Теплофизика высоких температур, 2019, T. 57, № 5, стр. 644-650

ВВЕДЕНИЕ

Самоподдерживающийся токовый слой (Т-слой) является сильноточным разрядом, в котором высокая температура (~10⁴ К) поддерживается за счет протекания электрического тока, индуцированного при движении ионизованного газа во внешнем поперечном магнитном поле. Взаимодействие Т-слоя с газовым потоком в магнитогазодинамическом (МГД) канале является сложным, существенно нестационарным процессом, на который влияет совокупность физических факторов: газодинамическое и электромагнитное взаимодействия, джоулева диссипация, механизмы конвективного, радиационного и кондуктивного теплообмена. Экспериментальное исследование нестационарных разрядов в МГД-каналах сопряжено со значительными трудностями в измерении физических параметров газоразрядной плазмы, а проведение всесторонней диагностики требует больших материальных и временных затрат. Вычислительное моделирование дает возможность получить всестороннюю и полную информацию о процессе МГД-взаимодействия при различных исходных параметрах и позволяет дополнять и объяснять экспериментальные данные [1, 2]. В исследованиях динамики Т-слоя на основе одномерных численных моделей было показано, что его формирование представляет собой самоорганизующийся процесс, в результате которого устанавливаются такие скорость и структура Т-слоя, при которых в каждой точке плазменной области выполняется условие силового и энергетического баланса, при этом сформировавшаяся стабилизированная структура определяется параметрами процесса и практически не зависит от размера начальной электропроводной области [3–5]. Значительно более сложную картину течения дали расчеты на основе многомерных численных моделей, здесь проявляются процессы обтекания и гидродинамической неустойчивости, приводящие к формированию нестационарного и вихревого течения [6–9]. При этом в зависимости от параметров процесса реализуются различные варианты формирования структуры Т-слоя и режимов его взаимодействия с газовым потоком, значительно отличающиеся характеристиками и общей картиной течения. При определенных условиях Т-слой полностью перекрывает поперечное сечение канала и взаимодействует с неэлектропроводным газовым потоком подобно поршню. В других случаях газовый поток обтекает разрядную область, которая может состоять из одного, двух и более токопроводящих каналов. Целью настоящей работы является исследование влияния величины внешнего магнитного поля и сопротивления нагрузки на формирование структуры Т-слоя и характеристики взаимодействия со сверхзвуковым потоком аргона.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Рассмотрена динамика формирования Т-слоя, взаимодействующего с неэлектропроводным газовым потоком и внешним поперечным магнитным полем в канале постоянного прямоугольного сечения (рис. 1). Моделирование процесса проведено на основе нестационарной трехмерной математической модели магнитной газодинамики:

Здесь t – время; ρ, p, T – плотность, давление и температура газа; u, ${v},$ w – компоненты вектора скорости v по осям x, y и z соответственно; E_t – полная энергия единицы объема газа; e = RT/(γ – 1) – внутренняя энергия единицы массы газа; f_x, f_y, f_z – компоненты вектора силы f; Q_J, Q_R – объемные мощности джоулевой диссипации и радиационных потерь энергии, определяемых в приближении объемного излучателя [8]; q_x = λ∂T/∂x, q_y = = λ∂T/∂y и q_z = λ∂T/∂z – компоненты вектора плотности теплового потока, обусловленного теплопроводностью газа; λ – коэффициент теплопроводности; R – индивидуальная газовая постоянная; γ – показатель адиабаты газа.

В качестве начальных условий для уравнений (1)–(5) задаются распределения температуры, давления и скорости. Граничные условия определяются следующим образом. На входе в канал устанавливаются параметры входящего потока, на выходе задаются условия, соответствующие свободному вылету газа, т.е. равенство нулю производных: ${{\partial T} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial T} {\partial x}}} \right. \kern-0em} {\partial x}} = 0,$ ${{\partial p} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial p} {\partial x}}} \right. \kern-0em} {\partial x}} = 0,$ ${{\partial {\mathbf{v}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {\mathbf{v}}} {\partial x}}} \right. \kern-0em} {\partial x}} = 0.$ На боковых стенках канала по давлению и скорости используются условия, соответствующие непроницаемой стенке, распределение температуры задается однородным с постоянной во времени величиной Т₀, равной начальной температуре невозмущенного потока.

