Теплофизика высоких температур, 2023, T. 61, № 2, стр. 234-240

ВВЕДЕНИЕ

Противоточный теплообмен − обмен энергией между двумя текущими в противоположных направлениях потоками − процесс, широко встречающийся в природе от океанских течений [1, 2] до кровотока млекопитающих [3]. Этот механизм используется также в теплообменных аппаратах [4], при промывке и бурении скважин [5–7] и т.д.

Разнообразие условий возникновения встречных потоков определяет широкий круг задач, большинство из которых исследованы численно [6, 8, 9] или методами структурной теории распределенных систем [4]. Аналитические же решения ограничиваются стационарными моделями [10]. Таким образом, несмотря на большое количество математических методов исследования проблем теплообмена, расширение круга актуальных задач теплообмена встречных потоков, допускающих решение, связано с необходимостью развития фундаментальных разделов математической и вычислительной физики. Значимость аналитических решений заключается в том, что они (даже в частных случаях) позволяют выполнять более глубокий анализ происходящих процессов и верифицировать численные модели. Достижения в области вычислительной техники и программирования обеспечивают возможность как создания принципиально новых моделей теплообмена, так и расширения области применения аналитических решений для практических расчетов. Здесь показаны новые возможности в исследовании теплообмена встречных потоков, полученные комплексированием аналитического решения в изображениях и численного алгоритма обратного преобразования.

В данной статье исследуются нестационарные поля температуры потока, в котором жидкость течет по петле, так что на входе и выходе (${{z}_{d}} = 0$) температуры различны, а на дальнем конце петли (${{z}_{d}} = D$) задано равенство температур потоков при равенстве абсолютных значений их средних скоростей. В представленной модели на входе в петлю (${{z}_{d}} = 0$) в начальный момент создается и далее поддерживается скачок температуры закачиваемой жидкости, величина которого задается приращением ${{{{\theta }}}_{0}}$ (разница температуры теплоносителя на входе в петлю и начальной температуры системы), известны объемная теплоемкость циркулирующей жидкости ${{\rho c}}$ и коэффициент теплоотдачи системы ${{\alpha }}$. Целью динамического анализа теплообмена такой системы является сопоставление температуры на входе и выходе, а также скорости теплопередачи между двумя разнонаправленными течениями жидкости. Используя полученные решения, можно прогнозировать, как изменение независимых переменных системы позволит оптимизировать теплообмен в реальных технических устройствах.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Исследуемая система состоит из двух коаксиальных цилиндрических труб (рис. 1). Во внутреннюю трубу подается жидкий теплоноситель со скоростью $v$. В начальный момент времени температура теплоносителя на входе во внутреннюю трубу (${{z}_{d}} = 0$) изменяется скачком на величину ${{{{\theta }}}_{0}}$. На границе ${{z}_{d}} = ~D$ поток меняет направление и возвращается по пространству между внутренней и внешней трубой со скоростью –$v$. Приращение температуры нисходящего и восходящего потоков от начальной температуры системы обозначены ${{\theta }}$ и ${{{{\theta }}}_{1}}$ соответственно.

Уравнение, описывающее температурное поле нисходящего потока, для нестационарного случая записывается как

Аналогичное уравнение для температурного поля восходящего потока представляется в виде

Отметим, что уравнения (1) и (2) учитывают два основных конкурирующих теплофизических процесса. Основным является конвективный теплоперенос, представленный вторыми слагаемыми в левой части уравнений. Этот теплоперенос представлен встречными и гидродинамически равномощными течениями, поскольку скорости в уравнениях отличаются только знаками. Вторым является процесс теплообмена между встречными потоками, который представлен правыми частями в уравнениях (1) и (2). Для простоты этот процесс аппроксимирован соотношением Ньютона‒Рихмана.

На входе внутренней трубы (${{z}_{d}} = 0$) в момент времени ${{t}_{d}} = 0$ начинается и далее $\left( {{{t}_{d}} > 0{\text{\;}}} \right)$ поддерживается подача теплоносителя с температурой, которая отличается от температуры системы в момент времени ${{t}_{d}} = 0$ на величину ${{\theta }_{0}}$, что является источником температурных изменений в рассматриваемой системе. Приняв за начало отсчета температуру системы в момент времени ${{t}_{d}} = 0$, граничное условие на входе в петлю запишем как

На границе смены направления потока задано условие равенства температур

Поскольку за начало отсчета принята температура системы в момент времени ${{t}_{d}} = 0$, то начальные условия для температурных приращений представляются как

Если использовать безразмерные переменные с учетом характерного времени $\tau = \rho c{\text{/}}\alpha $, раз-мера $D$, максимального перепада температур ${{\theta }_{0}}$

и критериальное число то безразмерная постановка примет вид

Из (3)–(7) следует, что теплофизические процессы в системе определяются только одним безразмерным конвективно-кондуктивным параметром $P\nu ,$ характеризующимся соотношением вкладов конвекции и теплоотдачи в теплообмен системы.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Для поиска решения поставленной задачи (3)–(7) записывается в пространстве преобразований Лапласа–Карсона с сохранением обозначения для безразмерных температур $T$, ${{T}_{1}}$:

Здесь $p$ ‒ параметр преобразования Лапласа–Карсона.

Преобразовав уравнение (8) к виду

и подставив выражение для ${{T}_{1}}$ (12) в (9), получаем уравнение для определения безразмерных температур во внутренней трубе, т.е. в нисходящем потоке: где ${{\omega }} = \frac{1}{{P\nu }}\sqrt {p\left( {2 + p} \right)} $.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (13) представляется как

Неизвестные коэффициенты А и В определяются по граничным условиям (10), (11) и записываются в виде

где $\gamma = \left( {p + \omega P\nu } \right)\exp \left( \omega \right)$, $\delta = \left( {p - \omega P\nu } \right)\exp \left( { - \omega } \right)$.

Окончательное выражение для безразмерной температуры нисходящего потока во внутренней трубе представлено в виде

Согласно соотношениям (12) и (14), выражение для нормированного температурного поля восходящего потока выглядит как

Подчеркнем, что величины ${{\omega }}$, ${{\delta }}$, ${{\gamma }}$, входящие в (14) и (15), являются функциями параметра преобразования Лапласа–Карсона $p$:

После подстановки (16) в (14) и (15) получаем

Выражения (17) и (18) представляют точное решение задачи (8)–(11) в пространстве изображений Лапласа–Карсона. Для построения полей температур в нисходящем и восходящем потоках необходимо осуществить переход в пространство оригиналов. Обращение изображений такого рода в аналитической форме представляет значительные теоретические трудности. Для этого следует записать оригинал в виде интеграла Римана‒Меллина, построить контур интегрирования, представить выражение этого интеграла в форме, удобной для вычисления [11].

Альтернативные, менее трудоемкие подходы для расчета пространственно-временных распределений как температуры, так и ее приращений для встречных потоков основаны на использовании численных алгоритмов обращения, примером которых является алгоритм ден Изегера [12]. Этот алгоритм основан на использовании гауссовских квадратур и быстрого преобразования Фурье. Он отличается экономичностью и не требует построения контурных интегралов. Достоверность и эффективность разработанной на основе алгоритма ден Изегера программы подтверждены авторами ранее на многочисленных теплофизических задачах [13, 14]. При этом широко использовано сопоставление с конечно-разностными расчетами, аналитическими асимптотиками, а также многими оригиналами, найденными в явном виде.

ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Ниже приведен анализ временных и пространственных зависимостей безразмерных температур для оценки вкладов различных теплофизических процессов, построенных на основе численных расчетов с использованием алгоритма ден Изегера.

На рис. 2 представлены зависимости безразмерных температур в нисходящем и восходящем потоках от безразмерного времени в сечениях с различными координатами $z$ при $P\nu $ = 0.01. Рис. 2а иллюстрирует процесс установления нормированного температурного поля при относительно малых значениях времени $t < 3 \times {{10}^{3}}$. Из рисунка следует, что вблизи входа в петлю при $z = 0.2$ происходит ускоренное установление температурного поля нисходящего потока, причем время запаздывания, проявляющееся в поведении кривой при $t~ < 10$, убывает с уменьшением $z$.

При увеличении $z$ время запаздывания возрастает и при $z = 1$, т.е. в точке смены направления, достигает $t = {{10}^{3}}$. При этом характерное время установления нормированного температурного поля (рис. 2б) на порядок больше и достигает $t = 2 \times {{10}^{4}}$. Сопоставление кривых 1−4 на рис. 2б позволяет сравнить темпы установления нормированного температурного поля в различных точках системы. При малых значениях z наблюдается интенсивное изменение безразмерных температур, а при больших значениях темп снижается. Сопоставление рис. 2а, 2б позволяет более детально выявить особенности поведения кривых в больших и малых временных масштабах.

Аналогичные кривые для восходящего потока приведены на рис. 2в, 2г. Сопоставление температурных кривых для нисходящего и восходящего потоков свидетельствует об идентичности процессов установления нормированного температурного поля. Рис. 2в, 2г отличаются наличием кривой 5, которая отражает температуру на выходе в восходящем потоке. Эта кривая представляет особую важность, поскольку позволяет оценить интегральную величину теплообмена. При анализе этой кривой следует иметь в виду, что безразмерная температура на входе нисходящего потока постоянна и ее значение поддерживается равным $T\left( {z = 0} \right) = 1$.

Сопоставление безразмерных температур в восходящем и нисходящем потоках позволяет заключить, что при выбранных значениях $P\nu $ преобладает теплообмен между восходящим и нисходящим потоками. Это приводит к тому, что кинематическая температурная волна, которая сформировалась бы при отсутствии теплообмена между потоками, распадается, а температурный фронт сглаживается.

Для уточнения вклада теплообмена между потоками в сравнении с конвективным переносом на рис. 3 сопоставлены температурные поля для нисходящего и восходящего потоков. Как и на рис. 2, кривые соответствуют изменению безразмерных температур со временем в различных точках $z$. Рис. 3а иллюстрирует динамику температурного поля в масштабах малых времен $t < {{10}^{3}}$, а рис. 3б − больших. Различие температур в нисходящем и восходящем потоках малό в сравнении с полным перепадом температуры. Максимальное различие температур теплоносителя на входе в петлю и выходе из нее наблюдается в точке $z = 0$ (кривая 5). С увеличением $z$ различие между температурами восходящего и нисходящего потоков уменьшается, достигая нуля при $z$ = 1 (кривая 4), что согласуется с условием сопряжения в задаче. Такое поведение кривых означает, что при заданных значениях $P\nu $ = 0.01 различие температур формируется за счет теплообмена между потоками. В то же время конвективный перенос определяет пространственное распределение температурного поля, т.е. различие температур между парами кривых, представленных на рисунках. Это означает также, что температурное поле в нисходящем потоке формируется преимущественно за счет конвективного переноса, а в восходящем − за счет теплообмена с нисходящим потоком.

На рис. 4 приведены зависимости безразмерных температур от пространственной координаты $z$ в нисходящем и восходящем потоках при различных значениях безразмерного времени. Область возмущений температурного поля нисходящего потока увеличивается с течением времени. Для времени t = 50 (кривая 1) протяженность области возмущения составляет 20% от всей длины системы, а при t = 500 (кривая 2) размер области возмущения превышает 50%. Время полной релаксации достигает t = 30 000 (кривая 6), за этот промежуток времени температура выравнивается по всей длине системы.

Аналогичные процессы преобладают и в восходящем потоке (рис. 4б). Кривые 1−6 на рис. 4а, 4б иллюстрируют сходное поведение. Это означает, что в формировании пространственного поведения кривых при $P\nu $ = 0.01 преобладающее влияние оказывает процесс теплообмена между восходящим и нисходящим потоками.

Заметим, что температура восходящего потока отличается от температуры закачиваемой жидкости. Об этом свидетельствует величина безразмерной температуры на выходе $z = 0$ (рис. 4б), которая более наглядно представлена на рис. 4в, где детализирован масштаб температур на выходе из трубы. Из анализа этого рисунка следует, что с течением времени температура на выходе из трубы приближается к температуре нисходящего потока на входе, поскольку в безразмерных переменных ${{T}_{1}}\left( {z = 0} \right) \to T\left( {z = 0} \right) = 1$.

На рис. 5 сопоставляются пространственные распределения безразмерных температур нисходящего и восходящего потоков для различных значений безразмерного времени. Кривые для нисходящего и восходящего потоков зависят от вертикальной координаты практически одинаково. Максимальные различия наблюдаются при малых значениях времени, когда зона возмущений температурного поля составляет 20% от полного размера системы. С увеличением времени различие между кривыми уменьшается наряду с глобальным ростом температуры.

На рис. 5б изображены кривые, представляющие разность безразмерных температур нисходящего и восходящего потоков в зависимости от координаты $z$ при различных значениях времени. Максимальные различия безразмерных температур достигаются при малых значениях времени на участках, приближенных к выходу (входу) из системы теплообмена. Вычислительные эксперименты показывают, что максимальная разность безразмерных температур составляет 0.11 от амплитудного значения при $t = 50$ ($P\nu $ = 0.01). Это следует из анализа кривых, представленных на рис. 5б, поскольку амплитудное значение температурных изменений в безразмерных переменных равно единице. При более высоких значениях времени различие безразмерных температур существенно уменьшается.

Расчеты показывают, что при увеличении параметра $P\nu $ разница температур в нисходящем и восходящем потоках возрастает. На рис. 6 приведены временные зависимости безразмерных температур нисходящего и восходящего потоков в различных точках $z$ теплообменной системы при $P\nu $ = 0.1 (что на порядок выше, чем в расчетах на рис. 2–5) для малых $t < 50$ и больших $t < 400$ интервалов времени. Сравнение с рис. 3 показывает, что разность безразмерных температур потоков возрастает больше чем на порядок.

Как показывают вычислительные эксперименты, отмеченные ранее закономерности формирования температурных полей в теплообменной системе при $P\nu $ = 0.1 (в сравнении с $P\nu $ = 0.01, рис. 2–5) сохраняются.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Развитый аналитико-численный подход позволяет осуществлять детальный анализ особенностей теплообменных процессов в переходном режиме, что особенно важно для прогноза динамики температуры в установках с высокой интенсивностью теплообмена. Учет переходных процессов имеет особое значение в режиме пуска системы с интенсивным теплообменом, особенно в экстремальных условиях пристеночного парового слоя.

Установлено, что динамика температурного поля встречных потоков определяется единым конвективно-кондуктивным параметром $P\nu = {\text{v}}\rho c/\left( {\alpha D} \right),$ который увеличивается при возрастании вклада конвективного переноса по отношению к теплоотдаче. Показано, что модель позволяет оценивать относительный вклад конвекции и теплообмена, причем при выбранных значениях $P\nu $ преобладает теплообмен между восходящим и нисходящим потоками. Это приводит к тому, что кинематическая температурная волна, которая сформировалась бы при отсутствии теплообмена между потоками, распадается, а температурный фронт сглаживается. В рассмотренном диапазоне значений $P\nu $ вклад конвективных процессов, которые соответствуют кинематическим волнам, существенно подавлен, однако с увеличением числа $P\nu $ влияние фронтовых явлений увеличивается.

На основе анализа результатов вычислительных экспериментов установлено, что вблизи входа нисходящего потока в петлю и выхода восходящего потока из петли при $P\nu \leqslant 0.1$ наблюдается максимальная скорость изменения температуры. Время запаздывания минимально вблизи точки $z = 0$, при увеличении значения координаты время запаздывания возрастает и при $z = 1$ (в точке смены направления) достигает $t = {{10}^{3}}$. Из сравнения температурных кривых следует возрастающая с уменьшением $P\nu $ идентичность процессов установления для нисходящего и восходящего потоков температурного поля, а динамика температурного поля на выходе из петли определяет интегральную величину теплообмена.

Разработанная модель позволяет определить характерное безразмерное время установления температуры в исследуемой системе, которое при $P\nu = 0.01$ достигает $t = 2 \times {{10}^{4}}$.

Таким образом, развитая аналитико-численная модель представляет новые возможности для исследования физических закономерностей формирования полей температуры встречных потоков.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (№ 22-22-00132).

Обозначения. ${{\rho }}$ ‒ плотность жидкости, кг/м³; $c$ ‒ удельная теплоемкость циркулирующей жидкости, Дж/(кг К); $\alpha = 2 \propto {\kern 1pt} /{\kern 1pt} {{r}_{0}}$ ‒ коэффициент теплоотдачи системы, Вт/(м³ К); $ \propto $ ‒ ньютоновский коэффициент теплоотдачи, Вт/(м² К); ${{r}_{0}}$ ‒ радиус внутренней трубы, м; $D$ ‒ длина участка теплообмена, м; $v$ ‒ скорость жидкости в трубе, м/с; ${{\omega }}$, ${{\delta }}$, ${{\gamma }}$ ‒ вспомогательные функции.