Теоретические основы химической технологии, 2019, T. 53, № 2, стр. 229-240

ВВЕДЕНИЕ

Операции смешивания и деаэрации являются этапами переработки сыпучих материалов в различных отраслях промышленности. Совмещение или последовательное выполнение указанных процессов – один из способов интенсификации производства уплотненных продуктов из однородных порошковых смесей. Обычно объектами исследований являются процессы смешивания и прессования сыпучих компонентов, рассматриваемые независимо друг от друга.

В рамках теории прессования в основном не решаются задачи деаэрации (уплотнения) дисперсной среды вследствие того, что данная операция является первой стадией компактирования сыпучего материала без упругопластических деформаций его твердого скелета [1–4]. Известные статистические [5] и упругие модели деаэрации дисперсных материалов пренебрегают взаимодействием удаляемого газа с частицами твердой фазы и применимы только при изменении пористости продуктов 7–11%. Однако решение практических задач деаэрации порошков должно учитывать значительно бóльшие значения показателя их газосодержания – до 80% [4, 6]. Существующие модели смешивания сыпучих сред (регрессионные, кибернетические, потоковые, стохастические) [7] не применяются при совмещении с деаэрацией. При этом выбор критерия качества сыпучей смеси, как и его статистическая оценка, требует уточнений в соответствии с конкретной рабочей зоной аппарата.

Выделим основные причины отсутствия моделей деаэрации сыпучих материалов в совмещенных или последовательных процессах со смешиванием: (1) сложности учета в упругих моделях уплотнения – неоднородности уплотняемой смеси и стохастичность характера движения ее компонентов; (2) необходимость отражения особенностей способа деаэрации (механического, пневматического или вибрационного [1–4]); (3) обеспечение достаточных условий совместного выполнения указанных операций при наличии взаимоисключающих факторов их протекания – дополнительного насыщения газом ингредиентов при их циркуляционном движении и минимизация объема несущей фазы уплотняемой смеси без упругопластической деформации частиц. В частности, получение деаэрированного порошкового продукта возможно при совмещении смешивания порошковых компонентов и уплотнения их смеси в пределах одного центробежного устройства за счет наличия его конструктивных особенностей и наблюдаемых инерционных эффектов.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Методы статистической механики неравновесных процессов удачно опробованы в моделях операций переработки твердофазных систем – смешивания [7] и измельчения зернистых сред, при изучении инерции тепла в нестационарных диссипативных структурах [8] и т.п. В настоящей работе теория марковских цепей используется для описания стохастического поведения реальной физической системы (сыпучей смеси) при совмещенных или последовательных смешивании и деаэрации.

Для марковского непрерывного процесса причинная связь между событиями, произошедшими в различные моменты времени, задается соотношением для соответствующих плотностей распределения. Разделим аналогично [8] смешиваемые ингредиенты нескольких сортов на два – “ключевой” и “транспортирующий” в зависимости от их инерционных свойств. В дальнейших обозначениях верхний индекс “1” принадлежит ключевому компоненту, “2” – транспортирующему. Пусть распределение вероятностей для системы твердых частиц смеси компонентов 1 и 2 ρ(η,t) при их уплотнении определяется произведением соответствующих плотностей в ходе протекания процессов деаэрации φ(η,t) и смешивания $c_{s}^{{\text{1}}}$(η,t) в зависимости от состояния системы η и времени t:

Функция (1) для плотности распределения вероятности последовательных изменений в дисперсной системе также должна удовлетворять уравнению Фоккера–Планка [9, 10], но в пренебрежении диффузионным (флуктуационным) членом, что объясняется допущением об отсутствии явления смешивания компонентов при уплотнении смеси:

В уравнении (2) функция β₁(η,t) – момент частоты переходов w(η,t), который задается выражением

при разложении Крамерса–Мойала основного кинетического уравнения для распределения вероятностей, полученного из уравнения Чепмена–Колмогорова–Смолуховского [11] для переходной вероятности марковского процесса. Решение уравнения Фоккера–Планка (2) может соответствовать нормальному (гауссовскому) распределению вероятностей, которое позволяет строить функцию β₁(η,t) в виде разложения в ряд по состояниям системы η [12]:

Известные непрерывные марковские процессы (Винера и Орнштейна–Уленбека) не удовлетворяют уравнению (2), так как первый из них соответствует диффузии, а второй – описывается функцией распределения, зависящей от произведения двух моментов частоты переходов β₁(η,t), β₂(η,t), где момент β₂(η,t) входит во флуктуационный член уравнения Фоккера–Планка. Считая, что деаэрация смеси компонентов 1 и 2 представляется однородным марковским процессом, а значит, стационарным, частота переходов в выражении (3) есть w(η,η').

Известно, что дискретные распределения можно записать в форме непрерывных с помощью δ-функции Дирака [11]. Допускается двойственный характер искомого распределения φ(η,t) – дискретного по состояниям системы η и непрерывного по времени t, которое в одномерном случае аппроксимируется пуассоновским (n = 0.1,…,l)

и сводится к распределению Гаусса при выполнении условия 〈n〉 = μ₁ [12]. Параметр μ₁ можно оценить с помощью частоты переходов w(η,η') и разности времен Δt = t' – t с числом состояний системы η, равном n [9]:

Применяя свойство δ-функции Дирака $f(\eta ) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {f(\eta {\text{'}})\delta (\eta {\text{'}} - \eta )} d\eta {\text{'}}$ для β₁(η,t) из (4), после подстановки (4) в (3) частота переходов w(η,η') равна

Распространяя данный подход на случай многомерного процесса Пуассона (n_i = 0,1,…, l_i; i = = 1,…, s) по $s$ видам η_i(n_i)-состояний системы, при выполнении (4) имеем

