Радиотехника и электроника, 2023, T. 68, № 6, стр. 542-552

Френелевские переходные зоны

Е. А. Злобина^a, *, А. П. Киселев^a, b, c

^a Санкт-Петербургский государственный университет
199034 Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9, Российская Федерация

^b Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова РАН
191023 Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27, Российская Федерация

^c Институт проблем машиноведения РАН
199178 Санкт-Петербург, Большой проспект В.О., 61, Российская Федерация

^* E-mail: ezlobina2@yandex.ru

Поступила в редакцию 02.03.2023
После доработки 02.03.2023
Принята к публикации 27.03.2023

EDN: XOKFIU
DOI: 10.31857/S0033849423060190

Полный текст (PDF)

Аннотация

Построено семейство точных решений двумерного уравнения Гельмгольца, удобных для описания поля в переходных зонах, возникающих при дифракции Френеля. В качестве примеров рассмотрены, помимо дифракции на клине, высокочастотные асимптотики поля в задачах дифракции на контурах с негладкой кривизной.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Понятие о дифракции Френеля, восходящее к началу XIX в., возникло при рассмотрении волнового поля в задаче о падении плоской волны на плоский экран в высокочастотном приближении, т.е. на больших по сравнению с длиной волны расстояниях $r$ от кромки:

(1)

$kr \gg 1,$

где $k$ – волновое число. В классических работах (см., например, [1, 2]) речь шла об описании слияния плоской волны с дифрагированной кромкой цилиндрической волной в окрестности предельного луча (рис. 1а) – там, где они имеют близкие фазы и физически неразличимы. Математическое описание этого волнового процесса двумерным уравнением Гельмгольца¹ ¹ с волновым числом $k$

(2)

$\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{y}^{2}}}} + {{k}^{2}}u = 0$

приводит к выражению [2–4]

(3)

$u = \exp \left( {ikx} \right)\Phi \left( Z \right)$

со знаменитым интегралом Френеля

(4)

$\Phi \left( A \right) = \frac{{\exp \left( {{{ - i\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{ - i\pi } 4}} \right. \kern-0em} 4}} \right)}}{{\sqrt \pi }}\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^A \exp \left( {i{{p}^{2}}} \right)dp.$

Выражение (3) является точным решением уравнения (2) и, соответственно, дает равномерное по углу $\varphi $ описание поля (мы пользуемся полярными координатами $x = r\,{\text{cos}}\varphi $, $y = r\,{\text{sin}}\varphi $). Аргумент интеграла Френеля в (3) равен корню из разности фаз дифрагированной цилиндрической волны $kr$, расходящейся из начала координат, и падающей волны $kx$:

(5)

$Z = \sqrt {kr - kx} = \sqrt {2kr} \sin \left( {{\varphi \mathord{\left/ {\vphantom {\varphi 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right).$

В переходной зоне вокруг предельного луча, которая описывается неравенством

(6)

$kr{{\varphi }^{4}} \ll 1,$

эти волны сливаются. В переходной зоне разность их фаз имеет вид $k\left( {r - x} \right) = {{kr{{\varphi }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{kr{{\varphi }^{2}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}~ + O(kr{{\varphi }^{4}})$, и поэтому допустимо часто используемое приближение

(7)

$Z \approx z = \sqrt {{{kr} \mathord{\left/ {\vphantom {{kr} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \,\varphi ,$

дающее удобную неравномерную асимптотику поля вблизи предельного луча. При удалении от предельного луча, в области, где $\left| z \right| \gg 1$, т.е.

(8)

$kr{{\varphi }^{2}} \gg 1,$

интеграл Френеля допускает асимптотическое представление (см., например, [3]). Ниже предельного луча, при больших отрицательных значениях $z$, асимптотика выражения (3) описывает дифрагированную цилиндрическую волну, расходящуюся из начала координат,

(9)

$u \approx A\left( {\varphi ,k} \right)\frac{{{\text{exp}}\left( {ikr} \right)}}{{\sqrt {kr} }}.$

Здесь $A$ – диаграмма направленности (а по терминологии геометрической теории дифракции [3] – дифракционный коэффициент), имеющая при малых $\varphi $ вид

(10)

$A\left( {\varphi ,k} \right) \approx - \frac{{{\text{exp}}\left( {{{i\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{i\pi } 4}} \right. \kern-0em} 4}} \right)}}{{2\sqrt \pi \,\varphi }}.$

Выше предельного луча, при больших положительных $z$, формула (3) описывает сложение дифрагированной волны с падающей плоской волной (см. рис. 1):

(11)

$u \approx {\text{exp}}\left( {ikx} \right) - \frac{{{\text{exp}}\left( {ikr + {{i\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{i\pi } 4}} \right. \kern-0em} 4}} \right)}}{{2\sqrt {\pi kr} \varphi }}.$

Диаграмма волны (9) имеет особенность при $\varphi \to 0$, из чего следует ее непригодность вблизи предельного луча и необходимость описания волнового поля специальной функцией.

Дифракционный процесс слияния плоской волны с цилиндрической волной, имеющей диаграмму со степенной особенностью вида $A \sim {{\varphi }^{\nu }}$ вблизи предельного луча, мы называем френелевским. Общее описание такого процесса дано Цепелевым [5], который путем разделения переменных в параболических координатах² построил семейство точных решений уравнения Гельмгольца (2):

(12)

$u = C{{D}_{{ - \nu - 1}}}\left( {2\sqrt {kr} {\text{\;cos}}\frac{\varphi }{2}{\text{exp}}\left( { - i\frac{\pi }{4}} \right)} \right){{D}_{\nu }}\left( {2\sqrt {kr} {\text{\;sin}}\frac{\varphi }{2}{\text{exp}}\left( { - i\frac{\pi }{4}} \right)} \right),$

где ${{D}_{\nu }}$ – функция параболического цилиндра [6], $C$ – произвольная постоянная.

Рис. 1.

Дифракция на клине плоской волны (а) и цилиндрической волны (б).

Поскольку имеют место соотношения

(13)

${{D}_{0}}\left( {\sqrt 2 Z{\text{exp}}\left( {{{ - i\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{ - i\pi } 4}} \right. \kern-0em} 4}} \right)} \right) = {\text{exp}}\left( {{{i{{Z}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{i{{Z}^{2}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)$

(14)

$\begin{gathered} {{D}_{{ - 1}}}\left( {\sqrt 2 Z\exp \left( {{{ - i\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{ - i\pi } 4}} \right. \kern-0em} 4}} \right)} \right) = \\ = \sqrt {2\pi } \exp \left( {{{ - i\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{ - i\pi } 4}} \right. \kern-0em} 4}} \right)\exp \left( {{{ - i{{Z}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - i{{Z}^{2}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)\Phi \left( { - Z} \right) \\ \end{gathered} $

(см. [6]), выражение (3) является частным случаем (12). Решение из семейства (12) со значком $\nu $ описывает слияние распространяющейся в области $y > 0$ волны с фазой $kx$ и амплитудой, пропорциональной ${{\varphi }^{{ - \nu - 1}}}$, и цилиндрической волны с диаграммой, имеющей на предельном луче особенность ${{\varphi }^{\nu }}$. Конкретные задачи, в которых такие дифракционные коэффициенты возникают, – это задача о боковой (головной) волне ($\nu = {{ - 3} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 3} 2}} \right. \kern-0em} 2}$, [5]), дифракция на конусе ($\nu = {{ - 3} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 3} 2}} \right. \kern-0em} 2}$, [7]), а также дифракция на клине ($\nu = - 1$, [3, 8, 9]) и на границе с различными особенностями кривизны ($\nu \leqslant - 1$, [10–17]).² ²

Однако в ряде задач, в частности в задачах последнего типа, ни одна из сливающихся вблизи предельного луча волн – ни геометрически отраженная, ни дифрагированная – не может с достаточной точностью рассматриваться как плоская, поэтому необходимо более детальное описание и учет кривизны их фронтов. При этом естественным образом возникает вопрос об асимптотическом описании процесса слияния двух цилиндрических волн, причем одна из них (дифрагированная) присутствует по обе стороны от предельного луча, а другая (отраженная от гладкого участка границы) – только с одной стороны.

