Радиотехника и электроника, 2023, T. 68, № 6, стр. 527-541

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В данной работе рассмотрим задачи, определяющие волновые пучки, связанные с функциями Бесселя. Если для описания волновых пучков использовать уравнение Гельмгольца

то решения, описывающие радиально симметричные пучки, локализованные в окрестности оси $z$ и называемые пучками Бесселя, представляются в виде где ${{J}_{0}}$ – функция Бесселя, $\rho $ – полярный радиус на плоскости $\mathbb{R}_{{{{x}_{1}},{{x}_{2}}}}^{2}$ (т.е. $\rho = \sqrt {x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} $), $h > 0$, $\beta $ – параметры, характеризующие пучок. Поскольку мы считаем, что пучок локализован в окрестности оси $z = 0$, то это означает, что параметр $h$ предполагается малым. В этом случае частота $k$ оказывается большой, и ее удобно представить в виде $k = {{k{\kern 1pt} {\text{'}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{k{\kern 1pt} {\text{'}}} h}} \right. \kern-0em} h}$ и использовать $k{\text{'}}$ вместо $k~$(далее штрих не приводим).

Отметим, что квадрат модуля функции (2) (или ее вещественной части) неинтегрируем в ${{\mathbb{R}}^{3}}$ и не принадлежит естественному энергетическому пространству, например ${{L}^{2}}({{\mathbb{R}}^{3}})$. Это обстоятельство затрудняет практическое использование волновых пучков такого типа.

Разумеется, эта проблема не является новой в волновых задачах. Рассмотрим, например, решение одномерного волнового уравнения c постоянной скоростью

в виде плоской волны (или вещественную часть этой функции), где $A = {\text{const}}$ – амплитуда, ${\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega h}} \right. \kern-0em} h}$ характеризует частоту. Понятно, что квадрат этой функции при каждом $t$ неинтегрируем, но если мы умножим ее на функцию ${{\chi }}\left( {x - ct} \right)$, где ${{\chi }}\left( x \right)$ – гладкая финитная срезающая функция, равная $1$ на некотором отрезке $\left[ {a,b} \right]$ и равная нулю вне некоторого большего отрезка $\left[ {a - \delta ,b + \delta } \right]$ ($\delta > 0$), то получим решение (волновой пакет) ($k = {\omega \mathord{\left/ {\vphantom {\omega c}} \right. \kern-0em} c}$ – волновое число), которое уже обладает конечной энергией.

В том случае, когда скорость c(x) является переменной, решение волнового уравнения в виде плоской волны найти, как правило, уже нельзя, но у него можно найти быстро осциллирующие асимптотические решения вида

где $h > 0$ – малый положительный параметр, характеризующий частоту осцилляций. Локализовать это решение можно, умножив на срезающую функцию ${{\chi }}$, что дает где ${{S}^{{ - 1}}}\left( y \right)$ – функция обратная к $S\left( x \right)$.

Вернемся к вопросу о локализации решения типа (2). Можно попытаться умножить его на некоторую гладкую финитную (срезающую) функцию ${{\chi }}\left( {{{x}_{1}},{{x}_{2}},z} \right)$, однако этот способ не дает нужного результата – получаемая функция перестает быть решением исследуемого уравнения. Причина состоит в том, что с точки зрения квазиклассического приближения и геометрической оптики решение (2) связано с задачами с каустиками и фокальными точками, и тогда срезающая функция, образно говоря, “переплывает” через особенности такого типа, поэтому введение срезающей функции требует более сложных рассуждений.

Изучение особенностей типа каустик и особенностей более общего типа – лагранжевых сингулярностей – относится к области науки, известной как теория катастроф. Ей посвящено большое количество публикаций как чисто математических, так и с приложениями к конкретным физическим задачам, связанным с распространением волн. Среди них укажем работы [1–4], которые содержат обширные библиографии. Рассматриваемые здесь задачи с одной стороны, достаточно просты – каустики имеют вид складки, а с другой – нестандартны, поскольку каустики оказываются вырожденными при проектировании на физическое пространство.

