Известия РАН. Теория и системы управления, 2022, № 1, стр. 67-75

Введение. Проблема функционального диагностирования (ФД) к настоящему времени уже достаточно хорошо изучена, задачи обнаружения, поиска и идентификации дефектов решены для широкого класса динамических систем [1–4]. Одним из препятствий на пути реализации методов ФД может быть недостаточное число датчиков, которыми оснащена диагностируемая система. Введение дополнительных датчиков приводит к дополнительным затратам и не всегда реализуемо на практике. Более перспективным является использование так называемых виртуальных датчиков [3, 4], которые строятся на основе наблюдателей Люенбергера и в работах [3, 4] имеют размерность, совпадающую с размерностью исходной системы. В статье ставится и решается задача построения виртуальных датчиков минимальной размерности, оценивающих заданные компоненты вектора состояния нелинейной системы.

Для решения этой задачи предлагается использовать так называемый логико-динамический (ЛД) подход, который был успешно применен как для решения задачи ФД [5], так и анализа наблюдаемости и управляемости нелинейных систем [6]. ЛД-подход характерен тем, что он не гарантирует достижения оптимального решения задачи в смысле размерности получаемых в результате решения систем, но оперирует только линейными методами даже для систем с недифференцируемыми нелинейностями.

1. Основные модели. Рассмотрим стационарную систему, описанную нелинейной моделью

где $x(t) \in {{R}^{n}}$, $u(t) \in {{R}^{m}}$ и $y(t) \in {{R}^{l}}$ – векторы состояния, управления и выхода; F, G и $H$ – матрицы соответствующих размеров; C – матрица размера n × p, L – известная матрица размера n × q, $\rho (t) \in {{R}^{q}}$ – неизвестная функция времени, описывающая возмущения на систему. Нелинейный член $\Psi (x(t),\;u(t)$ имеет вид ${{A}_{1}}, \ldots ,{{A}_{p}}$ – матрицы-строки; ${{\varphi }_{1}}, \ldots ,{{\varphi }_{p}}$ – нелинейные (возможно, недифференцируемые) функции.

Требуется построить виртуальный датчик, оценивающий переменную ${{y}_{v}}(t) = {{H}_{v}}x(t)$ с известной матрицей ${{H}_{v}}$. Способ ее нахождения определяется рассматриваемой задачей диагностирования. В частности, наиболее благоприятной для реализации процедуры ФД является ситуация, когда все компоненты вектора состояния системы могут быть измерены. В этом случае матрица ${{H}_{v}}$ должна удовлетворять условию

В дальнейшем для простоты будем предполагать, что ${{H}_{v}}$ – матрица-строка. Если эта матрица содержит более одной строки, предлагаемое решение распространяется и на этот случай. Другие варианты задания матрицы ${{H}_{v}}$ приведены в [7], где было получено решение задачи в линейном случае.

Решение рассматриваемой задачи состоит в построении нелинейного наблюдателя, оценивающего переменную ${{y}_{v}}(t)$ и, таким образом, выполняющего функцию виртуального датчика. Уравнение искомого наблюдателя имеет вид

где ${{x}_{v}}(t) \in {{R}^{k}}$ – вектор состояния наблюдателя, k – размерность наблюдателя, ${{F}_{*}}$, ${{J}_{*}}$, ${{J}_{v}}$, ${{G}_{*}}$, ${{C}_{*}}$, ${{R}_{*}}$, ${{H}_{*}}$, ${{H}_{{*v}}}$, Q – матрицы, подлежащие определению, ${{C}_{*}}\Psi ({{x}_{v}},{{y}_{0}},u)$ – нелинейная составляющая,

Отметим, что переменная ${{y}_{*}}(t)$ в (1.2) необходима для формирования невязки r(t), используемой в цепи обратной связи для обеспечения устойчивости наблюдателя.

В соответствии с ЛД-подходом решение задачи осуществляется в три этапа. На первом этапе строится линейная модель, не чувствительная к возмущениям:

Далее проверяется возможность введения в нее нелинейной составляющей ${{C}_{*}}\Psi ({{x}_{v}},{{y}_{0}},u)$ и возможность оценки переменной ${{y}_{v}}(t)$ на основе условия

На последнем этапе ищется матрица ${{J}_{{v}}}$, обеспечивающая устойчивость наблюдателя.