Для рассмотренной в ряде учебников [3, 8, 9] задачи дифракции цилиндрической волны на кромке клина, обобщающей упомянутую выше классическую задачу Френеля, простого равномерного по углу описания дифракционного поля нет. При естественном для дифракции Френеля предположении, что расстояние ${{r}_{0}}$ от источника до вершины клина $O$ велико –

(15)

$k{{r}_{0}} \gg 1,$

равно как и расстояние $r$ от кромки до точки наблюдения (1), слияние падающей цилиндрической волны от точечного источника с единичной амплитудой и дифрагированной цилиндрической волны, расходящейся из $O$, описывается выражением

(16)

$u \approx \frac{{\exp \left( {ik{{r}_{0}} + {{i\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{i\pi } 4}} \right. \kern-0em} 4}} \right)}}{{2\sqrt {2\pi } \sqrt {k{{r}_{0}}} }}\exp \left( {ikr - i{{\zeta }^{2}}} \right)\Phi \left( \zeta \right),$

где

(17)

$\zeta = \sqrt {{{k\rho } \mathord{\left/ {\vphantom {{k\rho } 2}} \right. \kern-0em} 2}} \,\varphi ,\,\,\,\,\rho = {{{{r}_{0}}r} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{r}_{0}}r} {\left( {{{r}_{0}} + r} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {{{r}_{0}} + r} \right)}},$

см., например, в [8], в менее удобном виде – в [9]. Формула (16) получена в предположении, что выполнено неравенство (6). Похожее выражение встречалось и в других дифракционных задачах [12, 16–18]. Отметим, что при удалении источника на бесконечность вдоль оси $x$, т.е. при ${{r}_{0}} \to \infty $, выражение для $\zeta $ (17) переходит в $z$ (7), а формула (16) – в (3).

Следует отметить, что термин дифракция Френеля распространился и на задачи с другой структурой дифракционного поля, в частности, на случай гладкого выпуклого препятствия [19], где не возникает дифрагированной цилиндрической волны, однако выражения, аналогичные (3), в описании поля присутствуют. Выражения с интегралом Френеля (4) присутствуют и в задачах об угловых и краевых катастрофах, где изучаются падающие поля, более сложные, чем плоские и цилиндрические волны (например, [20, 21]). Мы придерживаемся в данной работе более классического понимания термина “дифракция Френеля”, имея в виду слияние цилиндрических волн, одна из которых имеет гладкую диаграмму направленности, а другая – диаграмму со степенной особенностью на предельном луче.

Цель данной работы – дать общее простое выражение для поля в переходных зонах френелевского типа. Для этого мы представим семейство точных решений уравнения Гельмгольца (2), удобных для описания слияния двух расходящихся цилиндрических волн, одна из которых присутствует лишь с одной стороны от предельного луча, а другая – с обеих. Наши построения основаны на разделении переменных в эллиптической системе координат, которая вводится так, чтобы цилиндрические волны расходились из ее фокусов.

В данной работе показано, что функции построенного семейства описывают френелевские волновые поля в ряде двумерных задачах дифракции на негладких контурах. Помимо классической дифракции цилиндрической волны на клине, к ним относятся задачи дифракции на контурах с негладкой кривизной. Условия, позволяющие приблизить в окрестности предельного луча отраженную волну цилиндрической волной (9), приводят к ограничениям на ширину переходной зоны. В частности, для контура со скачком кривизны переходная зона характеризуется неравенством [16]

(18)

$kr{{\varphi }^{3}} \ll 1.$

2. ОБЩЕЕ ОПИСАНИЕ ФРЕНЕЛЕВСКОГО ВОЛНОВОГО ПРОЦЕССА

Поместим источники цилиндрических волн в точки $O = \left( {0,0} \right)$ и $O{\kern 1pt} ' = \left( { - 2a,0} \right)$ (рис. 2), причем волна из точки $O{\kern 1pt} '$ распространяется только в области $y > 0$, а значения фаз волн в точке $O$ равны. Предельный луч, вблизи которого волны сливаются, в таком случае совпадает с положительной полуосью $x$.

Рис. 2.

Слияние двух цилиндрических волн.

Расстояние $2a$ между источниками считается большим по сравнению с длиной волны:

(19)

$ka \gg 1.$

Условие (19) (ср. (15)) отвечает типичному для классической теории дифракции предположению, что расстояние от препятствия до источника падающей волны много больше длины волны.

Нас интересует поле во френелевской переходной зоне, окружающей предельный луч, где угол $\varphi $ мал, а расстояние $r$ от точки наблюдения $M$ до $O$ велико (1) (см. рис. 2). Отметим, что отсюда немедленно следует малость $\varphi {\text{'}}$, а также неравенство $kr{\kern 1pt} ' \gg 1$, см. (1), (19).

2.1. Эллиптические координаты

Для описания поля будем использовать эллиптическую систему координат $\left( {\xi ,\eta } \right)$:

(20)

$\begin{gathered} x + a = a{\text{ch}}\xi \cos \eta ,~\,\,\,y = a{\text{sh}}\xi \sin \eta ,~ \\ 0 \leqslant \xi ,~\,\,\,\, - \pi < \eta \leqslant \pi , \\ \end{gathered} $

с фокусами в точках $O$ и $O{\kern 1pt} '$ (см. рис. 2). Координатные линии $\eta = {\text{const}}$ – гиперболы с фокусами в $O$ и $O{\kern 1pt} '$, и вблизи оси $x$ примерно параллельны ей³ ³. Значение $\eta = 0$ соответствует оси $x$. Линии $\xi = {\text{const}}$ образуют семейство эллипсов с теми же фокусами, и вблизи оси $x$ идут поперек нее.

В дальнейшем будем помещать фокусы эллиптической системы координат в источники двух цилиндрических волн, которые будут сливаться вблизи положительной полуоси $x$, т.е. в области, где $\eta $ мало, а $\xi $ положительно.

Из (20) немедленно следует, что расстояния $r$ и $r{\text{'}}$ от точки $M$ до фокусов $O$ и $O{\kern 1pt} '$ (см. рис. 2) равны соответственно

(21)

$r = a\left( {{\text{ch}}\xi - \cos \eta } \right),\,\,\,\,~~r{\kern 1pt} ' = a\left( {{\text{ch}}\xi + \cos \eta } \right).$

Из (21) для малых значений $\eta $ получаем

(22)

$\eta = \sqrt {\frac{{2a + r - r{\kern 1pt} '}}{a}} \left( {1 + O\left( {\frac{{2a + r - r{\kern 1pt} '}}{a}} \right)} \right).$

Из рассмотрения треугольника $OMO{\kern 1pt} '$, следует, что

(23)

$\begin{gathered} r{\kern 1pt} ' = 2a + r - \frac{{ar}}{{2a + r}}{{\varphi }^{2}}\left( {1 + O\left( {{{\varphi }^{2}}} \right)} \right), \\ r = r{\kern 1pt} '\,\, - 2a + \frac{{ar{\kern 1pt} '}}{{r{\kern 1pt} '\,\, - 2a}}{{\left( {\varphi '} \right)}^{2}}\left( {1 + O\left( {{{{\left( {\varphi {\kern 1pt} '} \right)}}^{2}}} \right)} \right), \\ \end{gathered} $