Для расчета электродинамических параметров задачи использовано эллиптическое уравнение с переменными коэффициентами

Соотношение (8) получено из уравнения непрерывности для электрического тока $\operatorname{div} {\mathbf{j}} = 0$ (токи смещения пренебрежимо малы) с учетом закона Ома ${\mathbf{j}} = \sigma ({\mathbf{E}} + {\mathbf{v}} \times {\mathbf{B}})$ и введения скалярной функции потенциала электрического поля φ, удовлетворяющей соотношению ${\mathbf{E}} = - \nabla \varphi $. Решение уравнения (8) позволяет найти распределение φ(x, y, z), по которому с помощью приведенных выше соотношений определяются распределения напряженности электрического поля E(x, y, z), плотности тока j(x, y, z), джоулевой диссипации Q_J = j²/σ и силы Лоренца f = j × B. Вектор индукции магнитного поля B = (0, B, 0) учитывает только внешнее поле, поскольку для характерных значений электропроводности газа σ = 3 × 10³ Ом^–1 м^–1, скорости Т-слоя u_T = 10³ м/с и радиуса разрядной области r = 0.0375 м индуцированное магнитное поле мало B_ind/B = μ₀σu_Tr/4 ≈ 0.03 [7], здесь μ₀ = = 4π × 10^–7 Гн/м – магнитная постоянная. Влияние эффекта Холла также не учитывалось, параметр Холла оценивался по формуле β = eB/m_eν_ei, где e и m_e – заряд и масса электрона, ν_ei – средняя частота электрон-ионных столкновений с передачей импульса. Для характерных значений давления 0.1 МПа, температуры 1.5 × 10⁴ К и индукции магнитного поля B = 2 Тл величина β ≈ 0.2, влияние электрон-атомных столкновений дополнительно снизит это значение.

Для уравнений состояния (7) использовалось приближение идеального газа с показателем адиабаты γ = 1.67 и молярной массой μ = 40 г/моль. Транспортные [10] и радиационные [11, 12] свойства аргона вводились в вычислительную программу в виде таблиц.

Для численного решения системы уравнений газовой динамики (1)–(7) использованы явная схема Мак-Кормака, методика расщепления по пространственным координатам и FCT (Flux-Corrected Transport) метод коррекции потоков. Методика расщепления позволяет свести решение трехмерной задачи к последовательному решению наборов одномерных задач, при этом согласованная последовательность применения одномерных операторов обеспечивает второй порядок аппроксимации как по времени, так и по пространству. Электродинамическое уравнение (8) решалось методом установления с помощью расщепления по пространственным координатам. Более детальное описание вычислительного алгоритма уравнений (1)–(8) приведено в работах [13, 14].

РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Моделирование проводились для канала постоянного сечения высотой h = 12.5 см и шириной a = 7.5 см, при этом разностная сетка имела 400 × 30 × 50 интервалов по осям x, y и z с величиной шагов h_x = h_y = h_z = 2.5 мм. Система координат задавалась движущейся для отслеживания положения Т-слоя по координате x, это позволяет минимизировать количество расчетных узлов при заданной длительности процесса. При моделировании рассматривалось газодинамическое течение, имеющее в начальном состоянии температуру Т₀ = 1 кК и включающее в себя цилиндрическую разрядную область с диаметром 2a/3 и колоколообразным распределением температуры со значением в центре Т_max = 10 кК. Остальные параметры течения имели однородное распределение: давление p = 0.1 МПа, компоненты скорости u = = u₀ = 1 км/с, ${v}$ = 0, w = 0.