Напомним, что при наличии в задаче каустик и фокальных точек для построения асимптотических решений метод Вентцеля–Крамерса–Бриллюэна (ВКБ) не работает, и поэтому следует применять другие подходы. Мы применим один из самых универсальных и мощных инструментов построения квазиклассических асимптотик – канонический оператор Маслова [5, 6]. При этом будем использовать недавно предложенные его модификации, дающие более эффективные формулы в окрестности каустик и, кроме того, позволяющие расширить класс задач, в которых канонический оператор может быть применен [7]. Также будем использовать простые приемы, которые позволяют выразить канонический оператор в окрестности каустик в виде специальных функций сложного аргумента [8].

2. КАНОНИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР НА ЛАГРАНЖЕВОМ МНОГООБРАЗИИ, ОТВЕЧАЮЩЕМ ФУНКЦИЯМ БЕССЕЛЯ, И ИХ “ЛОКАЛИЗАЦИЯ”

Канонический оператор Маслова связан с геометрическими объектами в фазовых пространствах – лагранжевыми многообразиями, которые возникают при исследовании задачи классической гамильтоновой механики, соответствующей исходной задаче в частных производных. Приведем такие многообразия, отвечающие функции Бесселя, кратко повторив для полноты изложения некоторые соображения из [9].

Функции Бесселя ${{J}_{s}}\left( {\frac{\rho }{h}} \right)$ являются решением обыкновенного дифференциального уравнения Бесселя, но нам удобнее ввести функции ${{J}_{s}}\left( {\frac{\rho }{h}} \right)\exp \left( {is\varphi } \right)$ ($\varphi $ – полярный угол) и рассмотреть их как с овместное решение спектральных задач для коммутирующих операторов с частными производными – оператора Лапласа и оператора углового момента

Операторам $\hat {H} = \hat {p}_{1}^{2} + \hat {p}_{2}^{2}$ и $\hat {M}$ соответствуют символы $H = p_{1}^{2} + p_{2}^{2}$ и $M = {{x}_{2}}{{p}_{1}} - {{x}_{1}}{{p}_{2}}$, определяющие два гамильтониана в четырехмерном фазовом пространстве $\mathbb{R}_{{{\mathbf{p}},{\mathbf{x}}}}^{4}$ c координатами ${\mathbf{p}} = \left( {{{p}_{1}},{{p}_{2}}} \right),$ ${\mathbf{x}} = \left( {{{x}_{1}},{{x}_{2}}} \right)$. Как видим, скобка Пуассона $\left\{ {H,M} \right\} = 0$ и, согласно теореме Лиувилля, множество ${{{{\Lambda }}}^{B}}\left( \gamma \right) = \left\{ {\left( {{\mathbf{p}},{\mathbf{x}}} \right) \in \mathbb{R}_{{{\mathbf{p}},{\mathbf{x}}}}^{4}:H = 1,M = \gamma } \right\}$ определяет двумерное лагранжево многообразие, инвариантное относительно сдвигов $g_{H}^{t},g_{M}^{\tau }$ вдоль траекторий гамильтоновых систем с гамильтонианами $H$ и $M$. Это многообразие некомпактно и топологически представляет собой двумерный “лиувиллев” цилиндр в $\mathbb{R}_{{{\mathbf{p}},{\mathbf{x}}}}^{4}$, который можно записать в виде Параметры $\alpha ,\psi $ определяют координаты на многообразии ${{{{\Lambda }}}^{B}}$. Зададим на ${{{{\Lambda }}}^{B}}$ некоторую гладкую ($2\pi $-периодическую по $\psi $) функцию $A\left( {\alpha ,\psi } \right)$. Кроме того, зафиксируем на ${{{{\Lambda }}}^{B}}$ (центральную) точку $\left( {\alpha = + 0,\,\,\psi = 0} \right)$. Якобиан ${{J}^{B}} = {\text{det}}\frac{{\partial {{{\mathbf{X}}}^{B}}\left( {\alpha ,\psi } \right)}}{{\partial \left( {\alpha ,\psi } \right)}}$ проектирования многообразия ${{{{\Lambda }}}^{B}}$ на физическую плоскость $\mathbb{R}_{{\mathbf{x}}}^{2}$ равен $\alpha $. В случае, когда $\gamma \ne 0$, равенство $\alpha = 0$ определяют окружность и ее проекция ${{{{\Gamma }}}_{{\mathbf{x}}}} = \left\{ {{\mathbf{x}} = - \gamma {\mathbf{n}}{\kern 1pt} {\text{'}}\left( \psi \right)} \right\} \in \mathbb{R}_{{\mathbf{x}}}^{2}$ на плоскость $\mathbb{R}_{{\mathbf{x}}}^{2}$ также является окружностью. Кривая ${{{{\Gamma }}}_{{\mathbf{x}}}}$ – это простая каустика типа складки [1, 2]. Однако в случае $\gamma = 0$ особое множество вырождается в точку ${\mathbf{x}} = 0$ – “вырожденную складку”.