и (22) переписывается в виде

(24)

$\begin{gathered} \eta = \sqrt {\frac{r}{{r + 2a}}} \,\varphi \left( {1 + O\left( {{{\varphi }^{2}}} \right)} \right) = \\ = \sqrt {\frac{{r{\kern 1pt} '}}{{r{\kern 1pt} '\,\, - 2a}}} \,\varphi {\kern 1pt} '\left( {1 + O\left( {{{{\left( {\varphi {\kern 1pt} '} \right)}}^{2}}} \right)} \right). \\ \end{gathered} $

Отметим, что $r + 2a$ и $r{\kern 1pt} {\text{'}} - 2a$ можно заменить на $r{\kern 1pt} {\text{'}}$ и $r$ соответственно с точностью до $O\left( {{{2ar{{\varphi }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2ar{{\varphi }^{2}}} {r{\kern 1pt} {\text{'}}}}} \right. \kern-0em} {r{\kern 1pt} {\text{'}}}}} \right)$. Кроме того, есть более симметричное выражение $\eta \approx \sqrt {rr{\kern 1pt} '} \,{{\left( {\varphi - \varphi {\kern 1pt} '} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {\varphi - \varphi {\kern 1pt} '} \right)} {2a}}} \right. \kern-0em} {2a}}$.

2.2. Семейство точных решений

Записав уравнение Гельмгольца (2) в эллиптических координатах (20) (см., например, [4]):

(25)

$\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{\xi }^{2}}}}~ + ~\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{\eta }^{2}}}} + {{k}^{2}}{{a}^{2}}\left( {{\text{s}}{{{\text{h}}}^{2}}\xi + {{{\sin }}^{2}}\eta } \right)u~\,\, = \,\,~0,$

будем решать его методом разделения переменных. Положим $u\left( {\xi ,\eta } \right) = P\left( \xi \right)Q\left( \eta \right)$, тогда функции $P$ и $Q$ удовлетворяют уравнениям

(26)

$P{\kern 1pt} ''\left( \xi \right)~\,\, + \left( {{{k}^{2}}{{a}^{2}}{\text{s}}{{{\text{h}}}^{2}}\xi - \lambda } \right)P\left( \xi \right)~\,\, = \,\,~0,$

(27)

$Q{\kern 1pt} ''\left( \eta \right)~\,\, + \left( {{{k}^{2}}{{a}^{2}}{{{\sin }}^{2}}\eta + \lambda } \right)Q\left( \eta \right)~\,\, = ~\,\,0,$

с комплексным параметром разделения $\lambda $, которые элементарными преобразованиями могут быть сведены к уравнению Матье (см., например, [6]), теория которого нам не потребуется.

Наша цель – описать высокочастотное поле в окрестности предельного луча не слишком близко к $O$, а именно в области, где выполнены условия (19) и $\varphi \ll 1$, т.е.

(28)

$\eta \ll 1,\,\,\,\,\xi \gg {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\sqrt {ka} }}} \right. \kern-0em} {\sqrt {ka} }},$

см. (21). Для этого построим асимптотики решений уравнения (26) при положительных не слишком маленьких $\xi $ и уравнения (27) при малых $\eta $ любого знака. Нас интересуют только параметры разделения вида

(29)

$\lambda = - ika\left( {2\nu + 1} \right),\,\,\,\,\nu < 0.$

Именно отрицательные $\nu $, как мы увидим ниже, возникают при описании френелевских переходных зон. Соответствующее решение уравнения (25) обозначим

(30)

${{u}_{\nu }}\left( {\xi ,\eta } \right) = {{P}_{\nu }}\left( \xi \right){{Q}_{\nu }}\left( \eta \right).$

2.3. Асимптотика решения уравнения (26)

Найдем асимптотику решения (26), отвечающего уходящей волне, в приближении (19). С помощью стандартного метода Вентцеля–Крамерса–Бриллюэнна (см., например, [4]), с точностью до произвольного постоянного множителя получим

(31)

$\begin{gathered} {{P}_{\nu }}\left( \xi \right) = \frac{{\exp \left( {ika\mathop \smallint \nolimits^\xi \sqrt {{\text{s}}{{{\text{h}}}^{2}}t + {{i\left( {2\nu + 1} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{i\left( {2\nu + 1} \right)} {ka}}} \right. \kern-0em} {ka}}{\kern 1pt} } \,dt} \right)}}{{\sqrt[4]{{{\text{s}}{{{\text{h}}}^{2}}\xi + {{i\left( {2\nu + 1} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{i\left( {2\nu + 1} \right)} {ka}}} \right. \kern-0em} {ka}}}}}} \times \\ \times \,\,\left( {1 + O\left( {\frac{1}{{ka}}} \right)} \right). \\ \end{gathered} $

Здесь учтено выражение для параметра разделения (29). В области (28), очевидно, выполнено неравенство $ka{\text{s}}{{{\text{h}}}^{2}}\xi \gg 1$. Используя его, получим

(32)

$\begin{gathered} \mathop \smallint \limits^\xi \sqrt {{\text{s}}{{{\text{h}}}^{2}}t + i\frac{{2\nu + 1}}{{ka}}} \,dt = \\ = \mathop \smallint \limits^\xi \left( {{\text{sh}}t + i\frac{{2\nu + 1}}{{2ka{\text{sh}}t}} + O\left( {\frac{1}{{{{{(ka)}}^{2}}{\text{s}}{{{\text{h}}}^{3}}t}}} \right)} \right)dt = \\ = {\text{ch}}\xi + i\frac{{2\nu + 1}}{{4ka}}\ln \frac{{{\text{ch}}\xi - 1}}{{{\text{ch}}\xi + 1}} + O\left( {\frac{1}{{{{{(ka)}}^{2}}\left( {{\text{ch}}\xi - 1} \right)}}} \right). \\ \end{gathered} $

Подставляя (32) в (31), находим

(33)

$\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} {{P}_{\nu }}\left( \xi \right) = \frac{{\exp \left( {ika{\text{ch}}\xi - \frac{{2\nu + 1}}{4}{\text{ln}}\frac{{{\text{ch}}\xi - 1}}{{{\text{ch}}\xi + 1}}} \right)}}{{\sqrt[4]{{{\text{c}}{{{\text{h}}}^{2}}\xi - 1}}}} \times \hfill \\ \times \,\,\left( {1 + O\left( {\frac{1}{{ka\left( {{\text{ch}}\xi - 1} \right)}}} \right)} \right) = \hfill \\ \end{gathered} \\ \begin{gathered} = \frac{{{{{({\text{ch}}\xi + 1)}}^{{\frac{\nu }{2}}}}}}{{{{{({\text{ch}}\xi - 1)}}^{{\frac{{\nu + 1}}{2}}}}}}{\text{exp}}\left( {ika{\text{ch}}\xi } \right) \times \\ \times \,\,\left( {1 + O\left( {\frac{1}{{ka\left( {{\text{ch}}\xi - 1} \right)}}} \right)} \right). \\ \end{gathered} \end{array}$

Поправочные члены малы в области, где выполнено неравенство (1), см. (19) и (21).