В расчетах интенсивность МГД-взаимодействия варьировалась изменением индукции внешнего магнитного поля B и омического сопротивления внешней нагрузки R_L. Изменение R_L меняет общее сопротивление цепи и позволяет управлять силой тока I. Произведение IB определяет как тормозящую электродинамическую силу, приложенную к Т-слою, так и мощность джоулевой диссипации, влияющей на размеры и температуру Т-слоя.

Проведем сравнение процессов взаимодействия при различных значениях индукции внешнего магнитного поля. На рис. 2 приведены результаты расчета процесса при B = 1 Тл и R_L = 5 мОм. Динамика формирования Т-слоя отображается в виде распределений температурных полей в градациях серого цвета для среднего сечения (плоскость xy) и различных моментов времени. На начальном этапе взаимодействия с магнитным полем происходит торможение Т-слоя и формируется режим его обтекания неэлектропроводным газом. Вверх по потоку отходит ударная волна, вниз – волна разрежения, на разрядной области устанавливается перепад давления. Воздействие силы приводит к проникновению “языков” холодного, более плотного газа в разрядную область, приводя к развитию рэлей-тейлоровской неустойчивости (РТН), что вызывает в итоге отрыв ее частей с краев (рис. 2б) или разделение разряда (рис. 2г). Отсоединившиеся от основного разряда области в дальнейшем сносятся потоком вниз по течению и постепенно остывают. В данном режиме с течением времени площадь поперечного размера электропроводной части Т-слоя уменьшилась до значения, которое обеспечило плотность тока, достаточную для компенсации радиационных и конвективных потерь энергии.

Поле скоростей для момента времени Δt = 1 мс приведено на рис. 3, здесь же отображена изолиниями температуры высокотемпературная часть разрядной области. Видны сформировавшиеся обтекающие потоки, при этом в отличие от слаботочного разряда [15, 16] в самой разрядной области не наблюдается образование вихревых потоков. На рис. 4 представлено одномерное распределение температуры по оси x для этого же момента времени. Максимум температуры в Т-слое примыкает к его верхней границе, здесь идет интенсивный конвективный теплообмен с набегающим потоком, доля которого в балансе энергопотерь составляет около 40% (остальное – излучение). Максимальные значения температуры и электропроводности в этой зоне обеспечивают увеличение плотности тока, необходимое для компенсации повышенных энергопотерь. Аналогичные распределения температуры были получены в экспериментах по исследованию разрядов, взаимодействующих с потоками газа [15, 17], и в расчетах, моделирующих эти эксперименты [16, 18].

Существенно более высокая интенсивность МГД-взаимодействия соответствует процессу при значениях B = 4 Тл и R_L = 5 мОм (рис. 5). Начальная динамика процесса (рис. 5а, 5б) подобна процессу при B = 1 Тл, но более высокая мощность джоулевой диссипации обеспечила увеличение суммарной поперечной площади электропроводной области. К моменту времени Δt = 0.5 мс (рис. 5в) разрядная область полностью перекрыла всю ширину канала, при этом прекратилось ее обтекание, а влияние конвективных энергопотерь значительно уменьшилось. Это привело к дополнительному росту продольного размера электропроводной области и дальнейшей стабилизации на уровне 0.2 м (рис. 5г, 5д).

Поле скорости с изолиниями температуры приведено на рис. 6 для момента Δt = 1 мс. На верхней по потоку границе Т-слоя регулярно происходит развитие РТН, струи холодного газа, проникая в разрядную область, закручиваются и не проходят насквозь всю толщину Т-слоя. В результате этого в верхней части Т-слоя формируется завихренная, существенно неоднородная область, состоящая из обтекаемых плазменных шнуров. Нижняя часть Т-слоя, наоборот, имеет однородную структуру, здесь по всей ширине канала значения скорости близки по величине, а температура газа составляет ≈10 кК и выше.