Проекция многообразия ${{{{\Lambda }}}^{B}}$ на физическую плоскость $\mathbb{R}_{{\mathbf{x}}}^{2}$ двулистно накрывает двумерную плоскость с удаленной внутренностью круга $\left| {\mathbf{x}} \right| < \gamma $. В данной работе нас интересует вырожденный случай $\gamma = 0$, тогда проекция ${{{{\Lambda }}}^{B}}$ в физическое пространство – это две склеенные в точке ${\mathbf{x}} = 0$ плоскости.

Нам потребуется фаза на ${{{{\Lambda }}}^{B}}$

и индекс Маслова $m\left( {\alpha ,\psi } \right)$ пути, соединяющего центральную точку $\left( {\alpha = + 0,\,\,\psi = 0} \right)$ с точкой $\left( {\alpha ,\psi } \right)$: В силу этого факта индекс Маслова замкнутых путей на ${{{{\Lambda }}}^{B}}$ равен $0$: замкнутый путь можно выбрать с $\alpha \ne 0$, тогда приращение аргумента якобиана равно $0$, что и означает, что индекс равен нулю. У каждой точки ${\mathbf{x}} \ne 0$, такой что ${\mathbf{x}} = \rho {\mathbf{n}}\left( \varphi \right)$ ($\rho > 0$, $\varphi \in \left[ {0,2\pi } \right)$ – полярные координаты) на плоскости $\mathbb{R}_{{\mathbf{x}}}^{2}$ существует два прообраза на лагранжевом многообразии ${{{{\Lambda }}}^{B}}$ с координатами Знак “$ + $" соответствует верхнему листу многообразия ${{{{\Lambda }}}^{B}}$, а знак “$ - $” – нижнему.

Построим функцию $w$ в виде канонического оператора Маслова $K_{{{{{{\Lambda }}}^{B}}}}^{h}\left[ A \right]$. Классическая конструкция канонического оператора предполагает покрытие лагранжева многообразия картами (областями) ${{{{\Omega }}}_{j}}$, в которых не обращается в ноль один из якобианов проектирования на канонические плоскости со смешанными координатно-импульсными переменными, последующее построение локальных “предканонических операторов” и их суммирование. В случае особых карт, т.е. когда якобиан ${{J}^{B}} = {\text{det}}\frac{{\partial {{{\mathbf{X}}}^{B}}}}{{\partial \left( {\alpha ,\psi } \right)}}$ обращается в ноль на подмножестве карты ${{{{\Omega }}}_{j}}$, предканонический оператор определяется в виде интеграла по импульсным переменным. В рассматриваемом примере карт, по меньшей мере, четыре и все они особые [10]. В работе [7] предложены новые интегральные представления для предканонических операторов, основанные на интегрировании сразу по части подходящих координат на лагражевом многообразии. Такие представления, во-первых, часто упрощают вычисление интегралов, во-вторых, сокращают число карт и, в-третьих, позволяют расширить класс задач, асимптотические решения которых можно найти с помощью канонического оператора.