2.4. Асимптотика решения уравнения (27)

Преобразуем уравнение (27) при малых $\eta $, разложив ${\text{sin}}\eta $ по степеням $\eta $:

(34)

Сделав замену переменной

(35)

$H = \sqrt {2ka} \,\eta \,{\text{exp}}\left( {{{ - i\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{ - i\pi } 4}} \right. \kern-0em} 4}} \right),$

придем к уравнению

(36)

Таким образом, в области, где $H$ (и, соответственно, $\eta $) достаточно мало, одно из решений уравнения (36) асимптотически совпадает с функцией параболического цилиндра ${{D}_{\nu }}$ [6]:

(37)

${{Q}_{\nu }}\left( H \right) \approx {{D}_{\nu }}\left( { - H} \right).$

Можно показать [22], что соответствующая область характеризуется неравенством $ka{{\left| \eta \right|}^{\mu }} \ll 1$, ${{\mu = 2 + 4} \mathord{\left/ {\vphantom {{\mu = 2 + 4} {\left( {1 - 3\nu } \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {1 - 3\nu } \right)}}$ (для отрицательных значений $\nu $, рассматриваемых нами, $\mu > 2$).

2.5. Геометрооптическая интерпретация асимптотики функции (30)

Для отвечающего уходящей волне решения (30) уравнения (25) с $\nu < 0$ из формул (33) и (37) вытекает следующее асимптотическое выражение вблизи предельного луча:

(38)

${{u}_{\nu }}\left( {\xi ,\eta } \right) \approx C\frac{{{{{({\text{ch}}\xi + 1)}}^{{\frac{\nu }{2}}}}}}{{{{{({\text{ch}}\xi - 1)}}^{{\frac{{\nu + 1}}{2}}}}}}\exp \left( {ika{\text{ch}}\xi } \right){{D}_{\nu }}\left( { - H} \right).$

Здесь $H$ определено в (35), $C$ – произвольная постоянная. Представление (38) пригодно в области, где выполнены неравенства (1) и

(39)

$kr{{\left| \varphi \right|}^{\mu }} \ll 1,\,\,\,\,{\text{где}}\,\,\,\,\mu = 2 + \frac{4}{{1 - 3\nu }}.$

Отметим, что чем больше модуль $\nu $, тем у́же область, описываемая (39). Тем не менее, при каждом $\nu < 0$ аргумент функции параболического цилиндра $H$ может принимать там большие значения.

Обсудим геометрический смысл величин, входящих в (38). С помощью соотношений (21) и (24) множитель перед экспонентой выражается через расстояния $r$ и $r{\kern 1pt} {\text{'}}$ до фокусов $O$ и $O{\kern 1pt} {\text{'}}$ – источников цилиндрических волн:

(40)

$\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{{{{({\text{ch}}\xi + 1)}}^{{\frac{\nu }{2}}}}}}{{{{{({\text{ch}}\xi - 1)}}^{{\frac{{\nu + 1}}{2}}}}}} = \sqrt {\frac{a}{r}} {{{\left( {\frac{{r + 2a}}{r}} \right)}}^{{\frac{\nu }{2}}}}\left( {1 + O\left( {\frac{{r{{\varphi }^{2}}}}{{r + 2a}}} \right)} \right) = } \\ { = \sqrt {\frac{a}{{r{\kern 1pt} '}}} {{{\left( {\frac{{r{\kern 1pt} '}}{{r{\kern 1pt} '\,\, - 2a}}} \right)}}^{{\frac{{\nu + 1}}{2}}}}\left( {1 + O\left( {\frac{{r{\kern 1pt} '{{{\left( {\varphi {\kern 1pt} '} \right)}}^{2}}}}{{r{\kern 1pt} '\, - 2a}}} \right)} \right).} \end{array}$

Показатель экспоненты в (38) с помощью соотношений (21) и (35) переписывается следующим образом:

(41)

$\begin{gathered} ika{\text{ch}}\xi = ika + ikr + \frac{{{{H}^{2}}}}{4} + O\left( {\frac{{{{H}^{4}}}}{{ka}}} \right) = \\ = - ika + ik{\kern 1pt} r{\kern 1pt} '\,\, - \frac{{{{H}^{2}}}}{4} + O\left( {\frac{{{{H}^{4}}}}{{ka}}} \right). \\ \end{gathered} $

Теперь рассмотрим аргумент функции параболического цилиндра. Из соотношений (35) и (22) вытекает, что

(42)

$H \approx \sqrt {2k\left( {2a + r - r{\kern 1pt} {\text{'}}} \right)} \,{\text{exp}}\left( {{{ - i\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{ - i\pi } 4}} \right. \kern-0em} 4}} \right),$

т.е. $H$ выражается через разность значений фаз цилиндрических волн, расходящихся из $O$ и $O{\kern 1pt} {\text{'}}{\text{.}}$ С помощью соотношения (24) получим еще два представления:

(43)

$\begin{array}{*{20}{c}} {H = \sqrt {\frac{{2kar}}{{r + 2a}}} \,\varphi \,{\text{exp}}\left( { - i\frac{\pi }{4}} \right)\left( {1 + O\left( {\frac{{r{{\varphi }^{2}}}}{{r + 2a}}} \right)} \right) = } \\ { = \sqrt {\frac{{2kar{\kern 1pt} {\text{'}}}}{{r{\kern 1pt} {\text{'}} - 2a}}} \,\varphi {\kern 1pt} {\text{'exp}}\left( { - i\frac{\pi }{4}} \right)\left( {1 + O\left( {\frac{{r{\kern 1pt} {\text{'}}{{{\left( {\varphi {\kern 1pt} {\text{'}}} \right)}}^{2}}}}{{r{\kern 1pt} {\text{'}} - 2a}}} \right)} \right).} \end{array}$

В результате можно записать (38) в геометрических терминах:

(44)

$\begin{gathered} {{u}_{\nu }} \approx C\sqrt {\frac{a}{r}} {{\left( {\frac{{r + 2a}}{r}} \right)}^{{\frac{\nu }{2}}}}{\text{exp}}\left( {ik\left( {r + a - \frac{{ar{{\varphi }^{2}}}}{{2\left( {r + 2a} \right)}}} \right)} \right) \times \\ \times \,\,{{D}_{\nu }}\left( { - \sqrt {\frac{{2kar}}{{r + 2a}}} \,\varphi \,{\text{exp}}\left( { - i\frac{\pi }{4}} \right)} \right) \approx \\ \approx C\sqrt {\frac{a}{{r{\kern 1pt} {\text{'}}}}} {{\left( {\frac{{r{\kern 1pt} {\text{'}}}}{{r{\kern 1pt} {\text{'}} - 2a}}} \right)}^{{\frac{{\nu + 1}}{2}}}}{\text{exp}}\left( {ik\left( {r{\kern 1pt} {\text{'}} - a + \frac{{ar{\text{'}}{{{\left( {\varphi {\text{'}}} \right)}}^{2}}}}{{2\left( {r{\text{'}} - 2a} \right)}}} \right)} \right) \times \\ \times \,\,{{D}_{\nu }}\left( { - \sqrt {\frac{{2kar{\kern 1pt} {\text{'}}}}{{r{\kern 1pt} {\text{'}} - 2a}}} \,\varphi {\kern 1pt} {\text{'exp}}\left( { - i\frac{\pi }{4}} \right)} \right). \\ \end{gathered} $

В той части переходной зоны (1), (39), где аргумент функции ${{D}_{\nu }}$ велик, заменим ее в (38) асимптотикой [6]. Ниже предельного луча, при $\varphi < 0$, имеем одну цилиндрическую волну:

(45)

${{u}_{\nu }} \approx {{A}_{\nu }}\left( {\varphi ;k} \right)\frac{{\exp \left( {ikr} \right)}}{{\sqrt {kr} }},$

а выше, при $\varphi > 0$ – две:

(46)