Температурные профили Т(x) вдоль оси канала для этих частей Т-слоя имеют качественное отличие (рис. 7). В обтекаемом разрядном шнуре максимум температуры расположен у верхней границы, как и на рис. 4. В однородной части Т-слоя максимальное значение температуры находится на противоположной стороне в области низкого давления. Такое изменение наклона зависимости Т(x) в разных частях Т-слоя обусловлено различием в их энергетическом балансе. В обдуваемых разрядных областях значительное влияние оказывают конвективные энергопотери. А в нижней части разряда, которая движется практически как единое целое и полностью перекрывает поперечное сечение канала, конвективные потери пренебрежимо малы. Здесь доминирует радиационный механизм потерь энергии, мощность которого имеет прямо пропорциональную зависимость от давления. Поэтому на верхней границе в области повышенного давления и радиационных энергопотерь температура газа ниже, а в зоне разрежения она имеет максимальное значение. Такой температурный профиль был получен в эксперименте [19] и расчетных работах [3–5], в которых исследовалось формирование структуры Т-слоя в рамках одномерной модели, учитывающей баланс джоулевой диссипации и радиационных энергопотерь и исключающей конвективный теплообмен.

Рассмотренные выше процессы с различной интенсивностью МГД-взаимодействия помимо существенной разницы в структуре Т-слоя и режимах течения имеют различие в интегральных характеристиках. Важной характеристикой процесса является сила тока, на которую помимо поля B оказывает значительное влияние структура Т-слоя, определяющая как его электрическое сопротивление, так и скорость, непосредственно влияющую на величину генерируемой электродвижущей силы (ЭДС). На начальном этапе, когда скорость и размеры близки к исходным, величины силы тока для этих процессов отличаются незначительно и примерно равны 10 кА. В дальнейшей динамике происходит перестройка структуры Т-слоя и токи выходят на сильно различающиеся квазистационарные уровни: 2 кА при B = 1 Тл и 25 кА при B = 4 Тл. Процесс при B = 1 Тл характеризуется очень низкой силой тока и малым поперечным сечением Т-слоя, что свидетельствует о недостаточности такого магнитного поля для эффективного МГД-взаимодействия, поэтому дальнейший анализ процессов проводился при B = 2 и 4 Тл.

Сопротивление внешней нагрузки R_L является стандартным параметром, позволяющим влиять на силу тока и, следовательно, управлять интенсивностью МГД-взаимодействия. Расчеты динамики МГД-взаимодействия проведены в диапазоне сопротивлений нагрузки R_L = 1.25–25 мОм с шагом изменения 1.25 мОм при длительности процесса 1 мс и значениях B = 2 и 4 Тл. Для всех режимов определялись средние значения силы тока для интервала времени от 0.9 до 1 мс, когда структура Т-слоя и величина тока наиболее близки к установившимся значениям. На рис. 8 приведены полученные средние значения силы тока, а также отображены соответствующие им зависимости I(R_L), построенные в виде полинома пятой степени с помощью метода наименьших квадратов. На большей части рассматриваемого интервала сила тока растет при увеличении B, вызывающем пропорциональный рост ЭДС, и с уменьшением сопротивления нагрузки R_L. Такие тенденции при прочих равных условиях являются закономерными, однако вследствие нелинейного влияния различных факторов они на части интервала нарушаются. Так при R_L ≤ 7.5 мОм значения силы тока для B = 4 Тл ниже, чем для B = 2 Тл. Увеличение B вызывает соответствующий рост тормозящей электродинамической силы f, что приводит к снижению скорости Т-слоя и ЭДС. Кроме того, рост f способствует развитию РТН, обтекания разрядной области и увеличению проницаемости Т-слоя, это ухудшает эффективность его взаимодействия с потоком и дополнительно снижает скорость и ЭДС.