Применение модифицированных формул для канонического оператора в рассматриваем примере дает такое представление [9]:

Если выбрать $A = 1$, то, очевидно, получим Вместе с тем из общих свойств канонического оператора следует, что при $h \ll 1$ носитель функции $w$ совпадает с проекцией носителя ${\text{supp\;}}A\left( {\alpha ,\psi } \right)$ на физическую плоскость $\mathbb{R}_{{\mathbf{x}}}^{2}$. Поэтому, выбирая $A$ финитной по переменной $\alpha $, получим уже локализованную функцию. Задача состоит в том, чтобы выразить (3) через специальные функции. Имеется несколько способов вывода соответствующих формул [8, 11], мы используем простой “наивный” способ, основанный на сравнении асимптотик функций Бесселя и ВКБ асимптотики канонического оператора вне окрестности фокальной точки.

Именно, с учетом равенств для $S,\,\,{{J}^{B}},\,\,m$, используя стандартную ВКБ-формулу (в неособой карте) для функции (3), при $\left| {\mathbf{x}} \right| \geqslant \delta > 0$ получим

Между тем в малой окрестности начала координат (фокальной точки) функцию (3) можно представить в виде комбинации функции Бесселя и, возможно, ее производной, т.е. функции ${{J}_{1}}$ [11]. Такое представление порождает анзац для асимптотики решения в виде

где ${{\Phi }}\left( {{\mathbf{x}},h} \right),{{a}_{j}}\left( {{\mathbf{x}},h} \right)$ – некоторые гладкие при $\left| {\mathbf{x}} \right| > 0$ функции, причем ${{\Phi }}\left( {{\mathbf{x}},h} \right) > 0$ при $\left| {\mathbf{x}} \right| > 0$.

Для получения такого анзаца и его дальнейшей реализации используем подход, апеллирующий к лагранжеву многообразию и возможности представления канонического оператора в окрестности каустик в виде некоторых специальных функций, а не такие подходы, как метод эталонных уравнений или метод сращивания асимптотических разложений. Иначе говоря, мы упрощаем ответ, полученный в виде канонического оператора, используя общий подход, находящийся в рамках теории функций. Конкретные дифференциальные уравнения проявляются при построении подходящих лагранжевых многообразий.

Укажем еще на некоторые важные факты. Хотя представление (5) не работает в фокальных точках, где ${{J}^{B}} = 0$, сами функции ${{J}^{B}}\left( {{{\alpha }^{ \pm }},{{\psi }^{ \pm }}} \right)$, $S\left( {{{\alpha }^{ \pm }},{{\psi }^{ \pm }}} \right)$, $A\left( {{{\alpha }^{ \pm }},{{\psi }^{ \pm }}} \right)$ определены, как функции от $\left( {{{x}_{1}},{{x}_{2}}} \right)$, при этом анзац (6) работает в достаточно широкой окрестности нулей функции ${{\Phi }}\left( {{\mathbf{x}},h} \right)$ (подробнее см. далее замечание 4). Таким образом, сравнивая асимптотику (6) c ВКБ-асимптотикой (5) в неособой области (где $\rho \ne 0$), можно получить выражения для ${{\Phi }}$, ${{a}_{{1,2}}}$ через $S$, ${{J}^{B}}$ и $A$. Именно, считая, что при отходе от точки ${\mathbf{x}} = 0$ фаза возрастает, можно заменить функции Бесселя на их асимптотики, что дает

Чтобы определить функции ${{\Phi }},{{a}_{j}}$, сравним (7) и (5), откуда находим

Таким образом, мы пришли к следующему утверждению.

Утверждение 1. Справедливо представление

Замечание 1. Если ${\text{A}} \equiv 1$, то (8) совпадает с представлением (4).

Замечание 2. Если выбрать функцию $A$ финитной, то и функция (8) также будет финитной.