В (8) по аналогии с выражениями (6) и (7) параметр μ_1i оценивается как

где n_i = 0, 1, …, k – 1, k, k + 1,…, l_i; Δt = t_k + 1– t_k. Значения коэффициентов γ₀ и γ₁ для одномерного процесса (или γ_0i и γ_1i для многомерного) зависят от режима протекания операций смешивания и уплотнения.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Реализация деаэрации дисперсной смеси с учетом ее многокомпонентности при совмещении со смешиванием. Одним из показателей степени уплотнения порошков является коэффициент динамического уплотнения (процентное отношение значений насыпных плотностей среды после и до механической деаэрации) [4, 13]. Пусть характеристическая мера случайного процесса деаэрации сыпучей смеси по смыслу совпадает с данным коэффициентом динамического уплотнения без процентного расчета и равна случайной величине f_V (η,t) – отношению объемов V₀ и V(η,t), занимаемых системой твердых частиц в зависимости от состояний η в начальный и конечный (промежуточный) момент времени t:

Другая характеристика процесса уплотнения дисперсной среды – порозность α₂, определяемая обычно в механике гетерогенных систем отношением плотностей однородного материала из двух фаз – приведенной плотности твердого скелета ρ₂ к истинной – для вещества ρ_T [14]. Традиционно для методов описания многофазных сред [14] нижние индексы “1” и “2” присваиваются соответственно несущей и дисперсной фазам. Пористость α₁ сыпучего материала устанавливает связь между плотностями газа в порах – приведенной ρ₁ и истинной ρ_g:

Пусть каждый твердый скелет (фазы 2) j-го компонента смеси (j = 1,…, N) имеет истинную плотность вещества ${\rho }_{T}^{j},$ массу $m_{{\text{2}}}^{j},$ объем $V_{{\text{2}}}^{j} = {{m_{{\text{2}}}^{j}} \mathord{\left/ {\vphantom {{m_{{\text{2}}}^{j}} {{\rho }_{T}^{j}}}} \right. \kern-0em} {{\rho }_{T}^{j}}},$ объемную долю (концентрацию) $c_{V}^{j} = V_{2}^{j}{{\left( {\sum\limits_{j = 1}^N {V_{2}^{j}} } \right)}^{{ - 1}}}.$ Введем для системы твердые частицы–газ понятия приведенных плотностей фаз: ρ₁(η,t) = = m₁/V(η,t) – для несущей фазы массой m₁; ${\rho }_{2}^{j} = {{m_{{\text{2}}}^{j}} \mathord{\left/ {\vphantom {{m_{{\text{2}}}^{j}} {V({\eta },t)}}} \right. \kern-0em} {V({\eta },t)}}$ – для j-й дисперсной фазы. Значения α₁ и α₂ определяются в более общем случае, чем при условном разделении твердых частиц на “транспортирующую” и “ключевую” составляющие из [8], т.е. согласно (11) и (12) с учетом многокомпонентности системы твердых частиц $N$ сортов:

где плотность ρ_c для смеси из j компонентов зависит от j-й объемной концентрации и изменения η-состояний системы с течением времени t:

величина q($c_{V}^{j}$) вычисляется по формуле

По аналогии с понятием проницаемости изотропной дисперсной системы твердые частицы–газ ([$k$] = 1 Д = 10^–8 см²) [4, 14] можно ввести коэффициент газопроницаемости k для многокомпонентной сыпучей смеси и согласно (12) получить следующее соотношение:

где n_k – константа; k₀ и α₂($c_{V}^{j},$ η₀, t₀) ≡ α₂₀ – опытные значения газопроницаемости и порозности в начальный момент времени t₀.

Таким образом, случайная порозность сыпучей смеси α₂($c_{V}^{j},$ η, t) представлена в виде нелинейного преобразования (14) для случайного относительного изменения выделенного деаэрируемого объема f_V (η,t) в форме (11) с распределением вероятностей последнего φ(η,t) в виде (5) или (8) соответственно для одномерной или многомерной реализации процесса уплотнения. Требуется построить распределение вероятностей для функции α₂($c_{V}^{j},$ η, t) и вычислить его основные характеристики согласно методам теории вероятностей [15] с учетом режима протекания операций смешивания и уплотнения – совмещенного или последовательного.

Оценка параметров первого момента частоты переходов. Для решения указанных задач необходимо определить неизвестные коэффициенты γ₀ и γ₁ в формуле (7) для распределения вероятностей φ_n из (5) для одномерного процесса (или γ_0i и γ_1i в (10) для распределения вероятностей ${{\varphi }_{{{{n}_{{}}}_{1}...{{n}_{{}}}_{s}}}}$ из (8), (9) – для многомерного). В данном изложении ограничимся одномерным случаем с возможным ¹обобщением предлагаемого метода оценки параметров γ₀ и γ₁ на многомерную задачу. Функция φ_n должна удовлетворять полученному из (2) уравнению

заменяемому разностным при достижении предельной степени уплотнения сыпучей смеси в момент времени t_l ≡ τ:

При совмещении процессов смешивания и деаэрации сыпучей среды $c_{s}^{{\text{1}}}$(η,t) определяется из уравнения (2), тогда согласно (4) справедливо

При последовательных указанных операциях $c_{s}^{{\text{1}}}$ не зависит от состояния η и времени t, и уравнение (18) в начальный момент времени t₀ с обозначением ${{\eta }_{0}} \equiv {{\left. \eta \right|}_{{n = 0}}}$ преобразуется к виду

Параметры γ₀ и γ₁ – решения систем уравнений (18), (19) или (18), (20) согласно выбранному режиму поведения твердых частиц смеси. Комбинация ${{{{{{{\left. {{{\varphi }_{n}}} \right|}}_{{{{t}_{0}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{\left. {{{\varphi }_{n}}} \right|}}_{{{{t}_{0}}}}}} {\left. \varphi \right|}}} \right. \kern-0em} {\left. \varphi \right|}}}_{r}}$ из (18) также требует определения. Случайная порозность α₂($c_{V}^{j},$ η, t) – результат нелинейного преобразования (14) f_V (η,t). Учитывая дифференцируемость обеих этих функций, используем свойство их распределений вероятностей ψ_n и φ_n [11, 15]

Пользуясь приближением о равновероятных соседних состояниях для распределения ψ_n, из выражений (21) и (17) имеем