2. Построение модели. Для получения решения на первом этапе матрицы ${{F}_{*}}$ и ${{H}_{*}}$ ищутся в каноническом виде:

Предполагается, что после окончания переходного процесса векторы x(t) и ${{x}_{{v}}}(t)$ связаны матрицей Φ:

Известно, что матрицы, описывающие модель, удовлетворяют следующим уравнениям [5, 6]:

Последнее соотношение эквивалентно ранговому равенству

где матрица $A{\kern 1pt} '$ строится из тех строк матрицы A, номера ${{j}_{1}},{{j}_{2}},...,{{j}_{d}}$ которых совпадают с номерами ненулевых столбцов произведения $\Phi C$.

Решение задачи на первом этапе осуществляется на основе уравнения [5, 6]

где матрица V^(k) обеспечивает построение модели (1.3), L^(k) – нечувствительность ее к возмущениям. Уравнение (2.5) имеет нетривиальное решение, если

Для построения модели из (2.6) определяется минимальное k и из (2.5) – строка $(\begin{array}{*{20}{c}} {{{R}_{*}}}&{ - {{J}_{{*1}}}}& \ldots &{ - {{J}_{{*k}}}} \end{array})$, затем на основе соотношений

полученных из (2.1) и (2.2), строится матрица $\Phi $, на чем заканчивается первый этап.

Для реализации второго этапа представим уравнение (1.4) в виде

откуда следует что эквивалентно равенству

Выполнение условия (2.8) означает, что матрица-строка ${{H}_{{v}}}$ может быть выражена через матрицу ${{({{\Phi }^{{\text{T}}}}{\text{ }}{{H}^{{\text{T}}}})}^{{\text{T}}}}$ и построенная линейная модель будет оценивать заданную компоненту ${{y}_{v}} = {{H}_{v}}x$; матрицы ${{H}_{{*{v}}}}$ и Q определяются из алгебраического уравнения (2.7).

Для проверки возможности преобразования построенной линейной модели в нелинейную рассчитывается матрица ${{C}_{*}} = \Phi C$, определяются номера ${{j}_{1}},{{j}_{2}},...,{{j}_{d}}$ ненулевых ее столбцов и по описанному выше правилу строится матрица $A{\kern 1pt} '$. Далее проверяется условие (2.4) и при его выполнении строится нелинейная составляющая:

где матрицы-строки ${{A}_{{*{{j}_{1}}}}}$, ${{A}_{{*{{j}_{2}}}}}$, …, ${{A}_{{*{{j}_{d}}}}}$ определяются из линейных алгебраических уравнений

Если хотя бы одно из условий (2.4) и (2.8) не верно, нужно найти другое решение уравнения (2.5) при прежней или увеличенной размерности k.

Полагая, что условия (2.4) и (2.8) выполняются, примем ${{G}_{*}} = \Phi G$, на чем заканчивается процедура построения нелинейной модели (второй этап).

Соотношение (2.7) предлагается использовать для получения критерия возможности построения виртуального датчика, не чувствительного к возмущениям. Для этого введем матрицу максимального ранга ${{L}_{*}}$, такую, что ${{L}_{*}}L = 0$. Тогда $\Phi = K{{L}_{*}}$ для некоторой матрицы K. Заменим в (2.7) $\Phi $ на $K{{L}_{*}}$ и преобразуем полученное выражение:

Из последнего уравнения ясно, что оно имеет решение в том случае, когда

Приведенное ранговое равенство и является искомым критерием: если оно выполняется, виртуальный датчик может быть построен, в противном случае решение не существует. Отметим, что условие (2.9) дополняет условия существования решения, не чувствительного к возмущениям, найденные в [5].

3. Обеспечение устойчивости. На третьем этапе для определения матрицы ${{J}_{v}}$, обеспечивающей устойчивость наблюдателя, введем ошибку по состоянию $e(t) = \Phi x(t) - {{x}_{{v}}}(t)$ и с учетом (1.1), (1.2) и (2.2) запишем и преобразуем уравнение для $\dot {e}(t)$:

где

Рассмотрим два подхода к выбору матрицы ${{J}_{v}}$. В первом из них предполагается, что функция $\Psi (x,u)$ удовлетворяет условию Липшица по аргументу $x$, т.е.

N > 0 – некоторая константа. Тогда функция $\Delta \Psi (t)$ также удовлетворяет этому условию с некоторой константой ${{N}_{*}} > 0$, т.е.