${{u}_{\nu }} \approx {{A}_{\nu }}\left( {\varphi ;k} \right)\frac{{\exp \left( {ikr} \right)}}{{\sqrt {kr} }} + A_{\nu }^{'}\left( {\varphi {\kern 1pt} ';k} \right)\frac{{\exp \left( {ikr{\kern 1pt} '} \right)}}{{\sqrt {kr{\kern 1pt} '} }},$

где

(47)

$\begin{gathered} \\ {{A}_{\nu }}\left( {\varphi ;k} \right) = {{2}^{{\frac{\nu }{2}}}}C{{\left( {ka} \right)}^{{\frac{{\nu + 1}}{2}}}}{{\varphi }^{\nu }}{\text{exp}}\left( {ika - i\frac{{\pi \nu }}{4}} \right), \\ A_{\nu }^{'}\left( {\varphi {\kern 1pt} {\text{'}};k} \right) = - C\frac{{\sqrt \pi }}{{\Gamma \left( { - \nu } \right)}}\frac{{{{{\left( {\varphi {\kern 1pt} {\text{'}}} \right)}}^{{ - \nu - 1}}}}}{{{{{\left( {2ka} \right)}}^{{\frac{\nu }{2}}}}}} \times \\ \times \,\,{\text{exp}}\left( { - ika + i\frac{{\pi \left( {5\nu + 1} \right)}}{4}} \right). \\ \end{gathered} $

Выражение (45) и совпадающее с ним первое слагаемое в (46) описывают цилиндрическую волну, расходящуюся из точки $O$. Второе слагаемое в (46) отвечает цилиндрической волне, расходящейся из точки $O{\kern 1pt} {\text{'}}$. Отметим, что чем сингулярнее диаграмма цилиндрической волны на предельном луче, тем у́же область (39) пригодности выражения (38).

Рассмотрим приложение полученных результатов в конкретных дифракционных задачах.

3. ДИФРАКЦИЯ НА КЛИНЕ

Убедимся, что выражение (38) с $\nu = - 1$ описывает процесс слияния падающей цилиндрической и дифрагированной цилиндрической волн в классической двумерной задаче дифракции на клине. Действительно, вследствие формулы (14) выражение (38) совпадает с известным (16) (например, [3, 8, 9]) при надлежащем выборе постоянного множителя. А именно, следует принять

(48)

$C = {\text{exp}}{{\left( {{{ik{{r}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ik{{r}_{0}}} 2}} \right. \kern-0em} 2} + {{i\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{i\pi } 4}} \right. \kern-0em} 4}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{{ik{{r}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ik{{r}_{0}}} 2}} \right. \kern-0em} 2} + {{i\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{i\pi } 4}} \right. \kern-0em} 4}} \right)} {2\pi }}} \right. \kern-0em} {2\pi }}\sqrt {2k{{r}_{0}}} .$

Асимптотика выбранной функции (38) при условии (8) ниже предельного луча имеет вид (45), а выше предельного луча – (46), где расходящаяся из точки $O{\kern 1pt} {\text{'}}$ волна отвечает падающей волне, а расходящаяся из $O$ – дифрагированной волне. Их диаграммы при малых $\varphi $ имеют следующие выражения:

(49)

${{A}^{{{\text{пад}}}}} = \frac{{\exp \left( {{{i\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{i\pi } 4}} \right. \kern-0em} 4}} \right)}}{{2\sqrt {2\pi } }},\,\,\,\,{{A}^{{{\text{диф}}}}} = \frac{i}{{4\pi \varphi }}\frac{{\exp \left( {ik{{r}_{0}}} \right)}}{{\sqrt {k{{r}_{0}}} }}.$

Заметим, что неравенство (39) при $\nu = - 1$ сводится к (18) и описывает более узкую область, чем (6). Это связано с тем, что простые оценки [22], приводящие к условию (39), не являются предельно точными.

4. ДИФРАКЦИЯ НА КОНТУРАХ С НЕГЛАДКОЙ КРИВИЗНОЙ

4.1. Предварительные замечания

В этом разделе мы убедимся в том, что построенные выше решения встречаются в ряде двумерных задач дифракции коротких волн на контурах, кривизна которых гладкая всюду, за исключением одной точки $O$, где имеет скачок или более слабую особенность.

Пусть падающая волна ${{u}^{{{\text{пад}}}}}$ – цилиндрическая, расходящаяся из точки ${{M}_{0}}$, расположенной на расстоянии ${{r}_{0}}$ от точки $O$, приходит в $O$ некасательно – под углом скольжения ${{\varphi }_{0}} > 0$ (рис. 3). Начало координат поместим в точку $O$, а ось $x$ направим вдоль предельного (геометрически отраженного в $O$) луча. Положение точки наблюдения $M$ будем характеризовать расстоянием $r$ до точки $O$ и углом $\varphi $ между осью $x$ и направлением на точку $M$.

Рис. 3.

Дифракция на контуре с негладкой кривизной.

Начнем с качественного обсуждения волнового процесса. Уходящее волновое поле ${{u}^{{{\text{ух}}}}}$ вдали от предельного луча складывается из волны, дифрагированной точкой негладкости ${{u}^{{{\text{диф}}}}}$, и волн $u_{ \pm }^{{{\text{отр}}}}$, геометрически отраженных от гладких частей контура слева и справа от $O$:

(50)

${{u}^{{{\text{ух}}}}}\left( M \right) = {{u}^{{{\text{диф}}}}}\left( M \right) + u_{ \pm }^{{{\text{отр}}}}\left( M \right).$

Знак “$ - $” отвечает точкам наблюдения $M$, лежащим выше, а “$ + $” – ниже предельного луча.

В области, где выполнено неравенство (8), дифрагированная волна представляет собой цилиндрическую волну (9), расходящуюся из точки $O$. Ее диаграмма, как известно [11–17], имеет на предельном луче степенную сингулярность по углу.

Выражения для геометрически отраженных от гладких частей контура волн $u_{ \pm }^{{{\text{отр}}}}$ в случае некасательного падения можно найти лучевым методом (например, [23]). Они имеют вид

(51)

$\begin{gathered} u_{ \pm }^{{{\text{отр}}}}\left( M \right) = \mathcal{C}\frac{{\exp \left( {ik\tau + {{i\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{i\pi } 4}} \right. \kern-0em} 4}} \right)}}{{\sqrt {k\mathcal{I}} }}\left( {1 + O\left( {\frac{1}{{k\mathcal{I}}}} \right)} \right), \\ \mathcal{J} = {{l}_{0}} + l + \frac{{2\unicode{230} {{l}_{0}}l}}{{\sin \beta }}. \\ \end{gathered} $

Здесь ${{l}_{0}}$ и $l$ – расстояния от точки источника ${{M}_{0}}$ и от точки наблюдения $M$ до точки геометрического отражения $N$ соответственно; $\tau = {{l}_{0}} + l$ – значение эйконала (геометрического времени пробега) в точке $M$; $\mathcal{I}$ – геометрическое расхождение лучей, $\beta $ – угол скольжения, $\unicode{230} $ – значение кривизны в точке $N$ (см. рис. 3). Наконец, $\mathcal{C}$ зависит от интенсивности и диаграммы направленности источника падающей на контур цилиндрической волны, а также от граничного условия на контуре. Для ненаправленного источника единичной амплитуды и условия Дирихле $\mathcal{C} = {{ - 1} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 1} 2}} \right. \kern-0em} 2}\sqrt {2\pi } $ [23].

На предельном луче фазы геометрически отраженных волн и дифрагированной волны совпадают, что позволяет говорить о слиянии этих волн и возникновении френелевской переходной зоны. Если кривизна контура терпит в $O$ скачок, то выражение (51), очевидно, терпит разрыв на предельном луче и пригодно лишь на некотором удалении от него. Вблизи предельного луча, в переходной зоне, поле должно описываться соответствующей специальной функцией, сглаживающей и эту особенность, и сингулярность дифрагированной волны. Поскольку, как и в случае дифракции на клине, геометрооптическое поле терпит на предельном луче разрыв, естественно, что здесь возникает интеграл Френеля. Однако, в отличие от классической задачи, геометрооптическое поле ненулевое с обеих сторон от предельного луча, и описание его слияния с дифрагированной волной требует двух интегралов Френеля от разных аргументов [10, 12, 16].

В случае же более гладкой кривизны контура выражение (51) непрерывно и описывает геометрически отраженное поле в главном порядке, а френелевское поле представляет собой поправку к нему и описывается функцией параболического цилиндра со значком $\nu < - 1$ [14, 15, 17].

4.2. Дифракция на контуре со скачком кривизны

Рассмотрим контур, у которого кривизна ${{\unicode{230} }}$ в точке $O$ имеет скачок:

(52)

$\unicode{230} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\unicode{230} }_{ - }}}&{{\text{\;слева\;от\;}}O,} \\ {{{\unicode{230} }_{ + }}}&{{\text{\;справа\;от\;}}O,} \end{array}} \right.$

причем $\left[ \unicode{230} \right] = {{\unicode{230} }_{ + }} - {{\unicode{230} }_{ - }} \ne 0$ может быть любого знака. Здесь и далее падающая волна приходит в точку $O$ некасательно.

В [16] в рамках метода Кирхгофа получено следующее выражение для поля в переходной зоне на умеренных расстояниях ${{\unicode{230} }_{ \pm }}r \lesssim 1$ от $O$:

(53)

$\begin{gathered} {{u}^{{{\text{ух}}}}} = \mathcal{C}\frac{{\exp \left( {ik\left( {{{r}_{0}} + r} \right) + {{i\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{i\pi } 4}} \right. \kern-0em} 4}} \right)}}{{\sqrt {k\left( {{{r}_{0}} + r} \right)} }} \times \\ \times \,\,\left( {\frac{{\exp \left( {{{ - i{{\zeta }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - i{{\zeta }^{2}}} {{{J}_{ + }}}}} \right. \kern-0em} {{{J}_{ + }}}}} \right)}}{{\sqrt {{{J}_{ + }}} }}\Phi \left( { - \frac{\zeta }{{\sqrt {{{J}_{ + }}} }}} \right)} \right. + \\ \left. { + \,\,\frac{{\exp \left( {{{ - i{{\zeta }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - i{{\zeta }^{2}}} {{{J}_{ - }}}}} \right. \kern-0em} {{{J}_{ - }}}}} \right)}}{{\sqrt {{{J}_{ - }}} }}\Phi \left( {\frac{\zeta }{{\sqrt {{{J}_{ - }}} }}} \right)} \right), \\ \end{gathered} $

где ${{\Phi }}$ – интеграл Френеля (4), величина $\zeta $ определена в (17),

(54)

${{J}_{ \pm }} = 1 + \frac{{2{{\unicode{230} }_{ \pm }}\rho }}{{\sin {{\varphi }_{0}}}},$

а $\mathcal{C}$ – та же постоянная, что и в (51). Область пригодности формулы (53) описывается неравенствами (1) и (18) – они обеспечивают сшивание асимптотики (53) с лучевыми формулами (51) для волн, геометрически отраженных от гладких частей контура.

Покажем, что выражение (53) переписывается через функции построенного нами семейства (38). Введем величину

(55)

$2{{a}_{ \pm }} = \frac{{{{r}_{0}}}}{{1 + {{2{{\unicode{230} }_{ \pm }}{{r}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2{{\unicode{230} }_{ \pm }}{{r}_{0}}} {\sin {{\varphi }_{0}}}}} \right. \kern-0em} {\sin {{\varphi }_{0}}}}}},$

геометрическую интерпретацию которой дадим ниже. Тогда

(56)

$\frac{{{{\zeta }^{2}}}}{{{{J}_{ \pm }}}} = \frac{{kr{{r}_{0}}{{\varphi }^{2}}}}{{2\left( {{{r}_{0}} + r\left( {1 + {{2{{\unicode{230} }_{ \pm }}{{r}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2{{\unicode{230} }_{ \pm }}{{r}_{0}}} {{\text{sin}}{{\varphi }_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{\text{sin}}{{\varphi }_{0}}}}} \right)} \right)}} = \frac{{k{{a}_{ \pm }}r{{\varphi }^{2}}}}{{r + 2{{a}_{ \pm }}}},$

и с учетом формулы (14) выражение (53) принимает вид суммы двух функций семейства (38) с $\nu = - 1$:

(57)

${{u}^{{{\text{ух}}}}} = {{U}_{ + }} + {{U}_{ - }},$

где

(58)

$\begin{gathered} {{U}_{ \pm }} = \frac{\mathcal{C}}{{\sqrt {k{{r}_{0}}} }}\sqrt {\frac{{{{a}_{ \pm }}}}{{r + 2{{a}_{ \pm }}}}} \times \\ \times \,\,\exp \left( {ik\left( {r + {{r}_{0}} - \frac{{{{a}_{ \pm }}r{{\varphi }^{2}}}}{{2\left( {r + 2{{a}_{ \pm }}} \right)}}} \right) + i\frac{\pi }{4}} \right) \times \\ \times \,\,{{D}_{{ - 1}}}\left( { \pm \sqrt {\frac{{2k{{a}_{ \pm }}r}}{{r + 2{{a}_{ \pm }}}}} \,\varphi \exp \left( { - i\frac{\pi }{4}} \right)} \right). \\ \end{gathered} $

Таким образом, найденная в рамках метода Кирхгофа [16] формула укладывается в построенную теорию. Заметим, что неравенство (39) при $\nu = - 1$ совпадает с неравенством (18).

Поясним геометрический смысл величин (55). В переходной области, где выполнено неравенство (18), выражения для отраженных волн (51) аппроксимируются цилиндрическими волнами (9), исходящими из точек $O_{ \pm }^{'}$, лежащих на продолжении предельного луча на расстояниях $2{{a}_{ \pm }}$ от точки $O$ (рис. 4). Действительно, в [16] показано, что лучевые выражения (51) для геометрически отраженных волн $u_{ \pm }^{{{\text{отр}}}}$ при условии (18) преобразуются к виду

(59)

$\begin{gathered} u_{ \pm }^{{{\text{отр}}}} \approx \mathcal{C}\frac{{{\text{exp}}\left( {ik\left( {r + {{r}_{0}} - {{{{\rho }^{2}}{{\varphi }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\rho }^{2}}{{\varphi }^{2}}} {2{{J}_{ \pm }}}}} \right. \kern-0em} {2{{J}_{ \pm }}}}} \right) + {{i\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{i\pi } 4}} \right. \kern-0em} 4}} \right)}}{{\sqrt {k{{J}_{ \pm }}\left( {r + {{r}_{0}}} \right)} }}, \\ {{J}_{ \pm }} = 1 + \frac{{2{{\unicode{230} }_{ \pm }}\rho }}{{{\text{sin}}{{\varphi }_{0}}}}, \\ \end{gathered} $

где величина $\rho $ определена в (17). Расстояния $r_{ \pm }^{'}$ от $O_{ \pm }^{'}$ до точки наблюдения M равны соответственно

(60)

$\begin{gathered} r_{ \pm }^{'} = \sqrt {{{r}^{2}} + 4a_{ \pm }^{2} + 2{{a}_{ \pm }}r{\text{cos}}\varphi } = \\ = 2{{a}_{ \pm }} + r - \frac{\rho }{{2{{J}_{ \pm }}}}{{\varphi }^{2}} + O\left( {\frac{\rho }{{{{J}_{ \pm }}}}{{\varphi }^{4}}} \right). \\ \end{gathered} $