Замечание 3. Отметим, что полученная функция гладко зависит от переменных $\left( {{{x}_{1}},{{x}_{2}}} \right)$. Этот факт легко установить в радиально симметричном случае, когда $A$ зависит только от ${{\alpha }}$. Действительно, в этом случае ${{a}_{1}}$ и ${{{{a}_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{a}_{2}}} \rho }} \right. \kern-0em} \rho }$, а также ${{J}_{0}}\left( {{\rho \mathord{\left/ {\vphantom {\rho h}} \right. \kern-0em} h}} \right)$ и $\rho {{J}_{1}}\left( {{\rho \mathord{\left/ {\vphantom {\rho h}} \right. \kern-0em} h}} \right)$ – четные по ${{\rho }}$ функции. В случае, когда $A$ зависит также и от ${{\varphi }}$, раскладывая в ряд Фурье, получаем гладкие по $\left( {{{x}_{1}},{{x}_{2}}} \right)$ функции:

Замечание 4. Отметим также, что формулу (8) можно было получить, опираясь на модифицированные интегральные представления для канонического оператора и формулу коммутации канонического оператора с псевдодифференциальным [10]. Здесь же мы, по существу, воспользовались тем фактом, что уравнения ${\mathbf{p}} = {\mathbf{n}}(\psi ),$ ${\mathbf{x}} = {{\alpha }}{\mathbf{n}}\left( \psi \right)$ локально задают нормальную форму в окрестности вырожденных особенностей лагранжевых многообразий типа складки. В окрестности таких особенностей канонический оператор представляется в виде функций Бесселя, что позволяет в результате простого сравнения асимптотик функций Бесселя и ВКБ получать глобальные формулы. Такой подход кажется нам более простым и легко алгоритмизуемым. Поэтому будем использовать его и далее, учитывая соображение о нормальных формах.

3. ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ БЕССЕЛЕВЫ ПУЧКИ В ТРЕХМЕРНОМ СЛУЧАЕ

Обсудим теперь вопрос о бесселевых пучках в трехмерном случае. В некоторых случаях, чтобы получить формулы для пучков, можно использовать комплексный метод ВКБ и его модификации [12]. Однако здесь обсудим более простой путь, не вполне аккуратный с математической точки зрения, но конструктивный и эффективный с точки зрения конкретных вычислений, который состоит в следующем. Пучки являются (асимптотическими) решениями уравнения Гельмгольца (1), удовлетворяющими при $z = 0$ условию

Будем считать, что $A\left( \alpha \right)$ – финитная функция, причем для простоты будем считать, что она не зависит от $\psi $. Решение задачи (1), (9) не единственно: можно найти два решения, описывающие пучки, условно говоря, распространяющиеся в разные стороны вдоль оси $z$, и нужно добавить еще одно условие, выделяющее один из пучков. Но формально можно представить уравнения Гельмгольца в виде (напомним, что здесь и далее в качестве $k$ мы берем $k{\kern 1pt} {\text{'}} = hk$ и опускаем штрихи)

Тогда решения, описывающие волны, бегущие в одну сторону, будут удовлетворять одному из псевдодифференциальных уравнений

Переменная $z$ играет роль времени, причем производная по $z$ входит в эти уравнения в первой степени и они в некотором смысле аналогичны уравнениям Шредингера. Интересующее нас решение является решением задачи Коши для (11) с начальным условием (9). Эти уравнения являются некорректными, но их использование как вспомогательных для вычисления квазиклассических асимптотик уравнения Гельмгольца с заданными граничными условиями представляется очень удобным: для получения квазиклассических асимптотик решения задачи Коши имеется простой конструктивный алгоритм [6]. Проще говоря, некорректность не проявляется на классе конструируемых асимптотических решений и, после того как асимптотическое решение $u$ задачи Коши (9), (11) будет построено, его прямая подстановка в уравнение Гельмгольца дает малую невязку по параметру $h$. То есть получаемая функция является, по крайней мере, формальным асимптотическим решением уравнения Гельмгольца.

Ограничимся в дальнейшем уравнением со знаком “$ + $", уравнение со знаком “$ - $” рассматривается аналогично. Для построения асимптотических решений задачи (11), (9) воспользуемся стандартной схемой [5, 6], состоящей из следующих шагов. Символ оператора $ - \sqrt {{{k}^{2}} + {{h}^{2}}\Delta } $ – классический гамильтониан $L = - \sqrt {{{k}^{2}} - {{{\left| {\mathbf{p}} \right|}}^{2}}} $ – и начальное условие (9) порождают задачу Коши для гамильтоновой системы:

c начальными условиями из ${{{{\Lambda }}}^{B}}$Ее решения определяют фазовый поток $g_{L}^{z}$ и дают семейство лагранжевых многообразий $\Lambda _{z}^{B} = g_{L}^{z}{{\Lambda }^{B}}$, полученных сдвигом начального многообразия ${{{{\Lambda }}}^{B}}$ на время $z$Как видим, многообразия ${{\Lambda }}_{z}^{B}$ совпадают, как геометрические объекты, т.е. ${{{{\Lambda }}}^{B}}$ инвариантно относительно сдвигов $g_{L}^{z}$. Амплитуда $A$ сохраняется вдоль траекторий системы (12), поэтому на лагранжевых многообразиях ${{\Lambda }}_{z}^{B}$ амплитуда равна $A\left( \alpha \right)$. Поскольку фаза, как решение уравнения эйконала, определяется неоднозначно, а с точностью до некоторой функции, зависящей от $z$, необходимо определить набег фазы в асимптотике рассматриваемого решения. Он определяется интегралом Координаты $\left( {\alpha ,\psi } \right)$ можно использовать на всех многообразиях ${{\Lambda }}_{z}^{B}$. Тогда согласно общей теории [5, 6] решение задачи Коши (11), (9) представляется в виде причем в качестве центральной точки на ${{\Lambda }}_{z}^{B}$ выбирается точка с координатами $\left( {0 + ,0} \right)$, как и на начальном многообразии. Перейдем в последней формуле к координатам

Поскольку в старой системе координат центральная точка имела координаты $\alpha = + 0$, $\psi = + 0$, то в новой системе координат центральная точка будет иметь координаты $\alpha {\kern 1pt} ' = + \frac{z}{{\sqrt {{{k}^{2}} - 1} }}$, $\psi = + 0$. Далее воспользуемся тем, что смена отмеченной точки дает дополнительный фазовый множитель, т.е. канонический оператор Маслова на лагранжевом многообразии ${{\Lambda }}_{z}^{B}$ с отмеченной точкой $\left( { + \frac{z}{{\sqrt {{{k}^{2}} - 1} }}, + 0} \right)$ равен каноническому оператору Маслова на лагранжевом многообразии ${{\Lambda }}_{z}^{B}$ с отмеченной точкой $\left( { + 0, + 0} \right)$, умноженному на $\exp \left( { - \frac{{iz}}{{h\sqrt {{{k}^{2}} - 1} }}} \right)$. Учитывая эти соображения, полученный ранее фазовый множитель $\exp \left( {\frac{{i\phi }}{h}} \right)$, а также тот факт, что ${{\Lambda }}_{z}^{B}$ в новых координатах совпадает с ${{{{\Lambda }}}^{B}}$, приходим к окончательной формуле

Она определяет асимптотические решения, описывающие локализованные бесселевы пучки уравнения Гельмгольца. Полученное решение проиллюстрировано на рис. 1.

Замечание 5. В теории волновых пучков часто используется параксиальное приближение. Напомним простой вывод соответствующего уравнения в рассматриваемом случае. Можно искать решение в виде

и считать, что амплитудная функция $v$ меняется медленно по сравнению с быстроосциллирующей плоской волной. Тогда, подставляя решение такого вида в (1), можно пренебречь второй производной $\frac{{{{\partial }^{2}}v}}{{\partial {{z}^{2}}}}$, откуда приходим к уравнению Шредингера (Это же уравнение можно получить, по крайней мере формально, из (11) в результате представления в (11) оператора и последующего выделения из решения множителя $\exp \left( {{{ikz} \mathord{\left/ {\vphantom {{ikz} h}} \right. \kern-0em} h}} \right).$)

Асимптотика решения $v\left( {z,{\mathbf{x}}} \right)$ задачи (15) с начальным условием (9) определяется каноническим оператором $K_{{\tilde {\Lambda }_{z}^{B}}}^{h}A$, где $\tilde {\Lambda }_{z}^{B}$ получен сдвигом ${{{{\Lambda }}}^{B}}$ вдоль гамильтонова векторного поля с гамильтонианом $\tilde {L} = \frac{1}{{2k}}{{\left| {\mathbf{p}} \right|}^{2}}$ и принимает вид

Таким образом, в параксиальном приближении

что близко к решению (14) при больших $k$.

4. “СИЛЬНАЯ” ЛОКАЛИЗАЦИЯ БЕССЕЛЕВЫХ ПУЧКОВ И АСИМПТОТИКА ПУЧКОВ ЛАГЕРРА–ГАУССА В РАДИАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ СЛУЧАЕ

Как отмечено выше, проведенная локализация бесселевых пучков имеет такое свойство, что чем сильнее их локализация, тем на меньшем отрезке оси $z$ их амплитуда не обращается в ноль. Вместе с тем хорошо известно, что гауссовы пучки распространяются на далекие расстояния, не сильно расплываясь. При этом, если в нормальной плоскости к оси распространения $z$ имеются осцилляции, то возникают известные пучки Лагерра–Гаусса (подробнее, а также про другие классы пучков см. [13, 14]). Мы хотим показать, что такие пучки также представляют собой локализацию бесселевых пучков, но уже другого типа. При этом, в отличие от локализованных пучков Бесселя, которые при движении вдоль оси $z$ сначала собираются, фокусируются, а затем расплываются (рис. 2а, ось $z$ направлена вверх), пучки Лагерра–Гаусса практически не расплываются, а распространяются в канале (рис. 2б).

Отметим, что медленное затухание бесселевых пучков в направлении, нормальном к оси $z$, имеет геометрическую природу: лагранжево многообразие ${{{{\Lambda }}}^{B}}$ не компактно, поэтому (асимптотический) носитель канонического оператора ${{K}_{{{{{{\Lambda }}}^{B}}}}}$ – это двумерная плоскость. Напомним, что лагранжево многообразие ${{{{\Lambda }}}^{B}}$ представляет собой совместную поверхность уровня гамильтонианов $H = p_{1}^{2} + p_{2}^{2}$ и $M = {{p}_{1}}{{x}_{2}} - {{p}_{2}}{{x}_{1}}$ и некомпактность связана с гамильтонианом $H$. Заменим первый гамильтониан на гамильтониан гармонического осциллятора $\mathcal{H} = p_{1}^{2} + p_{2}^{2} + \sigma _{0}^{2}\left( {x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} \right)$, тогда задаваемая константами $\mathcal{E} > 0,~\gamma \geqslant 0$ поверхность уровня

– это ограниченное множество, представляющее при $\gamma \ne 0$ двумерный тор Лиувилля (двумерное лагранжево многообразие) ${{{{\Lambda }}}^{L}}$ (рис. 3). Вместо энергии $\mathcal{E}$ удобно использовать другой параметр , тогда проекция ${{{{\Lambda }}}^{L}}$ на двумерную плоскость $\mathbb{R}_{x}^{2}$ двулистно накрывает кольцо c границами-окружностями $\rho \equiv \left| {\mathbf{x}} \right| = \gamma $ и $\left| {\mathbf{x}} \right| = {{R}_{0}}$. В радиально симметричном случае $\gamma = 0$, т.е. внутренняя граница стягивается в точку, ${{{{\Lambda }}}^{L}}$ превращается в вырожденный тор, проекция ${{{{\Lambda }}}^{L}}$ на физическую плоскость $\mathbb{R}_{{\mathbf{x}}}^{2}$ становится кругом и, в отличие от проекции ${{{{\Lambda }}}^{B}}$, является ограниченным множеством. При этом, забегая вперед, скажем, что его граница – окружность $\left| {\mathbf{x}} \right| = {{R}_{0}}$ – это простая каустика, а точка ${\mathbf{x}} = 0$, как и в случае многообразия ${{{{\Lambda }}}^{B}}$, это сильная фокальная точка, представляющая собой вырожденную простую каустику. Именно этот случай с $\gamma = 0$ будем рассматривать далее.

Схема дальнейших рассуждений аналогична, используемой в разд. 3. Сначала строим канонический оператор Маслова, отвечающий многообразию ${{{{\Lambda }}}^{L}}$, причем ограничиваемся радиально симметричным случаем и представляем его в виде функций Бесселя и Эйри. При квантовании символов гамильтонианов $\mathcal{H}$ и $M$ получаем двумерный оператор Шредингера $\hat {\mathcal{H}}$ для радиально симметричного гармонического осциллятора и двумерный оператор $\hat {M}$ момента. Поэтому построенные функции представляют собой асимптотики при больших номерах радиально симметричных собственных функций оператора $\hat {\mathcal{H}}$, которые, как известно, представляются в виде функций Гаусса–Лагерра.

Затем строим асимптотические решения задачи Коши с начальными условиями в виде канонического оператора, заданного на многообразии ${{{{\Lambda }}}^{L}}$. Для упрощения вычислений вместо уравнения (11) мы используем его параксиальное приближение. Именно, будем искать решение трехмерного уравнения Гельмгольца в виде

пренебрегая второй производной $\frac{{{{\partial }^{2}}v}}{{\partial {{z}^{2}}}}$. Получим задачу Коши для уравнения Шредингера

Тогда асимптотика решения при произвольном $z$ определяется каноническим оператором ${{K}_{{{{\Lambda }}_{z}^{L}}}}\left[ 1 \right]$, где $\Lambda _{z}^{L} = g_{\mathcal{L}}^{z}({{\Lambda }^{L}})$ получено сдвигом вдоль гамильтонова векторного поля с гамильтонианом $\mathcal{L} = - \frac{1}{{2k}}{{\left| {\mathbf{p}} \right|}^{2}}$ (представление для полученного канонического оператора в виде специальных функций будет приведено ниже). Поскольку носитель полученного асимптотического решения в плоскостях, нормальных к оси $z$, – ограниченное множество, то никаких срезающих функций в этой конструкции использовать не нужно.

Замечание 6. Отметим, что здесь, как и в предыдущем разделе, вместо параксиального приближения можно использовать представление (11) для уравнения Гельмгольца и сдвигать начальное многообразие ${{{{\Lambda }}}^{L}}$ вдоль траекторий соответствующих гамильтоновых систем. При этом полученное многообразие будет иметь особенности того же типа, что и ${{\Lambda }}_{{\text{z}}}^{L}$, однако вычисления оказываются более сложными, что, видимо, приводит к более громоздким формулам. Мы планируем подробно изучить этот вопрос в дальнейших работах.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе представлен геометрический подход к построению асимптотик гауссовых пучков, основанный на ларанжевых многообразиях и теории канонического оператора Маслова. Тип особенностей на соответствующем многообразии задает специальную функцию, определяющую асимптотику в окрестности (достаточно широкой) этой особенности. При этом аргументы этих функций могут быть легко определены из соображения сравнения анзаца специального вида с ВКБ-асимптотикой в регулярной области.

Мы проиллюстрировали этот подход на примере пучков Бесселя и Лагерра–Гаусса. При этом асимптотики обоих пучков в центре пучка определяются функциями Бесселя. Принципиальное отличие этих пучков связано с локализацией. Вопрос локализации связан с проекцией лагранжева многообразия на физическую плоскость. Если проекция является ограниченной областью, то пучок локализован, в противном случае – нет. Такая ситуация имеет место для пучка Бесселя. Однако использование срезающей функции позволяет его локализовать. При этом при движении вдоль оси $z$ носитель срезающей функции также движется, поэтому для локализованного пучка Бесселя имеет место фокусировка (см. рис. 2a). Пучок фокусируется при $z = 0$, а далее, при движении вдоль оси $z$, его носитель на плоскости $\left( {{{x}_{1}},{{x}_{2}}} \right)$ начинается расползаться.

В случае пучка Лагерра–Гаусса такой проблемы не возникает, поскольку при любом $z$ его носитель на плоскости $\left( {{{x}_{1}},{{x}_{2}}} \right)$ является кругом с центром в нуле (см. рис. 2б). При этом асимптотика в окрестности границы носителя определяется функцией Эйри, и пучок экспоненциально затухает вне этого круга.

Отметим также, что полученные формулы для асимптотик в виде специальных функций носят глобальный характер и легко визуализируются на компьютере.

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.