Проведенные расчеты динамики процесса при различных значениях R_L и B показали, что Т-слой может быть в виде одного или нескольких разрядных шнуров, обтекаемых потоком неэлектропроводного газа, а также может полностью перекрывать поперечное сечение канала подобно идеальному поршню. Проницаемость определяется соотношением площадей сечений (в плоскости yz) Т-слоя F_T = hb и канала F_K = ha, где b – эффективный средний поперечный размер разрядной области. Значение F_T невозможно определить напрямую, поскольку Т-слой имеет сложную пространственную форму, а сама граница разряда является не геометрической поверхностью, а зоной с распределенными параметрами. Количественную оценку степени проницаемости Т-слоя проведем на основе интегрального уравнения силового баланса ΔpF_T = IBh. С учетом этого безразмерный эффективный коэффициент проницаемости, отражающий степень перекрытия поперечного сечения канала Т-слоем, определим из соотношения

В случае взаимодействия потока с идеальным поршнем перепад давления имеет минимальное значение Δp_min= IB/a, для обтекаемого разряда при неизменных параметрах правой части уравнения силового баланса выполняются соотношения F_T < F_K и Δp > Δp_min.

Перепад давления на Т-слое Δp определялся на оси канала по разности средних значений давления в областях ударно-сжатого газа и волны разрежения. На рис. 9 приведены значения и соответствующие им аппроксимирующие зависимости K_p(R_L). При B = 2 Тл зависимость K_p(R_L) имеет два явно выраженных диапазона. Для R_L ≥ 7.5 мОм величина K_p < 1, что соответствует режимам течения с обтекаемым Т-слоем. При меньших значениях R_L величина K_p ≈ 1, в этих режимах за счет более высокой силы тока и мощности джоулевой диссипации обеспечивается полное перекрытие поперечного сечения канала. В этом диапазоне отклонение K_p от единицы связано с погрешностью определения средних значений Δp из-за наличия пульсаций, формирующихся в вихревом течении в волнах сжатия и разрежения. Увеличение B до 4 Тл привело к формированию обтекания (K_p < 1) во всех режимах, кроме двух (R_L = 5 и 16.25 мОм), что, очевидно, связано с более высокой интенсивностью силового взаимодействия, которая повышает вероятность развития РТН, разделения Т-слоя на части и обтекания. В целом для значений I и K_p характерен большой разброс, что свидетельствует о неустойчивости структуры разрядной области, взаимодействующей с вихревым течением, когда незначительное изменение R_L или других параметров существенно влияет на характеристики процесса.

При движении электропроводного газа в поперечном магнитном поле генерируется электрическая энергия, часть которой выделяется во внешней нагрузке. Коэффициент преобразования энтальпии потока рассчитывался по формуле

где переменные с индексом 0 являются параметрами сверхзвукового потока на входе в канал. На рис. 10 приведены зависимости η_N(R_L) для B = = 2 Тл (пунктир) и 4 Тл (сплошная кривая). Для построения графиков η_N были использованы аппроксимирующие зависимости силы тока I(R_L) (рис. 8). Кривые η_N(R_L) имеют примерно одинаковые по величине максимумы при значениях R_L = 6 мОм для B = 2 Тл и R_L = 17 мОм для B = 4 Тл. Левые падающие ветви графиков в соответствие с (9) стремятся к нулевому значению при R_L → 0 (режим короткого замыкания), немонотонный вид правых ветвей определяется характером зависимостей I(R_L).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследован нестационарный процесс формирования Т-слоя в зависимости от параметров R_L и B, определяющих мощность джоулевой диссипации и интенсивность МГД-взаимодействия с неэлектропроводным газовым потоком. Установлено, что интегральные характеристики процесса в значительной степени зависят от режима взаимодействия и структуры Т-слоя, который может как обтекаться потоком, так и полностью перекрывать поперечное сечение канала и выполнять роль поршня. В большей части диапазона изменения R_L Т-слой состоит из нескольких обтекаемых плазменных шнуров, создающих сложную завихренную нестабильную структуру течения в канале, это обусловливает значительные отклонения как интегральных характеристик в течение процесса, так и осредненных по времени характеристик при изменении R_L. Повышение магнитного поля с 2 до 4 Тл не привело к росту максимальных значений силы тока и степени преобразования энтальпии.

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, Правительства Красноярского края, Красноярского краевого фонда поддержки научной и научно-технической деятельности в рамках научного проекта № 18-41-242 005.