{i}^{j}$ с выходов корреляторов по известному правилу:

Оператор $\mathop {{\text{max}}}\limits_i $ означает выбор номера (позиции сигнала в созвездии) того коррелятора, отклик которого максимален.

Вектор напряжений на выходах корреляторов ${{{\mathbf{\xi }}}^{j}}$ и вектор случайных составляющих ${\mathbf{\zeta }}$ можно представить в виде соответственно:

где ^Т – знак транспонирования.

Для расчета плотности вероятности (ПВ) вектора ${{{\mathbf{\xi }}}^{j}}$ определим его математическое ожидание по формуле [19]:

где s – вектор копий принимаемых радиосигналов информационных позиций: s = (s₁, s₂, s₃, s₄)^Т.

Тогда можно написать:

Плотность вероятности вектора ${{{\mathbf{\xi }}}^{j}}$ будет иметь вид [19, 24]

где ${{K}_{{{{{\mathbf{\xi }}}^{j}}}}} = \left( {{{{\mathbf{\xi }}}^{j}} - ~\left\langle {{{{\mathbf{\xi }}}^{j}}} \right\rangle } \right){{\left( {{{{\mathbf{\xi }}}^{j}} - ~\left\langle {{{{\mathbf{\xi }}}^{j}}} \right\rangle } \right)}^{T}} = ~\,\,\left\langle {{\mathbf{\zeta }}{{{\mathbf{\zeta }}}^{T}}} \right\rangle = {{K}_{{{\mathbf{\zeta }}{\text{\;}}}}}$ – ковариационная матрица вектора ${{{\mathbf{\xi }}}^{j}}$.

Переходные (условные) вероятности определяются следующим образом:

По общей исходной формуле получаем

где $~{{x}_{j}}$ – переданный информационный символ; $~{{\hat {x}}_{i}}$ – принятый информационный символ;$~{{s}_{j}}$ – переданный радиосигнал-символ, несущий информационный символ ${{x}_{j}}$.

Вследствие биортогональности сигнала с QPSK-модуляцией определитель ковариационной матрицы равен нулю (det K_ζ = $\left| {{{{\mathbf{K}}}_{{\mathbf{\zeta }}}}} \right|$ = 0), а ее ранг равен двум, поэтому интеграл вида (6) не вычисляется.

Для определения переходных (условных) вероятностей ошибки приема символов из системы координат вектора ${{{\mathbf{\xi }}}^{j}}$ необходимо перейти в новую систему координат η, где ковариационная матрица вектора ${{{\mathbf{\xi }}}^{j}}$ приобретает диагональный вид.

Матрица ${{{\mathbf{K}}}_{{{\zeta }}}}$ здесь имеет вид [19]

где $h_{{\text{с}}}^{2}$ – отношение сигнал/шум: $h_{{\text{с}}}^{2}$ = E_сим/N₀; E_сим= = P_сT – энергия символа на длительности информационного символа; E_b = 0.5E_сим – энергия бита.

Матрица А, определяемая по методике, представленной в [19], будет иметь вид

где ранг матрицы равен 2.

Ковариационная матрица ${{{\mathbf{K}}}_{{\mathbf{\eta }}}}$ в новой системе координат η будет иметь диагональный вид

Матрица преобразований V системы координат ξ, составленная из ортонормированных собственных векторов матрицы ${\mathbf{A}}$, в новой системе координат η будет иметь вид [19]

Для примера расчета условных вероятностей приема информационных символов рассмотрим вектор $\left\langle {{{{\mathbf{\xi }}}^{j}}} \right\rangle $ для первой позиции передаваемого сигнала j = 1, где ${{s}_{1}}\left( t \right) = {{A}_{c}}\cos {{\omega }_{0}}t$. Непосредственными вычислениями по формуле (4) получим вектор математических ожиданий вектора ${{{\mathbf{\xi }}}^{1}}$:

где $h_{{\text{п}}}^{2}$ – отношение помеха/шум на длительности символа: $h_{{\text{п}}}^{2} = {{{{E}_{{\text{п}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{E}_{{\text{п}}}}} {{{N}_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{N}_{0}}}}$; ${{E}_{{\text{п}}}}$ – энергия помехи на длительности информационного символа:

Используя матрицу преобразования V (7), получаем вектор математических ожиданий в новой системе координат $\left\langle {{{{\mathbf{\eta }}}^{1}}} \right\rangle $:

Отсюда видно, что вероятностная мера задана на двухмерной плоскости (η₃0η₄) в новой системе координат η. В этой системе координат четырехмерная ПВ ${{w}_{4}}\left( {\mathbf{\eta }} \right)$, вычисляемая по формуле (6), будет определяться произведением одномерных ПВ:

Первые два сомножителя имеют дисперсию, равную нулю, и представляют собой дельта-функцию Дирака, а именно

Кроме того, имеем $\left\langle {{{\eta }}_{1}^{1}} \right\rangle \,\,~ = ~\,\,\left\langle {{{\eta }}_{2}^{1}} \right\rangle \,\,~ = 0.$ Интегрирование дельта-функции в данном случае приводит к единице, и четырехкратный интеграл становится двухкратным.

