Известия РАН. Теория и системы управления, 2021, № 5, стр. 128-136

Введение. Метод дерева отказов (fault tree analysis – FTA), предложенный в 1962 г. и подробно изложенный в [1], до сих пор является одним из основных методов анализа надежности, безопасности и риска не только в технических, но и в социально-экономических, военных и других системах [2, 3].

Вероятностные модели FTA предусматривают бинарную концепцию отказов системы и ее элементов: 1 – нет отказа, 0 – есть отказ. Поэтому событие “отказ” можно трактовать как бифуркацию, т.е. перескок из одного устойчивого состояния (нет отказа) в другое устойчивое состояние (есть отказ). Подход к моделированию и оптимизации надежности на основе вилок бифуркаций из теории хаоса рассмотрен в [4, 5].

Специальным математическим аппаратом моделирования бифуркаций служит теория катастроф [6–8], которая является развитием теории нелинейных колебаний [9]. Несмотря на широкое распространение теории катастроф в различных областях, работы по ее применению в моделях надежности отсутствуют.

В статье предлагается метод анализа дерева катастроф (catastrophe tree analysis – CTA), который есть аналог классического метода FTA, не требующий знания вероятностей событий. Вместо понятия “вероятность отказа” используется понятие “возможность бифуркации”, которая оценивается числом в интервале [0, 1] с помощью теории катастроф и соответствует функции принадлежности нечеткого множества [10–12]. Расчет возможности бифуркации (или катастрофы) системы выполняется с помощью специально введенных правил агрегации возможностей бифуркаций для различных логических операций дерева отказов.

Статья организована следующим образом. В разд. 1 приводятся понятия характеристической функции и функции принадлежности, необходимые для понимания различий между вероятностью и возможностью отказа, которые вычисляются на основе структурной функции надежности. В разд. 2 рассматривается пример описания бифуркации с помощью функции принадлежности нечеткого множества. Раздел 3 содержит основные соотношения теории катастроф, которые используются в методе анализа дерева катастроф. В разд. 4 предлагаются правила агрегации уровней бифуркаций для логических операций дерева катастроф. Раздел 5 иллюстрирует метод дерева катастроф на примере дорожной аварии.

1. Структурная функция: вероятность и возможность отказа. Формальной основой дерева отказов является булева функция, которую в теории надежности принято называть структурной функцией [1]. Она связывает бинарные характеристические функции системы и ее элементов:

где ${{\chi }_{i}} = 1\left( 0 \right)$, если i-й элемент работает (отказал), ${{\chi }_{S}} = 1\left( 0 \right)$, если система работает (отказала).

Зная вероятности этих состояний

из структурной функции (1.1) получается вероятностная функция надежности системы: где Prob – символ вероятности, P_i и P_S – вероятности безотказной работы i-го элемента $(i = 1,2, \ldots ,n)$ и системы соответственно.

При этом используются следующие правила перехода к вероятности:

Если в (1.1) характеристические функции χ_i и χ_S  заменить функциями принадлежности нечетких множеств, то получаем нечетко-логическую функцию

которая позволяет оценивать возможность безотказной работы системы ${{\pi }_{S}} \in \left[ {0,1} \right]$ на основе возможностей ${{\pi }_{i}} \in \left[ {0,1} \right]$ безотказной работы ее элементов. При этом используются следующие правила вычислений:

Взаимосвязь возможности и вероятности в моделях надежности показана на рис. 1, где z – параметр, от которого зависит надежность элемента, $z \in \left[ {\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{z} ,\bar {z}} \right]$, $\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{z} \left( {\bar {z}} \right)$ – нижнее (верхнее) значение интервала допустимых значений; А – нечеткое множество “возможность надежной работы элемента в зависимости от параметра z''; ${{\pi }_{A}}\left( z \right)$ – функция принадлежности параметра z к нечеткому множеству A. Согласно [10], функция ${{\pi }_{A}}\left( z \right)$ трактуется как распределение возможности надежной работы элемента; α – число в интервале [0, 1], которое задает минимально необходимый уровень возможности надежной работы; ${{A}_{\alpha }}$ – множество α-уровня, определяющее значения параметра z, для которых возможность надежной работы не ниже α, т.е.

${{\chi }_{A}}\left( z \right)$ – характеристическая функция, такая, что q – вероятность отказа элемента, которая оценивается статически: где N – общее число испытаний, ${{N}_{\alpha }}~$ – число испытаний, в которых $z \in {{A}_{\alpha }}$.

2. Функция принадлежности к бифуркации. Событие “отказ” нами трактуется как бифуркация, т.е. потеря устойчивости. В теории колебаний [9] принято использовать определение устойчивости по Ляпунову, которое требует внутреннего описания системы с помощью дифференциальных уравнений.

Покажем, что при отсутствии внутреннего описания устойчивость можно определить с помощью нечетких множеств, которые лежат в основе теории возможностей [10].

На рис. 2 показан шарик диаметром D, который сохраняет устойчивость на горлышке бутылки диаметром d. Предполагается, что величина диаметра D может изменяться.

Бифуркация, т.е. падение шарика с бутылки, описывается функцией принадлежности (рис. 3), где имеются следующие области:

(a) как только $D < d$, то шарик проваливается в бутылку и степень принадлежности к бифуркации π = 1.

(б) если $D \in \left[ {d,{{D}_{1}}} \right]$, то шарик сохраняет устойчивость, π = 0.

(в) при $D \in \left[ {{{D}_{1}},{{D}_{2}}} \right]$ шарик находится на нечетком переходе “устойчиво – не устойчиво”, что соответствует возрастанию π от 0 к 1.

(г) при $D > {{D}_{2}}$ шарик падает с бутылки и π = 1.

3. Необходимые соотношения теории катастроф. Теория катастроф – это математическая дисциплина для моделирования нелинейных объектов “вход–выход”, в которых незначительные изменения входов (причин) приводят к большим изменениям выходов (следствий) [6–8]. Эта теория позволяет напрямую изучать прерывистое поведение системы без знания ее внутренней структуры. Для этого используется понятие потенциальной функции, которая в механике называется энергетической функцией или функцией Ляпунова в теории устойчивости (второй метод Ляпунова).

В каждый момент времени система стремится минимизировать свой потенциал, который меняется в зависимости от внешних (управляющих) параметров (минимизация локальная). При изменении этих параметров некоторые локальные минимумы могут “исчезать”, что приводит к скачкам, которые соответствуют бифуркациям или катастрофам. Наглядной моделью этой ситуации служит шарик на неровной поверхности, который под воздействием силы тяжести стремится в самое нижнее положение среди других, находящихся поблизости.

В табл. 1 приведены потенциальные функции, которые будут использованы при построении дерева катастроф, соответствующего дереву отказов.

В каждой потенциальной функции V(x) имеется переменная состояния системы (x) и управляемые (входные) переменные (a, b, c, d), которые изменяются в интервалах их допустимых значений. При стремлении потенциальной функции к минимуму могут возникать бифуркации, множество которых определяется из системы уравнений: $V{\kern 1pt} '(x) = 0$, $V{\kern 1pt} ''(x) = 0$. Множеству бифуркаций соответствуют нормализованные формулы, позволяющие вычислить уровни бифуркации (${{x}_{a}}$, $~{{x}_{b}}$, …, $~{{x}_{d}}$) по входным переменным (a, b, …, d). Вывод нормализованных формул описан в работе [13]. Они получены исходя из требования, что входные переменные и уровни бифуркаций изменяются в интервале [0, 1]. Это допускает интерпретацию в терминах теории возможности [10]:

a, b, …, d – возможности событий, соответствующих входным переменным;

${{x}_{a}}$, $~{{x}_{b}}$, …, $~{{x}_{d}}$ – возможности бифуркаций по входным переменным.

Следует отметить, что операциям извлечения корней в нормализованных формулах соответствуют лингвистические модификаторы (достаточно, более-менее и др.), которые используются для растяжения функций принадлежности в теории нечетких множеств. Этим достигается увеличение функции при небольших значениях аргумента.

Например, пусть ${{\pi }_{p}}\left( y \right) = y$ – функция принадлежности переменной $y \in \left[ {0,1} \right]$ к нечеткому множеству “перфектность $\left( p \right)$”. Тогда модифицированные нечеткие множества “достаточно перфектно $\left( {fp} \right)$” и “более-менее перфектно $\left( {mlp} \right)$” описываются функциями принадлежности:

Поскольку входные переменные $a,~b,~c,~d$ в потенциальных функциях (табл. 1) изменяются в интервале [0, 1] и имеют смысл степеней принадлежности, то операции извлечения корней (правый столбец табл. 1) можно трактовать как растяжение степеней принадлежности с помощью лингвистических модификаторов.

4. Дерево катастроф. Будем предполагать, что известно дерево отказов, в котором используются только два логических узла: AND (∧) и OR (∨). Кроме того, ограничимся случаем, когда в каждый из логических узлов входит не более четырех аргументов (стрелок). Методика построения дерева катастроф будет показана на примере в разд. 5.

При переходе от дерева отказов к дереву катастроф будем использовать следующие модели, представленные в табл. 2:

Сборка (C) – для логических узлов с двумя входными стрелками;

Ласточкин хвост (S) – для логических узлов с тремя входными стрелками;

Бабочка (B) – для логических узлов с четырьмя входными стрелками.

Каждый из узлов дерева катастроф представляет собой преобразователь “входы–выход” по правилам агрегации “вектор–скаляр”, которые приведены в табл. 2. В теории нечетких множеств используются различные методы агрегации функций принадлежности, над которыми выполняются операции AND и OR. Применение каждого из этих методов может давать различные результаты. В частности, в [14] рассмотрен пример необходимости замены операции min операцией умножения. Окончательное решение о результатах анализа дерева катастроф для конкретного объекта целесообразно принимать путем сравнения нескольких методов агрегации “вектор–скаляр”. Поэтому в табл. 2, наряду с традиционными для теории нечетких множеств операциями min и max, приводятся среднее геометрическое и среднее арифметическое. Однако это не исключает возможности применения других известных методов агрегации.

Предполагается, что при нумерации входных стрелок дерева катастроф, соответствующих терминальным вершинам дерева отказов, соблюдается условие $a \leqslant b \leqslant c \leqslant d$. Это необходимо для получения min и max${\text{\;}}$ при выполнении операций AND и OR.

5. Пример применения. На рис. 4 представлено дерево отказов, для аварии на T-образном перекрестке, где обозначены: ${{\pi }_{1}},{{\pi }_{2}}, \ldots ,{{\pi }_{6}},{{\pi }_{7}}$ – возможности первичных событий, которые соответствуют терминальным вершинам дерева; ${{\pi }_{{1 - 3}}},{{\pi }_{{4 - 5}}},{{\pi }_{{1 - 6}}}$ – возможности промежуточных (не терминальных) событий; ${{\pi }_{{1 - 7}}}$ – возможность аварии.

Пользуясь табл. 2, от дерева отказов (рис. 4) переходим к дереву катастроф (рис. 5), которому соответствуют расчетные формулы:

Исходные данные для расчета по этим формулам задаются экспертно либо с помощью функций принадлежности по известным количественным значениям параметра, влияющего на возможность события. При выборе функций принадлежности можно воспользоваться методом нечеткой перфектности [14].

В табл. 3 приведены результаты расчета возможности аварии ${{\pi }_{{1 - 7}}}$ для семи сценариев, каждый из которых представляет собой вектор возможностей $\left( {{{\pi }_{1}},{{\pi }_{2}}, \ldots ,{{\pi }_{7}}} \right)$ терминальных событий дерева отказов (рис. 4).

По табл. 3 необходимо сделать пояснение: столбец (1) соответствует агрегации с использованием мin и max, а столбец (2) – применению среднего геометрического и среднего арифметического. Из табл. 3 видно, что если машина двигается по основной дороге $\left( {{{\pi }_{7}} \ne 0} \right)$, то отсутствие аварии $\left( {{{\pi }_{{1 - 7}}} = 0} \right)$ возможно только при ${{\pi }_{1}} = {{\pi }_{2}} = \ldots = {{\pi }_{6}} \approx 0$, т.е. когда нет нарушений, связанных с водителем, видимостью, дорогой, тормозами и скоростью. Наличие хотя бы одного из таких нарушений приводит к резкому возрастанию возможности аварии.

Заключение. Статья является первой работой, в которой теория катастроф применяется для моделирования возможности нежелательных событий на основе известного в задачах надежности и безопасности метода деревьев отказов.

Понятие “отказ” рассматривается как бифуркация, т.е. перескок между устойчивыми состояниями, и оценивается нормализованными формулами из теории катастроф. Понятие “возможность отказа” оценивается числом в интервале [0, 1] и моделируется по правилам нечеткой логики.

Результатом работы является метод анализа дерева катастроф, которое соответствует дереву отказов. Суть предложенного метода состоит в сформулированных правилах агрегации возможностей бифуркаций для различных логических узлов дерева.

Иллюстрация метода анализа катастроф выполнена на примере дерева отказов, моделирующего дорожную аварию на T-образном перекрестке.

Метод дерева катастроф не отменяет метод дерева отказов, а дополняет его следующими новыми качествами:

1. Отсутствует необходимость проведения трудоемких экспериментов, связанных с получением вероятностей первичных событий, которые влияют на вероятность отказа системы. Вместо вероятностей используются возможности первичных событий, уровни которых оцениваются экспертно или на основе измеряемых параметров и соответствующих функций принадлежности.

2. Наблюдение за динамикой изменения входных параметров позволяет переходить к on-line мониторингу уровня возможности отказа системы.

3. Применение моделей теории катастроф позволяет наблюдать нелинейные эффекты, связанные с резким увеличением возможности отказа при незначительных изменениях входных параметров.