Легко видеть, что, с точностью до малых членов, величины $kr{{{\text{'}}}_{ \pm }}$ отличаются от фаз соответствующих экспонент в (59) лишь на постоянное слагаемое ${{r}_{0}} - 2{{\unicode{230} }_{ \pm }}$, а выражение в знаменателе (59) переписывается в виде ${{J}_{ \pm }}\left( {{{r}_{0}} + r} \right) \approx {{{{r}_{0}}r_{ \pm }^{'}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{r}_{0}}r_{ \pm }^{'}} {2{{a}_{ \pm }}}}} \right. \kern-0em} {2{{a}_{ \pm }}}}$. Таким образом, в переходной зоне (18) формулы (59) для геометрически отраженных волн $u_{ \pm }^{{{\text{отр}}}}$ преобразуются к виду (9):

(61)

$\begin{gathered} u_{ \pm }^{{{\text{отр}}}} \approx A_{ \pm }^{{{\text{отр}}}}\frac{{{\text{exp}}\left( {ikr_{ \pm }^{'}} \right)}}{{\sqrt {kr_{ \pm }^{'}} }}, \\ A_{ \pm }^{{{\text{отр}}}} = \mathcal{C}\sqrt {\frac{{2{{a}_{ \pm }}}}{{{{r}_{0}}}}} \,{\text{exp}}\left( {ik\left( {{{r}_{0}} - 2{{a}_{ \pm }}} \right) + i\frac{\pi }{4}} \right). \\ \end{gathered} $

Рис. 4.

Дифракция на скачке кривизны.

В [16] показано, что на малых расстояниях ${{\unicode{230} }_{ \pm }}r \ll 1$ аргументы интегралов Френеля в формуле (53) становятся близки и в результате поле аппроксимируется выражением, содержащим одну функцию параболического цилиндра ${{D}_{{ - 3}}}\left( {\sqrt 2 \zeta {\text{exp}}\left( {{{i\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{i\pi } 4}} \right. \kern-0em} 4}} \right)} \right)$. Отметим, что это выражение также является частным случаем формулы (38).

4.3. Дифракция на контуре с “гельдеровской” сингулярностью кривизны

Теперь рассмотрим контур, кривизна которого в точке $O$ имеет особенность вида

(62)

$\unicode{230} \left( s \right) = \left\{ \begin{gathered} {{\unicode{230} }_{0}}\,\,\,{\text{при}}\,\,\,{\text{\;}}s \leqslant 0, \hfill \\ {{\unicode{230} }_{0}} + h{{s}^{\lambda }}{\text{\;}}\,\,\,{\text{при}}\,\,\,{\text{\;}}s > 0, \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\,\,0 < \lambda < 1.$

Здесь $s$ – длина дуги контура, отсчитываемая от точки негладкости $O$ в направлении оси $x$ (рис. 5), а ${{\unicode{230} }_{0}}$ и $h \ne 0$ – константы, причем $h$ может быть любого знака. В [14] такая особенность названа “гельдеровской” сингулярностью. Как и раньше, падающая волна приходит в сингулярную точку контура некасательно.

Рис. 5.

Дифракция на контуре с “гельдеровской” сингулярностью кривизны.

В [17] с помощью метода Кирхгофа получена асимптотика для уходящего поля вблизи предельного луча на умеренных расстояниях ${{\unicode{230} }_{0}}r \lesssim 1$ от $O$. В главном порядке поле дается выражением (51), которое непрерывно, но не гладко на предельном луче, и имеет вид

(63)

$\begin{gathered} u_{0}^{{{\text{ух}}}} = \mathcal{C}\frac{{\exp \left( {ik\left( {r + {{r}_{0}}} \right) - {{i{{\zeta }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{i{{\zeta }^{2}}} J}} \right. \kern-0em} J} + {{i\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{i\pi } 4}} \right. \kern-0em} 4}} \right)}}{{\sqrt {kJ\left( {r + {{r}_{0}}} \right)} }}, \\ J = 1 + \frac{{2{{\unicode{230} }_{0}}\rho }}{{\sin {{\varphi }_{0}}}}, \\ \end{gathered} $

а эффект от “гельдеровской” сингулярности носит поправочный характер и описывается выражением

(64)

$\begin{gathered} u_{h}^{{{\text{ух}}}} = - h\mathcal{C}\sqrt {\frac{2}{\pi }} \frac{{\Gamma \left( {1 + \lambda } \right)\exp \left( {i\lambda {\pi \mathord{\left/ {\vphantom {\pi 4}} \right. \kern-0em} 4}} \right)}}{{{{{\left( {\sin {{\varphi }_{0}}} \right)}}^{{1 + \lambda }}}}}\frac{{{{\rho }^{{1 + \frac{\lambda }{2}}}}}}{{{{k}^{{\frac{\lambda }{2}}}}{{J}^{{1 + \frac{\lambda }{2}}}}}} \times \\ \times \,\,\frac{{\exp \left( {ik\left( {{{r}_{0}} + {{r}_{1}}} \right) - {{i{{\zeta }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{i{{\zeta }^{2}}} {2J}}} \right. \kern-0em} {2J}} + {{i\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{i\pi } 4}} \right. \kern-0em} 4}} \right)}}{{\sqrt {kJ\left( {{{r}_{0}} + {{r}_{1}}} \right)} }} \times \\ \times \,\,{{D}_{{ - 3 - \lambda }}}\left( {\sqrt {\frac{2}{J}} \,\zeta \,\exp \left( { - i\frac{\pi }{4}} \right)} \right). \\ \end{gathered} $

Здесь величина $\zeta $ определена в формуле (17). Асимптотика (63), (64) для поля применима в области, где выполнены неравенства (1), (18) и

(65)

$kh{{\left( {r\left| \varphi \right|} \right)}^{{2 + \lambda }}} \ll 1,$

обеспечивающие сшивание с лучевой формулой для отраженной волны.

Покажем, что функция (64) принадлежит семейству (38). Действительно, если принять

(66)

$2a = \frac{{{{r}_{0}}}}{{1 + {{2{{\unicode{230} }_{0}}{{r}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2{{\unicode{230} }_{0}}{{r}_{0}}} {{\text{sin}}{{\varphi }_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{\text{sin}}{{\varphi }_{0}}}}}},$

то (64) переписывается в виде

(67)

$\begin{gathered} u_{h}^{{{\text{ух}}}} = - h\mathcal{C}\,\sqrt {\frac{2}{\pi }} \frac{{\Gamma \left( {1 + \lambda } \right)\exp \left( {i\pi {{\left( {1 + \lambda } \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {1 + \lambda } \right)} 4}} \right. \kern-0em} 4}} \right)}}{{{{{\left( {\sqrt k \sin {{\varphi }_{0}}} \right)}}^{{1 + \lambda }}}}} \times \\ \times \,\,\frac{1}{{\sqrt {{{r}_{0}}r} }}{{\left( {\frac{{2ar}}{{r + 2a}}} \right)}^{{\frac{{3 + \lambda }}{2}}}}\exp \left( {ik\left( {r + {{r}_{0}} - \frac{{ar{{\varphi }^{2}}}}{{2\left( {r + 2a} \right)}}} \right)} \right) \times \\ \times \,\,{{D}_{{ - 3 - \lambda }}}\left( {\sqrt {\frac{{2kar}}{{r + 2a}}} \,\varphi \exp \left( { - i\frac{\pi }{4}} \right)} \right). \\ \end{gathered} $

