Теплоэнергетика, 2021, № 9, стр. 14-20

РАЗРАБОТКА МЕТОДА ЭЛЕКТРОАКУСТИЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ ДЛЯ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ДИССИПАЦИЕЙ

Анализ акустических систем с однофазными текучими средами базируется на теории распространения упругих волн в жидкостях и газах [6]. В основу анализа положены уравнения состояния, неразрывности и сохранения количества движения (импульса) для одномерного потока жидкой среды.

Важным этапом в развитии методов анализа акустических систем теплоносителя в АЭС явилась разработка метода электроакустических аналогий для термодинамических систем с отрицательной диссипацией, в том числе для одномерного пульсирующего потока двухфазной среды как c однозначной, так и с многозначной гидродинамическими характеристиками [4]. Уравнения состояния, неразрывности и сохранения количества движения (импульса) для одномерного пульсирующего потока двухфазной среды в трубе получены в виде системы линейных дифференциальных уравнений

где W – объемный расход теплоносителя в трубе; х_т – расстояние вдоль оси трубы; Δр – давление, дополнительно возникающее при прохождении звуковой волны в среде (в жидкости, паре или пароводяной среде); t – время; m – акустическая масса среды; R_с – активное акустическое сопротивление; С_с – акустическая податливость среды; G_с – волновая проводимость среды.

Выражения для акустической массы, акустической податливости и волновой проводимости выглядят следующим образом:

где l_т – длина трубы; S – площадь поперечного сечения трубы; k – показатель адиабаты; р – среднее статическое давление; ρ – плотность двухфазной среды; a – скорость звука в двухфазной среде.

Уравнения (1) известны в литературе под названием телеграфных уравнений [6], решение которых дает функциональные зависимости звукового давления и объемного расхода сжимаемой среды в трубопроводе от переменных х_т и t.

Распространение электрического тока вдоль кабеля может быть описано следующей системой линейных дифференциальных уравнений:

где i – сила тока; х_к – расстояние вдоль кабеля; С – емкость; u – напряжение; G – проводимость; L – индуктивность; R – сопротивление.

Благодаря единству дифференциальных уравнений акустической (1) и электрической (2) систем исследование распространения сжимаемой однофазной или двухфазной жидкости в акустической системе может быть заменено исследованием распространения электрического тока вдоль кабеля. Из совместного рассмотрения систем (1), (2) следует ряд соответствий между акустическими и электрическими показателями, которые приведены в [4].

Подобные аналогии справедливы в отношении, на первый взгляд, не имеющих ничего общего физических систем: пружинный маятник без трения, резонатор Гельмгольца, груз на пружине, парогенерирующий канал, компенсатор давления на АЭС [5, 6]. В этих системах, представляющих собой колебательные контуры без сопротивления (идеальные контуры), круговая частота определяется по формуле Томсона, полученной в 1863 г. для расчета частоты разряда конденсатора в цепи с индуктивностью [2].

МОДЕЛИРОВАНИЕ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ

Основы понятия автоколебательных систем как особого класса нелинейных диссипативных систем, способных генерировать незатухающие колебания с параметрами, не зависящими от начальных условий и определяемыми только свойствами самой системы, были сформулированы академиком А.А. Андроновым в первой трети XX в. [7]. С тех пор эти системы получили широкое применение во многих отраслях науки и техники. Наиболее подробно теория автоколебаний была сформулирована в радиофизике, в которой автоколебательные системы являются одним из центральных объектов исследования.

В процессе развития радиофизики были созданы и внедрены в радиотехническую практику автогенераторы на основе активных элементов различных типов, обеспечивающих взаимодействие колебательной генераторной системы с источником энергии, что стимулировало развитие теории нелинейных колебаний. Автором одной из первых математических моделей автоколебательной системы с одной степенью свободы (осциллятора) был Ван дер Поль, который также предложил приближенный аналитический метод решения нелинейного дифференциального уравнения, описывающего колебания в автогенераторе. Этот метод дает адекватное описание динамики добротности факторных и слабонелинейных автоколебательных систем [7].

Схема радиотехнического генератора автоколебаний показана на рис. 1. Колебательной системой в схеме служит RLC-контур, напряжение с которого подается на вход активного элемента (усилителя). Первичная обмотка (выход усилителя) индуктивно связана с обмоткой контура, что обеспечивает наличие обратной связи. Нелинейную характеристику усилителя, т.е. зависимость тока на выходе i от напряжения на входе u, можно аппроксимировать кубическим полиномом

где g₀, g₂ – положительные коэффициенты.

Механизм возбуждения автоколебаний в генераторе можно качественно описать следующим образом. Даже при отсутствии напряжения на выходе усилителя напряжение в контуре испытывает случайные флуктуации, которые после усилителя вновь поступают в контур через цепь обратной связи. При этом из шумового спектра флуктуаций выделяется составляющая на собственной частоте высокодобротного контура. Если энергия, вносимая в контур, превосходит энергию потерь, амплитуда колебаний нарастает, что возможно при довольно большом значении коэффициента усиления. Однако, поскольку зависимость i от u (3) нелинейная, с ростом u коэффициент усиления падает, что приводит к установлению стационарных автоколебаний с постоянной амплитудой, в чем и состоит механизм нелинейного ограничения неустойчивости. Таким образом, нелинейность в автоколебательных системах играет принципиальную роль, регулируя поступление энергии из источника. В линейной системе (например, осциллятор с отрицательным трением) амплитуда колебаний может нарастать до бесконечности.

Система уравнений Кирхгофа для RL-контура имеет вид

Из уравнений (4) с учетом выражения для нелинейной характеристики (3) можно получить уравнение

где ω₀ – собственная угловая частота колебательного контура.

Уравнение (5) носит название уравнения Ван дер Поля и является основной моделью при анализе периодических автоколебаний. После линеаризации уравнение (5) приводится к виду

При RC > Mg₀уравнение (6) является обычным уравнением линейного осциллятора с затуханием и устойчивым состоянием равновесия. При Mg₀ > RC уравнение (6) превращается в уравнение осциллятора с отрицательным трением и, следовательно, малые возмущения будут нарастать с течением времени. При этом коэффициент взаимоиндукции должен быть положительным и колебания, поступившие с выхода усилителя, должны быть синфазны с колебаниями в контуре и способствовать их усилению. Такая обратная связь называется положительной. При M < 0 колебания противофазны и взаимно подавляют друг друга, обратная связь стабилизирует положение равновесия и называется отрицательной.

ЦИФРОВАЯ АКУСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РЕАКТОРА

Информация о разработке акустической модели (не имеющей аналогов) ядерного реактора появилась после аварии на АЭС “Фукусима-1” [8]. Для разработки модели ядерного реактора было предложено использовать формулу Томсона на том основании, что при автоколебаниях теплоносителя потеря энергии, обусловленная трением вследствие генерации турбулентности при расширении струи и вязкостью теплоносителя, компенсируется работой насосов и/или подводом к теплоносителю тепловой энергии, вызывающей естественную циркуляцию. Первый контур ВВЭР представляет собой разветвленную гидравлическую трубопроводную систему, содержащую элементы сложной геометрической формы. В некоторых элементах могут возникать флуктуации потока теплоносителя, вызванные его вихрями, и акустические волны, которые наряду с циклическими механическими нагрузками приводят к колебаниям оборудования и сокращают срок его службы [9, 10].

В работе [10] отмечается, что проблема вибраций на АЭС возникла из-за того, что на стадии проектирования первых реакторов динамическое воздействие потока теплоносителя, являющегося источником энергии и способного вызывать механические колебания элементов конструкции, не учитывали. Обеспечение виброустойчивости оборудования и трубопроводов реакторной установки продолжает оставаться актуальной задачей в настоящее время. Существует несколько причин, затрудняющих решение данной задачи, основная из которых – невозможность прогнозирования возбуждающих вибрационных воздействий с приемлемой точностью на стадии проектирования [5].

Электрическим аналогом системы ядерного реактора с присоединенными трубопроводами является резонатор Гельмгольца, т.е. LC-контур с трансформаторной положительной обратной связью, в котором, удовлетворяя условию (4), система превращается в генератор с отрицательной диссипацией (отрицательным трением). При работе ГЦН в соплах (локальных сопротивлениях), которые можно рассматривать как акустические трансформаторы, возникает отрицательное трение, приводящее к самоорганизации хаотичного турбулентного процесса.

Задача разработки акустических моделей движения теплоносителя в основном оборудовании АЭС, его отдельных компонентах и совокупности конструктивных элементов впервые была решена в [4]. Разработанные методы моделирования АСВ в теплоносителе АЭС позволили создать цифровую акустическую модель ядерного реактора и организовать ее испытания и проверку на АЭС с легководным реактором [11].

Количество одновременно генерируемых акустических стоячих волн в модели соответствует числу составляющих ее акустических участков. Согласно методу электроакустических аналогий [4] расчет частот собственных колебаний давления теплоносителя f (СЧКДТ) проводится по формуле Томсона [2]

где m – акустическая масса системы (зависит от количества учитываемых в расчете акустических участков присоединенных трубопроводов); С_р – акустическая податливость объема реактора.

Формирование сложного резонатора Гельмгольца для ВВЭР-440, имеющего шесть холодных и шесть горячих ниток, было выполнено по методу электроакустических аналогий, согласно которому при параллельном подключении входящих в реактор и выходящих из него трубопроводов справедлива следующая зависимость:

где ${{m}_{{\text{х}}}} = \frac{{{{\rho }_{{\text{х}}}}{{l}_{{\text{х}}}}}}{S}{\text{,}}$ $~{{m}_{{\text{г}}}} = \frac{{{{\rho }_{{\text{г}}}}{{l}_{{\text{г}}}}}}{S}$ – акустическая масса холодных и горячих трубопроводов (здесь ρ_х, ρ_г – плотность воды в холодных и горячих трубопроводах; l_х, l_г – длина холодных и горячих трубопроводов).

Акустическую податливость объема реактора вычисляют по формуле

где ${{V}_{{\text{р}}}}$ – объем среды в реакторе; ${{\rho }_{{{\text{ср}}}}}$ – средняя по объему реактора плотность воды; а_с – скорость звука в среде.

Скорость звука в среде с учетом деформации труб и сжимаемости воды рассчитывают по выражению [12]

где D_р – диаметр реактора; с_ср – средняя по объему реактора скорость звука в воде; $\delta $ – толщина стенки реактора; E_м – объемный модуль упругости материала трубы.

По приведенной выше методике рассматриваются комбинации трубопроводов горячей и холодной ниток в различных режимах пуска энергоблока.

Разработанная и не имеющая аналогов ЦАМЯР открыла неизвестные ранее свойства реактора с присоединенными трубопроводами – способность генерировать одновременно несколько АСВ [8]. Эта модель обеспечивает учет в проектной и конструкторской документации влияния геометрических параметров оборудования и компоновки контура теплоносителя на нейтронно-физические, теплогидравлические и колебательные процессы. Диагностический признак (многократное уменьшение генерируемой в активной зоне частоты АСВ) возникновения кипения в ВВЭР и их зарубежных аналогах был опубликован незадолго до аварии в США в 1979 г. на АЭС Three Mile Island [13]. Знание этого признака при наличии и использовании датчиков пульсаций давления помогло бы предотвратить ошибочные действия персонала, приведшие к тяжелой аварии. Результаты прогнозирования частоты АСВ в кипящем реакторе [4] в различных режимах работы были подтверждены данными измерений, проведенных на РБМК-1000 Игналинской АЭС [14]. Эти результаты позволили автору в его экспертном заключении, представленном Правительственной комиссии, указать на вероятные причины аварии и разрушения реактора на Чернобыльской АЭС, которые впоследствии были включены в доклад, подготовленный для МАГАТЭ [15].

