Теплоэнергетика, 2023, № 2, стр. 71-77

СУРРОГАТНАЯ МОДЕЛЬ

Основная идея суррогатного моделирования заключается в замене математической модели многомерной аппроксимацией входных и выходных параметров на основе статистических зависимостей.

Для данной задачи можно ввести следующие специфические терминологию и обозначения:

${\mathbf{D}}$ – K-мерное непрерывное пространство поиска;

${\mathbf{x}}$ – набор (вектор) размерности K варьируемых параметров ${\mathbf{x}} \in {\mathbf{D}} \subset {{\Re }^{K}}.$ Как правило, каждый варьируемый параметр набора имеет свой физически обусловленный диапазон значений ${{{\text{x}}}_{i}} \in \left[ {x_{i}^{0},x_{i}^{1}} \right]$ (здесь $x_{i}^{0}$ соответствует нижней границе диапазона i-го параметра, $x_{i}^{1}$ – верхней границе);

${\mathbf{f}}\left( {\mathbf{x}} \right)$ – целевая функция, некоторая величина, отвечающая конкретному набору (вектору) варьируемых параметров (например, коэффициент гидравлического сопротивления дроссельного устройства в зависимости от его геометрических характеристик, параметров среды и т.д.);

бюджет расчетов N – максимальное число вариантных расчетов, доступное для проведения расчетного анализа, обусловленное различными факторами, главные из которых – доступное процессорное время и средняя вычислительная сложность одного расчета;

${\mathbf{X}}\left( {1:N} \right)$ – дискретное подмножество ${\mathbf{D}},$ план вариации, представляющий собой некоторую совокупность векторов ${\mathbf{x}}$ в количестве N, сгенерированных для проведения вариантных расчетов.

Таким образом, решение задачи построения суррогатной модели сводится к нахождению совокупности аппроксимирующих функций ${\mathbf{\bar {f}}}\left( {\mathbf{x}} \right),$ удовлетворяющей условию ${\mathbf{\bar {f}}}\left( {\mathbf{x}} \right) = {\mathbf{f}}\left( {\mathbf{x}} \right) + \Delta {\mathbf{f}}\left( {\mathbf{x}} \right),$ где $\Delta {\mathbf{f}}\left( {\mathbf{x}} \right)$ – погрешность аппроксимации.

Генерация плана вариации ${\mathbf{X}}$ может выполняться с использованием различных подходов, однако для решения рассматриваемой задачи был выбран метод латинского гиперкуба (Latin Hypercube Sampling), при котором доступный бюджет из N расчетов распределяют по пространству поиска таким образом, чтобы получались однозначные и регулярные проекции из N точек на каждую его размерность (рис. 1).

Значения целевой функции ${\mathbf{f}}\left( {\mathbf{x}} \right),$ рассчитанные для ${\mathbf{X}},$ можно обозначить как ${\mathbf{Y}}.$ Тогда совокупность значений $\left\{ {{\mathbf{X}},{\mathbf{Y}}} \right\}$ есть обучающая выборка для модели ${\mathbf{\bar {f}}}\left( {\mathbf{x}} \right).$

Предлагаемая методика построения суррогатной модели заключается в определении таких совокупностей $\left\{ {{\mathbf{X}}{\kern 1pt} ',{\mathbf{Y}}{\kern 1pt} '} \right\},$ ${\mathbf{X}}{\kern 1pt} ' \in {\mathbf{X}},{\text{ }}{\mathbf{Y}}{\kern 1pt} ' \in {\mathbf{Y}},$ для которых коэффициенты взаимной корреляции $\left| {{\mathbf{R}}\left( {\widehat {{\mathbf{X}}{\kern 1pt} ',{\mathbf{Y}}{\kern 1pt} '}} \right)} \right| \geqslant 0.2$ [3]. При этом, если вектор входных параметров ${{{\mathbf{x}}}_{i}},$ ${{{\mathbf{x}}}_{i}} \in {\mathbf{X}}$ не коррелирует ни с одним из векторов выходных параметров ${\mathbf{y}},$ ${\mathbf{y}} \in {\mathbf{Y}},$ но известна физическая природа процесса, целесообразно введение вектора промежуточных параметров ${\mathbf{\tilde {y}}}$ такого, что $\left| {{\mathbf{R}}\left( {\widehat {{{{\mathbf{x}}}_{i}},{\mathbf{\tilde {y}}}}} \right)} \right| \geqslant 0.2 \wedge \left| {{\mathbf{R}}\left( {\widehat {{\mathbf{\tilde {y}}},{{{\mathbf{y}}}_{j}}}} \right)} \right| \geqslant 0.2.$ Например, если для коэффициента гидравлического сопротивления (КГС) $\xi $ и расхода потока $Q$ коэффициент корреляции $\left| {R\left( {\widehat {\xi ,Q}} \right)} \right| < 0.2$ и при этом $\xi $ аналитически связан со скоростью потока $u,$ которая, в свою очередь, зависит от расхода потока $Q$ (т.е. со статистической точки зрения $\left| {R\left( {\widehat {\xi ,u}} \right)} \right| \geqslant 0.2 \wedge \left| {R\left( {\widehat {u,Q}} \right)} \right| \geqslant 0.2$), можно установить аппроксимационную зависимость $\xi = f\left[ {u = f\left( Q \right)} \right].$

Определенная таким образом совокупность аппроксимационных зависимостей и составляет суррогатную модель

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В инженерной практике устройства газоудаления рассматриваются в составе сложных теплогидравлических систем, динамический (или итерационный) расчет которых не позволяет применять CFD-коды для моделирования отдельных элементов системы ввиду значительных затрат времени. В рамках данной работы был предложен альтернативный подход – многомерная аппроксимация КГС сопла на основе анализа статистических зависимостей входных и выходных параметров. Далее рассматривается методология построения суррогатной модели на примере модели устройства газоудаления, представляющего собой эжектор с подключением трех сдувок – трубопроводов газоудаления, подключенных к горловине основного канала при угле между соседними сдувками 120°. Проточная часть устройства газоудаления показана на рис. 2.

Принцип работы устройства заключается в эжектировании потоков из сдувок вследствие падения статического давления в горловине канала, обусловленного повышением скорости основного потока. При этом расчет КГС сдувок и сопла, характеризующего перепад давления между входным и выходным сечениями сопла, является сложной задачей, не поддающейся расчету по справочным зависимостям ввиду сильной несимметричности потока в горловине сопла из-за различных давлений на входах в сдувки и возникающей вследствие этого асимметрии потока. В описанном случае задача построения суррогатной модели устройства газоудаления заключается в определении зависимости коэффициентов гидравлических сопротивлений и давления в горловине $\left\{ {\xi ,\,\,{{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}},{{\xi }_{3}},{{р}_{{{\text{гор}}}}}} \right\}$ от входных параметров $\left\{ {Q,t,р,{{р}_{1}},{{р}_{2}},{{р}_{3}}} \right\}$ (здесь $\xi $ – КГС, характеризующий перепад давления между входным и выходным сечениями сопла; ${{\xi }_{1}} - {{\xi }_{3}}$ – КГС, характеризующие перепады давления между входом в сдувки и горловиной канала; р_гор – статическое давление в горловине устройства, Па).

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Начальным этапом при построении суррогатной модели является генерация обучающей выборки, включающая в себя определение значений целевой функции ${\mathbf{f}}\left( {\mathbf{x}} \right) = \left\{ {\xi ,\,\,{{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}},{{\xi }_{3}},{{р}_{{{\text{гор}}}}}} \right\}.$ Решение этой задачи возможно с использованием CFD-моделирования. В данной работе расчеты выполнялись в трехмерной стационарной постановке задачи с помощью численного решения системы уравнений Навье – Стокса в программном комплексе STAR-CCM+. Для численного интегрирования использовали метод контрольного объема, построенного на основе полиэдральной конечно-элементной сетки (рис. 3) с характерными размерами ячеек расчетной сетки 1.5 мм (0.075 мм для сдувок). Профиль скорости вблизи стенки определяли с использованием логарифмической пристеночной функции (высокий ${{y}^{ + }}$). Для повышения точности численного решения вблизи стенки были сгенерированы два призматических слоя расчетной сетки. Общая толщина пристенного призматического слоя составляла 0.5 мм (0.075 мм для сдувок).

Поскольку устройство газоудаления работает в области очень малых газосодержаний, для упрощения расчетов в данной статье рассматривается течение однофазной несжимаемой жидкости. Для моделирования турбулентного потока в каналах устройства газоудаления использована стандартная k–ε-модель. В качестве граничных условий при расчете заданы скорость основного потока на входе, давление на выходе, а также давления на входе в сдувки.

На входе в сопло и выходе из него моделировали успокоительные участки длиной 5 калибров, предназначенные на входе для формирования реалистичного входного профиля скорости, на выходе – для уменьшения влияния граничного условия “давление на выходе” на явления, протекающие непосредственно в канале.

МЕТОДИКА ОБРАБОТКИ ДАННЫХ

Начальный этап построения суррогатной модели заключается в генерации K-мерной (в рассматриваемом случае 12-мерной, включая дополнительные параметры) обучающей выборки метода латинского гиперкуба. С помощью результатов статистической обработки данных обучающей выборки делаются выводы об уровнях взаимной корреляции тех или иных пар параметров. С учетом анализа полученных таким образом коэффициентов взаимной корреляции при построении суррогатной модели устройства газоудаления систему (1) можно представить в виде

где ${{u}_{1}},$ ${{u}_{3}}$ – скорости потоков в сдувках 1 и 3 соответственно, м/с, введенные вследствие низкой корреляции ${{\xi }_{1}}$ и ${{\xi }_{3}}$ с входными параметрами.

Коэффициент гидравлического сопротивления сопла Вентури $\xi $ вычисляется по формуле

где $\Delta р$ – перепад давления между входным и выходным сечениями сопла, Па; ${{\rho }}$ – плотность среды, кг/м³; $d$ – гидравлический диаметр, к которому приводится $\xi ,$ м.

Для установления аппроксимационных зависимостей (2) использовали различные методы: для $\Delta р$ и ${{\xi }_{2}}$ – метод поверхности отклика (Response Surface Model) [4]; для ${{u}_{1}}$ – регрессию гауссовского процесса (Gaussian Process) [5]; для ${{\xi }_{1}},$ ${{u}_{3}},$ ${{\xi }_{3}}$ – метод многомерной регрессии гауссовского процесса (High-Dimensional Approximation Gaussian Process) [6]. Аппроксимацию производили с помощью программного обеспечения для многокритериальной оптимизации “pSeven” [7]. Блок-схема суррогатной модели, составленная таким образом в pSeven, представлена на рис. 4.

АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ

На рис. 5 приведены результаты расчета общего КГС сопла по выражениям (2), (3) в сравнении со значениями обучающей выборки, полученными в ходе CFD-моделирования.

Результаты расчета значений параметров, определенные по аппроксимационным зависимостям (2) с помощью программы pSeven с использованием различных методов, в сравнении с результатами CFD-моделирования (обучающая выборка) представлены на рис. 6, 7. Поскольку при обучении модели существует вероятность ее переобучения (когда она точно предсказывает значения зависимых переменных в точках обучающей выборки, но при этом сильно ошибается в промежуточных точках, отличных от обучающей выборки), для проверки корректности обучения аппроксимационных моделей была сгенерирована верификационная выборка – новый план вариации независимых переменных, отличный от плана вариации обучающей выборки, для которого рассчитаны модельные значения зависимых переменных, но сгенерированный в тех же диапазонах варьирования. В этом случае о корректности модели можно судить по совпадению общего характера (тренда) значений обучающей и верификационной выборок. Значения аппроксимационной модели (2), рассчитанные для верификационной выборки, также приведены на рис. 6, 7.

Как можно заметить, тренды изменения искомых КГС для верификационной выборки на представленных рисунках совпадают с трендами обучающей выборки, что свидетельствует о корректности построенных аппроксимационных моделей. Качественно разные характеры зависимости КГС от расхода основного потока на рис. 7 могут быть объяснены конструктивными особенностями системы, в которой функционирует рассматриваемый эжектор: давление на входе в сдувку 2, а следовательно, и ее КГС напрямую зависят от расхода основного потока, поскольку она подключена к автономному контуру насоса, обеспечивающего циркуляцию основного потока через горловину эжектора. Сдувки 1 и 3 подключены к другим агрегатам системы, поэтому их КГС практически не зависит от расхода основного потока.

Для оценки точности моделей, сгенерированных встроенными средствами pSeven (зависимости, представленные на рис. 4), использовались значения коэффициентов детерминации R², среднеквадратического отклонения RMS (root mean square) и 95-го перцентиля Q95 (95-й перцентиль показывает, что для 95% точек верификационной выборки абсолютная ошибка меньше указанного значения).

Выражение для коэффициента детерминации модели, характеризующего долю дисперсии зависимой переменной, вызванной самой аппроксимационной моделью, выглядит следующим образом:

где ${{u}_{i}}$ – значения наблюдаемой переменной (зависимой); ${{\tilde {u}}_{i}} = f\left( {{{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{m}}} \right)$ – модельные значения; $\bar {u} = \frac{1}{n}\sum\nolimits_{i = 1}^n {{{u}_{i}}} $ – среднее значение по наблюдаемым данным.

Чем ближе значение R² к 1, тем качественнее построена аппроксимационная зависимость.

Среднеквадратическое отклонение модельных значений от верификационной выборки вычисляют по формуле

Чем меньше RMS, тем меньше отклонение предсказанных моделью значений от значений верификационной выборки.

Значения скалярных метрик точности моделей приведены в таблице.

ВЫВОДЫ

1. Результаты применения построенной в работе суррогатной модели сложного гидравлического устройства для расчета значения коэффициента гидравлического сопротивления по обучающей и тестовой выборкам входных данных позволяют судить о корректности представленной методики ввиду совпадения трендов выходных данных.

2. Суррогатная модель дает возможность значительно сократить время, затрачиваемое на расчет гидравлических характеристик рассматриваемого устройства.

3. Суррогатные модели могут быть использованы в том числе на этапе планирования экспериментальных исследований, поскольку позволяют определить объем и направленность экспериментов.