Тогда расчет условных вероятностей приема информационных символов в системе координат вектора ${{{\mathbf{\xi }}}^{1}}$ при приеме первого информационного символа должен выполняться по формулам

где ${{w}_{4}}\left( {{{\mathbf{\xi }} \mathord{\left/ {\vphantom {{\mathbf{\xi }} {{{s}_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{s}_{1}}}}} \right)$ – условная ПВ вектора ${\mathbf{\xi }}$ при передаче первого символа ${{s}_{1}}$.

В системе координат вектора η¹ формула для расчета условных вероятностей имеет вид произведения однократных интегралов:

где ${{\eta }}_{{l{\text{н}}}}^{1}$ и ${{\eta }}_{{l{\text{в}}}}^{1}$ – нижний и верхний $l$-е пределы интегрирования, подлежащие определению.

Первые два интеграла в их произведении равны единице, следовательно, имеем

Определим верхние и нижние границы двукратного интеграла переходной вероятности через уравнения плоскостей в четырехмерном пространстве, ограничивающих область интегрирования на примере расчета условной вероятности приема информационного символа Р(2/1).

Для этого выпишем уравнения плоскостей, ограничивающих область интегрирования в четырехмерной системе координат ${\mathbf{\xi }}~$ из формулы для расчета $P~\left( {{2 \mathord{\left/ {\vphantom {2 1}} \right. \kern-0em} 1}} \right)$, а именно [19]

Используя преобразования ${\mathbf{\xi }} = {\mathbf{V\eta }}$, определяем значения составляющих вектора ${\mathbf{\xi }}$ через составляющие вектора ${\mathbf{\eta }}$. Тогда имеем

Подставляя данные выражения в уравнение (9), учитывая, что η₁ = η₂ = 0, получаем уравнения следов пересечения плоскостей в четырехмерном пространстве, ограничивающих область определения интеграла с двухмерной плоскостью $\left( {{{{{\eta }}}_{3}}0{{{{\eta }}}_{4}}} \right)$, а именно ${{{{\eta }}}_{4}} = {{{{\eta }}}_{3}},{\text{\;}}{{{{\eta }}}_{4}} = - {{{{\eta }}}_{3}}$, ${{{{\eta }}}_{3}} = 0$.

Исходя из этих уравнений, можно сделать вывод, что пределы интегрирования по осям для (8) имеют значения ${{{{\eta }}}_{{3{\text{н}}}}} = 0,$ ${\text{\;}}{{{{\eta }}}_{{3{\text{в}}}}} = \infty ,$ ${{{{\eta }}}_{{4{\text{н}}}}} = - {{{{\eta }}}_{3}},$ ${{{{\eta }}}_{{4{\text{в}}}}} = {{{{\eta }}}_{3}}.$ В выражении (8) одномерные ПВ представляются в следующем виде:

Как найдено выше, вероятность ошибки приема первого бита состоит из двух слагаемых. Сведем выражения (1)–(3) в одно и получим

Результаты непосредственных расчетов показывают одинаковость вероятностей ошибок приема первого и второго битов при кодировании по Грею [22]. Поэтому достаточно рассмотреть вероятность только одного бита.

Кроме того, результаты расчетов показывают одинаковость вида формул в следующих равенствах:

Для получения окончательной формулы для расчета переходной условной вероятности введем обычные нормированные переменные:

Тогда нижние $({{x}_{{{\text{н}}2/1}}},{{y}_{{{\text{н}}2/1}}})$, и верхние (${{x}_{{{\text{в}}2/1}}}$, $~{{y}_{{{\text{в}}2/1}}}$) пределы интегрирования имеют вид

Нормированные ПВ для переменных x и y вычисляем по формулам

Переходные (условные) вероятности имеют аргументом параметр ${{{{\varphi }}}_{{\text{п}}}}$, например, Р(2/1,${\text{\;}}{{{{\varphi }}}_{{\text{п}}}}$). Для исключения этого параметра применим усреднение по ${{{{\varphi }}}_{{\text{п}}}}$, стандартно приняв его равномерно распределенной в пределах (–π, π) случайной величиной [19, 20]. Тогда примем

По непосредственным вычислениям и построении графиков сравнения установлены следующие равенства после усреднения по ${{{{\varphi }}}_{{\text{п}}}}$:

а) для противоположных позиций в символьном созвездии –

б) для соседних позиций в созвездии –

Для расчета вероятности ошибки приема первого бита используем выражение:

Таким образом, достаточно иметь всего два вида слагаемых для получения средней вероятности ошибок приема битов, например:

На рис. 1 построены графики зависимостей средней вероятности ошибки приема бита от отношения сигнал/шум для бита $h_{b}^{2}$ = E_b/N₀ и с длительностью символа 0.004 с при фиксированных уровнях помехи с ЛЧМ и при значении девиации частоты, равном 250 Гц.

На рис. 1 представлены кривые, построенные при отсутствии помехи и при значениях помеха/шум 5, 10 и 15 дБ, и с учетом соотношения $h_{{\text{с}}}^{2}$ = = E_с/N₀ = 2E_b/N₀ = $2h_{{\,b}}^{2}$, а также представлен график вероятности битовой ошибки для сигнала с BPSK-модуляцией в отсутствие структурных помех.

Как видно из рис. 1: 1) графики имеют пороговый характер, 2) с увеличением уровня помехи средняя вероятность битовой ошибки увеличивается. Графики вероятности битовой ошибки для сигнала с BPSK-модуляцией и вероятности битовой ошибки для сигнала с QPSK-модуляцией при уровне помехи –60 дБ совпали, т.е. в отсутствие помехи значения битовой ошибки при QPSK и BPSK, как и должно быть, одинаковы, 3) выведенные формулы дают точные значения и при любых уровнях сигнала и помехи.

На рис. 2 построены графики зависимостей вероятности битовой ошибки от отношения сигнал/шум при различных фиксированных значениях девиации частоты помехи с ЛЧМ при следующих условиях: длительность символа сигнала составила T = 0.004 с; значения девиации частоты: 0, 10, 100, 1000 и 4000 Гц; отношение помеха/шум с ЛЧМ принято 10 дБ.

Кривые на графиках показывают, что при больших значениях девиации частоты влияние помехи минимально, а при малых значениях – максимально. При этом влияние помехи с ЛЧМ приближается к степени влияния когерентной гармонической помехи (с девиацией частоты – 0) [19].

Для построения графиков зависимостей средних вероятностей битовой ошибки от величины девиации частоты помехи с ЛЧМ при фиксированных значениях уровней сигнала и помехи (рис. 3) использовались следующие входные данные: отношение помеха/шум 10 дБ; отношения сигнал/шум 10, 14 и 16 дБ.

Как видно из рис. 3 максимальное подавляющее воздействие помехи на сигнал имеет место при девиации частоты в пределах 0…40 Гц.

Если в модели помехи принять коэффициент a = 0, то помеха становится гармонической со сдвигом частоты [25, 26]. В этом случае интеграл в выражениях для откликов интеграторов-корреляторов демодулятора легко берется и общие формулы упрощаются. При этом формулы приобретают новое качество. Они позволяют построить графики зависимости вероятности ошибки приема на бит не только от уровня сигнала, но и от величины сдвига частоты.

Методика расчета вероятности битовой ошибки, вид формул и графики через вычисление вероятности правильного решения представлены в работе [19, 20]. В данной же статье представлены результаты при использовании переходных (условных) вероятностей, позволяющих получить точные значения как при малых, так и при больших уровнях сигнала и помехи.

Проведенный анализ полученных результатов показал, что при небольших значениях девиации частоты влияния гармонической помехи и помехи с ЛЧМ мало отличаются, при больших значениях девиации частоты влияние помехи с ЛЧМ существенно меньше.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На вероятность ошибки 1-го бита наличие или отсутствие кодирования по Грею никак не сказывается. При использовании кодирования по Грею вероятности ошибок 1-го и 2-го битов одинаковы во всех точках графиков. Без использования кодирования по Грею вероятность ошибки 2-го бита больше, чем у 1-го бита [22].

Представленная корректная методика и результаты позволяют обеспечить точный расчет влияния гармонической помехи и помехи с ЛЧМ на прием радиосигнала с QPSK. Несмотря на несколько меньшую эффективность помехи с ЛЧМ ее устранение представляет теоретически и практически более сложную задачу.

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.