Теплофизика высоких температур, 2019, T. 57, № 5, стр. 790-792

Известно, что расчет нестационарных температурных полей в многослойных конструкциях является в математическом отношении чрезвычайно сложным [1–5]. Причем с увеличением числа слоев трудности определения изменения температуры в каждом элементе существенно возрастают. Однако в тех случаях, когда характер поведения теплофизических свойств материалов неоднородной системы, в частности коэффициентов теплопроводности, может быть аппроксимирован некоторой монотонной функцией пространственной координаты, удается получить сравнительно приемлемые в инженерном отношении расчетные зависимости. Такой подход может быть проиллюстрирован на примере следующей задачи:

Здесь использована общепринятая форма представления зависимых и независимых величин в безразмерном виде [6].

Предположим, что функцию $\lambda = \lambda \left( X \right)$ можно аппроксимировать экспонентой

где постоянный коэффициент $a \geqslant 0.$ Когда $a = 0,$ строгое решение задачи (1)–(4) широко известно [6, 7]. Следовательно, более интересным является случай $a > 0.$

Для определения собственных функций и собственных значений поставленной задачи (1)–(4) с учетом ограничения (5) необходимо провести исследование соответствующего обыкновенного дифференциального уравнения, дополненного заданными краевыми условиями

После выполнения операции дифференцирования уравнение (6) принимает вид

Введем новую пространственную координату $Z$

Тогда зависимость (9) преобразуется в выражение

где

Используя подстановку

приводим дифференциальное уравнение (11) к виду

Полученное уравнение (13) относится к классу уравнений Бесселя [8, 9]. Его общее решение

где ${{J}_{1}}\left( {\beta Z} \right)$ и ${{Y}_{1}}\left( {\beta Z} \right)$ являются соответственно функциями Бесселя первого и второго рода первого порядка. Подробные таблицы значений этих функций приведены во многих справочных пособиях, например [8–12].

С учетом (10), (12) и (14) искомый интеграл уравнения (9) может быть записан в виде

Таким образом, общее аналитическое решение уравнения (9) удается выразить как произведение элементарной показательной функции и специальных функций Бесселя.

Постоянная интегрирования $B$ определяется на основе условия симметрии искомого температурного поля (7):

где ${{J}_{0}}\left( \beta \right)$ и ${{Y}_{0}}\left( \beta \right)$ – также функции Бесселя соответственно первого и второго рода, но нулевого порядка.

Итак, полное аналитическое решение дифференциального уравнения (9) с учетом (15) запишется в виде

где  $A = \frac{C}{{{{Y}_{0}}\left( \beta \right)}}.$

Комплекс в квадратных скобках в правой части (16) следует рассматривать как собственную функцию исследуемой задачи, т.е.

Подставляя выражение (16) в граничное условие третьего рода на поверхности пластины $\left( {X = 1} \right)$ (8), получим характеристическое уравнение для определения собственных значений ${{\mu }_{n}}$ сформулированной задачи где $\beta = \frac{{2\mu }}{a};$ $K = {{{\text{e}}}^{{\frac{a}{2}}}};$ $a \geqslant 0.$

При $a \to 0$ зависимость (18) вырождается в соотношение

При этом нужно использовать асимптотические формулы [11] для функций ${{J}_{0}}\left( X \right),$ ${{J}_{1}}\left( X \right),$ ${{Y}_{0}}\left( X \right),$ ${{Y}_{1}}\left( X \right),$ справедливые при больших значениях X.

Первые шесть корней ${{\mu }_{n}}$ уравнения (19) для разных значений числа ${\text{Bi}}$ (от 0 до $\infty $) даны в монографии [6]. Корни ${{\mu }_{n}},$ удовлетворяющие уравнению (19), можно рассматривать как максимально предельные по отношению к собственным значениям, определяемым по зависимости (18) при одинаковых величинах ${\text{Bi}}$. При ${\text{Bi}} = {\text{0}}$ граничное условие (3) трансформируется в условие второго рода, и формула (18) принимает вид

При ${\text{Bi}} \to \infty ,$ что соответствует граничному условию первого рода, зависимость (18) также значительно упрощается:

Если воспользоваться рекомендуемыми в справочном пособии [10] аппроксимационными зависимостями для функций Бесселя, входящими в соотношения (20) и (21), то удается составить квадратные алгебраические уравнения соответственно следующего вида:

где $n$ = 2, 3, 4, … ; где n = 1, 2, 3, … .

Таким образом, корни уравнения (20), начиная с n = 2, рассчитываются по формуле

а для уравнения (21) нужно использовать соотношение Выражения (22) и (23) обладают высокой степенью точности, которая является достаточной при проведении инженерно-технических расчетов.

В таблице приведены значения первых трех корней ${{\beta }_{n}}$ характеристического уравнения (18) для ряда чисел ${\text{Bi}}$ и трех величин параметра $a$ (1.0, 0.5 и 0.2), полученных численным методом. При этом расчеты для ${\text{Bi}} = {\text{0}}$ и ${\text{Bi}} \to \infty $ были проведены по формулам (22) и (23).

Таким образом, окончательное аналитическое решение задачи (1)–(4) с учетом условия (5) принимает вид

где под ${{K}_{n}}\left( X \right)$ понимаются собственные функции (17). Если параметр $a = 0,$ то выражение (17) преобразуется в зависимость [6] Коэффициенты ${{A}_{n}},$ входящие в бесконечную сумму (24), могут быть определены из начального условия (4), которое при подстановке (24) запишется как Из свойств ортогональности функций ${{K}_{n}}\left( X \right)$ следует соотношение которое в частном случае $a = 0$ принимает вид [6] В монографии [6] приведены числовые значения первых шести амплитуд ${{A}_{n}},$ определенные по формуле (25).