Поясним геометрический смысл величины (66). В [17] проведено асимптотическое упрощение лучевой формулы (51) для отраженной волны в области (8), (18) и (65). Установлено, что в главном порядке отраженное поле описывается выражением (63), а влияние на него “гельдеровской” сингулярности является поправкой. Оно проявляется только ниже предельного луча, при $\varphi < 0$, и имеет вид

(68)

$\begin{gathered} u_{h}^{{{\text{отр}}}} = - \mathcal{C}\frac{{2kh{{\rho }^{{2 + \lambda }}}{{{\left( { - \varphi } \right)}}^{{2 + \lambda }}}}}{{\left( {2 + \lambda } \right)\left( {1 + \lambda } \right){{J}^{{2 + \lambda }}}{{{\left( {{\text{sin}}{{\varphi }_{0}}} \right)}}^{{1 + \lambda }}}}} \times \\ \times \,\,\frac{{{\text{exp}}\left( {ik\left( {r + {{r}_{0}} - {{\rho {{\varphi }^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\rho {{\varphi }^{2}}} {2J}}} \right. \kern-0em} {2J}}} \right) - {{i\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{i\pi } 4}} \right. \kern-0em} 4}} \right)}}{{\sqrt {kJ\left( {r + {{r}_{0}}} \right)} }}. \\ \end{gathered} $

В области своей применимости выражение (68) допускает аппроксимацию цилиндрической волной, которая расходится из точки $O{\kern 1pt} {\text{'}}$, расположенной на продолжении предельного луча на расстоянии 2a от точки O (см. рис. 5). Действительно, расстояние от $O{\text{'}}$ до точки O наблюдения записывается совершенно аналогично (60) и отличается от фазы экспоненты в (68) лишь на постоянное слагаемое ${{r}_{0}} - 2a$, откуда нетрудно получить, что

(69)

$\begin{gathered} u_{h}^{{{\text{отр}}}} = {{A}^{{{\text{отр}}}}}\frac{{{\text{exp}}\left( {ikr{\kern 1pt} '} \right)}}{{\sqrt {kr{\kern 1pt} '} }},\,\,\,{{A}^{{{\text{отр}}}}} = - \sqrt {\frac{{2a}}{{{{r}_{0}}}}} \times \\ \times \,\,\frac{{2kh{{{\left( { - 2a\varphi {\kern 1pt} {\text{'}}} \right)}}^{{2 + \lambda }}}\,{\text{exp}}\left( {ik\left( {{{r}_{0}} - 2a} \right) - {{i\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{i\pi } 4}} \right. \kern-0em} 4}} \right)}}{{\left( {2 + \lambda } \right)\left( {1 + \lambda } \right){{{\left( {{\text{sin}}{{\varphi }_{0}}} \right)}}^{{1 + \lambda }}}}}. \\ \end{gathered} $

В случае “гельдеровской” сингулярности кривизны на ширину переходной зоны накладываются ограничения (18) и (65), более жесткие, чем неравенство (39) с $\nu = - 3 - \lambda $, и даже чем соответствующие ограничения в случае скачка кривизны, что объясняется более сложной геометрией фронта отраженной от контура волны.

4.4. Дифракция на контуре с особенностью производной кривизны

Допустим теперь, что производная кривизны контура ${{\unicode{230} }^{{\left( j \right)}}}\left( s \right) = {{{{d}^{j}}\unicode{230} } \mathord{\left/ {\vphantom {{{{d}^{j}}\unicode{230} } {d{{s}^{j}}}}} \right. \kern-0em} {d{{s}^{j}}}}$ порядка $j \geqslant 1$ в точке $O$ имеет скачок с амплитудой $h$. Как и в случае “гельдеровской” сингулярности кривизны, рассмотренной в разд. 4.3, здесь уходящее поле в главном порядке характеризуется лучевой формулой (51), а эффект негладкости кривизны имеет характер малой поправки. Сравнение выражения для поля в окрестности предельного луча [15, 17] с формулами (45)–(47) показывает, что влияние негладкости производной кривизны порядка $j$ на уходящее поле в переходной зоне описывается функцией семейства (38), причем $\nu = - 3 - j$. В полярных координатах она имеет вид (64), где $\lambda $ следует заменить на $j$. Ширина переходной зоны характеризуется неравенством (39) с $\nu = - 3 - j$ (отметим, что при $\nu < - 3$ это ограничение жестче, чем условие (18)).

Случай, когда производная ${{\unicode{230} }^{{\left( j \right)}}}\left( s \right)$, $j \geqslant 1,$ имеет в точке $O$ “гельдеровскую” сингулярность (62), рассматривается аналогично. Влияние негладкости кривизны на уходящее поле описывается функцией семейства (38) со значком $\nu = - 3 - j - \lambda $.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Главным результатом работы является получение простых удобных выражений для общего описания френелевских переходных зон.

Построено семейство точных решений уравнения Гельмгольца для описания слияния двух волн с неплоскими фронтами. Продемонстрировано, что функции этого семейства описывают поля в задачах дифракции на контурах с негладкой кривизной в переходной зоне на умеренном расстоянии от точки негладкости. Область пригодности построенных выражений зависит, с одной стороны, от сингулярностей диаграмм волн на предельном луче и, с другой – от геометрии фронтов волн. С увеличением гладкости кривизны контура переходная зона сужается.

Интересным представляется вопрос о численном моделировании волнового поля на основе полученных формул, которое позволило бы выяснить их области пригодности в реальных ситуациях.

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Список литературы

Малюжинец Г.Д. // Успехи физ. наук. 1959. Т. 69. № 2. С. 321.
Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1973.
Боровиков В.А., Кинбер Б.Е. Геометрическая теория дифракции. М.: Связь, 1978.
Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы математической физики. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. Т. 2.
Цепелев Н.В. // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1975. Т. 51. С. 197.
Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1973. Т. 2.
Popov A., Ladyzhensky (Brodskaya) A., Khozioski S. // Russ. J. Math. Phys. 2009. T. 16. № 2. C. 296.
Уфимцев П.Я. Теория дифракционных краевых волн в электродинамике. М.: Бином, 2012.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Физматгиз, 1963.
James G.L. Geometrical Theory of Diffraction for Electromagnetic Waves. L.: Peter Peregrinus Ltd, 1986.
Kaminetzky L., Keller J.B. // SIAM J. Appl. Math. 1972. V. 22. № 1. P. 109.
Rogoff Z.M., Kiselev A.P. // Wave Motion. 2001. V. 33. № 2. P. 183.
Zlobina E.A., Kiselev A.P. // Wave Motion. 2020. V. 96. Article No. 102571.
Злобина Е.А., Киселев А.П. // Алгебра и анализ. 2021. Т. 33. № 2. С. 35.
Злобина Е.А. // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2020. Т. 493. С. 169.
Злобина Е.А., Киселев А.П. // РЭ. 2022. Т. 67. № 2. С. 130.
Злобина Е.А. // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2021. Т. 506. С. 43.
Попов А.В. // Акуст. журн. 1973. Т. 19. № 4. С. 594.
Фок В.А. Проблемы дифракции и распространения волн. М.: Наука, 1975.
Крюковский А.С., Лукин Д.С., Палкин Е.А., Растягаев Д.В. // РЭ. 2006. Т. 51. № 10. С. 1155.
Крюковский A.C. Равномерная асимптотическая теория краевых и угловых волновых катастроф. М.: РосНОУ, 2013.
Злобина Е.А. // Мат. заметки. 2023. Т. 114. № 4. С. 666.
Бабич В.М., Булдырев В.С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. Метод эталонных задач. М.: Наука, 1972.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Радиотехника и электроника

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал