Радиотехника и электроника, 2023, T. 68, № 6, стр. 563-570

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время значительное внимание исследователей привлекают задачи распространения высокочастотных полей в околоземном пространстве при наличии среднемасштабных локальных неоднородностей электронной плотности ионосферы. В таких условиях могут возникать локальные фокусировки высокочастотного (ВЧ) поля, обусловленные присутствием локальных ионосферных неоднородностей. Базовой задачей для описания эффектов фокусировок ВЧ-поля подобными неоднородностями, очевидно, является задача о возбуждении поля в сферически-симметричном приземном волноводе. Она рассматривается в данной работе. Результаты, полученные здесь, в дальнейшем используются при анализе эффектов локальных фокусировок ВЧ-полей среднемасштабными неоднородностями электронной плотности ионосферы.

Следует подчеркнуть, что в отличие от задач о распространении низкочастотных полей в приземном сферическом волноводе Земля–ионосфера [1, 2], где принято рассматривать распространение поля в вакуумном сферическом слое, ограниченном двумя сферическими поверхностями (ионосфера и Земля), характеризуемыми своими импедансами, в задачах распространения ВЧ-полей, очевидно, должна учитываться, по меньшей мере, существенная зависимость электронной плотности фоновой ионосферы от высоты над поверхностью Земли. В таком протяженном слое могут также присутствовать среднемасштабные (10…100 км) локальные неоднородности электронной плотности.

Данная работа посвящена построению строгого асимптотического решения фоновой задачи для произвольно заданного вертикального распределения электронной плотности ионосферы.

Традиционно теоретические исследования процессов распространения электромагнитных волн ВЧ-диапазонов в околоземном пространстве базировались на применении метода геометрической оптики и подразумевали построение полной лучевой картины процесса. Применение этой методики усложнялось наличием специфических свойств ионосферы, таких как немонотонность вертикальных профилей электронной концентрации, порожденная геомагнитным полем анизотропия, и спонтанное возникновение разномасштабных неоднородностей вследствие разнообразных гео- и гелиофизических процессов. Расчеты амплитудных характеристик полей в неоднородной магнитоактивной ионосфере и многочисленные примеры применения метода прямого численного интегрирования уравнений лучей для решения разнообразных прямых и обратных задач акустики, сейсмологии и радиофизики представлены в работах [3, 4]. Последующие исследования выявили недостаточность стандартного математического аппарата общей теории волновых процессов и инициировали разработку принципиально новой методики.

Важным проявлением неоднородных свойств ионосферы является формирование каустических поверхностей и фокусировка ВЧ-радиоволн. Для описания этих явлений весьма эффективным оказалось применение волновой теории катастроф [5]. Математическое моделирование фокусировки при распространении радиоволн в ионосфере Земли на основе волновой теории катастроф и канонического оператора Маслова осуществлено в работе [6] с помощью расширенной бихарактеристической системы в фазовом пространстве. История развития и применения дифракционно-лучевой теории к задачам распространения электромагнитных волн в ионосферной плазме представлена в обзоре [7]. Здесь проанализировано формирование и изучены свойства поля в областях каустических особенностей в неоднородной ионосфере, рассмотрена пространственно-временная фокусировка при распространении сигналов в диспергирующей ионосфере, отмечены особенности при прохождении и отражении волн от ионосферных слоев. Численная реализация метода Маслова для интегральных представлений, обобщающих представления геометрической оптики при наличии фокусировок, изложена в работе [8].

Явление фокусировки волновых ВЧ-полей в ионосфере на локальных среднемасштабных неоднородностях в последнее время стало привлекать особое внимание исследователей. Основными способами описания этого явления являются построение лучевой картины [9–12] и численное решение полной волновой задачи с привлечением метода множественных фазовых экранов [13].

Следует отметить, однако, что несколько десятилетий назад уже был разработан альтернативный подход для описания названного явления. Ключевым моментом этого подхода является представление волнового ВЧ-поля в неоднородной среде в виде интеграла по некоторому специальному параметру. Неоднородность характеризуется иерархией масштабов. Наибольший из них описывает зависимость от пространственных координат свойств фоновой ионосферы, меньшие масштабы – порядка десятков и сотен километров – относятся к среднемасштабным неоднородностям. В экспериментах по созданию в ионосфере искусственных неоднородностей электронной концентрации величина этого масштаба уменьшается до нескольких километров. Анализ рассеяния ВЧ-волн на неоднородностях столь малого масштаба требует учета дифракционных эффектов, если волновой параметр существенно отличен от нуля.

Упомянутое выше интегральное представление волнового поля в приближении рассеяния вперед было впервые построено в работе [14]. Здесь волновое ВЧ-поле в ионосфере со среднемасштабными неоднородностями представлено в виде разложения по дифракционным компонентам. В последовавшей затем серии работ [15–19] этот подход был усовершенствован и применен к исследованию рассеяния ВЧ-полей на среднемасштабных (протяженностью от десятков до сотен километров) неоднородностей электронной плотности ионосферы в модели двумерных фоновой ионосферы и локальных неоднородностей.

В отличие от некоторых других известных интегральных представлений ВЧ-полей в неоднородной среде [20–23], построенных из элементарных волн геометрооптического типа, названное выше интегральное представление составляется из компонент, каждая из которых является дифрагирующей волной. Таким образом, автоматически учитывалась дифракция каждой отдельной компоненты на локальных неоднородностях в случае отличного от нуля волнового (дифракционного) параметра. Это достигалось в результате применения теории возмущений для комплексной фазы компонент интегрального представления поля с допущением многократного рассеяния в направлении распространения и с пренебрежением обратного рассеяния. Следует отметить, что в предельном случае нулевого дифракционного параметра волновой компоненты это интегральное представление автоматически сводится к частным случаям интерференционного [22] или осцилляторного [23] интегралов, в которых не учитываются дифракционные явления на ионосферных локальных среднемасштабных неоднородностях.

1. ЗАДАЧА О ПОЛЕ ВЕРТИКАЛЬНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ДИПОЛЯ ПРИ НАЛИЧИИ РАДИАЛЬНО НЕОДНОРОДНОГО ИОНОСФЕРНОГО СЛОЯ

Распространение радиоволн высоких частот в окрестности земной поверхности – это классическая задача, исследовавшаяся в [1, 2, 24–29] и многими другими авторами. Отметим среди них изучение специфики формирования каустик обыкновенной и необыкновенной волн [30] и влияния экваториальной аномалии ионосферы на поляризационные характеристики радиоволн ВЧ-диапазона [31].

Построение поля вертикального диполя в сферически симметричной ионосфере осуществляется в сферической системе координат $(r,\vartheta ,\varphi )$ с началом отсчета в центре Земли с радиусом R_e. Вертикальный диполь с дипольным моментом $\mathcal{P}$, ориентированный вдоль полярной оси, помещается на полярной оси на поверхности Земли в точке с координатами $({{R}_{e}},~0,~0)$. При таком задании излучателя векторный электрический потенциал Герца $\vec {\mathcal{H}}$ имеет единственную r-компоненту, которая при этом зависит от координат $\left( {r,\vartheta } \right)$ и не зависит от азимутального угла $~\varphi $. Эта компонента $\mathcal{H}\left( {r,\vartheta } \right)$ получается как решение известного (см., например, [1, (17.1)–(17.5)] и в ряде других изданий) дифференциального уравнения в частных производных, а затем радиальная компонента электрического поля выражается в соответствии с

где ${{\varepsilon }_{m}}\left( r \right)$ – это относительная диэлектрическая проницаемость сферически симметричной ионосферы, а константа ${{\varepsilon }_{0}}$ – используемая в системе СИ диэлектрическая проницаемость вакуума.

Радиальная компонента вектора Герца представима в виде ряда

с выделением угловой зависимости от ${{P}_{n}}\left( {\cos ~\vartheta } \right)$ – полинома Лежандра порядка n от аргумента $\cos \vartheta $. Радиальная функция подчиняется уравнению с точечным дипольным источником. В дальнейшем ограничимся случаем, когда источник размещен на поверхности Земли: $b = {{R}_{{\text{e}}}}$. Предположим также, что земная поверхность является идеальным проводником, так что граничное условие на ней следует задать в виде

С физической точки зрения это означает, что электрическое поле не проникает сквозь поверхность Земли и коэффициент отражения на границе раздела равен единице по абсолютной величине. Отметим, что такое ограничение вполне оправданно для целей данной работы: оно не искажает структуру лучевых ВЧ-траекторий в фоновой сферически симметричной ионосфере и процесс рассеяния волнового поля на среднемасштабных локальных неоднородностях, однако делает существенно менее громоздкими последующие вычисления.

Уравнение (3) имеет бóльшую общность, так как допускает неоднородность среды. В случае однородной среды в монографии [1] соответствующая задача рассмотрена для открытой сферы, а в [2] – для сферически симметричного волновода с вакуумной полостью между его стенками. Частный случай уравнения (3) с радиальной зависимостью диэлектрической проницаемости ${{\varepsilon }_{m}}\left( r \right)$ исследовался авторами [1, 2] при рассмотрении эффекта суперрефракции, обусловленной наличием непосредственно над земной поверхностью вертикально неоднородного бездисперсионного слоя нейтральной атмосферы. В этих работах был введен эквивалентный радиус Земли, и реальная задача сводилась к случаю однородной среды над земной поверхностью. Такой подход, однако, представляется неприменимым для целей данной работы.

В настоящей работе рассмотрение формально ограничено сферически-симметричной фоновой средой. При этом структура поля лучей, порожденного точечным источником в сферически-симметричной среде, является базой и в дальнейшем может использоваться для анализа эффектов, обусловленных присутствии в ионосфере локальных среднемасштабных неоднородностей электронной плотности. Последние, в свою очередь, могут являться причиной появления эффектов многолучевости и эффектов локальных фокусировок высокочастотного поля. В плане учета локальных неоднородностей следует указать, что данная методика практически без изменений распространяется на случай, когда локальная неоднородность (неоднородности) электронной плотности ионосферы не “накрывает” особенности поля лучей (каустики, каустические острия и т.п.), сформированные распределением электронной плотности фоновой ионосферы. Это дает возможность ограничиться при рассмотрении эффектов рассеяния поля крупномасштабными локальными неоднородностями лишь интегрированием фаз поля вдоль всех лучей, соединяющих корреспондирующие точки. Альтернативный случай, когда упомянутые траектории “накрывают” особенностей поля невозмущенных лучей, выходит за рамки данного рассмотрения и требует дополнительного изучения. Кроме того, диэлектрическая проницаемость ионосферы как на земной поверхности $r = {{R}_{{\text{e}}}}~$, так и вблизи нее полагается равной единице (${{\varepsilon }_{m}}\left( {{{R}_{{\text{e}}}}} \right) = 1$), так что неоднородный ионосферный слой начинается с высот порядка 100 км над Землей, что вполне типично описывается широко используемыми моделями ионосферы, например NeQuick или IRI. Совершенствование моделей ионосферы ведется также в плане учета частоты соударений [32] и численного моделирования амплитудных карт ВЧ-полей [33].

Уравнение (3) в действительности представляет собой уравнение для функции Грина. Специфическая трудность рассматриваемой проблемы вызвана тем, что граничное условие (4) задается на поверхности Земли, но там же помещается и сингулярный источник электромагнитной волны. Чтобы разделить эти точки, уравнение (3) следует сначала рассмотреть и решить при произвольном расположении источника $r = b > {{R}_{{\text{e}}}}$ над поверхностью Земли, а затем применить процедуру предельного перехода $b \to {{R}_{{\text{e}}}}$. В процессе решения обосновывается пренебрежение слагаемыми, содержащими производные от относительной диэлектрической проницаемости (подробнее см. в Приложении). Результатом является следующее выражение для зависимости волнового поля от радиальной координаты:

здесь $H_{\nu }^{{\left( 1 \right)}}\left( \xi \right)$ – функции Ганкеля первого рода.

Стоит особо отметить, что решение (5), (6) расширяет круг возможных сферически симметричных задач распространения радиоволн, допускающих строгое асимптотическое решение для большого разнообразия ионосферных структур с радиальной зависимостью над сферической поверхностью Земли. К тому же оно автоматически сводится к хорошо известному строгому решению в случае однородной среды (${{\varepsilon }_{m}} = {\text{const}}$) над сферической Землей [1].

2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛЯ ВЕРТИКАЛЬНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ДИПОЛЯ ПРИ НАЛИЧИИ РАДИАЛЬНО НЕОДНОРОДНОГО ИОНОСФЕРНОГО СЛОЯ

Как показано в [1], ряд (6) сходится медленно и непригоден для практических расчетов. Этот недостаток можно исправить, если заменить дискретную сумму контурным интегралом, такая процедура известна как преобразование Ватсона [25, 26], его результатом является интегральное выражение [1]. Преобразование Ватсона ряда Дебая заключается во введении полуцелой переменной $n{\kern 1pt} ' = n + \frac{1}{2}$, замене дискретной переменной $n{\kern 1pt} '$ ее континуальным аналогом $\nu = n{\kern 1pt} '$ и выполнении последующих стандартных приемов преобразования Ватсона. В результате вместо дискретного ряда получается интегральное представление

более удобное для последующего анализа. Интегрирование по формуле (7) производится вдоль контура ${{\Gamma }_{1}}$, представленного на рис. 1. Тем не менее для дальнейшего рассмотрения этого интеграла контур интегрирования преобразуется в контур вдоль вещественной оси в бесконечных пределах ($ - \infty , + \infty $). Преобразование выполняется последовательно в два шага. Сначала интеграл по контуру Г₁ преобразуется в сумму двух интегралов по контурам ${{\Gamma }_{2}}$ и ${{\Gamma }_{3}}$. Привлекая свойства симметрии функций Лежандра и Ганкеля, можно показать, что подынтегральное выражение приобретает противоположный знак при замене переменной интегрирования ν на (–ν), следовательно, интеграл вдоль кривой ${{\Gamma }_{3}}$ обращается в нуль. Таким образом, окончательно электрическое поле $~{{E}_{r}}\left( {r,~\vartheta } \right)$ выражается посредством интеграла (7) вдоль кривой ${{\Gamma }_{2}}$ которая может быть деформирована и совмещена с вещественной осью. Именно в таком виде это представление и используется далее.

Подставив в формулу (7) асимптотические выражения функций Лежандра и Ганкеля [34], а также введя пропорциональную ν новую переменную интегрирования $\alpha = {\nu \mathord{\left/ {\vphantom {\nu {k{{R}_{{\text{e}}}}}}} \right. \kern-0em} {k{{R}_{{\text{e}}}}}}$ получаем общее представление для радиальной компоненты электрического поля

для односкачковой трассы распространения. (Случай многоскачкового распространения также может быть рассмотрен в рамках предложенной процедуры.) Фазовые функции каждой α-компоненты в (8) в случае односкачковой трассы распространения позволяют явно выделить различные составляющие процесса. Первое слагаемое соответствует распространению волновой компоненты вертикально вверх от расположенного на поверхности Земли источника, переменная интегрирования α связана с направлением излучения. Эта волновая компонента достигает точки поворота $\tilde {r}\left( \alpha \right)$ и затем распространяется вниз до точки с координатами ($r,~\vartheta $), что характеризуется вторым слагаемым. В частности, лучевая траектория может заканчиваться и на земной поверхности в точке с координатами $({{R}_{{\text{e}}}},~\vartheta = {{{{S}_{{\text{e}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{S}_{{\text{e}}}}} {{{R}_{{\text{e}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{R}_{{\text{e}}}}}}$). Третье слагаемое соответствует набегу фазы вдоль земной поверхности.