Результаты расчета частоты АСВ по разработанным методикам и определения источников их генерации подтверждаются данными измерений, полученными на экспериментальных установках и действующих АЭС [9, 10, 14, 16]. Эти методики в настоящее время – единственное средство прогнозирования частот АСВ и выявления источников и условий их возникновения и резонансного взаимодействия с вибрациями оборудования, колебаниями теплоносителя, вызванными работой ГЦН, образованием вихрей и воздействием внешних волновых и ударных нагрузок. Однако широкому применению этих результатов на сегодняшний день препятствует заблуждение, которое состоит в том, что частоту АСВ определяет частота образования вихрей, в то время как, наоборот, АСВ, возникающие в оборудовании, влияют на формирование вихрей и на определенной стадии вихреобразования частота образования вихрей сравнивается с частотой АСВ. В связи с этим заблуждением и актуальностью необходимости повышать сейсмостойкость ядерных объектов после аварии на АЭС “Фукусима-1” возникла потребность охарактеризовать дополнительные ранее не опубликованные и потому неизвестные акустические свойства реактора путем описания его акустической модели.

В результате сопоставления частот, генерируемых крупными вихревыми структурами в элементах трубопроводов [17], с собственными частотами акустических элементов, рассчитанными по методике [11], было обнаружено, что в зависимости от режима работы реактора генерируются опасные частоты, способные привести к резонансным явлениям. В работе [18] показано, что сложная геометрическая форма трубопроводов может приводить не только к увеличению гидравлических потерь и ухудшению тепломассообменных процессов вследствие генерации крупномасштабных вихревых структур, но и к возбуждению акустических колебаний и опасности возникновения резонансных явлений, снижающих виброустойчивость оборудования.

Акустическая система, состоящая из ядерного реактора с присоединенными трубопроводами, образующими горячую и холодную нитки, обладает свойствами, которые не могут быть получены простой суперпозицией акустических свойств составляющих ее элементов. Эта система представляет собой сложный резонатор Гельмгольца, способный генерировать одновременно несколько АСВ. Для его формирования необходимо объединить несколько входных и выходных патрубков в одно эквивалентное входное горло по методу электроакустических аналогий. Этапы формирования сложного резонатора Гельмгольца представлены на рис. 2. Количество возбужденных волн в такой модели соответствует количеству акустических неоднородностей в контуре, состоящем из ядерного реактора с присоединенными трубопроводами [8]. Расчет собственных частот колебаний теплоносителя в акустической модели ядерного реактора проводится по формуле Томсона [2]. Сложный резонатор Гельмгольца является результатом преобразования модели, объединяющей холодные (входящие) трубопроводы, и модели, объединяющей горячие (выходящие) трубопроводы, в модель с одним горлом.

На Нововоронежской АЭС была проведена верификация цифровой акустической модели ядерного реактора. Установлено, что количество одновременно генерируемых акустических волн соответствует числу акустических неоднородностей в соединенных с реактором трубопроводах и практически совпадает с результатами прогнозируемой расчетной оценки, проведенной при использовании ЦАМЯР. Применение этой модели позволит оптимизировать проектные и конструкторские решения в целях повышения эффективности эксплуатации, срока службы, безопасности АЭС и защищенности ее от ударных и сейсмических воздействий. Данная модель может быть адаптирована и применена к ВВЭР независимо от их геометрических размеров, а также к однофазному и двухфазному состояниям теплоносителя в условиях принудительной или естественной циркуляции.

ВЫВОДЫ

1. Флуктуации давления одномерного пульсирующего потока сжимаемой однофазной или двухфазной жидкости, используемой в качестве теплоносителя ядерного реактора, аналогичны флуктуациям напряжения в линиях электропередачи.

2. Установлено неизвестное ранее свойство реактора с присоединенными трубопроводами – способность генерировать одновременно несколько акустических стоячих волн.

3. Разработанные математические модели, методики и алгоритмы расчета частот автоколебаний универсальны, достаточно просты и, как свидетельствуют результаты измерений на АЭС, эффективны для определения акустических свойств теплоэнергетического оборудования атомных и тепловых электростанций с точностью, достаточной для решения ряда важных практических задач.

4. Впервые разработаны научные основы количественной оценки влияния конструкции реактора и трассировки трубопровода на вибрацию, эксплуатационную эффективность, срок службы, безопасность, сейсмостойкость оборудования.