Вестник Военного инновационного технополиса «ЭРА», 2022, T. 3, № 4, стр. 387-391

ОБ ОПТИМИЗАЦИИ РЕГУЛЯТОРОВ СУДОВОГО ВЫЧИСЛИТЕЛЯ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИХ АВТОНОМНОСТЬ УПРАВЛЯЮЩЕЙ СИСТЕМЕ

Г. Е. Панамарев^1, *, В. В. Попов², А. П. Троеклазов²

¹ Военный инновационный технополис “ЭРА”
Анапа, Россия

² Государственный морской университет им. адмирала Ф.Ф. Ушакова”
Новороссийск, Россия

^* E-mail: era_lab5@mil.ru

Поступила в редакцию 15.03.2022
После доработки 20.03.2022
Принята к публикации 20.03.2022

DOI: 10.56304/S2782375X22040106

Полный текст (PDF)

Аннотация

Показано построение обратной связи для обеспечения системе свойства автономности при работе судового вычислителя в режиме функционирования ввода управляющих воздействий при сложной обстановке движения судна на курсе.

ВВЕДЕНИЕ

В современном регламенте управления судном на курсе широко применяются оптимизированные системы обработки информационных кортежей для помощи в принятии решений судоводителем и непосредственной работы с системными пакетами программного продукта с элементами искусственного интеллекта [1].

Постановка задачи. Пусть поведение объекта регулирования как сегмента управления судового вычислителя описывается системой дифференциальных уравнений вида

(1)

$\dot {x} = \varphi \left( {x,u} \right);\quad y = Cx,$

где x – n-мерный вектор фазовых координат системы, u – r-мерный вектор управления, y – r‑мерный вектор постановки управляющей задачи, φ – n-мерная вектор-функция, C – матрица $r \times n$.

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЯЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ

В ряде прикладных задач имеется возможность развязывать управляющие воздействия $\left( {{{u}_{1}},{{u}_{1}},...,{{u}_{r}}} \right)$ = u. Относительно координат вектора $y = \left( {{{y}_{1}},{{y}_{1}},...,{{y}_{r}}} \right)$ построение системы предполагается так, чтобы управление ${{u}_{i}}$ действовало лишь на координату ${{y}_{i}}$, не возмущая координат ${{y}_{j}}\left( {j \ne i} \right)$. В исследовании систему (1), обладающую такими свойствами, примем как автономно управляемую, где значение координаты ${{y}_{i}}$ в любой момент времени $t$ будет функционалом системы вида

(2)

${{y}_{i}}\left( t \right) = {{y}_{i}}\left( {x\left( 0 \right),u\left( \tau \right),{{{\bar {u}}}_{i}}\left( \tau \right)} \right);\quad \left( {0 \leqslant \tau \leqslant t} \right),$

где ${{\bar {u}}_{i}} = \left( {{{u}_{i}},...,{{u}_{{i - 1}}},{{u}_{{i + 1}}},...,{{u}_{r}}} \right)$.

Итак, система (1) автономно управляема по $i$‑й координате при функционале (2), не зависящем от ${{\bar {u}}_{i}}$. Тогда система полностью автономна при управляемости по всем координатам. Примем, что объект регулирования описывается системой уравнений

(3)

$\dot {x} = Ax + Bu;\quad y = Cx,$

где A, B, C – постоянные матрицы размера $n \times n$, $n \times r$, $r \times n$. Система (3) свойствами автономности не обладает [2].

Проведем исследования вариации применимости обработки данных в различных конфигурациях постановки задач законов автономной системы и асимптотического регулирования. Проанализируем множество законов обратной связи, обеспечивающих системе заданные свойства. Примем входное воздействие в виде двух слагаемых

(4)

$u = \vartheta + f,$

где $f\left( t \right)$ – внешнее управляющее воздействие, $\vartheta \left( x \right)$ – определяющий закон обратной связи.

Условия автономного регулирования. Исследуем скалярные произведения вида

(5)

$({{c}_{i}},{{A}^{s}}{{b}^{j}});\quad \left( {s = 0,1,...,n - 1;j = 1,2,...,r} \right),$

где ${{d}^{i}}$ – $i$-вектор столбец, ${{d}_{j}}$ – $j$-я вектор-строка произвольной матрицы D.