Известно, что если пара $({{F}_{*}},{{H}_{*}})$ наблюдаема, то существует такая матрица ${{J}_{{v}}}$, что ${{F}_{{**}}} = ({{F}_{*}} - {{J}_{{v}}}{{H}_{*}})$ устойчива. Из канонической формы (2.1) с очевидностью следует наблюдаемость пары $({{F}_{*}},{{H}_{*}})$ и, следовательно, существование матрицы ${{J}_{{v}}}$, обеспечивающей устойчивость матрицы ${{F}_{{**}}}$. Из устойчивости этой матрицы также вытекает, что существуют симметрические положительно-определенные матрицы P и W, такие, что

Рассмотрим функцию Ляпунова $V(t) = {{e}^{{\text{T}}}}(t)Pe(t)$ и найдем ее производную с учетом (3.1) и (3.2):

где ${{\lambda }_{{\min }}}(W)$ и ${{\lambda }_{{\max }}}(P)$ – минимальное и максимальное собственные числа матриц W и P соответственно. Из последнего выражения ясно, что если то $\dot {V}(t) < 0$, т.е. наблюдатель устойчив. Отметим, что такой подход был рассмотрен в [8].

Будем искать ${{J}_{v}}$ в виде ${{J}_{v}} = {{(\begin{array}{*{20}{c}} {{{a}_{1}}}&{{{a}_{2}}}& \ldots &{{{a}_{k}}} \end{array})}^{{\text{T}}}}$. Тогда

Коэффициенты ${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{k}}$ связаны с собственными числами ${{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}},...,{{\lambda }_{k}}$ матрицы ${{F}_{*}} - {{J}_{v}}{{H}_{*}}$ известными соотношениями:

Исходя из заданных требований к качеству переходного процесса, можно выбрать собственные числа ${{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}},...,{{\lambda }_{k}}$ и определить коэффициенты ${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{k}}$.

Отметим, что из-за наличия слагаемого ${{J}_{*}}{{y}_{0}}(t)$ в модели (1.2) может появиться обратная связь по переменной ${{y}_{v}}(t) = {{H}_{{*{v}}}}{{x}_{{v}}}(t) + Qy(t),$ что приведет к матрице ${{F}_{*}}$, отличной от канонического вида (2.1). В этом случае выбор коэффициентов ${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{k}}$ должен быть осуществлен так, чтобы собственные числа матрицы ${{F}_{*}} - {{J}_{v}}{{H}_{*}}$ удовлетворяли требованию устойчивости. Сделать это можно, если выразить в общем виде собственные числа матрицы ${{F}_{*}} - {{J}_{{v}}}{{H}_{*}}$ через коэффициенты ${{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{k}}$, выбрав числа ${{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}},...,{{\lambda }_{k}}$ и найдя из полученных уравнений искомые коэффициенты.

Рассмотренный подход накладывает довольно жесткие ограничения на класс функций $\Psi (x,u)$, которые диктуются условием (3.4) на константу ${{N}_{*}}$ – как правило, она должна быть меньше единицы. Только при k = 1 из (3.3) следует ${{\lambda }_{{\min }}}(W) = 2P{{J}_{v}}$ и ${{N}_{*}}{\text{ }} < {{J}_{v}}$, т.е. коэффициент ${{J}_{v}}$ всегда может быть выбран так, чтобы соблюсти условие ${{N}_{*}}{\text{ }} < {{J}_{v}}$ для произвольной функции, удовлетворяющей условию Липшица.

Отметим, что условие Липшица (3.1) носит глобальный характер и выполняется далеко не всегда, однако любая дифференцируемая функция локально удовлетворяет этому условию, поскольку верно приближенное равенство

Это положено в основу второго подхода, где предполагается, что функция $\Psi (x,u)$ дифференцируема, ошибка e(t) мала и функция $\Delta \Psi (t)$ может быть разложена в ряд Тейлора относительно текущего значения.

Более детально рассмотрим это вначале для случая, когда система содержит одну нелинейность и $\Psi (x(t),u(t)) = \varphi (Ax(t),u(t))$. Поскольку $A = {{A}_{*}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} \Phi \\ {{{H}_{0}}} \end{array}} \right)$ и $e = \Phi x - {{x}_{v}}$, то

и разность $\Delta \Psi (t)$ можно записать в виде

В результате получаем окончательное уравнение для ошибки e(t):

из которого следует, что элементы матрицы обратной связи ${{J}_{{v}}}$ в этом случае будут зависеть от компонент вектора состояния ${{x}_{{v}}}$, управления u и переменной ${{y}_{0}}$. Для определения этих элементов необходимо выполнить следующие операции:

найти характеристический полином матрицы ${{F}_{e}}({{J}_{{v}}},{{x}_{{v}}},{{y}_{0}},u)$ в виде

для обеспечения требуемой динамики наблюдателя задать значения собственных чисел ${{\lambda }_{1}}, \ldots ,{{\lambda }_{k}}$;

составить систему нелинейных уравнений:

найти из этой системы элементы матрицы ${{J}_{{v}}}$.

При наличии в системе нескольких нелинейностей получаем

На практике рассмотренный метод может быть использован для наблюдателя размерности не более 3–4, поскольку приводит к громоздким выражениям при вычислении определителя $\det ({{F}_{e}}({{J}_{{v}}},{{x}_{{v}}},{{y}_{0}},u) - \lambda E)$. Его преимущество по сравнению с методами, изложенными в [8], состоит в том, что он не приводит к производным в управляющих и выходных сигналах.

4. Пример. Рассмотрим систему управления

Уравнения (4.1) описывают так называемую трехтанковую систему (см. рисунок), состоящую из трех резервуаров, соединенных между собой трубами. Жидкость поступает в первый и второй танки и выливается из третьего танка. Уровни жидкости в танках обозначены ${{x}_{1}}(t)$, ${{x}_{2}}(t)$ и ${{x}_{3}}(t)$; ${{\vartheta }_{1}}$, ${{\vartheta }_{2}}$, ${{\vartheta }_{3}}$, ${{b}_{1}}$, ${{b}_{2}}$ и ${{b}_{3}}$ – коэффициенты, значения которых определяются геометрическими размерами системы.

Поскольку неизмеряемой является компонента ${{x}_{1}}(t)$, примем ${{y}_{v}}(t) = {{x}_{1}}(t)$, ${{H}_{{v}}} = (1{\text{ }}0{\text{ 0}})$ и построим соответствующий виртуальный наблюдатель. Для простоты зададим ${{\vartheta }_{1}} = {{\vartheta }_{2}} = 1$, ${{\vartheta }_{3}} = 0$, ${{b}_{1}} = {{b}_{2}} = {{b}_{3}} = 1$. Поскольку уравнения (4.1) содержат только нелинейные члены, для них F = 0 и решение задачи описанным методом невозможно. Для устранения этого недостатка, согласно ЛД-подходу, добавим в первое уравнение формальный член $ - ({{x}_{1}} - {{x}_{2}}) + ({{x}_{1}} - {{x}_{2}})$, первый элемент которого отнесем к линейной части, второй – к нелинейной. Аналогично во второе уравнение добавим член ${{x}_{1}} - {{x}_{2}} - ({{x}_{2}} - {{x}_{3}}) - ({{x}_{1}} - {{x}_{2}}$ – $({{x}_{2}} - {{x}_{3}}))$, в третье – член $({{x}_{2}} - {{x}_{3}} - {{x}_{3}})$ – (x₂ – x₃ – x₃). В результате получим следующее описание системы:

Нетрудно проверить, что условие (2.6) выполняется при k = 1, однако при этом не верно условие (2.8), поэтому принимаем k = 2. Составная матрица $({{V}^{{(2)}}}{\text{ }}{{L}^{{(2)}}})$ имеет вид

Можно проверить, что с матрицей $({{V}^{{(2)}}}{\text{ }}{{L}^{{(2)}}})$ уравнение (2.5) имеет два решения:

Рассмотрим первое из них. Так как

то ${{j}_{1}} = 2$, ${{j}_{2}} = 1$ и

Нетрудно видеть, что условие (2.4) выполняется и нелинейная составляющая может быть добавлена в линейную модель. Уравнение (2.3) принимает вид

одно из возможных решений которого представлено строками

В результате получаем модель:

Уравнение (3.5) для ошибки e(t) принимает вид

Запишем характеристический полином матрицы этого уравнения:

Примем ${{\lambda }_{1}} = {{\lambda }_{2}} = - 1$, тогда

откуда

Приведем описание наблюдателя:

Заключение. В работе предложен метод построения виртуальных датчиков в технических системах, описываемых нелинейными моделями. На основе наблюдателей Люенбергера получены соотношения, позволяющие построить датчики минимальной размерности, оценивающие заданные компоненты вектора состояния диагностируемой системы. Синтезированные виртуальные датчики дают возможность в ряде случаев не только уменьшить сложность средств диагностирования и повысить глубину диагностирования, но и рассмотреть задачи, которые без использования таких датчиков не могли быть решены.