Теплофизика высоких температур, 2019, T. 57, № 3, стр. 323-327

ВВЕДЕНИЕ

Высоковольтный тлеющий разряд (ВТР) – это разновидность аномального тлеющего разряда в левой ветви кривой Пашена при напряжениях 10–150 кВ [1–3]. Разряд имеет растущую вольт-амперную характеристику (ВАХ). Плотность тока ВТР при U ≈ 100 кВ может достигать значения порядка 1 А/см². Электроны выходят с катода за счет потенциального вырывания при нейтрализации на катоде положительных ионов, а также в результате кинетического вырывания при бомбардировке катода ионами и быстрыми атомами, которые образуются при перезарядке ионов в слое объемного заряда. К слою приложено все напряжение, поэтому электроны ускоряются в слое и образуют практически моноэнергетический пучок. Эффективный коэффициент вторичной электронной эмиссии в ВТР при U ≈ 30–150 кВ может достигать весьма высоких значений (10–20), поэтому ускорители электронов, в которых используется ВТР, имеют высокий КПД (порядка 0.90–0.95). Такие ускорители применяются при плавке тугоплавких металлов и сплавов. Максимальная мощность ускорителей с ВТР ограничивается предельно допустимой мощностью, которая выделяется на катоде за счет кинетической энергии быстрых ионов и атомов. Наличие термоэмиссионного тока позволяет уменьшить напряжение и значение ионного тока на катод, снизить тепловую нагрузку, и в этом случае можно повысить максимальную мощность ускорителя электронов.

В настоящей работе развита кинетическая теория ВТР. Решено уравнение Пуассона в слое с учетом потока ионов, поступающих из плазмы, ионизации газа в слое электронами, ионами и быстрыми атомами, образования потока быстрых атомов за счет перезарядки ионов. На катоде учитывалась термоэмиссия и вторичная электронная эмиссия под действием быстрых ионов и атомов. Для различных напряжений и плотностей тока рассчитаны значения размера слоя, эффективного коэффициента вторичной электронной эмиссии для ионов и быстрых атомов, распределения электрического поля, плотности потоков ионов и быстрых атомов. Рассчитаны также вольт-амперные характеристики такого типа разряда. Наличие термоэмиссии с катода снижает напряжение при той же плотности тока, позволяет регулировать тепловую нагрузку на катод и провести оптимизацию параметров электронного ускорителя.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Рассмотрим плоскую модель разряда, включающую слой объемного заряда размером x₁ и плазмы размером L. Напряжение разряда φ₁ приложено к слою, падением напряжения на плазме можно пренебречь. С границы плазмы в слой втекает ионный ток плотностью j_i(0). Начало координат находится на границе плазмы и слоя, ось координат направлена к катоду. Электрическое поле E в слое определяется уравнением Пуассона

Ионы в слое в электрическом поле движутся в режиме сильной подвижности [4], а электроны – в режиме свободного пролета. Тогда

Зависимость j_i(x) определяется уравнением неразрывности для ионов, поскольку ионы в слое испытывают многочисленные перезарядки:

Первый член в правой части (3) описывает ионизацию газа плотностью N₀ электронами, выходящими с катода, второй член – ионизацию ионами, третий член – ионизацию быстрыми атомами, образовавшимися в слое при перезарядках ионов (V_i = $V_{a}^{*}$), четвертый член описывает ионизацию газа вторичными электронами, рождающимися в слое. Граничное условие для (3) на катоде j_e0= j_eT + j_eγ, где j_eT – плотность тока термоэмиссии, j_eγ – плотность тока вторичной электронной эмиссии. На границе плазмы j_i = j_i(0). Запишем уравнения (1) и (3) в безразмерной форме. Введем безразмерные переменные $E = \tilde {E}E{\text{*}},$ $\varphi = \tilde {\varphi }{{\varphi }_{1}},$ $x = \tilde {x}{{x}_{1}},$ ${{y}_{2}} = {{e{{N}_{i}}{{V}_{i}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{e{{N}_{i}}{{V}_{i}}} {{{j}_{{e\gamma }}}}}} \right. \kern-0em} {{{j}_{{e\gamma }}}}},$ ${{y}_{3}} = {{eN_{a}^{*}V_{a}^{*}} \mathord{\left/ {\vphantom {{eN_{a}^{*}V_{a}^{*}} {{{j}_{{e\gamma }}}}}} \right. \kern-0em} {{{j}_{{e\gamma }}}}},$ где $E* = {{\left( {4\pi {{j}_{{e0}}}{{\varphi }_{1}}} \right)}^{{\frac{1}{2}}}}{{\left( {{{2e{{\varphi }_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2e{{\varphi }_{1}}} {{{m}_{e}}}}} \right. \kern-0em} {{{m}_{e}}}}} \right)}^{{ - \frac{1}{2}}}}.$ Имеем

Уравнение (4) определяет зависимость напряженности электрического поля $\tilde {E}$ от $\tilde {\varphi },$ (5) – зависимость безразмерной плотности потока ионов от $\tilde {\varphi },$ (6) – зависимость плотности потока атомов, образовавшихся в слое при перезарядке ионов, от потенциала $\tilde {\varphi }.$ При таком определении Е* в уравнении (4) содержится только один безразмерный параметр κ, что упрощает решение системы уравнений. Отметим, что при записи системы уравнений (4)–(6) совершен переход от координаты х к независимой переменной $\tilde {\varphi }$ (безразмерному потенциалу). При записи (4) и (5) использовалось соотношение $d\tilde {x} = - ({{{{\varphi }_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\varphi }_{1}}} {\tilde {E}E{\text{*}}{{x}_{1}})d\tilde {\varphi }}}} \right. \kern-0em} {\tilde {E}E{\text{*}}{{x}_{1}})d\tilde {\varphi }}}.$ Такой прием существенно облегчил решение задачи. Граничное условие для (5) на границе слоя и плазмы: j_i(0) = 0.5j_e0N₀$\sigma _{{ea}}^{i}$(eφ₁)L(1 + χ₂), где χ₂ учитывает ионизацию газа в плазме вторичными электронами. При записи выражения для j_i(0) принято во внимание, что в плоской задаче при низком давлении газа половина родившихся в плазме ионов движется в сторону катода и попадает в слой, а другая половина переходит к аноду, на котором нейтрализуется. Выражение χ₂, входящее в граничное условие к (5) и коэффициенты в уравнениях (4)–(6), имеет вид

Отметим, что роль заряда вторичных электронов в уравнении (4) не существенна. Ионизацию вторичными электронами необходимо учитывать при определении потока ионов в (5). Концентрация ионов в (4) определялась из выражения для потока ионов с учетом зависимости скорости ионов от напряженности электрического поля (2). Последний член в правой части уравнения (5) описывает ионизацию газа в слое вторичными электронами. Таким образом, решение задачи сводится к решению системы уравнений (3)–(6) с учетом (8). Зависимость всех функций от координаты определяется уравнением (7).

Сечения ионизации ионами и быстрыми атомами линейно возрастают с ростом энергии ε этих частиц и считаются равными $\sigma _{{ia}}^{i} = \sigma _{{aa}}^{i} = {{\sigma }^{{i0}}}{\varepsilon \mathord{\left/ {\vphantom {\varepsilon {\varepsilon {\text{*}}}}} \right. \kern-0em} {\varepsilon {\text{*}}}},$ где $\varepsilon = {{eE} \mathord{\left/ {\vphantom {{eE} {(2{{N}_{0}}{{\sigma }_{r}})}}} \right. \kern-0em} {(2{{N}_{0}}{{\sigma }_{r}})}}.$ Здесь ε* – характерная энергия, зависящая от рода газа. Сечение ионизации газа электронами аппроксимировалось известным выражением $\sigma _{{ea}}^{i} = \sigma _{{ea}}^{0}\ln {{(\beta \tilde {\varphi })} \mathord{\left/ {\vphantom {{(\beta \tilde {\varphi })} {\beta \tilde {\varphi }}}} \right. \kern-0em} {\beta \tilde {\varphi }}}.$ Запишем граничное условие на катоде в безразмерной форме

Здесь

Если термоток отсутствует ( j_eT = 0), то δ = 1 и условие (9) является граничным условием для ВТР. При наличии термотока δ < 1. Параметры δ_i и δ_a характеризуют доли плотности тока вторичной электронной эмиссии при столкновении потоков ионов (δ_i) и атомов (δ_a) с катодом. При записи выражения для δ_i значение коэффициента вторичной электронной эмиссии при кинетическом вырывании электронов γ_k(ε) усреднялось с функцией распределения ионов по энергиям [4] на катодной границе:

При определении δ_a учитывался весь спектр энергий быстрых атомов на катоде. При записи выражения для ионизации вторичными электронами в слое (5) учитывался тот факт, что вторичные электроны и ионы рождаются парами. Поток ионов, родившихся в слое, на катодной границе равен потоку вторичных электронов на анодной границе. Поэтому в уравнении (5) ионизация вторичными электронами выражена через y₂. Однако поскольку ось x направлена к катоду, а вторичные электроны движутся в противоположном направлении, то их учет производится методом последовательных приближений. Таким образом, математическая модель, включающая уравнения (4) и (5), позволяет провести расчеты $\tilde {E}(\tilde {\varphi }),$ ${{y}_{2}}(\tilde {\varphi })$ при различных значениях параметров N₀, L, φ₁, j_e0. Граничное условие (9) определяет связь между этими параметрами. Например, можно задаться значениями N₀ и L и определить зависимость φ₁(j_e0), т.е. ВАХ разряда. Зависимости E(x), φ(x), y₂(x), y₃(x) рассчитываются с использованием связи между напряженностью поля, потенциалом и координатой (7).

Таким образом, решение задачи сводится к решению системы нелинейных интегро-дифференциальных уравнений с учетом граничных условий (8) и (9). Зависимость всех функций от координаты определяется уравнением (7).

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

В качестве примера расчета параметров высоковольтного разряда низкого давления с комбинированной эмиссией электронов с катода был выбран разряд в гелии, который наряду с другими легкими газами (водородом, дейтерием) применяется в газонаполненных ускорителях электронов [4–6]. Расчеты выполнены в широком диапазоне изменения N₀, L, j_e0 при различных значениях плотности термотока на катоде. В настоящей работе приведены результаты расчетов для N₀ = = 3 × 10¹⁵ см^–3 и размера плазмы L = 10 см. Зависимость γ_k(ε) в соответствии с [7] имеет вид γ_k(ε) = = κ$\sqrt {\varepsilon } ,$ где энергия ионов (и быстрых атомов) измеряется в эВ, и κ = 3.5 × 10^–2 (γ* = 5 при ε = 2 × 10⁴ эВ), $\sigma _{{ea}}^{0}$ = 1.3 × 10^–16 см², $\sigma _{{ia}}^{0}$ = 4 × 10^–17 см², ${{\sigma }_{r}}$ = 10 ^–15 см², ε* = 10³ эВ [3, 8, 9]. Результаты расчетов представлены на рис. 1, 2 и в таблице.

Рис. 1.

Распределение электрического поля (а) и потока ионов (б) для N₀= 3 × 10¹⁵ см^–3, γ* = 5: сплошные линии – j_e0= 1.0 А/см²: 1 – δ = 1, φ₁ = 64.5 кВ; 2 – 0.76, 50; 3 – 0.54, 30; штриховые – j_e0= 0.1 А/см²: 1 – δ = 1, φ₁ = 42.3 кВ; 2 – 0.64, 20; 3 – 0.52, 10.

Рис. 2.

Вольт-амперные характеристики ВТР для N₀= = 3 × 10¹⁵ см^–3, γ* = 5: 1 – δ = 1, 2 – 0.8, 3 – 0.6, 1a – δ = 1 (без учета ионизации вторичными электронами).

На рис. 1а приведены распределения электрических полей в слое объемного заряда для плотности тока с катода j_e0 = 1.0 А/см² (сплошные линии) и плотности тока j_e0 = 0.1 А/см² (штриховые) при трех значениях δ = 1 – j_eT/j_eγ. Для наглядности все кривые представлены в зависимости от координаты x₁–x. Отметим, что при уменьшении δ (увеличении j_eT) значения электрического поля, напряжения φ₁ и размера слоя x₁ уменьшаются. Объемный заряд слоя положительный, влиянием электронного заряда можно пренебречь. На рис. 1б представлена зависимость плотности ионного тока от координаты для тех же режимов, что и на рис. 1а. Значение j_i(x) увеличивается в направлении катода за счет ионизации газа электронами, быстрыми атомами и ионами. При снижении δ одновременно уменьшаются φ₁ и размер слоя x₁. Оба фактора влияют на ионизацию в слое по-разному. Уменьшение напряжения снижает напряженность электрического поля в слое, а уменьшение слоя повышает напряженность. В результате при j_e0 = 1.0 А/см² плотность ионного тока на катоде незначительно уменьшается, а при j_e0 = 0.1 А/см² – практически не меняется.

На рис. 2 представлены ВАХ высоковольтного разряда при трех значениях δ. Штриховой линией показана ВАХ ВТР (δ = 1), которая рассчитана без учета ионизации вторичными электронами. В этом случае для каждого значения j_e0 напряжение φ₁ заметно превышает аналогичные значения, рассчитанные с учетом ионизации вторичными электронами в слое и в плазме, поэтому роль ионизации атомов в слое и плазме вторичными электронами существенна. При снижении δ величина φ₁ уменьшается. Таким образом, термоэмиссия с катода существенным образом влияет на ВАХ высоковольтного разряда с комбинированной эмиссией.

В таблице приведена более подробная информация о параметрах ВТР с комбинированной эмиссией. Для трех плотностей тока с катода (j_e0 = = 1.0, 0.1, 0.03 А/см²) и различных значений δ для каждого тока в таблице представлены напряжение φ₁, размер слоя x₁, доли плотностей тока вторичной электронной эмиссии с катода под действием ионов δ_i и потока быстрых атомов δ_a, значения безразмерных потоков ионов y₂(1) и атомов y₃(1) на катоде, число перезарядок ионов в слое М_i, а также усредненные по функциям распределения ионов и атомов значения коэффициентов вторичной эмиссии электронов γ_i и γ_a. Следует обратить внимание на тот факт, что хотя плотность потока атомов на катоде значительно превышает плотность потока ионов, однако вклад во вторичную эмиссию с катода ионов и быстрых атомов отличается заметно в меньшей степени. Это связано с существенным различием формы их функций распределения на катоде. На катод поступают ионы с гораздо большей средней энергией, поэтому у них значительно выше эффективный коэффициент вторичной электронной эмиссии (γ_i заметно больше γ_а). В поток атомов дают существенный вклад быстрые атомы, образовавшиеся в области слабого поля в прианодной части слоя. Этот факт связан с тем, что сечение упругого столкновения быстрого атома с медленным σ_аа много меньше сечения перезарядки σ_r. Поэтому функция распределения быстрых атомов имеет гораздо более широкий энергетический спектр, чем функция распределения ионов. В поток ионов основной вклад дают ионы, образовавшиеся в прикатодной области в сильном поле и имеющие большую энергию.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработанная математическая модель высоковольтного разряда учитывает кинетические эффекты. Особенности функций распределения учитываются интегралами, входящими в уравнения и в выражения для δ_i и δ_а. Кроме того, для функции распределения ионов использовалось выражение (10). Электроны, выходящие с поверхности катода, и вторичные электроны, родившиеся в слое, движутся в режиме убегания. Длина свободного пробега этих электронов при высоких напряжениях превышает размеры слоя и плазмы. Отношение плотности потока вторичных электронов к плотности тока электронов, выходящих с катода, равно y₂(1) $ \ll $ 1 (таблица), поэтому функция распределения электронов по энергиям имеет сильно выраженную пучковую часть и слабо выраженный широкий спектр вторичных электронов, родившихся в слое при ионизации газа пучком электронов. Именно этим свойством ВТР отличается от аномального (и других форм) тлеющего разряда, спектр электронов в котором перекрывает весь диапазон энергии без явно выраженной пучковой части. Ионы в слое движутся в режиме подвижности (М_i $ \gg $ 1). Отметим, что и в скорости дрейфа V_i (2), и в энергии ионов ε учтены кинетические поправки, уменьшающие V_i в (2/π)^1/2 раза, а ε – в два раза. Факт уменьшения ε при кинетическом рассмотрении существенен, поскольку он влияет на значение коэффициента вторичной электронной эмиссии, а следовательно, на параметры разряда. Быстрые атомы движутся в кинетическом режиме, так как их длина свободного пробега заметно превышает длину перезарядки. Поскольку энергия быстрого атома при перезарядке равна энергии иона, то кинетическая поправка к энергии иона передается быстрому атому. Таким образом, разработанная кинетическая математическая модель, корректно учитывающая основные физические процессы, вполне пригодна для выбора режимов генерации электронных пучков для различных технологических применений. Проведение расчетов с применением этой модели доступно широкому кругу пользователей, при этом значительно уменьшается время проведения расчетов по сравнению с другими кинетическими программами, использующими гораздо более сложные математические модели [10].

Таким образом, можно сделать следующие выводы.

1. Разработана достаточно простая математическая модель, учитывающая основные физические процессы, влияющие на параметры высоковольтного разряда.

2. Показано, что в разряде с комбинированной эмиссией электронов с катода увеличение отношения плотности термотока к плотности тока вторичной электронной эмиссии сдвигает ВАХ разряда в область более низких напряжений.

3. Для конкретных случаев приведены значения напряжения разряда φ₁, распределения электрического поля, плотности тока ионов и атомов в слое, рассчитаны эффективные коэффициенты вторичной электронной эмиссии для ионов γ_i и атомов γ_a, размеры слоя x₁, доли вторичных электронов, выходящих с катода под действием ионов δ_i и атомов δ_а, а также другие параметры разряда с учетом ионизации первичными и вторичными электронами, ионами и быстрыми атомами.