Пусть ${{n}_{{ij}}}$ – наименьшее значение s_i, при котором скалярное произведение (5) отличается от нуля, тогда

$({{c}_{i}},{{A}^{s}}{{b}^{j}}) = e_{i}^{j} \ne 0;\quad \left( {s = 0,1,...,n - 1;{{n}_{{ij}}}j = \infty } \right).$

Чтобы система обладала обратной связью $\vartheta \left( x \right)$, обеспечивающей системе (3), (4) автономность по i-й координате, необходимо и достаточно выполнение условий

(6)

${{n}_{{ii}}} < {{n}_{{ij}}};\quad \left( {i = 1,...r;j = 1,...,i - 1,i + 1,...,r} \right).$

Пусть существует $\vartheta \left( x \right)$, при котором система (3) и (4) полностью автономна и условия (6) не выполнимы, тогда хотя бы для одного ${{n}_{{ij}}}$:

(7)

$\begin{gathered} ({{c}_{i}},A_{{ij}}^{n}{{b}^{j}}) = e_{i}^{j} \ne 0;\quad ({{c}_{i}},{{A}^{s}}{{b}^{j}}) = 0e_{i}^{j}; \\ \left( {s = 0,1,...,n - 1;{{n}_{{ij}}} - 1} \right). \\ \end{gathered} $

Проведем в уравнениях (3) модификацию относительно замены переменных:

$\begin{gathered} z = Dx,\quad D = {\text{|}}{{c}_{i}},A{\kern 1pt} {\text{*}}{{c}_{i}}...A_{{ij}}^{*}{{c}_{i}}{{l}_{i}}...{{l}_{p}}{\text{|}}{\kern 1pt} {\text{*}}; \\ \left( {p = n - {{n}_{{ij}}} - 1} \right). \\ \end{gathered} $

В исследовании принято, что каждая из вектор-строк ${{l}_{1}},...,{{l}_{p}}$ матрицы D линейно независима с остальными вектор-строками. Тогда векторы ${{c}_{i}},A{\text{*}}{{c}_{i}}...A{{{\text{*}}}^{{nij}}}{{c}_{i}}$ линейно независимы, следовательно, матрица D, не особая.

Пусть существуют числа ${{p}_{i}}$, такие что

$\sum\limits_{i = 0}^{{{n}_{{ij}}}} {{{p}_{i}}} A{\kern 1pt} {{{\text{*}}}^{i}}{{c}_{i}} = 0,$

где ${{p}_{i}} = 0$ на все величины. Тогда исследуем равенство, определяющее регулирование уровня воздействия вида

$\left( {\left( {A{{{\text{*}}}^{s}}\sum\limits_{i = 0}^{{{n}_{{ij}}}} {{{p}_{i}}A{{{\text{*}}}^{i}}{{c}_{i}}} } \right),b{{{\text{*}}}^{j}}} \right) = \sum\limits_{i = 0}^{{{n}_{{ij}}}} {{{p}_{i}}} ({{c}_{i}},{{A}^{{\left( {i + s} \right)}}}{{b}^{j}}) = 0,$

последовательно при $s = 0,1,...,{{n}_{{ij}}}$ и, учитывая (7), находим ${{p}_{{\left( {{{n}_{{ij}}} - s} \right)}}}e_{i}^{j} = 0$ и ${{p}_{{\left( {{{n}_{{ij}}} - s} \right)}}}e_{i}^{j} = 0;\left( {s = 0,1,...,{{n}_{{ij}}}} \right)$, следовательно, матрица $D$ не особая [3].