Применение свойства дифференцирования для связи между распределениями вероятностей ψ_n и φ_n [11, 15] в виде (21) в приближении незначительных изменений ψ_n для соседних состояний, близких к начальному моменту времени, позволяет рассчитать значение

где функция порозности α_2d(η_i) = ${{N}^{{ - 1}}}\sum\limits_{j = 1}^N {c_{V}^{j}\alpha _{{2d}}^{j}({{\eta }_{i}})} $ определяется значениями объемных концентраций $c_{V}^{j}$ для каждого j-го компонента и их порозностей ${\alpha }_{{{\text{2}}d}}^{j}({{{\eta }}_{i}})$ из упругой модели деаэрации порошков [16]. Тогда при подстановке выражения (23) в уравнение (20) получим

Учет (23) позволяет уравнение (20) привести к более удобной форме (24). Например, решение системы (18) и (20) или (18) и (21) для последовательных смешивания и деаэрации при одномерной реализации имеет вид ${{\gamma }_{0}} = {{\eta }_{l}}({{\alpha }_{{2d}}}\left| {_{{{{\eta }_{{_{0}}}}}}} \right.){{(\tau {{H}_{0}})}^{{ - 1}}}$ и ${{\gamma }_{1}} = 2{{\eta }_{l}}{{\left. {({{\partial {{\alpha }_{{2d}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {{\alpha }_{{2d}}}} {\partial \eta }}} \right. \kern-0em} {\partial \eta }})} \right|}_{{{{\eta }_{{_{0}}}}}}}{{(\tau {{H}_{0}})}^{{ - 1}}},$ где обозначено η_l ≡ ≡ η|_n = l; H₀ ≡ $2{{\eta }_{l}}{{\left. {({{\partial {{\alpha }_{{2d}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {{\alpha }_{{2d}}}} {\partial \eta }}} \right. \kern-0em} {\partial \eta }})} \right|}_{{{{\eta }_{0}}}}}[{{(2 - \phi )} \mathord{\left/ {\vphantom {{(2 - \phi )} {(\phi - 1)}}} \right. \kern-0em} {(\phi - 1)}}] - {{\alpha }_{{2d}}}\left| {_{{{{\eta }_{0}}}}} \right.;$ ${{{{{\left. {\phi \equiv {{\varphi }_{n}}} \right|}}_{{{{t}_{0}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{\left. {\phi \equiv {{\varphi }_{n}}} \right|}}_{{{{t}_{0}}}}}} {{{{\left. {{{\varphi }_{n}}} \right|}}_{\tau }}}}} \right. \kern-0em} {{{{\left. {{{\varphi }_{n}}} \right|}}_{\tau }}}}.$ Поиск γ₀ и γ₁ для совмещенных смешивания и уплотнения сыпучих сред при решении системы (18) и (19) требует уточнения вида $c_{s}^{{\text{1}}}({\eta },t)$ из соответствующей стохастической модели смешивания.

Пример совмещения смешивания и деаэрации при работе центробежного устройств. Применим данную стохастическую модель при совмещении смешивания порошков двух сортов (с объемными концентрациями $c_{V}^{{\text{1}}}$ и $c_{V}^{{\text{2}}}$) и уплотнения их смеси в центробежном устройстве с эвольветными лопастями общим числом N_L при вертикальной подаче материалов (рис. 1а) [16, 17]. Пусть R₀ и r₀ – радиусы кожуха и цилиндра, на котором закреплены данные лопасти, ω – угловая скорость вращения рабочей ячейки. Уравнения ${{r}_{{s1}}}({\text{q}})$ и r_s2(θ) дуг M₁K₁ и K₁M₂ окружностей (с центрами O₁ и N₁; радиусами ρ_s1 и ρ_s2) при r_0≤r_s1 < ${{r}_{K}}_{{_{1}}}$; ${{r}_{K}}_{{_{1}}}$ ≤ r_s1 ≤ R₀ для лопасти M₁M₂ в полярной системе координат: ${{r}_{{s1}}}$ = ${{r}_{{{{O}_{1}}}}}\cos (\theta - {{\theta }_{{{{O}_{1}}}}})$ + ${{[\rho _{{s1}}^{2} - r_{{{{O}_{1}}}}^{2}{{\sin }^{2}}(\theta - {{\theta }_{{{{O}_{1}}}}})]}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}};$ ${{r}_{{s2}}}$ = = ${{r}_{{{{N}_{1}}}}}\cos (\theta - {{\theta }_{{{{N}_{1}}}}})$ + ${{[\rho _{{s2}}^{2} - r_{{{{N}_{1}}}}^{2}{{\sin }^{2}}(\theta - {{\theta }_{{{{N}_{1}}}}})]}^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}.$ Параметры устройства задают угловые координаты точек рабочей ячейки: ${{\theta }_{{{{O}_{1}}}}} = {{\theta }_{{{{N}_{1}}}}} + \psi ;$ ψ = arccos × × $\{ {{{\text{[}}r_{{{{O}_{1}}}}^{2} + r_{{{{N}_{1}}}}^{2} - {{{({{\rho }_{{s2}}} - {{\rho }_{{s1}}})}}^{2}}]} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text{[}}r_{{{{O}_{1}}}}^{2} + r_{{{{N}_{1}}}}^{2} - {{{({{\rho }_{{s2}}} - {{\rho }_{{s1}}})}}^{2}}]} {(2{{r}_{{{{O}_{1}}}}}{{r}_{{{{N}_{1}}}}})}}} \right. \kern-0em} {(2{{r}_{{{{O}_{1}}}}}{{r}_{{{{N}_{1}}}}})}}\} ;$ ${{\theta }_{{{{N}_{1}}}}} = {{2\pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{2\pi } {{{N}_{L}}}}} \right. \kern-0em} {{{N}_{L}}}};$ ${{\theta }_{{{{M}_{1}}}}} = {{\theta }_{{{{N}_{1}}}}} + {{\theta }_{{{{M}_{3}}}}};$ ${{\theta }_{{{{M}_{2}}}}} = {{\theta }_{{{{N}_{1}}}}} + {{\theta }_{{{{M}_{4}}}}}.$ В стохастической модели для смешивания сыпучих материалов [18] при введении переменной Лагранжа t_L = θ + ωt для свободной границы среды H₁H₂ определены: ее уравнение ${{r}_{h}}(\theta ,{{t}_{L}})$ = ${{{{{{r}_{0}}[{{r}_{b}}({{\theta }_{{{{Q}_{2}}}}},{{t}_{L}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{r}_{0}}[{{r}_{b}}({{\theta }_{{{{Q}_{2}}}}},{{t}_{L}})} {{{r}_{0}}]}}} \right. \kern-0em} {{{r}_{0}}]}}}^{{{{[\theta - {{\theta }_{{{{H}_{1}}}}}({{t}_{L}})]} \mathord{\left/ {\vphantom {{[\theta - {{\theta }_{{{{H}_{1}}}}}({{t}_{L}})]} {[{{\theta }_{{{{Q}_{2}}}}} - {{\theta }_{{{{H}_{1}}}}}({{t}_{L}})]}}} \right. \kern-0em} {[{{\theta }_{{{{Q}_{2}}}}} - {{\theta }_{{{{H}_{1}}}}}({{t}_{L}})]}}}}}$ при ${{\theta }_{{{{Q}_{2}}}}} = {{\theta }_{{{{M}_{2}}}}}$ и угловые координаты точек Q₂ и H₁. Согласно теоретико-экспериментальным исследованиям в рабочей ячейке между последовательными лопастями наблюдаются условные зоны – отсутствия материала I, активного смешения II, а также преимущественного транспортирования и уплотнения III (рис. 1) [16, 18]. Понимание механизма движения смеси порошков в последней зоне – конечная цель настоящего изложения. Предполагается равномерное распределение вероятностей по состояниям системы η₁(n₁), которые соответствуют движению условной границы раздела II и III зон Q₁Q₂, определяемой уравнением из упругой модели деаэрации порошков [16]:

Здесь ${{\theta }_{{{{Q}_{2}}}}} \leqslant \theta \leqslant {{\theta }_{{{{Q}_{1}}}}};$ функция R = R(t) связана с коэффициентом макродиффузии D процесса смешивания двух тонкодисперсных компонентов и равна $R(t) \equiv \sqrt {2Dt} $ [16]. Применим соотношения (11) для случайной функции f_V (η₁,t) = V(η₁,t)/V₀ – отношения объемов V(η₁,t) и V₀, занимаемых в зависимости от изменения состояний системы при η₁ $ \equiv $ η в конечный (промежуточный) и начальный моменты времени t.

Считается, что состояния системы в зоне III задаются значениями η₁(n₁), n₁ = 0,1,…, l₁ для координат точек ${{C}_{{{{n}_{1}}}}}$– середин дуг (участков окружностей радиусом ${{r}_{{C{{n}_{1}}}}} = O{{C}_{{{{n}_{1}}}}}$) между точками эвольвентной лопасти M₁M₂ и свободной границы среды H₁H₂ (рис. 1а). Точка C₀ для n₁ = 0 совпадает со средней точкой Q_m на условной границе раздела Q₁Q₂ для зон II и III r_b(θ,t), тогда реализация состояний ${{\eta }_{1}}({{n}_{1}}) = {{{{n}_{1}}({{R}_{0}} - {{r}_{{{{C}_{0}}}}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{n}_{1}}({{R}_{0}} - {{r}_{{{{C}_{0}}}}})} {{{l}_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{l}_{1}}}},$ n₁ = 0,1,…, l₁ данной системы частиц описывается одномерным законом Пуассона (5):

где в приближениях временного интервала Δt = = t_k + 1– t_k и частоты переходов ${{w}_{1}}\left( {{{\eta }_{1}}({{l}_{1}} - 1),{{\eta }_{1}}({{l}_{1}})} \right)$ = = ${{w}_{1}}\left( {{{\eta }_{1}}(k),{{\eta }_{1}}(k + 1)} \right)$ в соответствии с (6) коэффициент ${{\mu }_{{11}}}(k)$ = $\Delta t{{w}_{1}}\left( {{{\eta }_{1}}({{l}_{1}} - 1),{{\eta }_{1}}({{l}_{1}})} \right).$ Частота переходов определяется формулой (7): где γ₀₁ и γ₁₁ – искомые коэффициенты для β₁(η₁,t) = = γ₀₁ + γ₁₁η₁ согласно (4). Найдем зависимость временного интервала Δt при переходе системы из состояния η₁(k) в состояние η₁(k + 1) при значениях n₁ = 0,1,…, k – 1, k, k + 1,…, l₁, так как данный процесс не является равномерным. Из схемы (рис. 1б) для распределения полярных составляющих скоростей ${{v}_{k}}$ и ${{v}_{{k + 1}}}$ для точек среды C_k и C_k + 1 в соседних состояниях системы η₁(k) и η₁(k + 1) и определения средней скорости движения точки следует

Входящие в (28) модули приращения радиус-вектора Δr_k, k + 1 и суммы скоростей ${{v}_{k}}$ и ${{v}_{{k + 1}}}$ точек C_k и C_k + 1 вычисляются при $v_{{Ck}}^{{\theta }} = \omega {{r}_{{Ck}}}$ и $v_{{Ck + {\text{1}}}}^{{\theta }} = {\omega }{{r}_{{Ck + {\text{1}}}}}$ согласно связи между составляющими скоростей точек уплотняемой среды $v_{{Ck}}^{{\theta }}$ = (k_fωr_Ck + k₁)/[ω(3 – – k₂)] из упругой модели деаэрации порошков [16]. Коэффициенты k_f, k₁, k₂ учитывают физико-механические характеристики деаэрируемых материалов и их трение о лопасти [17]. Обозначим M_k(r_sk,Q_sk) и H_k(r_hk,Q_hk) – выделенные наборы точек кривых: r_s2(θ) – эвольвентной лопасти M₁M₂) и r_h(θ,t') – свободной границы среды H₁H₂ (рис. 1). Значения углов θ_Ck и α между линиями действия скоростей $v_{{Ck}}^{{\theta }}$ и $v_{{Ck + {\text{1}}}}^{{\theta }}$ (рис. 1б) задаются формулами θ_Ck = (θ_Mk + θ_Hk)/2 и α = π – arcsin(χr_Ck) – arcsin(χr_{Ck + 1}), где χ = (Δr)^–1sin(θ_Ck – θ_{Ck+ 1}). Модуль приращения радиус-вектора Δr_0.1, когда n₁ = 0 и точка C₀ совпадает с Q_m(r_Qm,θ_Qm), равен $\left| {\Delta {{r}_{{0.1}}}} \right| = \{ {{({{r}_{{{{Q}_{m}}}}})}^{2}}$ + + ${{[{{r}_{{{{Q}_{m}}}}} + {{\eta }_{1}}(1)]}^{2}}$ – $2{{r}_{{{{Q}_{m}}}}}[{{r}_{{{{Q}_{m}}}}} + {{\eta }_{1}}(1)]\cos ({{\theta }_{{{{Q}_{m}}}}} - {{\theta }_{{C1}}}){{\} }^{{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}.$ Таким образом, задав состояния системы при уплотнении смеси порошков в указанном устройстве при его работе в режиме совмещения со смешиванием, можно сформировать одномерное распределения вероятностей (26).

РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБУЖДЕНИЕ

Одномерное пуассоновское распределение вероятностей для изменения объема двухкомпонентной смеси порошков. Согласно (13) и (14) с учетом (15) и (16) строятся функции для пористости ${{{\alpha }}_{{\text{1}}}}(c_{V}^{{\text{1}}},{\text{ }}c_{V}^{{\text{2}}},{\text{ }}{{{\eta }}_{{\text{1}}}},{\text{ }}t),$ порозности ${{{\alpha }}_{{\text{2}}}}(c_{V}^{{\text{1}}},{\text{ }}c_{V}^{{\text{2}}},{\text{ }}{{{\eta }}_{{\text{1}}}},{\text{ }}t)$ и плотности ${{{\rho }}_{c}}(c_{V}^{{\text{1}}},{\text{ }}c_{V}^{{\text{2}}},{\text{ }}{{{\eta }}_{{\text{1}}}},{\text{ }}t)$ указанной смеси с учетом вида f_V (η,t). Оценка входящих в функцию частоты (27) параметров γ₀₁ и γ₁₁ при совмещенных смешивании и деаэрации связана с решением системы (18) и (19). Первое из них при значении времени $\tau = \sum\limits_{{{n}_{1}} = 0}^{{{l}_{1}}} {\Delta t({{n}_{1}})} {\text{:}}$

где ${{{{\phi }_{1}}{{{\left. { \equiv {{\varphi }_{{{{n}_{{}}}_{1}}}}} \right|}}_{{{{t}_{{}}}_{0}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\phi }_{1}}{{{\left. { \equiv {{\varphi }_{{{{n}_{{}}}_{1}}}}} \right|}}_{{{{t}_{{}}}_{0}}}}} {{{{\left. {{{\varphi }_{{{{n}_{{}}}_{1}}}}} \right|}}_{\tau }}}}} \right. \kern-0em} {{{{\left. {{{\varphi }_{{{{n}_{{}}}_{1}}}}} \right|}}_{\tau }}}},$ причем ${{\phi }_{1}} = {{({{\alpha }_{{2d0}}})}^{2}}$ [1 – $ - {{\left( {{{{{k}_{0}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{k}_{0}}} {{{k}_{l}}}}} \right. \kern-0em} {{{k}_{l}}}}} \right)}^{{1{{} \mathord{\left/ {\vphantom {{} {{{n}_{k}}}}} \right. \kern-0em} {{{n}_{k}}}}}}}(1 - {{\alpha }_{{2d0}}}){{]}^{{ - 2}}}$ из (22) зависит от газопроницаемости смеси k; ${{\alpha }_{{2d0}}}$ = ${{2}^{{ - 1}}}\left( {c_{V}^{1}\alpha _{{20}}^{1} + c_{V}^{2}\alpha _{{20}}^{2}} \right);$ ${\alpha }_{{{\text{2}}0}}^{{\text{1}}},{ \alpha }_{{{\text{2}}0}}^{{\text{2}}}$ – начальные значения порозностей смешиваемых порошковых компонентов.

Второе уравнение системы для поиска γ₀₁ и γ₁₁ с учетом времени смешивания t_s – результат подстановки момента β₁(η₁₀,t₀) в (19), тогда

Распределение плотностей вероятностей для протекания процесса смешивания $c_{s}^{{\text{1}}}({{{\eta }}_{{\text{1}}}},t)$ соответствует функции удельной концентрации ключевого компонента c(r, θ, t_L) в полярных координатах (r, θ) из соответствующей стохастической модели в центробежном устройстве [15]:

где $F(r,{{t}_{L}}) \equiv erf\left[ {{{2}^{{{{ - 3} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 3} 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}r{{{(D{\text{'}}{{t}_{L}})}}^{{{{ - 1} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - 1} 2}} \right. \kern-0em} 2}}}}} \right]$ при введении нормировочного параметра D' = D/(2ω) и переменной Лагранжа t_L = θ + ωt. Выражение (31) учитывает, что смесь достигает условной границы r_b(θ, t) раздела зон II и III из (25) по истечении времени смешения t_s, тогда выполняются равенства

Таким образом, при совмещении смешивания и уплотнения порошков в центробежном устройстве с эвольвентными лопастями для случайной величины f_V (η,t) с учетом (27), (29) и (30) построено одномерное распределение вероятностей ${{\varphi }_{{{{n}_{1}}}}}$ вида (26) в зависимости от непрерывного времени $t$ и дискретных состояний системы η₁(n₁), когда n₁ = 0,1,…, l₁. Для удобства анализа результатов модели выбраны следующие моменты времени t(n_t) = n_t τ/l_t при n_t = 0,1,…, l_t и равенстве значений l_t и l_i.

Предложенную модель проиллюстрируем на примере построения ${{\varphi }_{{{{n}_{1}}}}}$ при деаэрации смеси каолина ГОСТ 21235-75 и технического углерода П803 ГОСТ 7885-86 в центробежном устройстве с эвольвентными лопатками. Характеристики распределения Пуассона (26) (γ₀₁ = 3.46 × 10^–1; γ₀₁ = = 1.278 × 10¹; w₁ = 9.275 × 10¹) для случайной величины f_V (η,t) представлены в табл. 1. Данные о состояниях системы приведены в табл. 2.

Физико-механические параметры смешиваемых компонентов были следующими: для каолина ${\rho }_{T}^{{\text{1}}}$ = 2.6 × 10³ кг/м³; λ¹ = 5.1 × 10⁵ Па; μ¹ = 3.1 × × 10⁵ Па; для технического углерода ${\rho }_{T}^{{\text{2}}}$ = 1.875 × × 10³ кг/м³; λ² = 5.6 × 10⁴ Па; μ² = 3.7 × 10⁴ Па [4]. Значения геометрических параметров ячейки аппарата с эвольвентными лопастями: R₀ = 2.7 × 10^–1 м; r₀ = 7.0 × 10^–2 м; N_L = 6; ${{r}_{{{{O}_{1}}}}}$ = 1.5 × 10^–1 м; ${{r}_{{{{N}_{1}}}}}$ = 1.0 × × 10^–1 м; ρ_s1 = 1.45 × 10^–1 м; ρ_s2 = 1.95 × 10^–1 м. Режимный параметр ω = 20.6 с^–1; динамические характеристики деаэрации смеси: начальная радиальная скорость v_r0 = 1.85 м/с; коэффициент проскальзывания смеси вдоль лопасти β = 9.765 × × 10^–6 м²/(Па с) и коэффициент газопроницаемости среды k₀ = 8.7 $ \times $ 10^–12 м² при $c_{V}^{{\text{1}}} = c_{V}^{{\text{2}}} = 0.{\text{5}}$ и эмпирической константе n_k = 4.1 в формуле (22) [17]. Константы имели следующие значения: k_f = 6.671 × × 10^–1 с^–1; k₁ = 3.32 × 10⁴ с^–2; k₂ = 9.372 × 10². Полученные одномерные распределения вероятностей ${{\varphi }_{{{{n}_{1}}}}}$ для f_V (η,t), дискретные по состояниям системы η₁ и непрерывные по t, представлены на рис. 2.

Дискретные распределения по состояниям η₁(n₁) для системы (n₁ = 0,1,…, l₁) в фиксированные моменты времени $t$, равные $t({{n}_{1}})$ при n_t = = 0,1,…, l_t; l_t = l_i, показывают, с какой вероятностью будет происходить изменение некоторого объема однородной смеси порошков – ограниченного интервалом по оси абсцисс от η₁(k) до η₁(k + 1) при n₁ = 0,1,…,k – 1, k, k + 1,…, l₁ – от ${{V}_{0}} = V({{\eta }_{1}}(0),t(0))$ до $V({{\eta }_{1}}(k + 1),t(k + 1))$ при деаэрации порошковой смеси в ячейке центробежного устройства с эвольвентными лопатками. Переход смеси в зону III осуществляется при пересечении условной границы раздела зон II и III, когда начальный момент t(0) практически равен времени смешивания, а изменение объема материала, соответствующего отрезку [η₁(0); η₁(1)], незначительное. Вероятность изменить существенно свой объем при t(0) максимальна для срединной зоны III. С течением времени именно в этой области (${{{{n}_{1}} \sim {{l}_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{n}_{1}} \sim {{l}_{1}}} 2}} \right. \kern-0em} 2}$) наблюдается значительная деаэрация материала, а при t(l₁) в конечном состоянии для f_V (η,t), естественно, распределение вероятностей достигает своего максимума, характеризуя завершение уплотнения смеси.

Поиск основных моментов распределения вероятностей для случайной порозности смеси в центробежном устройстве. Функциональные преобразования для случайной величины α₂[f_V (η,t)] при η₁(n₁) в формах ${{\psi }_{{{{n}_{{}}}_{1}}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Omega \to \infty } {{(2\Omega )}^{{ - 1}}}$$\int\limits_{ - \Omega }^\Omega {\exp \left\{ { - z{{\alpha }_{2}}({{n}_{1}})} \right\}} {{M}_{{_{{{{\alpha }_{2}}}}}}}(z)dz$ или $\psi ({{\eta }_{1}}) = {{(2\pi )}^{{ - 1}}}$$\int\limits_{ - \infty }^u {\exp \left\{ { - z{{\alpha }_{2}}({{\eta }_{1}})} \right\}} {{M}_{{{{\alpha }_{2}}}}}(z)dz$ определяют дискретную ${{\psi }_{{{{n}_{1}}}}}$ или непрерывную ψ(η₁) функции распределения вероятностей, тогда согласно [11, 15] представление производящих функций моментов имеет вид

Определим основные моменты распределения вероятностей для случайной порозности – математического ожидания 〈Mα₂[f_V (η,t)]〉 и дисперсии 〈Dα₂[f_V (η,t)]〉 нелинейного преобразования α₂[f_V (η,t)] случайной величины f_V (n₁) при условии аналитичности производящей функции моментов ${{M}_{{{{{\alpha }}_{{\text{2}}}}}}}(u)$ в окрестности точки u = 0. Допустимы разложения [11] $\ln {{M}_{{{{{\alpha }}_{2}}}}}(u)$ = = $\sum\limits_{{\nu } = 1}^\infty {\left\langle {{{x}_{\nu }}} \right\rangle } {{u}^{{\nu }}}{{(\nu !)}^{{ - 1}}}$ и ${{M}_{{{{{\alpha }}_{{\text{2}}}}}}}(u)$ = $\sum\limits_{{\nu } = 0}^\infty {\left\langle {{{a}_{{\nu }}}} \right\rangle } {{u}^{{\nu }}}{{(\nu !)}^{{ - 1}}},$ где 〈x_r〉 = = ${{\left. {[{{{{d}^{{(r)}}}{\kern 1pt} \ln {{M}_{{{{{\alpha }}_{{\text{2}}}}}}}(u)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{d}^{{(r)}}}{\kern 1pt} \ln {{M}_{{{{{\alpha }}_{{\text{2}}}}}}}(u)} {d{{u}^{{(r)}}}}}} \right. \kern-0em} {d{{u}^{{(r)}}}}}]} \right|}_{{u = 0}}};$ 〈a_r〉 = $[{{{{d}^{{(r)}}}{{M}_{{{{{\alpha }}_{{\text{2}}}}}}}(u)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{d}^{{(r)}}}{{M}_{{{{{\alpha }}_{{\text{2}}}}}}}(u)} {d{{u}^{{(r)}}}}}} \right. \kern-0em} {d{{u}^{{(r)}}}}}]{\kern 1pt} \left| {_{{u = 0}}} \right.$ – семиинварианты. Результат нелинейного преобразования f_V (η₁(n₁),t) – при n₁ = 0,1,…, l₁ и изменении состояний η₁(n₁) – случайная порозность α₂[f_V (η,t)] из (32). Найдем связь между отношением объемов ${{V}_{{{{n}_{1}}0}}} \equiv {{V}_{{{{n}_{1}}}}}({{\eta }_{1}}(0),0)$ и ${{V}_{{{{n}_{1}}}}} \equiv {{V}_{{{{n}_{1}}}}}[{{\eta }_{1}}({{n}_{1}}),t({{n}_{1}})],$ занимаемых данной системой в начальный и промежуточный момент времени t на любом участке оси абсцисс от η₁(k) до η₁(k + 1), согласно рис. 1, если k принадлежит последовательности n₁ = = 0,1,…,k – 1, k, k + 1,…, l₁:

В (33), учитывая вид кривых r_s2(θ), r_h(θ,t') и r_b(θ,t), справедливо следующее: ${{r}_{{{{n}_{1}}}}} = {{r}_{{{{Q}_{m}}}}}$ – ‒ n₁[η₁(l₁) – η₁(l₁ – 1)]; r_b(n₁) ≡ r_b(θ(n₁),t(n₁)); Δη₁≡ ≡ η₁(l₁) – η₁(l₁ – 1); Δθ_sh(n₁) ≡ θ_s2(n₁) – θ_h(n₁); Δδ_sh(n₁) ≡ δ_s2 – δ_h; δ_s2≡ 2r_k sin{2^–1[θ_s2(r_k) – θ_s2(r_k + 1)]}; δ_h≡ 2r_k sin{2^–1[θ_h(r_k) – θ_h(r_k + 1)]}.

После разложения в ряд Маклорена зависимостей Δδ_sh, δ_s2 и δ_h от n₁ в пренебрежении квадратичными членами случайная порозность согласно (14), (16) и (33) представляется в форме

где обозначено ${{b}_{0}} \equiv {{{{\theta }_{{{{N}_{1}}}}}{{\upsilon }_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\theta }_{{{{N}_{1}}}}}{{\upsilon }_{1}}} {{{c}_{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{c}_{2}}}};$ ${{b}_{1}} \equiv {{{{\theta }_{{{{N}_{1}}}}}{{\upsilon }_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\theta }_{{{{N}_{1}}}}}{{\upsilon }_{1}}} {{{\upsilon }_{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{\upsilon }_{2}}}};$ b₂ ≡ ≡ c₀/c₂; ${{b}_{3}} \equiv {{c}_{1}}{{({{c}_{2}})}^{{ - 1}}};$ ${{\upsilon }_{1}} \equiv 2{{r}_{b}}({{\theta }_{{{{Q}_{m}}}}},{{t}_{s}}) + \Delta {{\eta }_{1}};$ ${{\upsilon }_{2}} \equiv 2\Delta {{\eta }_{1}};$ ${{g}_{1}} \equiv {{z}_{{s21}}} - {{z}_{{h1}}}{{n}_{1}};$ ${{g}_{2}} \equiv {{z}_{{s22}}} - {{z}_{{h2}}}{{n}_{1}};$ ${{d}_{1}} \equiv {{{{\theta }_{{{{N}_{1}}}}} - \pi } \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\theta }_{{{{N}_{1}}}}} - \pi } {2 - {{\vartheta }_{1}}}}} \right. \kern-0em} {2 - {{\vartheta }_{1}}}} - $ – ${{{{\theta }_{{H1}}}({{t}_{s}}) - {{\vartheta }_{2}}{\kern 1pt} \ln ({{r}_{{b{{Q}_{m}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\theta }_{{H1}}}({{t}_{s}}) - {{\vartheta }_{2}}{\kern 1pt} \ln ({{r}_{{b{{Q}_{m}}}}}} {{{r}_{0}});}}} \right. \kern-0em} {{{r}_{0}});}}$ d₂ ≡ Δη₁$[{{(r_{{{{N}_{1}}}}^{2}{\kern 1pt} - \rho _{2}^{2})} \mathord{\left/ {\vphantom {{(r_{{{{N}_{1}}}}^{2}{\kern 1pt} - \rho _{2}^{2})} {({{r}_{{b{{Q}_{m}}}}}{{\vartheta }_{3}})}}} \right. \kern-0em} {({{r}_{{b{{Q}_{m}}}}}{{\vartheta }_{3}})}} - $ – ϑ₂]; ${{c}_{0}} \equiv {{{{d}_{1}}{{\upsilon }_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{d}_{1}}{{\upsilon }_{1}}} {2 - {{g}_{1}}{{r}_{b}}({{\theta }_{{{{Q}_{m}}}}},{{t}_{s}})}}} \right. \kern-0em} {2 - {{g}_{1}}{{r}_{b}}({{\theta }_{{{{Q}_{m}}}}},{{t}_{s}})}};$ c₂ ≡ d₂υ₂/2 + 4g₂Δη₁; ${{c}_{1}} \equiv {{d}_{1}}{{\upsilon }_{2}} + {{d}_{2}}{{\upsilon }_{1}} + {{g}_{2}}{{r}_{b}}({{\theta }_{{{{Q}_{m}}}}},{{t}_{s}}) + {{g}_{1}}\Delta {{\eta }_{1}}.$ Ввиду громоздкости выражения для констант z_s21, z_h1, z_s22, ${{z}_{{h2}}},{{\vartheta }_{1}},{{\vartheta }_{2}},{{\vartheta }_{3}},$ зависящих от координат точек Q_m, Q₂, N₁, H₁, H₂ (рис. 1a), не приводятся. Производящая функция моментов для α₂[f_V (n₁)] из (34) с учетом (26) согласно (32) равна

где комбинация (b₁ + n₁)/[b₂ + n₁(b₃ + n₁)] ≡ ε(n₁) после разложения в ряд Маклорена при введении ${{R}_{{{{n}_{1}}}}} = \sum\limits_{r = 2}^\infty {{{(r!){{d}^{r}}\varepsilon ({{n}_{1}})} \mathord{\left/ {\vphantom {{(r!){{d}^{r}}\varepsilon ({{n}_{1}})} {dn_{1}^{r}}}} \right. \kern-0em} {dn_{1}^{r}}}} $ допускает представление

Оценка ${{b}_{1}}{{b}_{2}} \sim ({{b}_{2}} + {{b}_{1}}{{b}_{3}}){{b}_{3}}$ позволяет пренебречь слагаемым ${{R}_{{{{n}_{1}}}}}$ в (36). Пользуясь (36) и $\sum\limits_{{{n}_{1}} = 1}^\infty {{{\mu _{{11}}^{{{{n}_{1}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\mu _{{11}}^{{{{n}_{1}}}}} {{{n}_{1}}}}} \right. \kern-0em} {{{n}_{1}}}}!} = \exp ({{\mu }_{{11}}}),$ при обозначении ξ₁ ≡ qb₀b₁/b₂ и ξ₂≡ qb₀(1 – b₁b₃)/$b_{{\text{2}}}^{{\text{2}}}$ получим приближение для (35):

Последовательность производящих функций в выражении (37) сходится к непрерывной относительно переменной u производящей функции моментов ${{M}_{{{{{\alpha }}_{{\text{2}}}}}}}(u)$ для α₂(n₁) в виде (37), что позволяет согласно обратной предельной теореме [11] считать, что существует некоторая функция распределения ψ(u), к которой также сходится последовательность функций распределения ψ(η₁(n₁)), определяемая формулой обращения

Математическое ожидание, дисперсия, семиинвариант порядка r = 3 для ${{\alpha }_{2}}({{n}_{1}})$ с учетом вида производящей функции (37) и функции распределения (38) равны

Основные расчетные параметры, используемые при получении уравнений искомых поверхностей (рис. 3) для зависимостей 〈Mα₂[f_V(n₁)]〉 и 〈Dα₂[f_V(n₁)]〉 из (39), (40) приведены в табл. 3. Анализ указанных поверхностей показывает, что они расположены в порядке смены ${{n}_{1}}$ – состояния системы. Необходимо отметить существенное влияние объемных концентраций компонентов смеси на величину 〈Mα₂[f_V(n₁)]〉 и удовлетворительное согласие полученных данных и опытных показателей [18] деаэрации смеси с относительной ошибкой, не превышающей 9.8%. Результаты моделирования позволяют прогнозировать значения порозности смеси порошков в зависимости от объемных концентраций ее компонентов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложенная модель деаэрации сыпучих материалов в совмещенных или последовательных процессах со смешиванием обладает следующими особенностями: (1) описывает поведение системы твердых частиц от ее состояния и времени; (2) учитывает неоднородность уплотняемой среды и взаимодействия удаляемого газа с частицами твердого скелета; (3) применима при различных способах смешивания и деаэрации сыпучих материалов (механическом, вибрационном и пневматическом).

Кроме того, исследован механизм поведения твердых дисперсных сред на примере совмещения их смешивания и деаэрации в объеме центробежного устройства.

Полученные результаты могут быть использованы в качестве теоретической базы при разработке инженерных методов расчета нового оборудования с последовательным или совмещенным выполнением операций смешивания и деаэрации порошковых смесей, например, механических аппаратов различных типов (центробежных устройств с криволинейными лопастями, валково-ленточных агрегатов и т.д.).

В частности, метод оптимизации конструктивно-режимных параметров устройства для совмещения операций смешивания и деаэрации порошков, приведенный в работе [19], может быть дополнен результатами настоящей работы при формировании трех видов функции цели с достижением: (1) максимальных значений степени уплотнения смеси сыпучих компонентов и давления газа в ее порах; (2) максимальной производительности и минимальной мощности привода; (3) максимальной производительности и минимального коэффициента неоднородности смеси. При этом последние две целевые функции моделируются с одинаковым режимным параметром – угловой скоростью вращения рабочей ячейки центробежного устройства. Разбивая на несколько стадий расчет указанных целевых функций по их числу, в зависимости от оценки случайной порозности получаемой смеси сыпучих компонентов с учетом, с одной стороны, коэффициента газопроницаемости, а с другой, параметра макродиффузии смешиваемых компонентов, последовательно в каждом случае проводится отыскание локализации точки оптимума градиентным методом.

Указанный способ моделирования совмещенных процессов смешивания и деаэрации сыпучих компонентов и их смесей может быть использован для оценки случайной порозности: при упаковке таких материалов, как сажа, каолин, различного рода тонкодисперсных химических средств защиты растений, строительных порошковых продуктов; при изготовлении уплотненных гранул-сфер в производстве сажи, сухих красок, компонентов асфальтобетона; при деаэрации сыпучих смесей.

ОБОЗНАЧЕНИЯ

ИНДЕКСЫ