Интеграл (8) выражает волновое поле в терминах волновых компонент геометрооптического типа, маркируемых параметром α. Он характеризует случай более низких частот, когда волновые компоненты с параметром α совершают поворот книзу в ионосфере благодаря явлению рефракции. Значение радиальной координаты $\tilde {r}$ определяется точкой поворота асимптотики Дебая функций Ганкеля [34]. При этом каждая α-компонента приобретает дополнительный набег фазы, соответствующий волне, распространяющейся вниз. Строго говоря, асимптотическое решение методом Вентцеля–Крамерса–Бриллюэна (ВКБ) для E_r неприменимо в окрестности точки поворота $\tilde {r}$, где равномерная асимптотика должна выражаться посредством функций Эйри. Тем не менее сингулярность в выражении (8) при $r \to \tilde {r}$ является интегрируемой и, как подробно исследовано в [19], а также вкратце обсуждалось в [17] для похожей проблемы, не приводит к существенной погрешности при дальнейшем использовании ВКБ-представления (8).

Выражаемое формулами (8), (9) решение, очевидно, не зависит от угла $\varphi $ сферической системы координат. Это означает, в частности, что в трехмерном пространстве каждая α-компонента интегрального представления (8), (9) является цилиндрически симметричной волной, поэтому и интегральное представление поля ${{E}_{r}}\left( {r,~\vartheta } \right)$ в целом выражено в терминах цилиндрически симметричных волновых компонент. Каждая волновая компонента распространяется до точки наблюдения $\left( {r,~\vartheta ,~\varphi } \right)$ в плоскости $\left( {r,~\vartheta ,~\varphi = {\text{const}}} \right)$ вдоль лучевой траектории, определяемой обыкновенным дифференциальным уравнением

Здесь знак плюс соответствует распространению волны вверх, знак минус – вниз.

Для дальнейшего уточнения свойств волновых компонент полного поля в интеграле (8) с фазами (9) для каждой α-компоненты строится лучевая траектория, достигающая точки наблюдения $\left( {r,~\vartheta } \right)$ и исходящая ортогонально из соответствующего значению α воображаемого волнового фронта, как показано на рис. 2. При этом все воображаемые волновые фронты содержат реальное физическое положение точечного источника (${{R}_{{\text{e}}}}$, 0, 0). В соответствии с рис. 2 для нахождения точки выхода лучевой траектории каждой α-компоненты из ее начального фронта необходимо решить задачу для уравнения (10) в обратном направлении от заданной точки наблюдения, причем диапазон $\vartheta $ должен включать и отрицательные значения. Физическая альтернативная интерпретация заключается в том, что направления лучевых траекторий при $\vartheta > 0$ соответствуют фактическому распределению фаз различных α-компонент вдоль полярной оси сферической системы координат. Утверждая это, следует осознавать, что такая интерпретация фаз излучаемых α-компонент основывается на их ВКБ-структуре. Кроме того, следует также учитывать, что формально ВКБ-амплитуды сингулярны при $\vartheta \to 0$. Параметр $\alpha $ напрямую привязан к углу $\chi $ между полярной осью введенной сферической системы координат и нормалью к волновому фронту α-компоненты в месте расположения источника соотношением $\sin \chi = \alpha $. Наконец, интеграл по переменной $\alpha $ в (8) суммирует вклады в полное поле всех волновых компонент.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основным результатом разработанного в данной работе аналитического метода решения задачи о поле вертикального электрического диполя, помещенного на поверхности идеально проводящей Земли, является представление поля в точке приемника в виде интеграла по совокупности волновых компонент, каждая из которых связана с определенной лучевой траекторией. Выражения (8), (9) приведены для случая, когда имеет место однократное отражение распространяющегося высокочастотного поля от ионосферы, однако аналогичные выражения легко могут быть выписаны и для трансионосферного распространения, траектория которого также выводится из уравнения (10) (со знаком “+” в правой части). Таким образом, этим методом могут быть описаны волновые поля как в верхнем, так и в нижнем поддиапазонах высокочастотного радиодиапазона.

Полученное интегральное представление для решения задачи в сферически симметричной фоновой ионосфере допускает аналитическую модификацию выражения для фазы (9), учитывающее как локальные отклонения электронной концентрации от фоновых значений, так и сопутствующие искажения лучевых траекторий всех волновых компонент. Тем самым открывается перспектива аналитического учета влияния среднемасштабных трехмерных ионосферных включений на процесс распространения и численной оценки вызываемых ими эффектов фокусировки ВЧ-полей.