Тогда в новых переменных модифицированное уравнение принимает вид

${{\dot {y}}_{i}} = {{\dot {z}}_{i}} = {{z}_{z}},\quad {{\dot {z}}_{s}} = {{z}_{{s + 1}}};\quad \left( {s = 2,3,...,{{n}_{{ij}}}} \right),$

(8)

$\begin{gathered} {{{\dot {z}}}_{{\left( {{{n}_{{ij}}} + 1} \right)}}} = \sum\limits_{p = 1}^n {{{h}_{p}}{{z}_{p}}} + e_{i}^{j}{{u}_{j}} + k{{u}_{i}}, \\ {{{\dot {z}}}_{m}} = \sum\limits_{p = 1}^n {{{g}_{{mp}}}{{z}_{p}} + \sum\limits_{p = 1}^r {{{h}_{{mp}}}{{u}_{p}}} } , \\ \end{gathered} $

$k = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {e_{i}^{j};\quad {{n}_{{ii}}} = {{n}_{{ij}}}} \\ {0;\quad {{n}_{{ii}}} > {{n}_{{ij}}};\quad (m = \left( {{{n}_{{ij}}} + 2} \right),...,n)} \end{array}} \right..$

Пусть в (8) выбран произвольный непрерывно дифференцируемый закон обратной связи $\vartheta \left( z \right)$ при условии $\left( {u = \vartheta \left( z \right) + f\left( t \right)} \right)$, тогда вариации фазовых координат при варьировании управления описываются системой уравнений

$\left( {\dot {\delta }{{{\dot {y}}}_{i}}} \right) = \left( {\dot {\delta }{{{\dot {z}}}_{1}}} \right) = \dot {\delta }{{z}_{2}},\quad \left( {\dot {\delta }{{{\dot {z}}}_{s}}} \right) = \dot {\delta }{{z}_{{s + 1}}},$

(9)

$\begin{gathered} (\dot {\delta }{{{\dot {z}}}_{{({{r}_{{ij}}} + 1)}}}) = \sum\limits_{p = 1}^n {{{h}_{p}}\delta {{z}_{p}}} + e_{i}^{j}\sum\limits_{p = 1}^n {\frac{{\partial {{\vartheta }_{i}}}}{{\partial {{z}_{p}}}}} \delta {{z}_{p}} + \\ \, + k\sum\limits_{p = 1}^n {\frac{{\partial {{\vartheta }_{i}}}}{{\partial {{z}_{p}}}}} \delta {{z}_{p}} + e_{i}^{j}\delta {{f}_{j}} + k\delta {{f}_{j}}, \\ \left( {\dot {\delta }{{z}_{m}}} \right) = \sum\limits_{p = 1}^n {{{g}_{{mp}}}\delta {{z}_{p}}} + \sum\limits_{p = 1}^r {{{h}_{{mp}}}} \left( {\sum\limits_{p = 1}^n {\frac{{\partial {{\vartheta }_{p}}}}{{\partial {{z}_{s}}}}} + \delta {{f}_{s}}} \right), \\ \end{gathered} $

$\left( {m = \left( {{{n}_{{ij}}} + 2} \right),...,n;\;s = 2,3,...,{{n}_{{ij}}}} \right).$

где δ – знак варьирования.

РЕГУЛЯТОРЫ УПРАВЛЕНИЯ

Если система (3), (4) автономно управляема по i-й координате и равенство при произвольных $\delta {{f}_{i}}\left( {j \ne i} \right)$:

(10)

$\delta {{f}_{i}}\left( t \right) \equiv 0,\quad {\text{то}}\quad \delta {{y}_{i}}\left( t \right) \equiv 0.$

Тогда из (9), (10) следует, что δz₁(t) = $ = \delta {{z}_{2}}(t) = ... = \dot {\delta }{{z}_{{({{n}_{{ij}}} + 1)}}} \equiv 0$, и уравнение системы (9) дает необходимое условие автономности:

(11)

$\begin{gathered} \sum\limits_{p = \left( {{{n}_{{ij}}} + 2} \right)}^n {{{h}_{p}}\delta {{z}_{p}}} + \sum\limits_{p = \left( {{{n}_{{ij}}} + 2} \right)}^n {\left( {e_{i}^{j}\frac{{\partial {{\vartheta }_{j}}}}{{\partial {{z}_{p}}}} + k\frac{{\partial {{\vartheta }_{j}}}}{{\partial {{z}_{p}}}}} \right)\delta {{z}_{p}} + } \\ \, + e_{i}^{j}\delta {{f}_{i}} = 0. \\ \end{gathered} $

Поскольку $\delta {{z}_{i}}\left( t \right)$ непрерывная функция, а $\delta {{f}_{i}}\left( t \right)$ независимы и произвольны, то условие (11) может быть выполнено лишь при $e_{i}^{j} = 0$, что противоречит (7) и удовлетворяет условию оптимального управления [4].

Пусть условия (6) выполнены с оптимальным положением, тогда

(12)

$({{c}_{i}}{{A}^{s}}{{b}^{j}}) = 0\quad {\text{при}}\quad s \leqslant {{n}_{i}}\quad {\text{и}}\quad i \ne j.$

Проведем в уравнениях (3) модификацию путем замены переменных, тогда

$\begin{gathered} z = Dx\quad {\text{при}}\quad D = {\text{|}}{{c}_{1}}A{\kern 1pt} {\text{*}}{{c}_{1}}...A{\kern 1pt} {{{\text{*}}}^{{{{n}_{{11}}}}}}{{c}_{1}}{{c}_{2}}A{\kern 1pt} {\text{*}}{{c}_{2}}... \\ A{\kern 1pt} {{{\text{*}}}^{{{{n}_{{22}}}}}}{{c}_{2}}...{{c}_{r}}...A{\kern 1pt} {{{\text{*}}}^{{{{n}_{{rr}}}}}}{{c}_{r}}{{l}_{1}}...,{{l}_{p}}{\text{|}}{\kern 1pt} {\text{*}}. \\ \end{gathered} $

В выражении каждая из вектор-строк ${{l}_{1}}...,{{l}_{p}}$ матрицы D линейно независима с остальными вектор-строками. Исследуем и покажем, что векторы

(13)

${{c}_{1}}...A{{{\text{*}}}^{{{{n}_{{11}}}}}}{{c}_{1}},{{c}_{2}},...,A{{{\text{*}}}^{{{{n}_{{22}}}}}}{{c}_{2}},...,{{c}_{r}},...A{{{\text{*}}}^{{{{n}_{{rr}}}}}}{{c}_{r}}$

линейно независимы, следовательно, матрица D не особая.

Пусть существуют числа ${{p}_{{is}}}$, такие что

$\sum\limits_{i = 1}^r {\sum\limits_{s = 0}^{{{n}_{{ii}}}} {{{p}_{{is}}}} } A{{{\text{*}}}^{s}}{{c}_{i}} = 0,$

где${{p}_{{is}}} = 0$ при ${{n}_{{11}}} \geqslant {{n}_{{22}}}... \geqslant {{n}_{{rr}}}$.

Тогда имеем

$\sum\limits_{i = 1}^r {\sum\limits_{s = 0}^{{{n}_{{ii}}}} {{{p}_{{is}}}} } (A{{{\text{*}}}^{s}}{{c}_{i}}{{b}^{j}}) = 0;\quad \left( {j = 1,2,...,r} \right).$

Отсюда при j = 1 с учетом (12) находим ${{p}_{{1n11}}}e_{1}^{1}0$ и ${{p}_{{1n11}}} = 0$. Если при ${{n}_{{11}}} = {{n}_{{22}}}$ j = 2, получаем ${{p}_{{2n22}}}e_{2}^{2}$ = 0 и ${{p}_{{2n22}}} = 0$.

Исследуем выражения

$\begin{gathered} \left( {\left( {A{\kern 1pt} {{{\text{*}}}^{k}}\sum\limits_{i = 1}^r {\sum\limits_{s = 0}^{{{n}_{{ii}}}} {{{p}_{{is}}}A{\kern 1pt} {{{\text{*}}}^{s}}{{c}_{i}}} } } \right),{{b}^{j}}} \right) = \\ \, = \sum\limits_{i = 1}^r {\sum\limits_{s = 0}^{{{n}_{{ii}}}} {{{p}_{{is}}}({{c}_{i}}{{A}^{{k + s}}}{{b}^{j}})} } = 0;\quad \left( {j = 1,2,...,r} \right) \\ \end{gathered} $

последовательно при $k = 1,\;2,\;...,\;{{n}_{{11}}}$ и, учитывая (12), обнаруживаем, что все ${{p}_{{ij}}} = 0$, следовательно, векторы (13) линейно независимы, а матрица D не особая.

В новых условиях переменные величины уравнения объекта примут вид

(14)

$\dot {z} = \bar {A}z + \bar {B}u;\quad y = \bar {C}z.$

Выражения представим как совокупность связанных подсистем уравнений

(15)

$\begin{gathered} {{{\dot {z}}}^{i}} = {{{\bar {A}}}_{i}}z + {{{\bar {B}}}^{i}}{{u}_{i}};\quad {{{\dot {z}}}^{0}} = {{{\bar {A}}}_{0}}z + {{{\bar {B}}}_{0}}{{u}_{i}}; \\ {{y}^{i}} = z_{i}^{i},\quad {{z}^{i}} = (z_{1}^{i},z_{2}^{i},...,z_{{\left( {{{n}_{{ii}}} + 1} \right)}}^{i});\quad \left( {i = 1,2,...,r} \right). \\ \end{gathered} $

Здесь первая подсистема состоит из первых ${{n}_{{ii}}} + 1$ уравнений (14), а вторая из следующих ${{n}_{{22}}} + 1$ и так далее, последняя – из оставшихся $s = n - \sum\limits_{i = 1}^r {{{n}_{{ii}}}} - r$ уравнений (14).

Матрицы ${{\bar {A}}_{i}}$ и векторы ${{\bar {b}}_{i}}$ имеют вид

${{\bar {A}}_{i}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \begin{array}{*{20}{c}} 0&1& \cdots &{\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} \cdots & \cdots \end{array}}& \cdots & \cdots \end{array}} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} \cdots &0&1& \cdots \end{array}}&0& \cdots &0 \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{array}}& \cdots & \cdots & \cdots \end{array}} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{array}}& \cdots & \cdots & \cdots \end{array}} \end{array}} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} \cdots & \cdots &0&1 \end{array}}& \cdots & \cdots & \cdots \end{array}} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} \cdots & \cdots & \cdots &0 \end{array}}&1& \cdots & \cdots \end{array}} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\bar {a}}}_{{{{k}_{i}}1}}}}& \cdots & \cdots & \cdots \end{array}}&{{{{\bar {a}}}_{{{{k}_{i}}{{s}_{i}}}}}}& \cdots &{{{{\bar {a}}}_{{{{k}_{i}}n}}}} \end{array}} \end{array}} \right|;\quad {{\bar {b}}^{i}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} 0 \hfill \\ 0 \hfill \\ \end{gathered} \\ \vdots \\ 0 \\ {e_{i}^{i}} \end{array}} \right|,$

$\left( {{{s}_{i}} = {{n}_{{ii}}} + 1,{{k}_{i}} = i + \sum\limits_{j = 1}^i {{{n}_{{jj}}}} } \right)$

где ${{\bar {a}}_{{ij}}}$ – элементы матрицы $\bar {A}$.

Последняя строка матрицы $\bar {A}$ состоит из коэффициентов разложения вектора $A{{{\text{*}}}^{{\left( {{{n}_{{ii}}} + 1} \right)}}}$ по вектор-строкам матрицы D [5]. Выберем для объекта исследования (15) законы обратной связи вида

(16)

$\begin{gathered} {{\vartheta }_{i}} = - \frac{1}{{e_{i}^{i}}}\sum\limits_{j = 1}^n {{{{\bar {a}}}_{{{{k}_{i}}j}}}} {{z}_{j}} + {{{\bar {\vartheta }}}_{i}}({{z}^{i}}) = \\ \, = - \frac{1}{{e_{i}^{i}}}({{c}_{i}},A{\kern 1pt} {{*}^{{\left( {{{n}_{{ii}}} + 1} \right)}}}x) + {{{\bar {\vartheta }}}_{i}}\left( {{{y}_{i}},...,\frac{{{{d}^{{{{n}_{{ii}}}}}}{{y}_{i}}}}{{d{{t}^{{{{n}_{{ii}}}}}}}}} \right), \\ \end{gathered} $

где ${{\bar {\vartheta }}_{i}}$ – произвольная непрерывная функция zⁱ. Тогда система (15)–(16) распадается на r независимых подсистем и одну связанную:

$\dot {z}_{j}^{i} = z_{{j + 1}}^{i},\dot {z}_{{\left( {{{n}_{{ii}}} + 1} \right)}}^{i} = {{e}_{i}}{{\bar {\vartheta }}_{i}} + {{e}_{i}}{{f}_{i}};\quad \left( {j = 1,2,...,{{n}_{{ii}}}} \right),$

(17)

${{\dot {z}}^{0}} = {{\bar {A}}^{0}}z + {{\bar {B}}^{0}}\bar {\vartheta } + {{\bar {B}}_{0}}f;\quad \left( {i = 1,2,...,r} \right),$

${{y}_{i}} = z_{i}^{i},$

где $f = \left( {{{f}_{1}},...,{{f}_{r}}} \right);\bar {\vartheta } = \left( {{{{\bar {\vartheta }}}_{1}},...,{{{\bar {\vartheta }}}_{r}}} \right)$.

Функционалы (2) для системы (17) имеют вид

(18)

$\begin{gathered} {{y}_{i}}\left( t \right) = z_{1}^{i}\left( t \right) = z_{i}^{1}({{z}^{i}}(0),{{f}_{i}}(\tau )) = {{y}_{i}}\left( {x(0),{{f}_{i}}(\tau )} \right); \\ \left( {0 \leqslant \tau \leqslant t;i = 1,2,...,r} \right), \\ \end{gathered} $

следовательно, регуляторы (16) при любой непрерывной функции ${{\vartheta }_{i}}\left( {{{y}_{i}},...,\frac{{{{d}^{{{{n}_{{ii}}}}}}{{y}_{i}}}}{{d{{t}^{{{{n}_{{ii}}}}}}}}} \right)$ обеспечивают полную автономность системе (3)–(4), система (14) полностью автономна по Вознесенскому, если $\delta {{y}_{i}}\left( t \right) \equiv 0$ при любых $\delta {{y}_{i}}\left( 0 \right) = \delta z_{1}^{j}\left( 0 \right)$, где i = $1,2,...,r$ и $j \ne i$. Из (18) следует, что система (14) с регуляторами (16) полностью автономна [6].

АВТОНОМНЫЕ РЕГУЛЯТОРЫ И ОПТИМАЛЬНОСТЬ

Пусть выполнены условия (6), тогда класс регуляторов будет вида

(19)

${{\vartheta }_{i}} = \frac{1}{{({{c}_{i}},{{A}^{{{{n}_{{ii}}}}}}{{b}^{i}})}}({{c}_{i}},{{A}^{{\left( {{{n}_{{ii}}} + 1} \right)}}}x) + {{\bar {\vartheta }}_{i}};\quad \left( {i = 1,2,...,r} \right),$

где ${{\bar {\vartheta }}_{i}}$ – произвольная непрерывная функция ${{y}_{i}},...,\frac{{{{d}^{{{{n}_{{ii}}}}}}{{y}_{i}}}}{{d{{t}^{{{{n}_{{ii}}}}}}}}$, обеспечивающая полную автономность системе (3)–(4).

Асимптотическая устойчивость и автономность. В прикладных задачах требуется асимптотическая устойчивость системы (3)–(4) при $f\left( t \right) \equiv 0$. Автономные регуляторы (19) не обладают данными свойствами, хотя устойчивы по координатам ${{y}_{1}},{{y}_{2}},...,{{y}_{r}}$ при выполнении условий (6). Исследуем при отсутствии внешнего воздействия $f\left( t \right) \equiv 0$, тогда в системе (17) получим

(20)

$\begin{gathered} {{{\dot {z}}}^{0}} = {{A}_{0}}{{z}^{0}} + {{A}_{{01}}}\bar {z} + {{{\bar {B}}}_{0}}\bar {\vartheta }\left( {\bar {z}} \right), \\ {\text{при}}\quad \bar {z} = ({{z}^{1}},{{z}^{2}},...,{{z}^{r}}). \\ \end{gathered} $

Выбор линейных регуляторов ${{\bar {\vartheta }}_{i}}({{z}^{i}})$_. Первые r блоков системы (17) можно принять асимптотически устойчивыми при любом значении $\bar {z}\left( 0 \right)$, модифицировав

$\bar {z}\left( t \right)\mathop \to \limits_{t \to \infty } 0;\quad \bar {\vartheta }\left( {\bar {z}\left( t \right)} \right)\mathop \to \limits_{t \to \infty } 0.$

Тогда система асимптотически устойчива при устойчивости уравнения

(21)

${{\dot {z}}^{0}} = {{A}_{0}}{{z}^{0}}.$

Следовательно, для существования регуляторов, обеспечивающих системе (14) и (16) и одновременно системе (3) и (4) полную автономность и асимптотическую устойчивость при $f\left( t \right) \equiv 0$, достаточным условием можно считать модерацию (21) [7].

Находим уравнения в переменных значениях уравнения управления:

${{u}_{i}} = \frac{1}{{({{c}_{i}},{{A}^{{{{n}_{{ii}}}}}}{{b}^{i}})}}({{c}_{i}},{{A}^{{\left( {{{n}_{{ii}}} + 1} \right)}}}x) + {{\bar {\vartheta }}_{i}}.$

Модифицируем и получаем систему уравнений

(22)

$\begin{gathered} \dot {x} = \left( {A + BK} \right)x + B\bar {\vartheta } \\ K = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {A{\kern 1pt} {{*}^{{\left( {{{n}_{{ii}}} + 1} \right)}}}{{c}_{1}}{\text{/}}e_{1}^{1}} \\ { \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots } \\ { \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots } \\ {A{\kern 1pt} {{*}^{{\left( {{{n}_{{rr}}} + 1} \right)}}}{{c}_{r}}{\text{/}}e_{r}^{r}} \end{array}} \right|. \\ \end{gathered} $

Выбором ${{\bar {\vartheta }}_{i}}\left( {{{y}_{i}},...,\frac{{{{d}^{{{{n}_{{ii}}}}}}{{y}_{i}}}}{{d{{t}^{{{{n}_{{ii}}}}}}}}} \right)$ в виде линейной функции можно обеспечить устойчивость первых r блоков в (17) в равновесном состоянии:

${{y}_{i}} = \left( {{{c}_{i}},x} \right) = 0;\quad {{\bar {\vartheta }}_{i}} = 0,$

(23)

$\frac{{d{{y}_{i}}}}{{d{{t}^{{\left( {{{n}_{{ii}}} + 1} \right)}}}}} = (A{\kern 1pt} {\text{*}}{{c}_{i}},x) = 0,$

$\frac{{{{d}^{{{{n}_{{ii}}}}}}{{y}_{i}}}}{{d{{t}^{{\left( {{{n}_{{ii}}} + 1} \right)}}}}} = (A{\kern 1pt} {{{\text{*}}}^{{{{n}_{{ii}}}}}}{{c}_{i}},x) = 0;\quad \left( {i = 1,2,...,r} \right)$

или в векторном виде

$Px = 0;\quad \bar {\vartheta } = 0,$

где $P = {\text{|}}{{c}_{1}}...A{\kern 1pt} {{{\text{*}}}^{{{{n}_{{11}}}}}}{{c}_{1}}{{c}_{2}}...A{\kern 1pt} {{{\text{*}}}^{{{{n}_{{22}}}}}}{{c}_{2}}...{{c}_{r}}...A{\kern 1pt} {{{\text{*}}}^{{{{n}_{{rr}}}}}}{{c}_{r}}{\text{|}}{\kern 1pt} {\text{*}}$ соответствует условиям ${{z}^{i}} = 0;$ ${{\vartheta }_{i}}({{z}^{i}}) = 0$.

Исследуем систему алгебраических уравнений (23), поскольку система $rank\_P = s = \sum\limits_{i = 1}^r {{{n}_{{ii}}}} + r$, тогда система может быть разрешена относительно s координат вектора $x = \left( {{{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}} \right)$ с помощью обозначения совокупности координат вектором $\bar {x}$, остальные ${{x}_{0}}$ получим:

(24)

$\bar {x} = {{P}_{0}}{{x}_{0}}.$

В исследовании примем $\bar {\vartheta } = 0$, уберем строки, соответствующие $\bar {x}$, и перейдем к системе дифференциальных уравнений порядка $\left( {n - s} \right)$:

(25)

${{\dot {x}}_{0}} = N{{x}_{0}}.$

Регуляторы класса (16) обладают свойством устойчивости при ${{\bar {\vartheta }}_{i}}$, как линейный регулятор, обеспечивающий асимптотическую устойчивость дифференциальному уравнению

$\frac{{{{d}^{{{{n}_{{ii}}}}}}{{y}_{i}}}}{{d{{t}^{{\left( {{{n}_{{ii}}} + 1} \right)}}}}} = e_{i}^{i}{{\bar {\vartheta }}_{i}};\quad \left( {i = 1,2,...,r} \right).$

Групповая автономность. Пусть поведение объекта описывается системой дифференциальных уравнений

(26)

$\dot {x} = Ax + Bu.$

Примем матрицы $A,B$ постоянными размером $n \times n$ и $n \times r$, наблюдаемые координаты разобьем на r групп:

(27)

${{y}^{i}} = {{C}_{i}}x;\quad \left( {i = 1,2,...,r} \right),$

где ${{C}_{i}}$– постоянные матрицы размером ${{m}_{i}} \times n$ и ${{y}^{i}} = \left( {y_{1}^{i},y_{2}^{i},...,y_{{{{m}_{i}}}}^{i}} \right)$, тогда функционалы (2) для системы (26)–(27) имеют вид

(28)

$\begin{gathered} y_{k}^{i} = y_{k}^{i}\left( {x\left( 0 \right),{{u}_{i}}\left( \tau \right),{{{\bar {u}}}_{i}}\left( \tau \right)} \right); \\ \left( {0 \leqslant \tau \leqslant t;\;k = 1,2,...,{{m}_{i}};\;i = 1,2,...,r} \right). \\ \end{gathered} $

Для существования регуляторов, обеспечивающих системе полную групповую автономность, достаточно выполнить условия:

$\begin{gathered} {{n}_{{iki}}} < {{n}_{{ikj}}};\quad {{{\bar {c}}}_{{ik}}} = {{{\bar {c}}}_{{il}}}; \\ (i = 1,2,...,r;\;j = 1,2,...,i - 1,i + 1,...,r; \\ k,l = 1,2,...,{{m}_{i}}). \\ \end{gathered} $

Тогда законы управления примут вид

${{u}_{i}} = - \frac{1}{{e_{{ik}}^{i}}}\left( {{{{\bar {c}}}_{{ik}}},x} \right) + {{\bar {\vartheta }}_{i}}({{z}^{i}}) + {{f}_{i}},$

где ${{\bar {\vartheta }}_{i}}$ – произвольная непрерывная функция ${{z}^{i}}$, обеспечивающая групповую автономность системе (26)–(27) относительно управления f [8].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, с помощью достаточных условий оптимального управленческого воздействия на исполнительные системы выведены дифференциальные уравнения для нахождения синтезирующего функционала и оптимального управления с обратной связью. Оптимальное управление динамической частью системы реализуется линейным регулятором по Вознесенскому, а оптимальное управление логической частью определяется рекуррентным уравнением. Исследована применимость оптимального процесса управления судовым вычислителем при управлении судном на курсе, в том числе со счетным множеством переключений логической части системы, которые происходят в фиксированный момент времени.

Список литературы

Лицкевич А.П., Старжинская Н.В., Попов В.В. Математические методы в электродинамике. Новороссийск: ГМУ им. адм. Ф.Ф. Ушакова, 2019. 212 с.
Долматов Б.М., Попов В.В. Информатика. Новороссийск: ГМУ им. адм. Ф.Ф. Ушакова, 2017. 60 с.
Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 2019. 576 с.
Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. 3-е изд. М.: Наука, 2018. 496 с.
Стренг Г. Линейная алгебра и ее применение. М.: Мир, 2020. 456 с.
Райфа Х. Анализ решения. М.: Наука, 2017. 405 с.
Аблязов К.А., Катрюк И.С., Попов В.В. Основы теории надежности и диагностики. Новороссийск: ГМУ им. адм. Ф.Ф. Ушакова, 2018. 212 с.
Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 2019. 345 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Вестник Военного инновационного технополиса «ЭРА»

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал