Теплофизика высоких температур, 2019, T. 57, № 4, стр. 638-640

Распространение сферических и цилиндрических волн в многофракционных полидисперсных газовзвесях

Д. А. Губайдуллин^1, *, Р. Р. Зарипов^1, **

¹ Институт механики и машиностроения – ОСП ФГБУН “Федеральный исследовательский центр “Казанский НЦ РАН”
Казань, Татарстан, Россия

^* E-mail: gubaidullin@imm.knc.ru
^** E-mail: rinat_zaripov.imm@mail.ru

Поступила в редакцию 18.05.2018
После доработки 19.09.2018
Принята к публикации 25.12.2018

DOI: 10.1134/S0040364419030050

Полный текст (PDF)

Аннотация

Изучено распространение плоских, сферических и цилиндрических волн в многофракционных смесях газа с полидисперсными включениями. Учитывается, что каждая фракция смеси имеет различные теплофизические свойства, размеры включений и функции распределения включений по размерам. Получено единое дисперсионное соотношение. Рассчитаны эволюции импульсного возмущения давления в рассматриваемой среде. Показано влияние теплообмена на затухания импульсного возмущения давления в полидисперсной газовзвеси.

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время большой интерес исследователей направлен на изучение задач, связанных с волновой динамикой многофазных сред. Проблемы акустики смеси газа с каплями или твердыми частицами рассмотрены в известных монографиях [1, 2]. Основной сложностью изучения таких сред является необходимость учета наличия нескольких фракций включений смеси и полидисперсности состава каждой фракции. Работы [3–5] посвящены исследованию особенностей нестационарных процессов в двухфазных средах. Распространение акустических волн в многофракционных газовзвесях без учета полидисперсности каждой фракции рассмотрено в [6]. Влияние полидисперсности частиц на распространение звука в газовзвесях исследовано в [7, 8]. Сферические и цилиндрические волны малой амплитуды в полидисперсных туманах рассмотрены в [9, 10].

В данной работе исследуется распространение плоских, сферических и цилиндрических импульсных возмущений давления в многофракционных газовзвесях с полидисперсными включениями.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Рассмотрим плоское одномерное движение многофракционной газовзвеси с полидисперсными включениями. Пусть каждая фракция отличается теплофизическими свойствами, размерами включений и описывается своей функцией распределения включений по размерам. Межфазный массообмен в смеси не учитывается. Для описания возмущенного движения многофракционной газовзвеси с полидисперсными включениями необходимо уравнения движения [6] проинтегрировать как в [10]. Таким образом, можно получить следующую систему интегродифференциальных уравнений, которая при $\theta = 0$ описывает распространение плоских, при $\theta = 1$ цилиндрических и при $\theta = 2$ сферических волн:

$\begin{gathered} \frac{{\partial \rho _{1}^{'}}}{{\partial t}} + {{\rho }_{{10}}}\left( {\frac{{\partial \text{v}_{1}^{'}}}{{\partial r}} + \theta \frac{{\text{v}_{1}^{'}}}{r}} \right) = 0, \\ \frac{{\partial \rho _{{2j}}^{'}}}{{\partial t}} + \int\limits_{\Delta {{R}_{j}}} {\left( {\frac{{\partial \text{v}_{{2j}}^{'}}}{{\partial r}} + \theta \frac{{\text{v}_{{2j}}^{'}}}{r}} \right)N_{0}^{j}({{R}_{j}})} g_{0}^{j}({{R}_{j}})d{{R}_{j}} = 0, \\ j = \overline {1,N} , \\ \end{gathered} $

(1)

${{\rho }_{{10}}}\frac{{\partial \text{v}_{1}^{'}}}{{\partial t}} + \frac{{\partial p_{1}^{'}}}{{\partial r}} + \sum\limits_{j = 1}^N {\int\limits_{\Delta {{R}_{j}}} {{{f}_{j}}N_{0}^{j}({{R}_{j}})} d{{R}_{j}} = 0} ,$

$\begin{gathered} {{\rho }_{{10}}}{{c}_{{p1}}}\frac{{\partial T_{1}^{'}}}{{\partial t}} - {{\alpha }_{{10}}}\frac{{\partial p_{1}^{'}}}{{\partial t}} + \sum\limits_{j = 1}^N {\int\limits_{\Delta {{R}_{j}}} {{{q}_{{1j}}}N_{0}^{j}({{R}_{j}})} d{{R}_{j}} = 0} , \\ g_{0}^{j}({{R}_{j}})\frac{{\partial \text{v}_{{2j}}^{'}}}{{\partial t}} = {{f}_{j}},\,\,\,\,g_{0}^{j}({{R}_{j}}){{c}_{{p2j}}}\frac{{\partial T_{{2j}}^{'}}}{{\partial t}} = - {{q}_{{2j}}}, \\ j = \overline {1,N} ,\,\,\,\,p_{1}^{'} = \frac{{C_{1}^{2}}}{{{{\gamma }_{{10}}}{{\alpha }_{{10}}}}}\rho {\text{'}} + \frac{{{{p}_{{10}}}}}{{{{T}_{{10}}}}}T_{1}^{'}. \\ \end{gathered} $

Здесь ρ – плотность, $\text{v}$ – скорость, $p$ – давление, T – температура, γ – показатель адиабаты, $\alpha $ – объемное содержание, ${{c}_{p}}$ – теплоемкость, $N_{0}^{{}}$ – функция распределения включений по размерам, $g_{0}^{{}}$ – масса частицы, r – координата, t – время, $\Delta R$ – диапазон изменения радиуса включений, $f$ – сила межфазного взаимодействия, $q$ – интенсивность теплообмена. Индекс 1 относится к несущей фазе, 2j – к дисперсной фазе $j$-й фракции. Штрих вверху используется для обозначения возмущения параметров, а индекс 0 соответствует начальному невозмущенному состоянию.

Решение системы уравнений (1) будем искать в виде плоских, цилиндрических и сферических возмущений

(2)

$\phi {\text{'}} = {{A}_{\phi }}\exp [i({{K}_{*}}r - \omega t)],$

(3)

$\phi {\text{'}} = {{A}_{\phi }}H_{0}^{{(1)}}\left( {{{K}_{*}}r} \right)\exp [i - \omega t],$

(4)

$\phi {\text{'}} = \frac{{{{A}_{\phi }}}}{r}\exp [i({{K}_{*}}r - \omega t)]$

соответственно.

Здесь ${{K}_{*}}$ – комплексное волновое число, $\omega $ – частота возмущений, $i$ – мнимая единица, ${{A}_{\phi }}$ – амплитуда возмущений, $H_{0}^{{(1)}}$ – функция Ханкеля.

Подставляя аналогично [10] выражения (2)–(4) в систему уравнений (1) и решая полученную систему относительно амплитуд ${{A}_{\phi }},$ получим единое дисперсионное соотношение

$\begin{gathered} {{\left( {\frac{{{{C}_{1}}{{K}_{*}}}}{\omega }} \right)}^{2}} = V(\omega )D(\omega ), \\ V(\omega ) = 1 + \sum\limits_{j = 1}^N {{{m}_{j}}} {{\left\langle {\frac{1}{{1 - i\omega \tau _{{\text{v}j}}^{*}}}} \right\rangle }_{j}}, \\ \end{gathered} $

(5)

$D(\omega ) = 1 + ({{\gamma }_{1}} - 1)\frac{{{{t}_{d}}}}{{1 + {{t}_{d}}}},\;$

$\begin{gathered} {{t}_{d}} = \sum\limits_{j = 1}^N {{{m}_{{2j}}}\frac{{{{c}_{{p2j}}}}}{{{{c}_{{p1}}}}}} {{\left\langle {\frac{1}{{1 - i\omega \tau _{{Tj}}^{*}}}} \right\rangle }_{j}}, \\ {{\left\langle h \right\rangle }_{j}} = \frac{1}{{\rho _{{20}}^{j}}}\int\limits_{\Delta {{R}_{j}}} {N_{0}^{j}({{R}_{j}})g_{0}^{j}({{R}_{j}})} {{h}_{j}}d{{R}_{j}}. \\ \end{gathered} $

Здесь ${{C}_{1}}$ – скорость звука в чистом газе; $m$ – относительное массовое содержание; $\left\langle h \right\rangle $ – линейный оператор осреднения [7]; $\tau _{\text{v}}^{*},$ $\tau _{T}^{*}$ – комплексные времена релаксации скорости и температуры соответственно [1]. Отметим, что дисперсионное соотношение (5) не зависит от параметра $\theta $ и в частном случае совпадает c дисперсионным соотношением, полученным в [10] при отсутствии фазовых превращений.

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

С помощью (5) на основе методики [2] и подпрограммы быстрого преобразования Фурье [11] исследуем эволюцию импульсных возмущений в смеси газа с полидисперсными включениями при ${{p}_{0}} = 0.1$ МПа и ${{T}_{0}} = 273$ K. Предположим, что дисперсная фаза состоит из трех фракций. Первая фракция состоит из капель воды, вторая фракция – из частиц сажи, третья – из частиц алюминия. Каждая фракция имеет непрерывную функцию распределения частиц по размерам $N_{0}^{k}({{R}_{k}}) = R_{k}^{{ - 3}},$ k = a, b, c при значениях радиуса капель ${{R}_{a}} \in [{{10}^{{ - 4}}},{\text{ }}{{10}^{{ - 3}}}],$ частиц сажи R_b∈_{$ \in [{{10}^{{ - 5}}},{\text{ }}5 \times {{10}^{{ - 4}}}]$ и алюминия ${{R}_{c}} \in [{{10}^{{ - 6}}},{\text{ }}5 \times {{10}^{{ - 5}}}]$ м. Начальный вид кривой импульсных возмущений давления описывается следующей функцией:
$p(0,t) = \exp [ - {{(t - {{t}_{*}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{(t - {{t}_{*}})} M}} \right. \kern-0em} M}],$ где ${{t}_{*}}$ – половина продолжительности импульса; $M$ – параметр, определяющий ширину пика импульса.}

На рис. 1 представлено влияние учета наличия нескольких фракций на распространение импульса давления типа гауссовой кривой в случае плоских волн. Полученные профили давления построены на расстоянии 25 и 50 м от места инициирования импульса. Проиллюстрированы случаи смесей газа с каплями воды (а), газа с каплями воды и частицами золы (б) и газа с каплями воды, частицами золы и алюминия (в). Наличие нескольких фракций в смеси приводит не только к более сильному затуханию плоских волн, но и к изменению начальной формы импульса.

Рис. 1.

Распространение плоского импульсного возмущения давления в смеси газа с полидисперсными включениями.

На рис. 2 показано распространение импульса давления типа гауссовой кривой в случае плоских (а), цилиндрических (б) и сферических (в) волн. Полученные профили давления построены на расстоянии 3 и 6 м от места инициирования импульса. Здесь сплошные и штриховые линии соответствуют случаям с учетом и без учета теплообмена между фракциями соответственно. Как и следовало ожидать, для трехфракционной полидисперсной газовзвеси в цилиндрическом и сферическом случаях затухание волн сильнее, чем в плоском случае. Отметим, что учет теплообмена между фракциями и несущей средой также приводит к более сильному затуханию волн.

Рис. 2.

Распространение импульсного возмущения давления в плоском, сферическом и цилиндрическом случаях в смеси газа с полидисперсными включениями.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Представлена замкнутая система уравнений движения многофракционной смеси газа с полидисперсными включениями. Получено дисперсионное соотношение, которое описывает распространение плоских, сферических и цилиндрических возмущений в многофракционной газовзвеси. Изучено влияние наличия нескольких фракций в смеси на распространение плоских импульсных возмущений давления. Проанализировано распространение плоских, цилиндрических и сферических импульсных возмущений давлений с учетом и без учета теплообмена. Показано, что учет наличия фракций в смеси, так же как и теплообмена, приводит к более сильному затуханию волн, а также к изменению начальной формы импульса в первом случае.

Список литературы

Нигматуллин Р.И. Динамика многофазных сред. М.: Наука, 1987. 464 с.
Губайдуллин Д.А. Динамика двухфазных парогазокапельных сред. Казань: Изд-во Казан. матем. об-ва, 1998. 153 с.
Вараксин А.Ю. Гидрогазодинамика и теплофизика двухфазных потоков: проблемы и достижения // ТВТ. 2013. Т. 51. № 3. С. 421.
Вараксин А.Ю. Кластеризация частиц в турбулентных и вихревых двухфазных потоках // ТВТ. 2014. Т. 52. № 5. С. 777.
Вараксин А.Ю. Обтекание тел дисперсными газовыми потоками // ТВТ. 2018. Т. 56. № 2. С. 282.
Губайдуллин Д.А., Терегулова Е.А., Губайдуллина Д.Д. Распространение акустических волн в многофракционных газовзвесях // ТВТ. 2015. Т. 53. № 5. С. 942.
Гумеров Н.А., Ивандаев А.И. Распространение звука в полидисперсных газовзвесях // ПМТФ. 1988. № 5. С. 115.
Губайдуллин Д.А., Федоров Ю.В. Распространение акустических волн в двухфракционных газовзвесях с полидисперсными частицами разных материалов и размеров // Изв. вузов. Проблемы энергетики. 2011. № 5–6. С. 3.
Губайдуллин Д.А. Сферические и цилиндрические волны малой амплитуды в полидисперсных туманах с фазовыми переходами // Изв. РАН. МЖГ. 2003. № 5. С. 85.
Губайдуллин Д.А., Федоров Ю.В. Сферические и цилиндрические волны в парогазовых смесях с полидисперсными частицами и каплями // ТВТ. 2012. Т. 50. № 5. С. 659.
Гапов В.А. Пакет программ быстрого преобразования Фурье с приложениями к моделированию случайных процессов. Предпринт № 14-76. Новосибирск: Изд-во ИТФ СО АН СССР, 1976. 19 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Теплофизика высоких температур

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал